Magnetostática: Conceitos e Aplicações

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DESCRIÇÃO
Construção dos conceitos fundamentais e aplicações do campo magnético, da força de Lorentz, do
fluxo de campo magnético, da indutância e da Lei de Gauss da magnetostática na moderna teoria
eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Abordar os campos magnéticos estáticos, ou magnetostáticos, sua estrutura, seu comportamento e
suas fontes, a força de Lorentz, bem como o cálculo do campo magnético a partir de correntes elétricas
estáveis, a obtenção do valor da indutância de componentes elétricos e a definição de mais uma das
equações de Maxwell: a lei de Gauss da Magnetostática.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo magnético e a força de Lorentz
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
MÓDULO 3
Calcular o fluxo de campo magnético, a indutância e a aplicação da Lei de Gauss da magnetostática
INTRODUÇÃO
Os Campos magnéticos, com suas causas, estrutura e consequências, são um dos tópicos mais
pesquisados e estudados, tanto cientifica como tecnologicamente. 
São fundamentais à completa compreensão dos fenômenos eletromagnéticos, sendo aplicados onde
muitas vezes não imaginamos: desde a geração elétrica, passando pelas comunicações, as novas
tecnologias de materiais, transportes e máquinas, até a moderna eletrônica etc. E não podemos
esquecer dos fenômenos magnéticos da natureza. 
Para compreender seus fundamentos e aplicações iniciais, precisamos conceituar o campo magnético e
a força de Lorentz. Também vamos analisar como obter e calcular o campo magnético a partir das
fontes de corrente elétrica. Vamos, ainda, conceituar e aplicar o fluxo de campo magnético na obtenção
da Indutância magnética e definir a segunda equação de Maxwell, que é uma lei fundamental da
Natureza, a Lei de Gauss da Magnetostática.
MAGNETOSTÁTICA
MÓDULO 1
 Identificar o campo magnético e a força de Lorentz
O CAMPO MAGNÉTICO
Campos magnéticos são mediadores da Interação magnética a distância. À diferença do fenômeno
elétrico, não existe o equivalente magnético da carga elétrica. Não há “cargas magnéticas”, chamados
teoricamente de Monopolos Magnéticos.
Durante várias décadas, Paul M. Dirac idealizou e propôs a existência dos Monopolos Magnéticos
que, teoricamente, resolveriam a compreensão do valor do Quantum fundamental da carga elétrica.
Mas, infelizmente, nunca foi encontrado um único Monopolo Magnético em quatro dimensões do
espaço-tempo, apesar de algumas evidências em três dimensões espaço-temporais, mas estes
aplicam-se em fenômenos físicos superficiais como a supercondutividade e materiais com
características topológicas, que não trataremos aqui nem são abrangidos pela teoria eletrodinâmica
clássica.
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 Paul M. Dirac
QUATRO DIMENSÕES DO ESPAÇO-TEMPO
Três coordenadas espaciais + um tempo
TRÊS DIMENSÕES ESPAÇO-TEMPORAIS
Duas coordenadas espaciais + um tempo
 ATENÇÃO
Os campos magnéticos possuem estrutura completamente diferente dos campos elétricos, não
devendo ser confundidos com estes. Sua estrutura é rotacional, com linhas de campo contínuas e
fechadas.
Os campos eletrostáticos de cargas pontuais “nascem ou morrem” em cargas elétricas, que os geram e
detectam. Os campos magnetostáticos, por sua vez, têm trajetórias fechadas, numa curva fechada,
existindo inclusive dentro dos materiais magnéticos que os geram ou circundando suas fontes de
corrente elétrica, sempre em circulações fechadas, pois sua estrutura é rotacional.
Imagem do conjunto das Linhas de campo magnético de um imã natural interagindo com limalha de
ferro.
Diagrama da representação desse campo magnético mostrando que também há linhas de campo
magnético dentro dos materiais magnéticos em circulações fechadas.
 A Estrutura Rotacional do Campo Magnetostático de um Imã
Se tomarmos um material magnético natural, um imã, e tentarmos separar supostos núcleos
magnéticos, chamados de polos magnéticos, quebrando o material cristalino, jamais conseguiremos
obter êxito, mesmo que chegássemos ao nível atômico.
Não existem, fisicamente, os Polos magnéticos Norte e Sul separados, sendo apenas uma designação
da convenção histórica de orientação das linhas de campo magnético.
Os polos magnéticos são apenas regiões do material onde as linhas de campo são mais concentradas e
o campo magnético mais intenso em magnitude. 
As linhas de campo magnetostático rotacionam em curvas fechadas e não são divergentes como no
caso eletrostático. Ou seja, as linhas de campo magnético seguem trajetórias fechadas. 
 ATENÇÃO
Essa antiga confusão, errônea na interpretação, está na aparente semelhança com a estrutura de
campo do dipolo elétrico, que no passado foi confundida com a de campo magnético, mas são
campos de natureza completamente diferentes.
Repare nas duas figuras a seguir. À esquerda, estão representadas linhas de campo elétrico de um
dipolo elétrico. À direita, linhas de campo magnético de um imã natural. Note que as linhas mais
afastadas, em ambos os casos, são semelhantes nas trajetórias curvas nas duas figuras. Mas no dipolo
elétrico (figura à esquerda) entre as cargas elétricas, as linhas seguem no sentido da carga de atributo
positiva para a carga de atributo negativa. Já na figura à direita, entre as extremidades do imã — as
regiões chamadas de polos — o campo magnético de linhas fechadas segue em sentido oposto ao das
linhas do dipolo da figura à esquerda.
Linhas de campo elétrico de um dipolo elétrico. As linhas seguem no sentido da carga de atributo
positiva para a carga de atributo negativa.
Linhas de campo magnético de um imã natural. Entre as extremidades do imã, as regiões chamadas de
polos, o campo magnético de linhas fechadas segue em sentido oposto ao das linhas do dipolo da
figura à esquerda.
 Linhas de Campo de Dipolo Elétrico e Linhas Magnéticas – Comparação
Esse é o motivo histórico para se referir a um imã com polos norte e sul, como se fosse possível separar
esses polos, fonte de incompreensão muito comum.
Os campos eletrostáticos e magnetostáticos são completamente distintos e possuem causas diferentes.
Sua breve semelhança nesses dois exemplos é circunstancial e mesmo aqui não podem ser
confundidos.
Assim, percebe-se que as estruturas de campo elétrico de dipolo e de campo magnético de um imã são
distintas, apesar de semelhantes nas linhas mais afastadas das fontes. 
Existem, essencialmente, três fontes de campos magnéticos:
01
Os campos magnetostáticos naturais dos imãs e materiais magnéticos.
02
Os campos magnetostáticos no entorno de linhas de Corrente Elétrica estacionárias, ou de espiras
de corrente elétrica, descritos pela Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.
03
Os campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações temporais de fluxos de campos
elétricos, via corrente de deslocamento de Maxwell da Lei de Ampère-Maxwell.
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javascript:void(0)
Vamos nos deter nos campos magnetostáticos (itens 1 e 2) e deixaremos os campos magnéticos
induzidos por variações de fluxos de campos elétricos (item 3) para mais tarde.
ORIGEM DO MAGNETISMO NATURAL
A origem do magnetismo natural é intrínseca, do spin quântico do elétron e da dinâmica quântica
orbital molecular e/ou atômica dos materiais magnéticos. Eles formam o que chamamos de momentos
magnéticos quânticos. 
Para os materiais magnéticos naturais, magnetizáveis ou campos magnéticos com fontes em correntes
elétricas, define-se classicamente o momento magnético, →m.
DEFINIÇÃO: MOMENTO MAGNÉTICO (MACEDO,
1976 ADAPTADO)
“Grandeza vetorial que se pode associar a uma espira percorrida por uma corrente elétrica ou a um
magneto. O momento magnético associado a uma espira define-se pela equação →m = I→a, em que I é a
intensidade de corrente que percorre a espira, e →a é um vetor normal à área subtendida pela espira,
suposta plana, cujo módulo é a medida desta área (figura à esquerda). Para o magneto natural,o seu
momento magnético mede-se pelo produto de 
→
FB
→
| B
, pelo vetor comprimento 
→
L do mesmo magneto, em
que 
→
FB é a força magnética que age sobre a extremidade deste magneto e 
→
B é o campo magnético
externo que gera essa força magnética, ou seja, →m =
→
FB
→
| B
 
