Lei de Gauss e Suas Aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos principais conceitos e aplicações fundamentais da Eletrostática para
distribuições contínuas de cargas elétricas, Lei de Gauss e suas aplicações na moderna teoria
eletrodinâmica clássica.
PROPÓSITO
Generalizar os conceitos e aplicações de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições
contínuas de cargas, por meio da Lei de Coulomb e da Lei de Gauss, com aplicações diretas
na obtenção de potenciais elétricos e capacitâncias de sistemas eletrostáticos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial
e do Cálculo Diferencial e Integral. Também será útil ter em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 2
Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
MÓDULO 3
Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
MÓDULO 4
Calcular a capacitância
INTRODUÇÃO
A Eletrodinâmica Clássica é a interação fundamental com que experimentamos e observamos
a natureza do universo. Nossa ciência e tecnologia necessitam desses conhecimentos para
continuar progredindo. Vamos generalizar e aprofundar o tema da Eletrostática para
distribuições contínuas de cargas elétricas, compreender uma das leis fundamentais da
natureza, a Lei de Gauss, e aplicar esses conhecimentos a alguns de seus subprodutos, o
cálculo de potenciais elétricos e capacitâncias: o início da tecnologia elétrica. Bons estudos!
MÓDULO 1
 Identificar o campo elétrico de cargas contínuas
LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES
INTRODUÇÃO
A Eletrostática não se limita ao estudo dos princípios e fenômenos de cargas e campos
elétricos de distribuições discretas de cargas. Na verdade, podemos generalizar esses
conceitos para fenômenos nos quais as cargas elétricas estão continuamente distribuídas,
formando um continuum de cargas elétricas e seus campos. Certamente, as cargas elétricas
são discretizadas, individuais, como sabemos da Física Microscópica, mas vamos considerar
que tenhamos tantas cargas elétricas e tão próximas, umas das outras, que possamos
considerá-las distribuídas continuamente.
 VOCÊ SABIA
Pense na circunstância de um fluido. Sabemos que um corpo fluídico é composto por
moléculas que podem ser individualizadas, mas no conjunto formam uma substância fluídica.
Então, vamos utilizar essa aproximação e tratar de conjuntos contínuos de cargas elétricas,
nos quais não mais individualizaremos as cargas elétricas de partículas, mas de corpos
elétricos carregados por cargas elétricas distribuídas formando um continuum de cargas, isto é,
distribuições contínuas de cargas elétricas e suas densidades de cargas, que já vamos definir.
Para distribuições de cargas elétricas discretas, definimos o campo eletrostático, por meio da
Lei de Coulomb e do princípio de superposição, em que o campo resultante, medido em certo
ponto P, é o somatório dos campos de cada carga fonte individualizada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas se as cargas elétricas formarem um continuum de cargas, precisaremos alterar nossa
definição de campo elétrico, na qual substituiremos o somatório, que indica a discretização
das cargas e posições destas, por uma integral, que indica um continuum de elementos de
carga e funções contínuas de posição.
DISCRETIZAÇÃO
Ato ou efeito de discretizar ou de transformar uma distribuição contínua em unidades
individuais.
→
E (r)≡ ∑ni=1 r̂ i
1
4π∈0
qi
r2i
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os elementos de carga elétrica, dq, são usualmente definidos em termos de densidades de
cargas elétricas. Na equação acima, r indica a distância de cada elemento de carga dq ao
ponto de medida do campo, e é o vetor unitário direcional de cada elemento de carga ao
mesmo ponto de medida do campo, não sendo, portanto, um vetor unitário constante, e assim
devem ser considerados na integração.
DEMONSTRAÇÃO
Para demonstrar como se processa o cálculo do campo eletrostático para distribuições
contínuas de cargas elétricas, precisamos demonstrar como definir o que são densidades de
cargas elétricas e seu campo elétrico associado.
DENSIDADES DE CARGAS ELÉTRICAS
Os materiais elétricos, ou eletrizáveis, podem conter cargas elétricas distribuídas de três
formas distintas: linearmente, superficialmente ou volumetricamente. Essencialmente, será
a relação da carga do material, em uma região delimitada do espaço com simetria linear,
superficial ou volumétrica, com sua geometria.
I - DENSIDADE LINEAR DE CARGAS Λ :
II - DENSIDADE SUPERFICIAL DE CARGAS Σ:
III - DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE CARGAS
Ρ:
→
E (r)= ∫ r̂dq1
4π∈0
1
r2
r̂
dq = λ dl  →  λ =  
dq
dl
dq = σ dA  →  σ =  
dq
dA
dq = ρ dV →  ρ =  
dq
dV
Em que dl é o elemento de comprimento ao longo de uma linha, dA é o elemento de área de
uma superfície e dV é o elemento de volume.
Assim, sempre que tivermos um material carregado num continuum de cargas, para cada
simetria de um problema e sua densidade de cargas, teremos uma configuração do campo
eletrostático. Devemos atentar para o fato de que as cargas são estáticas e conservadas, ou
seja, dizemos que a totalidade das cargas elétricas com que lidamos na Eletrostática é
estacionária.
CAMPO ELETROSTÁTICO PARA
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS
ELÉTRICAS (LEI DE COULOMB)
