Gabarito prova mate

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Matemática
Gabarito da 1a Prova de Complem. de Mat. - Monica
1a Questão: (2 pontos)
Calcule os limites:
1. lim
x→4
x− 4
x2 − 5x + 4
Solução
Como lim
x→4
(x− 4) = 0 e lim
x→4
(x2 − 5x + 4) = 0, chegamos a uma indeterminação do
tipo 0/0. Fatorando o denominador, temos
lim
x→4
x− 4
x2 − 5x + 4 = limx→4
x− 4
(x− 4)(x− 1) = limx→4
1
x− 1 =
1
3
.
Divisão de pontos: fatoração, (0, 5); conclusão, (0, 5).
2. lim
x→1
√
2x + 1−√3
x− 1
Solução
Como lim
x→1
(
√
2x + 1−
√
3) = 0 e lim
x→1
(x− 1) = 0, chegamos a uma indeterminação
do tipo 0/0. Racionalizando, temos
lim
x→1
√
2x + 1−√3
x− 1 = limx→1
(
√
2x + 1−√3)(√2x + 1 +√3)
(x− 1)(√2x + 1 +√3) =
= lim
x→1
2(x− 1)
(x− 1)(√2x + 1 +√3) = limx→1
2
(
√
2x + 1 +
√
3)
=
1√
3
.
Divisão de pontos: racionalização, (0, 5); conclusão, (0, 5).
2a Questão: (2 pontos)
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (−3, 6) e
1. a inclinação é 7/8.
Solução
A equação é y = 6 +
7
8
(x + 3).
2. é paralela à reta 3x− 2y = 7.
Solução
Como a inclinação da reta 3x−2y = 7 é 3/2, a reta pedida tem equação y = 6 + 3
2
(x + 3).
3. é perpendicular à reta 4x + 2y = 2.
Solução
Como a inclinação da reta 4x + 2y = 2 é −2, a reta pedida tem inclinação igual a
1/2 e tem equação y = 6 +
1
2
(x + 3).
4. passa pelo ponto (0, 0).
Solução
Como os pontos (0, 0) e (−3, 6) pertencem à reta, a inclinação desta reta é igual a
6−0
−3−0 = −2. Logo a reta pedida tem equação y = 6− 2(x + 3).
Divisão de pontos: Nos itens 2,3 e 4, identificou inclinação, (0, 4); conclusão, (0, 1).
3a Questão: (2 pontos)
1. Escreva a expressão de f(x) = 1
3
(2 ln(x + 3) + ln x− ln(x2− 1)) como o logaritmo de
uma única expressão. Calcule f ′(x).
Solução
Temos
f(x) =
1
3
(2 ln(x + 3) + ln x− ln(x2 − 1)) = ln
[
(x + 3)2x
(x2 − 1)
]1/3
.
A derivada de f(x) é
f ′(x) =
1
3
[
2
1
(x + 3)
+
1
x
− 2x
(x2 − 1)
]
.
Divisão de pontos: identificou cada propriedade, (0, 2); derivada, (0, 4).
2. Simplifique g(x) = sen x( sen x cos 2 + sen 2 cos x)− ( sen x cos 1 + sen 1 cos x)2. Cal-
cule g′(x).
Solução
Como cos 2 = (cos 1)2 − ( sen 1)2 e sen 2 = 2( sen 1)(cos 1), então:
sen x( sen x cos 2 + sen 2 cos x) = ( sen x)2(cos 2) + ( sen x)(cos x)( sen 2) =
= ( sen x)2(cos 1)2 − ( sen x)2( sen 1)2 + 2( sen x)(cos x)( sen 1)(cos 1).
Por outro lado,
( sen x cos 1 + sen 1 cos x)2 = ( sen x)2(cos 1)2 + (cos x)2( sen 1)2 + 2 sen x cos x sen 1 cos 1.
Logo
g(x) = −( sen x)2( sen 1)2 − (cos x)2( sen 1)2 = −( sen 1)2 [( sen x)2 + (cos x)2] = −( sen 1)2.
A derivada de g(x) é g′(x) = 0.
Divisão de pontos: identificou cada relação, (0, 2); derivada, (0, 4).
2
4a Questão: (2 pontos)
Um criador de gado pretende cercar um pasto no formato de um retângulo, que é adja-
cente a um rio. Para que haja capim suficiente para a manada, o pasto deve conter 180.000
metros quadrados. Não é necessário cercar a margem do rio. Que dimensões deve ter o
retângulo para que a cerca tenha menor comprimento posśıvel.
Solução O comprimento da cerca é dado por C = 2x + y. A área do pasto pode ser
calculada por 180.000 = A = xy. Logo y =
180.000
x
e
C(x) = 2x +
180.000
x
, x > 0.
Derivando,
C ′(x) = 2− 180.000
x2
=
2x2 − 180.000
x2
.
Temos C ′(x) = 0 quando x = 300 ou x = −300. Como x > 0 então temos somente um
candidato para ponto de mı́nimo absoluto, quando x = 300.
Fazendo estudo de sinal de C ′(x): C ′(x) > 0 quando x > 300 e C ′(x) < 0 quando x < 300.
Portanto para 0 < x < 300 o comprimento decresce e para x > 300 comprimento cresce.
Isto justifica que temos um mı́nimo para o comprimento quando x = 300.
Resposta. As dimensões do retângulo são 300m por 600m.
Divisão de pontos: modelagem, (0, 6); derivada, (0, 4); candidato, (0, 5); justificativa,
(0, 5).
5a Questão: (3 pontos)
O custo C(em reais) para remover p % dos poluentes da água de um lago é dado por
C(p) =
25.000 p
100− p , 0 ≤ p < 100 .
1. Determine o custo para remover 50% dos poluentes.
Solução
O custo para remover 50% dos poluentes é dado por
C(50) =
25.000 · 50
100− 50 = 25.000.
Divisão de pontos: (0, 6).
2. Que porcentagem dos poluntes pode ser removida com R$ 100.000, 00?
3
Solução
Temos C(p) =
25.000 p
100− p = 100.000 quando p = 80. Logo a porcentagem é de 80 %.
Divisão de pontos: (0, 6).
3. Calcule C ′(p) quando p = 50%.
Solução
A derivada do custo é
C ′(p) = 25.000
[
(100− p)− p · (−1)
(100− p)2
]
= 25.000
[
100
(100− p)2
]
.
Logo
C ′(50) = 25.000
[
100
(100− 50)2
]
= 1.000.
Divisão de pontos: derivada, (0, 4); resposta, (0, 2).
4. Para que valores de p, C(p) é uma função crescente?
Solução
A função é crescente quando C ′(p) > 0, isto é para todo 0 ≤ p < 100.
Divisão de pontos: comportamento da derivada, (0, 3); resposta, (0, 3).
5. Existe o lim
p→100
C(p)?
Solução
Repare que quando p tende para 100, o denominador tende para zero, enquanto
o numerador tende para 2.500.000. Logo não existe lim
p→100
C(p).
Divisão de pontos: identificou comportamento do quociente, (0, 4); resposta, (0, 2).
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