→
L (figura à direita).
| |
|
| |
|
 Momento Magnético
MATERIAIS MAGNÉTICOS
Considerando as principais propriedades magnéticas dos materiais, podemos classificá-los como:
PARAMAGNÉTICOS
Nos materiais paramagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são permanentes, mas não
interagem fortemente uns com os outros e estão orientados aleatoriamente. Quando submetidos a um
campo magnético externo, são parcialmente orientados (alinhados) na direção desse campo e assim
aumentam a magnitude do campo externo, como na figura a seguir. Em temperaturas usuais
(ambientais) e na presença de campos magnéticos de baixa intensidade, somente uma pequena
porcentagem das moléculas resultará alinhada devido ao seu movimento vibracional térmico. Esses
materiais são atraídos por campos magnéticos. Quando o campo externo é desligado, seu campo de
magnetização desaparece. Exemplo: oxigênio líquido, magnésio, lítio etc.
FERROMAGNÉTICOS
Nos materiais ferromagnéticos, os momentos magnéticos atômicos são permanentes e interagem
intensamente uns com os outros, o que permite um elevado grau de alinhamento na presença de
campo magnético externo, mesmo com campos de baixa intensidade. Ainda que não se submeta o
material a um campo magnético externo, pode-se ter momentos magnéticos atômicos fortemente
alinhados, são os imãs permanentes. Nota-se a existência de regiões delimitadas com a mesma
orientação dos momentos magnéticos, chamados de domínios magnéticos, como na figura a seguir. O
alinhamento dos domínios que formam seu campo de magnetização pode permanecer quando o campo
externo é desligado. Em altas temperaturas, críticas de cada material, as paredes dos domínios de
magnetização (paredes de Block) são quebradas e esses materiais se comportam com a propriedade
paramagnética. Exemplos: magnetitas, ferro, cobalto, níquel, ligas destes (com alumínio, cobre,
manganês etc.), terras-raras etc.
 Direção do campo magnético aplicado
DIAMAGNÉTICOS
Nos materiais diamagnéticos, os momentos magnéticos atômicos se alinham de maneira oposta ao
campo magnético externo, diminuindo assim esse campo. Tal efeito ocorre em todos os materiais,
sendo pouquíssimo intenso, mas é encoberto quando os materiais possuem também outras
propriedades como a ferromagnética ou a paramagnética. São materiais que repelem o campo
magnético externo. Exemplo: cobre, água, prata, carbono etc.
 Levitação de uma lâmina de Grafite.
ANTIFERROMAGNÉTICOS
Nos materiais antiferromagnéticos, o campo de magnetização se alinha antiparalelamente ao campo
externo aplicado. Há uma orientação alternada nos momentos magnéticos atômicos vizinhos, como na
figura a seguir. Só pode ser observado abaixo de uma temperatura crítica que depende dos materiais.
Exemplo: manganês, sulfeto ferroso, cromo, óxido de cromo etc.
FERRIMAGNÉTICOS
Nos materiais ferrimagnéticos, os momentos magnéticos dos íons vizinhos em uma rede cristalina se
alinham antiparalelamente, formando duas sub-redes com momentos opostos de magnitude e
diferentes do campo externo aplicado, como na figura a seguir, fazendo com que uma magnetização
espontânea e oposta permaneça após o campo externo desligado. Exemplo: ferritas.
HELIMAGNÉTICOS
Nos materiais helimagnéticos, os momentos magnéticos vizinhos em uma rede cristalina fazem um
ângulo constante diferente do paralelo e do antiparalelo. Ocorre a baixíssimas temperaturas. Exemplo:
bióxido de manganês.
FORÇA DE LORENTZ
A FORÇA DE LORENTZ É UMA COMPOSIÇÃO DAS
DUAS INTERAÇÕES DA TEORIA ELETRODINÂMICA
CLÁSSICA: A INTERAÇÃO ELÉTRICA, QUE É
PROPORCIONAL AO CAMPO ELÉTRICO, E A
INTERAÇÃO MAGNÉTICA, QUE É PROPORCIONAL
AO CAMPO MAGNÉTICO.
Vamos analisar a interação magnética, ou seja, a força magnética, para compreender essa fundamental
interação da natureza.
DEMONSTRAÇÃO
A força magnética, ou interação magnética, ocorre de duas formas:
01
SOBRE PARTÍCULAS CARREGADAS COM VELOCIDADE
NÃO NULA, EM UMA REGIÃO DE CAMPO MAGNÉTICO.
Para o caso (1) de partículas carregadas e com velocidade não nula, em uma região de campo
magnético, a força magnética 
→
FB se define fenomenologicamente como:
javascript:void(0)
→
FB = Q 
→v × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a expressão da força magnética como um produto vetorial entre a velocidade da partícula
carregada, →v, e o campo magnético, 
→
B, multiplicado pela carga Q.
A carga Q é uma carga de provas viajando em velocidade constante, →v, na presença de um campo
magnético não variável, 
→
B, como na ilustração anterior.
A unidade do Sistema Internacional (S.I.) para o campo magnético 
→
B é o Tesla. Assim:
1 Tesla = 1 T = 1 
N . s
C . m = 1
N
A . m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
02
SOBRE LINHAS OU ESPIRAS DE CORRENTE ELÉTRICA NA
PRESENÇA DE CAMPO MAGNÉTICO; SENDO ESTA ÚLTIMA
UMA EXTENSÃO DA PRIMEIRA, COMO VEREMOS.
Para o caso (2), de uma linha de corrente elétrica, I, vamos generalizar a equação anterior de uma única
carga, para uma integral de elementos de cargas. Assim, a força magnética sobre uma corrente elétrica
será:
( )
javascript:void(0)
→
FB = ∫ 
→v × 
→
B dq 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, q = λ l, e também dq = λ dl, em que λ é a densidade linear de cargas constante no filamento que
conduz a corrente I. Assim, derivando no tempo a relação q = λ l, temos a corrente elétrica I:
I = 
dq
dt = λ 
dl
dt = λ 
→v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Representando algebricamente a velocidade da carga como →v = →v v̂, sendo v̂ a direção de →v, e
substituindo dq = λ dl, e o resultado da equação anterior, I = λ →v , obtemos:
→
FB = ∫ 
→v × 
→
B dq = ∫ →v × 
→
B λ dl = ∫ →v v̂ × 
→
B λ dl = ∫ I v̂ × 
→
B dl 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como v̂ está orientada na direção e sentido da corrente elétrica I, podemos definir 
→
dl = dl v̂. Assim:
→
FB = ∫ I 
→
dl × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a expressão da força magnética que age sobre uma linha de corrente elétrica como o produto
vetorial do elemento vetorial de corrente I 
→
dl com o campo magnético 
→
B. .
( )
| |
| |
| |
( ) ( ) ( | | ) ( )
( )
Nos dois casos temos um produto vetorial, o plano formado pelas direções do vetor velocidade de uma
carga elétrica em movimento, e o campo magnético ao qual essa carga estiver submetida será
ortogonal à força magnética gerada. Da mesma maneira, o plano formado pelo vetor Elemento de
Corrente Elétrica e o vetor campo magnético, será ortogonal à força magnética gerada.
Forças magnéticas alteram a direção da trajetória de partículas carregadas submetidas ao campo
magnético, produzindo trajetórias tipicamente de classe circulares, mas não alteram o módulo de sua
velocidade, pois são forças transversas à velocidade, como se traduz da definição dessas forças.
A força de Lorentz sobre cargas elétricas em movimento uniforme será a soma das contribuições de