A) PARA DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS:
B) PARA DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE
CARGAS:
C) PARA DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE
→
E (r)
→
E (r)
→
E (r)
CARGAS:
Ainda vamos definir os conceitos de materiais condutores.
 COMENTÁRIO
Os materiais carregados podem possuir diferentes densidades de cargas em suas geometrias,
definidas por regiões de carga, mas para este tema, vamos aplicar a problemas com
densidades de cargas constantes ou de funções simples.
Em quaisquer das situações de simetrias e geometrias, é usualmente conveniente trabalhar
com elementos de campo elétrico e, ao final, integrá-los para o campo resultante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
→
E (r)  = ∫ d
→
E
Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito a esse
problema. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e superficialmente
carregada com uma densidade superficial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de
Coulomb, o seu campo elétrico interno à casca, com 
RESOLUÇÃO
Já fizemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à casca
esférica. Todos os passos são idênticos, até antes da integração final. Retomemos aquele
resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P dentro da casca e alterar os limites de
integração em S para esses pontos internos à casca, de 
Etapa 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Etapa 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Etapa 3
r < R.
(R − r)  a (R + r).
dEr(p)= [1 + ]dSkσπRr2
r2−R2
S2
Er(p) = ∫ dEr
Er(p)= [S − ]
(R+r)
(R−r)
kσπR
r2
(r2−R2)
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Etapa 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente carregada é nulo.
Esse fenômeno de blindagem eletrostática, muito utilizado tecnologicamente, tem o nome de
Gaiola de Faraday. Perturbações elétricas externas à casca fechada não afetam o campo
elétrico interno à casca, que continua nulo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a Lei de Gauss do campo elétrico
Er(p)= [(R + r)−(R − r)− + ]kσπRr2
( r2−R2 )
(R+r )
( r2−R2 )
(R−r )
Er(p)= [2r − r + R − r − R]= 0
kσπR
r2
→
E (p)= 0
INTRODUÇÃO
Sabemos que cargas elétricas, numa distribuição discreta ou contínua, são fonte de campo
elétrico mediador da interação elétrica. Também sabemos que os campos elétricos podem ser
representadospor linhas de força que “nascem ou morrem” em cargas. Usamos uma
convenção na qual cargas positivas originam linhas de campo repulsivo e cargas negativas
recebem linhas de campo atrativo:
Para cada distribuição de cargas elétricas, teremos uma estrutura de campo elétrico diferente.
Cargas puntuais geram uma estrutura de campo elétrico divergente, como nas figuras
anteriores. Para outras distribuições de cargas, teremos outras estruturas de campo elétrico.
Quanto maior a carga, mais linhas de campo teremos, (N ~ q).
O campo elétrico de cargas puntuais e sua força elétrica se comportam radialmente como ~
1/r2, descrito pela Lei de Coulomb. A magnitude do campo (seu módulo) é proporcional à
densidade de linhas, que é o número de linhas de campo por área perpendicular atravessada
pelas linhas, .
Quanto maior essa densidade, onde as linhas são mais próximas, mais intenso o campo.
Quanto menor a densidade de linhas, menos intenso o campo. À medida que nos afastamos
das cargas puntuais, as linhas de campo se distanciam, umas das outras, diminuindo sua
(δ ~  ~  ~ ∣∣
∣
→
E
∣
∣
∣
).N
A
q
4πr2
densidade com o mesmo comportamento coulombiano do campo, e na proporção inversa do
crescimento da área esferossimétrica ocupada por essas linhas.
Então, vamos enumerar o que sabemos sobre linhas de campo elétrico:
O número de linhas de campo elétrico é proporcional à carga elétrica, (N ~ q).
As linhas de campo elétrico de cargas puntuais isoladas são radialmente
simétricas, a cada raio esférico ocupando áreas descritas por A=4πr 2.
As linhas de campo são emitidas ou absorvidas por cargas elétricas.
A densidade de linhas é proporcional à magnitude do campo,
.
Duas ou mais linhas não se interceptam, o que indicaria que uma mesma linha teria
mais de uma fonte.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, determinado número de linhas de campo elétrico, em uma distância radial esférica,
atravessará certa calota de área na superfície esférica de mesmo raio, em um ângulo sólido. O
mesmo número de linhas de campo, em outro raio esférico maior, atravessará uma calota da
superfície esférica, com o mesmo ângulo sólido, de área proporcional ao quadrado do novo
raio. Isso significa que, para termos o mesmo número de linhas, em raios diferentes, cuja
magnitude do campo cai com o quadrado do raio, será preciso aumentar a área de ocupação
dessas linhas com o quadrado do novo raio. O comportamento do campo , será anulado
pelo crescimento da área , para termos o mesmo número de linhas de campo elétrico
em raios diferentes, como na figura.
(δ ~  ~  ~ ∣∣
∣
→
E
∣∣
∣
)N
A
q
4πr2
(~ )1
r2
(~ r2)
FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO
Vamos qualificar e quantificar as linhas de campo elétrico em termos matemáticos com
significação fenomenológica. Para isso, vamos definir a grandeza fluxo de campo elétrico, ,
como proporcional ao número de linhas de campo, que é proporcional à carga elétrica. Assim,
o fluxo de campo será:
Mas,

Φ
N ~ 
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
 A
Pois, como explicado anteriormente sobre as linhas de campo,

Então, 
O fluxo de campo é entendido como o número de linhas de campo elétrico que atravessam
a superfície de área A.
Essa definição de fluxo de campo elétrico funciona bem para o caso de campos elétricos, ,
que atravessam perpendicularmente uma área, A, como na figura a), a seguir.

δ ~  ~  ~ 
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
N
A
q
4πr2
Φ =
∣
∣
∣
→
E
∣
∣
∣
A ≈ q
→
E
Repare que essa primeira definição de Fluxo de Campo, não satisfaz a situação da figura b),
anterior, do fluxo através de uma superfície curva, em que para cada elemento de área, dA,
descrito sobre a superfície em cada ponto, tem-se um vetor unitário normal diferente, . Assim,
devemos redefinir o fluxo de campo como a integral dos elementos de fluxo de campo, ,
definidos sobre cada elemento de área, dA, com seu vetor unitário normal, , por meio do
produto escalar com o campo . Contribuirá ao fluxo, a componente de área ( dA) projetada
na direção do campo .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluxo de campo elétrico através de qualquer superfície aberta é igual ao número de
linhas de campo que atravessam essa superfície, podemos definir o fluxo total que será igual
ao número líquido de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície fechada, isto é, o
número de linhas que saem subtraído do número de linhas que entram na superfície fechada.
n̂
dΦ
n̂
→
E n̂
→
E
dΦ =  
→
E . n̂ dA
Φ = ∫ dΦ = ∫
→
E . n̂ dA
javascript:void(0)
SUPERFÍCIE FECHADA
Superfície fechada é aquela que envolve completa e tridimensionalmente as cargas fonte do
campo.
O fluxo total será a soma “líquida” do fluxo positivo, com campo orientado para fora da
superfície fechada, subtraído do fluxo negativo, com campo orientado para dentro da
superfície fechada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que c, define a superfície matemática sobre a qual a integral deve ser calculada, chamada
de superfície gaussiana e é o vetor normal a cada ponto dessa gaussiana.
Mas para que serve essa construção do fluxo de campo elétrico total? A resposta é a Lei de
Gauss e a sua aplicação imediata é o cálculo do campo elétrico.
DEMONSTRAÇÃO
Aplicação: Uma carga elétrica puntual, q, fonte do campo elétrico descrito pela Lei de Coulomb,
, está na origem de um sistema coordenado. Calcule o fluxo de campo elétrico
total sobre uma superfície matemática esférica fechada de raio R, centrada na mesma origem.
Considere a medida de integração de superfície, dA, em coordenadas esféricas
.
Resposta 1:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
→
E
→
E
Φtotal =
 