força elétrica e de força magnética:
→
F = Q 
→
E + Q →V ×
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a força magnética sobre elementos de linhas de corrente elétrica é:
D
→
FB = I 
→
DL ×
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
– 
→
dl é o vetor elemento de comprimento de um fio retilíneo com direção paralela a I.
– 
→
B, é o campo magnético não variável.
REGRA DA MÃO DIREITA DO PRODUTO VETORIAL
Na presença de campo magnético, cargas elétricas em movimento e correntes elétricas sofrema ação
da força magnética, que as desvia, tracionando-as perpendicularmente à direção anterior. Ou seja, uma
partícula carregada, com velocidade constante em certa direção que adentre uma região de campo
magnético, perpendicular à sua velocidade, sofrerá uma força magnética ortogonal ao plano dos vetores
( )
anteriores, em cada instante temporal, como nas figuras mostradas, satisfazendo à regra da mão
direita do produto vetorial. 
Atenção: A figura a seguir ilustra a aplicação correta da regra da mão direita:
 A regra da mão direita para o produto vetorial.
O entendimento e uso da regra da mão direita não é uma opção, vários fenômenos físicos satisfazem
regras de produto vetorial, como a força magnética e o campo magnético, que são alguns deles.
CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
O campo magnético terrestre, chamado de campo geomagnético, que compõe a magnetosfera
terrestre, é responsável por desviar partículas cósmicas e do vento solar para longe de nossa
atmosfera, ou aprisioná-las no cinturão de Van Allen, para que não atinjam a superfície terrestre, o que,
de outra forma, poderia transformar a vida planetária na superfície com a erosão da atmosfera e da
água do planeta.
A força de Lorentz é a principal responsável por essa proteção, desviando as partículas carregadas que
se aproximam com grande velocidade da magnetosfera. São partículas fundamentais carregadas e
muito energéticas, transversalmente desviadas quando entram em contato com as linhas do campo
geomagnético.
Não conhecemos ainda completamente a dinâmica da fonte desse campo geomagnético protetor.
Acredita-se, baseado em modelos teóricos plausíveis e simulados, que o núcleo do planeta, metálico,
dinâmico, e altamente aquecido seja sua fonte. Contudo, a força magnética é, certamente, a grande
responsável por termos uma atmosfera relevante, água abundante e condições climáticas compatíveis
com a vida, como a conhecemos.
FENÔMENO DA EMISSÃO DE MASSA CORONAL
(CME)
A imagem a seguir exemplifica o fenômeno da Emissão de Massa Coronal (CME), de um enorme jato
de partículas solares em direção à Terra. Não está em escala real, pois a Terra seria somente um
pequeno ponto no espaço comparado ao Sol, mas nos oferece a noção dessas escalas e a enorme
importância da magnetosfera terrestre como escudo de defesa do planeta diante do poder dessas
emissões solares e das partículas cósmicas do Universo.
O CAMPO GEOMAGNÉTICO TERRESTRE E O VENTO
SOLAR
Neste diagrama é mostrado um esquema da estrutura do campo geomagnético terrestre, onde o eixo
magnético é inclinado em relação ao eixo de rotação do planeta. 
O Polo Norte magnético se encontra próximo ao Sul geográfico e o Polo Sul magnético se encontra
próximo ao Polo Norte geográfico, com um ângulo de inclinação entre os eixos de rotação e magnético.
As bússolas se orientam com o Norte apontando para o Sul magnético do planeta, pois as linhas de
campo geomagnéticas, segundo a convenção adotada de orientação das linhas de campo magnéticas,
seguem do Norte para o Sul magnético. Assim, as bússolas apontam para o Sul magnético, próximo ao
Norte geográfico. Por essa razão, reconhecemos as bússolas apontando para o Norte geográfico
próximo.
 Figura 1- O Campo Geomagnético Terrestre.
 Figura 2 - O Vento Solar. Fonte: Foto com arte, NASA — Sonda espacial SOHO/NASA
Nesta figura temos uma foto com cores enriquecidas, obtida da sonda espacial SOHO da NASA,
especializada em acompanhar esses fenômenos. Na foto, nota-se uma gigantesca emissão de massa
coronal (CME) em direção à Terra. Repare a atuação do campo magnético terrestre na defesa
planetária. Se a massa coronal desta foto tivesse atingido a Terra sem magnetosfera, talvez você não
estivesse lendo este conteúdo agora.
AURORAS BOREAIS E AUSTRAIS
Nas regiões Polares, nos Polos Magnéticos Terrestres, que são localizações onde as linhas de Campo
Geomagnéticos são mais próximas da superfície, as partículas cósmicas, e do Vento Solar, conseguem
se aproximar muito mais da superfície planetária, produzindo um fenômeno muito interessante, mas
indicativo da penetração dessas partículas na atmosfera, as Auroras Boreais e Austrais. 
São partículas carregadas, principalmente de elétrons, que não foram desviadas pelo campo magnético
terrestre, nem aprisionadas por este. Elas conseguem atravessar a magnetosfera nos polos,
espiralando em torno das linhas de campo e, assim, penetram a atmosfera, interagindo com gases
atmosféricos, principalmente o oxigênio e o nitrogênio, colidindo com eles e excitando-os a níveis de
energia mais altos. Ao retornarem aos níveis de energia mais baixos, essas moléculas gasosas emitem
luz. As diferentes colorações são características da diferença energética que esses gases absorveram e
emitem. Colorações verdes e vermelhas são características do oxigênio, e os azuis e o rosa são
emitidos pelo nitrogênio, a depender de seus estados de ionização.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma espira de corrente elétrica na presença de um campo magnético. Como a força
magnética atua sobre uma espira que conduz uma corrente elétrica? No que resulta esse fenômeno?
RESOLUÇÃO
Para analisar o problema, vamos simplificar a geometria de uma espira que conduz uma corrente
elétrica e depois vamos generalizar o tratamento. Vamos considerar uma espira retangular, de lados a e
b, conduzindo uma corrente elétrica I. Vejamos na figura a seguir:
Uma corrente elétrica percorre a espira no sentido anti-horário e o campo Magnético atua como
representado na figura. Perceba que a força Magnética 
→
F = I 
→
l × 
→
B atuará em cada segmento da
espira onde há corrente elétrica, produzindo forças perpendiculares ao campo. A soma resultante de
todas essas forças é zero. No entanto, a atuação do campo Magnético faz a espira alinhar-se com a
orientação do campo. Como as forças nos segmentos laterais, de largura a, formam um binário de
forças, inclinado de um ângulo θ em relação à orientação do campo, o efeito é o de um torque girando
a espira de forma a alinhar-se ao campo magnético. As forças magnéticas que agem verticalmente
nesta espira também são perpendiculares à direção do campo, formam outro binário de forças, mas
estão, as duas, na mesma direção e, assim, cancelam-se mutuamente.
O torque do binário de forças magnéticas que age na espira será:
→
Τ = →R × 
→