∮
c
dΦ =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA
n̂
→
E =    r̂1
4πϵ0
q
r2
(r, θ,ϕ) : dA =  r2sen θ dθ dϕ
ETAPA 3
Nesta primeira solução, mais simples, vamos considerar que, como o fluxo será calculado ao
longo da superfície gaussiana esférica de raio R, seu campo elétrico terá módulo constante,
com r=R, o vetor unitário normal à superfície esférica será , e o campo
.
Então, como , pois o vetor unitário tem a mesma direção e sentido de , e o raio da
superfície esférica de cálculo (gaussiana), sobre a qual se está calculando o fluxo, é constante,
, temos:
Este é o resultado da Lei de Gauss. O fluxo de campo elétrico total ,
independente do raio r. O número de linhas de campo elétrico será o mesmo para qualquer raio
esférico. Na verdade, apesar de não ter sido demonstrado, o fluxo total é o mesmo qualquer
que seja a superfície fechada que envolva a carga q, não se limitando à esfera.
Resposta 2:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
Nesta segunda solução, vamos calcular a integral do fluxo total com medida de integração de
superfície, em coordenadas esféricas, , para qualquer raio da superfície
esférica de integração.
n̂  =  r̂
→
E =    r̂14πϵ0
q
R2
(r̂. n̂)= 1 n̂ r̂
r = R
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =  
 
∮
c
 (r̂. n̂) dA1
4πϵ0
q
R2
Φtotal =  
 
∮
c
 dA =
 
∮
c
 dA
1
4πϵ0
q
R2
1
4πϵ0
q
R2
Φtotal =  4πR
2 = =  4π k q1
4πϵ0
q
R2
q
ϵ0
Φtotal = =  4π k q
q
ϵ0
dA =  r2sen θ dθ dϕ
Em que
Logo,
Assim, definimos a Lei de Gauss:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que qint. é a carga elétrica total interna à superfície gaussiana c, de integração.
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA =  
 
∮
c
 (r̂. r̂) dA14πϵ0
q
r2
Φtotal =  
 
∮
c
 r2sen θ dθ dϕ1
4πϵ0
q
r2
Φtotal = q  ∫
π
0
sen θ dθ  ∫ 2π
0
dϕ14πϵ0
(0 < θ < π);  (0 < ϕ < 2π);      ∫ π
0
sen θ dθ = [− cos(π)+ cos(0)] = 2;   ∫ 2π
0
dϕ = 2π 
Φtotal = q 4π =   = 4π k q
1
4πϵ0
q
ϵ0
Φtotal =  
 
∮
c
→
E . n̂ dA = = 4π k qint.
qint.
ϵ0
javascript:void(0)
SUPERFÍCIE GAUSSIANA C
Atenção: A superfície gaussiana é uma superfície matemática de integração, ao longo da qual
realizamos a integral. Sua função é fornecer o suporte para o cálculo da integral.
A Lei de Gaussé uma das leis fundamentais da Eletrodinâmica Clássica, será sempre válida
quando houver campo elétrico, mas, para o propósito de cálculo do campo elétrico, somente
será útil quando tivermos elevado grau de simetria no problema, para a escolha da superfície
gaussiana, de forma que o módulo do campo seja constante ao longo dessa superfície de
integração.
De outra forma, se um sistema físico não tiver as simetrias esférica, cilíndrica ou plana, será
mais simples a utilização da Lei de Coulomb e seus métodos quando o propósito for o cálculo
do campo. Esse resultado da Lei de Gauss, no qual o fluxo de campo total só depende da fonte
do campo, só foi possível devido ao comportamento da Lei de Coulomb, com 1/r2.
Assim, também por similaridade de comportamento 1/r2, podemos escrever uma Lei de Gauss
para a Gravitação Universal de Newton, em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo mint. a massa interna à superfície gaussiana c.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Φtotal =  
 