F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde →r é chamado de vetor braço-de-ação do torque, ou braço de alavanca com módulo b sen(θ),
sobre um ponto P, e a força magnética é 
→
F = I 
→
l × 
→
B. O módulo desta força magnética é:
→
F = I A 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O torque será orientado na direção do eixo de rotação da espira, que, neste caso, faz uma linha
imaginária onde estão representadas as forças verticais e seu módulo será:
→
Τ = I A 
→
B B SEN(Θ) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ângulo θ é de inclinação do campo Magnético 
→
B com o vetor normal ao plano da espira, n̂, como
representado na figura. Repare que o produto ab é a área A do plano da espira. Portanto, o torque do
campo magnético sobre uma espira pode ser definido como:
→
Τ = I A N̂ × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que reobtivemos aqui o momento magnético de uma espira de corrente elétrica, que podemos
generalizar para N espiras como:
→MN = N I A N̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde, aqui, A é a área da espira. 
Assim, podemos definir o torque (vetor) do campo magnético sobre N espiras de qualquer geometria
como:
| | | |
| | | |
→
ΤB = 
→MN × 
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TORQUE DO CAMPO MAGNÉTICO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère
FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO —
CORRENTESELÉTRICAS
Correntes elétricas são fonte de campos magnéticos. Já havíamos elencado esse fenômeno como uma
das três fontes dos campos magnéticos.
 As primeiras evidências científicas da relação entre campos magnéticos e correntes elétricas datam de
1820, quando Hans Christian Oersted identificou a relação entre o magnetismo e a movimentação de
cargas elétricas em correntes elétricas. Oersted percebeu que as agulhas das bússolas eram
perturbadas quando próximas de linhas de correntes elétricas.
Um mês depois, Jean Baptiste Biot e Félix Savart mostraram qual era o comportamento da força
magnética sobre polos magnéticos de materiais magnéticos naturais, nas vizinhanças de correntes
elétricas de um fio condutor, analisando elementos de corrente elétrica como fontes do campo que
geravam a interação. 
Além destes, André Ampère, Michael Faraday e Joseph Henry fizeram importantes contribuições aos
princípios do magnetismo gerado por linhas de corrente elétrica.
Ampère nos apresentou, inclusive, o primeiro modelo da origem do magnetismo natural dos imãs, que
seria gerado a partir de pequenas circulações de correntes elétricas em espiras minúsculas dentro dos
materiais. Atualmente sabemos que essa origem é intrínseca dos materiais, na escala quântica. Mas
seu modelo nos mostrou uma possibilidade para explicar o magnetismo dos materiais pela primeira vez.
Do ponto de vista do fenômeno, sempre que tivermos correntes elétricas em condutores elétricos, ou
fluxo de portadores de cargas em quaisquer meios, teremos a geração de campo magnético no entorno
desse fluxo de cargas.
Vamos analisar, por ora, os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas estáveis e
uniformes, ou seja, não variáveis. 
Vamos elencar o que sabemos da fenomenologia dos campos magnéticos com fontes em correntes
elétricas:
CONHECIMENTO 1
Os campos magnéticos cujas fontes são correntes elétricas têm estrutura rotacional no entorno das
linhas de correntes. Ou seja, linhas de correntes elétricas uniformes são fontes de campos
magnetostáticos que circundam essas linhas de correntes, com direção e orientação de acordo com a
regra da mão direita.
A figura a seguir exemplifica essa estrutura de campo magnético rotacional às linhas de correntes.
Repare que ao apontar o polegar da mão direita na direção e sentido positivo da corrente elétrica,
estaremos, com os demais dedos da mão direita, indicando a orientação positiva do campo magnético
no entorno da linha.
CONHECIMENTO 2
Correntes elétricas circulando em anéis condutores, ou espiras, produzem campos magnéticos que se
assemelham aos campos magnéticos naturais de imãs, com linhas circundando cada trecho de
elemento de corrente elétrica. No centro do anel de corrente, temos uma linha de campo magnético
aparentemente linear, ao longo do eixo do anel, mas que também se fechará em um grande arco.
Diferentemente do campo magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica (figura
anterior) as linhas de campo da figura a seguir não são simétricas em relação ao elemento de corrente,
fonte do campo.
CONHECIMENTO 3
Uma sucessão de anéis condutores de corrente elétrica, que chamamos de espiras, quando estão
justapostos, mas sem contato pois são isolados eletricamente (recobertos com material isolante) e em
formato helicoidal, formam um componente elétrico/eletrônico dos mais importantes: os solenoides,
muitas vezes chamados de bobinas longas. 
Solenoides são acumuladores de energia magnética, como veremos mais tarde.
O campo magnético no interior de um solenoide, quando conduz uma corrente elétrica uniforme, é linear
e quase uniforme. No seu exterior, o campo assemelha-se a um magneto natural, como na figura
anterior. 
Na figura a seguir, temos uma representação esquemática do campo magnético de um solenoide curto.
O campo é quase uniforme no interior e como o de um magneto natural externamente. Repare que no
entorno das espiras há uma pequena circulação de campo que vaza por entre elas. Temos também o
efeito de borda que contribuirá ao campo externo. Mas os solenoides ideais são muito longos, seu
comprimento é muito maior que o seu raio, de maneira que esses vazamentos de campo pelas bordas e
por entre as espiras será fortemente reduzido e uma maior uniformidade do campo interno se verificará.
Na figura seguinte, temos uma fotografia de um solenoide com corrente elétrica ligada, orientando a
limalha de ferro no seu interior. Repare que, externamente, o efeito sobre a limalha é muito reduzido.
Assim, quando aumentamos a densidade de espiras por comprimento do solenoide, e o construímos
muito longo, o resultado é de campo magnético quase zero em distâncias maiores do que raio do
solenoide, na região externa.
LEI DE BIOT-SAVART E LEI DE AMPÈRE
A estrutura e cálculo do campo magnético, com fontes em correntes elétricas uniformes, será definida
por meio da Lei fenomenológica de Biot-Savart e a Lei fundamental de Ampère. Esta última caracteriza
a estrutura do campo magnético com sua fonte em correntes elétricas uniformes e nos permite o cálculo
do campo em situações de alto grau de simetria.
DEMONSTRAÇÃO
A Lei de Biot-Savart é uma lei de campo fenomenológica que nos permite o cálculo do campo
magnético em um ponto P qualquer do espaço a partir de sua fonte, que é um elemento de corrente
elétrica uniforme. Foi obtida da análise experimental da força magnética entre linhas retilíneas de
corrente elétrica.
d
→
B = km
I d
→
l × r̂
r2
 
 
km =
μ0
4π = 10
- 7 N
A2
 
μ0 = 4π km = 4π. 10
- 7 N
A2
 
d
→
B =
μ0
4π
I d
→
l × r̂
r2
ou
→
B =
μ0
4π ∫
I d
→
l × r̂
r2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que km é a constante magnética e μ0 a permeabilidade magnética do vácuo. Evidentemente,
para cada meio de condução, teremos um valor diferente dessas constantes.
De forma análoga à carga na Lei de Coulomb da Eletrostática, aqui a fonte do campo magnético é o
elemento de corrente elétrica Id
→
l .
LEI DE AMPÈRE
Na eletrostática, sabemos que o campo eletrostático é conservativo. Isto é, o trabalho, por unidade de
carga elétrica, efetuado pelo campo eletrostático sobre uma carga de prova, em uma circulação ou
trajetória fechada, será zero. A integral do campo eletrostático em uma circulação fechada será zero. O
campo eletrostático é divergente.
∮ c
→
E ⋅ d
→
l = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde c é uma curva fechada qualquer.
Na magnetostática, podemos fazer a seguinte pergunta:
QUAL É O RESULTADO DA INTEGRAL DO CAMPO
MAGNETOSTÁTICO EM UMA CIRCULAÇÃO
FECHADA NO ENTORNO DE UMA LINHA DE
CORRENTE ELÉTRICA?
 RESPOSTA
Como o campo magnetostático tem estrutura rotacional, a resposta não será necessariamente zero. Os
campos magnéticos seguem trajetórias fechadas no entono de suas fontes. Não confunda com o fato de
o trabalho das forças magnéticas ser zero, por serem forças transversas à trajetória. Forças magnéticas
não atuam na mesma direção do campo magnético, pois são perpendiculares entre si.
AS LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO, A PARTIR DE
UMA FONTE MAGNÉTICA, NÃO SÃO LINHAS DE
FORÇA MAGNÉTICA, POIS A FORÇA MAGNÉTICA É
PERPENDICULAR AO CAMPO MAGNÉTICO.
Quando Ampère se fez essa pergunta, obteve o resultado de um dos fundamentos da teoria
eletromagnética. Ao calcular o campo magnético no entorno de uma linha retilínea de corrente elétrica,
por meio da Lei de Biot-Savart, percebeu que a integral deste campo magnético, em uma trajetória
fechada, não é zero. Ou seja:
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = 4 Π KMIC OU ∮
 
C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que μ0 = 4π km. A corrente I é a totalidade das correntes elétricas internas à curva de
Ampère c.
Este é um dos resultados mais importantes da teoria eletrodinâmica clássica. É uma lei fundamental da
natureza. Foi chamada de Lei de Ampère e é válida para qualquer curvafechada c, que chamaremos
de curva de Ampère, desde que as correntes elétricas que são fontes do campo magnético sejam
constantes. Essa integral é matematicamente chamada de uma integral de linha, que é uma integral ao
longo de uma trajetória.
Se a integral de linha do campo magnético em uma circulação fechada, ao longo de uma curva c
qualquer, não é zero, o campo tem estrutura rotacional.
Se a solução desta integral de linha é proporcional à corrente elétrica total interna à curva c, então esta
corrente Ic é a fonte do campo magnético.
Assim, na magnetostática, a Lei de Ampère é lei fundamental da natureza, que comporá uma das
equações de Maxwell, como veremos à frente. 
No entanto, mesmo sendo uma lei fundamental da natureza, seu uso prático para a obtenção do campo
magnético nem sempre será simples. Então, para esse fim, a usaremos em circunstâncias de alto grau
de simetria e quando a fonte do campo, a corrente elétrica, for constante. Nesses casos, seu uso
aplicado é recomendável por sua simplicidade. Nos demais casos, para o cálculo do campo magnético,
recomenda-se o uso aplicado da Lei de Biot-Savart.
 SAIBA MAIS
Leia mais sobre a definição do Ampére, no Sistema Internacional, em termos da força de repulsão
magnética entre duas linhas de corrente elétrica.
Quando a corrente elétrica não for constante e for variável, não poderemos utilizar a Lei de Ampère para
obter o campo magnético. Nestes casos, teremos de utilizar as equações de Maxwell completas, pois
envolvem a geração induzida de campos eletromagnéticos, como veremos mais à frente em
eletrodinâmica.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Cabos coaxiais são largamente usados em transmissões de dados e sinais de TV. Seu uso se deve à
capacidade em reduzir sensivelmente ruídos eletromagnéticos externos ao sinal transmitido. Um cabo
coaxial é constituído de uma malha condutora elétrica envolvendo um filamento condutor elétrico
interno. Vamos considerar que a corrente elétrica tenha o mesmo valor em magnitude nos dois
condutores, o que geralmente ocorre, com a diferença que os sentidos das correntes são opostos em
cada condutor. Então, consideremos um cabo coaxial, ao longo da direção z de um sistema coordenado
cilíndrico, que conduz uma corrente elétrica I uniforme, no sentido positivo de z, pelo condutor interno
de raio R1, e a mesma corrente I, no condutor em forma de malha condutora com raio R2, no sentido
negativo de z. Ou seja, R2 > R1. Os condutores são separados mecanicamente por um material isolante
elétrico. Vamos obter o campo magnético entre os dois condutores e o campo magnético do lado de fora
do cabo coaxial.
RESOLUÇÃO
Para o cálculo do campo magnético, vamos usar a lei de Ampère de forma aplicada.
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0 IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos fazer uma simplificação quanto à constante de permeabilidade magnética dos materiais e
considerar que, neste problema, as permeabilidades magnéticas sejam praticamente iguais a μ. Assim,
a lei de Ampère será redigida como:
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos a representação dos campos magnéticos na figura a seguir. Repare que esses campos
magnéticos atuam na direção polar cilíndrica θ̂, em sentidos opostos, pois as correntes elétricas são
opostas. Vamos calcular a resultante dos campos magnéticos.
A aplicação da regra da Mão-Direita nos mostra o sentido de atuação dos campos magnéticos. Na
figura, as correntes elétricas foram representadas como diferentes para podermos calcular cada
contribuição ao campo magnético de fontes de correntes elétricas diferentes. Veremos que o campo
representado como 
→
B2 na figura, que seria uma resultante dos campos, a depender das fontes e suas
orientações, mas será, neste problema, igual a zero. O campo magnético nulo no exterior não gera
interferências magnéticas na vizinhança. Além disso, temos o efeito de blindagem eletrostática que
também é verificado nesse tipo de cabo. No problema em questão, somente haverá campo não-nulo, na
região entre os condutores, descrito pela curva de Ampère C1. Externamente o campo será nulo.
Curva C1: (região R1 < r1 < R2)
∮ C1
→
B ⋅ D
→
L = 4Π KM IC1 ⟹ 
→
B =
→
B Θ̂
 
D
→
L = DL Θ̂ 
 
IC1 = I1
{ | |
∮ C1
→
B DL = 4ΠKMI1
 
→
B C1∮
 
C1
DL = 4ΠKMI1
 
→
B C1 2Π R1 = 4ΠKMI1
 ⟹ 
→
B |C1 =
2KMI1
R1
 
 
 
→
B1 =
2KMI1
R1
Θ̂
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, há campo magnético descrito pela curva de Ampère C1 com raio R1 < r1 < R2.
Curva C2: (região r2 ≥ R2)
∮ C2
→
B ⋅ D
→
L = 4Π KM IC2 ⟹ 
→
B =
→
B Θ̂
 
D
→
L = DL Θ̂ 
 
IC2 = (I1 - I2
| |
| |
| |
|
{ | |
)
∮ C2
→
B DL = 4ΠKM I1 - I2 
 
→
B C2∮
 
C2
DL = 4ΠKM I1 - I2 
 
→
B C2 2Π R2 = 4ΠKM I1 - I2 
 ⟹ 
→
B |C2 =
2KM ( I1 - I2
R2
 
 
 
→
B2 =
2KM ( I1 - I2
R2
Θ̂
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as correntes elétricas do problema são iguais, (I1 - I2 = 0, o campo magnético resultante 
→
B2
descrito pela curva de Ampère C2, com raio r2 ≥ R2, será nulo. Ou seja, nessa situação ideal, o campo
magnético externo ao cabo será zero, 
→
B2 = 0.
CAMPO MAGNÉTICO DE CABOS COAXIAIS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
| | ( )
| | ( )
| | ( )
| )
)
)
 Calcular o fluxo de campo magnético, a indutância e a aplicação da Lei de Gauss da
magnetostática
FLUXO DE CAMPO MAGNÉTICO
O fluxo de campo magnético é definido de forma semelhante à definição de fluxo de campo elétrico. É
essencialmente a contagem líquida do número de linhas de campo magnético que atravessam uma
superfície.
A figura a seguir exemplifica diagramaticamente um elemento de área aberta dA com seu vetor unitário
normal n̂ e as linhas de campo magnético, tipicamente curvas, atravessando esse elemento de área.
Consideremos uma superfície com elementos infinitesimais de área dA e seus vetores normais unitários
n̂ a cada elemento de área. O elemento de fluxo de campo magnético dΦm e a correspondente integral
aberta desses elementos, Φm, serão definidos como
dΦm = 
→
B. n̂ dA = 
→
B dA cosθ 
Φm = ∫dΦm = ∫
→
B. n̂ dA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o ângulo θ entre o vetor campo magnético e o vetor normal n̂ ao elemento de área dA foi
incorporado com o produto escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo
elétrico.
A unidade de fluxo de campo magnético no Sistema Internacional de unidades (S.I.) é o Weber (Wb).
| |
1Wb = 1 T. m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se linhas de campo atravessarem superfícies sucessivas, como as superfícies definidas por diferentes
espiras em um solenoide ou bobina, contabilizaremos o fluxo por cada superfície. 
Portanto, duas superfícies iguais em uma bobina contabilizarão duas vezes ao fluxo de campo, pois a
área será duplicada, e assim sucessivamente para qualquer número de superfícies.
LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
Quando lidamos com a Lei de Gauss da Eletrostática, ΦE = ∮
 
c
→
E. n̂ dA = 4 π k q, compreendemos que a
fonte do campo eletrostático é a carga elétrica interna à superfície gaussiana, e que a estrutura desse
campo é divergente, ou seja, as linhas de campo eletrostático “nascem ou morrem” em cargas elétricas.
No entanto, o campo magnetostático tem estrutura rotacional, com linhas de campo fechadas, mesmo
dentro dos materiais magnéticos naturais.
SE ESTABELECERMOS UMA INTEGRAL DE FLUXO
FECHADA PARA O CAMPO MAGNETOSTÁTICO,
QUAL SERÁ A RESPOSTA DESSA INTEGRAL, JÁ
QUE NÃO TEMOS CARGAS PUNTUAIS MAGNÉTICAS
NA TEORIA ELETRODINÂMICA CLÁSSICA?
 RESPOSTA
Esta é a resposta exata: não há cargas magnéticas puntuais. Não há monopolos magnéticos. A integral
de Gauss total do campo magnetostático será zero. Esse resultado tambémnos mostra
matematicamente a razão da estrutura do campo magnetostático ser rotacional. A integral de Gauss é
zero e assim a divergência desse campo é zero, ou seja, o campo é rotacional.
Uma simples equação demonstra a beleza de todas as nossas discussões sobre a estrutura do campo
magnetostático: a Lei de Gauss do campo magnetostático.
ΦMTOTAL =
 
∮
C
→
B. N̂ DA = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que Φmtotal é o fluxo de campo magnético total e c é a superfície gaussiana fechada de suporte
dessa integração.
Significa que a totalidade das linhas de campo magnéticas, que chamamos de número líquido total de
linhas que atravessam uma superfície gaussiana fechada, será sempre zero. Como as linhas de campo
magnetostáticas são fechadas, rotacionais, todas as linhas que entram em uma superfície fechada
sairão desta e não contabilizarão no fluxo total.
 ATENÇÃO
A Lei de Gauss da magnetostática, somada à Lei de Ampère e à definição da força magnética,
caracterizam toda a magnetostática, pois explicam a estrutura rotacional do campo, a inexistência de
monopolos magnéticos, a interação magnética e a Lei de Biot-Savart pode ser extraída destas.
Vamos aplicar esses princípios na demonstração do conceito de Indutância.
DEMONSTRAÇÃO
INDUTÂNCIA
Quando ligamos uma corrente elétrica ou um fluxo de portadores de cargas, verificamos a geração de
campo magnético, descrito pela Lei de Ampère ou, alternativamente, pela Lei de Biot-Savart. Os
campos magnéticos têm as correntes elétricas como suas fontes. Vamos desconsiderar por um instante
os campos magnéticos naturais.
Além disso, podemos calcular o fluxo aberto de campo magnético Φm que atravessa ou incide sobre
uma superfície, que nominamos de uma integral de Gauss aberta.
Vamos definir que o fluxo de campo magnético possa ser obtido direta e linearmente da corrente elétrica
com uma constante de proporcionalidade que chamaremos de indutância. Contudo, o fluxo pode
alcançar a vizinhança ou atuar no próprio sistema que o gera. Assim, temos duas classes de
indutâncias: a indutância mútua (M) e a autoindutância (L).
Pense em dois circuitos elétricos. Cada qual com sua corrente elétrica, I1 e I2. 
O fluxo de campo magnético que incidirá sobre o circuito Nº 1 será oriundo do campo magnético gerado
pelo próprio circuito Nº 1, que se somará à contribuição ao fluxo de campo oriundo do circuito Nº 2. 
Isto é, o campo magnético gerado pelo circuito Nº 2 contribuirá para o fluxo que atravessa o circuito Nº
1, assim com o próprio campo do circuito Nº 1 contribuirá a esse fluxo. Da mesma forma, ocorrerá no
circuito Nº 2.
 ATENÇÃO
O campo magnético também satisfaz ao princípio de superposição e todas as contribuições ao campo
magnetostático serão somadas, mesmo que oriundas de fontes diversas. Assim, o fluxo também deverá
satisfazer esse princípio.
Então, o fluxo de campo magnético sobre o circuito Nº 1 será:
ΦM1 = L I1 + M I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que L é a autoindutância do circuito Nº 1, que dependerá de sua geometria, como veremos, e M é a
indutância Mútua, que dependerá da geometria do circuito Nº 2 e das configurações geométricas
relativas dos dois circuitos, Nº 1 e Nº 2. 
A unidade SI da indutância é o Henry (H):
1 H = 1 
WB
A = 1 
T . M2
A = 1 
V . S
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos definir a unidade física da constante de permeabilidade em termos da unidade de fluxo de
campo magnético: μ0 = 4π × 10
- 7 H /m.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Um toroide de seção transversa retangular ideal contém N espiras justapostas e perpendiculares a
um anel completo. Se esse toroide for ligado a uma corrente elétrica uniforme I, um campo magnético
não uniforme se estabelecerá em seu interior. Considere que as espiras tenham as dimensões de um
retângulo, como na figura a seguir do corte em seção transversa da peça. Ou seja, haverá campo
magnético não uniforme em seu interior. A fotografia a seguir ilustra esse componente na realidade.
Calcule a autoindutância L deste toroide ideal de seção retangular, como descrito nas duas figuras
seguintes. Use μ0 para a permeabilidade magnética.
RESOLUÇÃO
Então, vamos seguir a estratégia de solução já adotada: Calcular o campo magnético, o fluxo de campo
magnético e a Indutância. Como temos alto grau de simetria, vamos aplicar a lei de Ampère em uma
curva de Ampère em anel fechado com simetria polar, como fizemos antes:
Campo magnético para uma curva c interna ao toroide:
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0 IC ⟹ 
→
B =
→
B Θ̂
 
D
→
L = DL Θ̂ 
 
IC = N I
∮ C1
→
B DL = Μ0 N I 
 
→
B C∮
 
CDL = Μ0 N I 
 
→
B C 2Π R = Μ0 N I 
 ⟹ 
→
B |C =
Μ0 N I
2Π R 
 
 
→
B =
Μ0 N I
2Π R Θ̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fluxo de Campo magnético:
Como a área de incidência do fluxo de campo magnético, em cada espira do Toroide, será um retângulo
de lados (b - a) × h, como ilustrado na ultima figura das três anteriores, a medida de integração de área
desta região será dA = h dr:
ΦM = ∫
→
B. N̂ DA ⟹ ΦM =
B
∫
A
→
B. N̂ (H DR)
{ | |
| |
| |
| |
|
ΦM =
B
∫
A
Μ0 N I
2Π R Θ̂. N̂ H DR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os vetores unitários direcionais, θ̂ (polar cilíndrico) e n̂ (normal), da superfície da cada espira do
Toroide, estão na mesma direção e orientação, temosθ̂ . n̂ = 1. Assim,
ΦM =
B
∫
A
Μ0 N I
2Π R H DR ⟹ ΦM =
Μ0 N I
2Π
B
∫
A
1
 R H DR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
ΦM =
Μ0 N I
2Π H
B
∫
A
1
 R DR ⟹ ΦM =
Μ0 N I H 
2Π LN
B
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse é o fluxo sobre uma espira do Toroide de seção retangular. O fluxo sobre N espiras do mesmo
Toroide de seção retangular será obtido multiplicando-se esse fluxo por N:
ΦMN =
Μ0 N
2 I H 
2Π LN
B
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a autoindutância L do torioide será:
( )
( )
ΦMN = L I ⟹ L = 
Μ0 N
2 H 
2Π LN
B
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, mais uma vez, a indutância resulta ser função da geometria do indutor. 
Obs.: A autoindutância de um Toroide de seção transversa circular tem cálculos mais complexos, mas
em certos limites de suas dimensões e para efeitos práticos, se aproxima do presente cálculo do Toroide
de seção retangular.
CÁLCULO DE AUTOINDUTÂNCIA DE UM TOROIDE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os fenômenos magnéticos fazem parte do nosso dia a dia. Eletroímãs, geradores elétricos, materiais
magnéticos, mídias magnéticas, bobinas, indutores, campos magnéticos etc. Não há como pensar em
eletromagnetismo sem o estudo dos fenômenos magnéticos e da magnetostática.
( )
É fundamental que você perceba que todos os itens de estudo da eletrodinâmica clássica, mesmo
aqueles aparentemente mais teóricos, têm aplicação tecnológica e fazem parte da nossa sociedade
tecnológica contemporânea.
Neste tema, você estudou os campos magnéticos estáticos com fontes naturais e de corrente elétrica
uniforme, as leis que regem esses campos magnetostáticos, suas aplicações ao cálculo de fluxos de
campos magnéticos e um pouco sobre os indutores. Não deixe de experimentar as indicações
complementares na seção Explore +.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física teórica experimental III. 1 ed. Rio De Janeiro: SESES, 2017.
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019. 3 v.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. Rio De
Janeiro: LTC, 2018.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1.ed. digital. São Paulo: Blucher,
2018.
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. 6 ed. Rio De Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; Freedman, R. A. Física III — Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley,
2015. 3 v.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Motores de Corrente Contínua e as Bobinas de Helmholtz no livro Física para cientistas e
engenheiros, de Paul Tipler.
Materiais Magnéticos e o Efeito Hall no livro Física III — Sears & Zemansky.
Capítulo 1 do livro Fundamentos de Física vol. 1, de David Halliday, Jearl Walker e Robert
Resnick, para rever o conteúdo de produto vetorial, da álgebra vetorial aplicada. 
Pesquise sobre os Simuladores de Campos Magnéticos do Projeto Phet, da Universidade do
Colorado, Boulder.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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