∮
c
→
g . n̂ dA = −4π G mint. sendo mint. 
Aplicação: Um condutor ideal maciço tem uma cavidade oca em seu interior, como uma bolha.
Uma pequena carga elétrica q foi suspensa, por um fio não condutor, no interior dessa
cavidade oca, sem que a carga toque as paredes da cavidade. Pergunta-se: Qual a carga
elétrica induzida na superfície interna das paredes da cavidade?
RESOLUÇÃO
CAMPO DE INDUÇÃO ELETROSTÁTICO
A superfície C que envolve a cavidade é a superfície gaussiana. Como no interior de um
condutor ideal o campo elétrico deve ser nulo, o fluxo total de campo sobre C será zero e a
carga total interna a C deve ser zero. Se há uma carga q, no interior da cavidade,
necessariamente haverá uma densidade de cargas induzidas eletrostaticamente nas paredes
internas da cavidade. Esse é o mecanismo da eletrização por indução eletrostática. Assim, a
carga induzida será:
.
ϕtot = ∮
c
→
E ⋅ n̂dA = 4πk qintc
Q = q + q ′ = 0 → q ′ = −q
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular o potencial elétrico de cargas contínuas
INTRODUÇÃO
Sabemos, do tema anterior, que a diferença de potencial elétrico é definida como:
  Δ V =  Vb − Va =   − ∫
b
a
→
E .  d
→
l
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que, no caso eletrostático, o trabalho mecânico numa trajetória fechada será nulo, o que
equivale à integral acima ser zero quando a = b.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso é válido para campos conservativos, como os campos eletrostáticos. Em termos do
potencial elétrico, a diferença de potencial entre um ponto e ele mesmo, numa trajetória
fechada, será zero.
∮
→
E .  d
→
l = 0
Então, relembrando a definição conceitual do potencial elétrico, em sua forma integral, temos:
Potencial elétrico é o trabalho por unidade de carga, necessário para deslocar uma carga de
prova positiva, à velocidade constante, de um ponto de referência inicial a ao ponto final r,
definido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a um ponto de referência espacial onde V(a)=0. O potencial será positivo ou negativo a
depender da distribuição de cargas fonte do campo.
Também podemos relembrar a definição equivalente na forma diferencial do potencial
elétrico, que é muito útil quando temos a função potencial e desejamos calcular o campo
elétrico. O campo elétrico como o gradiente da função potencial.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
V (r)=   − ∫ r
a
→
E .  d
→
l
→
E =   −
→
∇  V (r)
Como o que nos interessa na grandeza potencial elétrico é uma diferença a partir de uma
referência de medida de zero potencial, V(a)=0, a cada problema deveremos identificar, ou
convencionar, a referência de potencial zero, já que vamos lidar com distribuições contínuas de
cargas elétricas. Nessas configurações contínuas de cargas, nem sempre a distância infinita
será consistente com um potencial nulo de referência, como é suficiente para distribuições
discretas de cargas.
Nossa tarefa, agora, será demonstrar como aplicar o conceito e as definições de potencial
elétrico para distribuições contínuas de cargas elétricas.
DEMONSTRAÇÃO
Quando lidamos, no tema anterior, com configurações discretas de cargas elétricas, vimos que
o cálculo do potencial elétrico poderia ser realizado por meio da definição do potencial, nas
formas integral ou diferencial, revisitado nas duas equações anteriores, e demonstramos que
poderíamos usar o princípio de superposição dos potenciais de cargas individuais para
descrever o potencial de uma distribuição discreta de cargas elétricas, pela soma dos
potenciais de cargas individualizadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com N cargas qi e distâncias ri de cada carga fonte ao ponto de medida p. Assim, o potencial
elétrico total de uma distribuição discreta de cargas elétricas será a superposição dos
potenciais individuais de cada fonte qi (princípio de superposição).
No entanto, para distribuições contínuas de cargas elétricas, devemos identificar se a
configuração de cargas é finita ou infinita.
Se for uma distribuição contínua e finita de cargas elétricas, pois o número de cargas é finito,
como nos problemas da esfera, do anel e do disco, visto do módulo anterior, o potencial elétrico
poderá ser definido e calculado por uma generalização da superposição de potenciais
individuais, da equação anterior.
V (p)= V1 +  V2 + V3 + …VN =  ∑
N
i=1 k
 qi
ri
Assim, o potencial elétrico para configurações contínuas e finitas de cargas elétricas é:
Que é a integral de todas as contribuições de potenciais dos elementos dq, no intervalo a ser
considerado.
Se a distribuição de cargas elétricas for contínua e infinita, como nos casos da reta infinita, do
plano infinito e do cilindro infinito, o potencial elétrico para distribuições contínuas e infinitas de
cargas elétricas segue a definição formal de cálculo dos potenciais elétricos, que, aliás, aplica-
se em qualquer situação de configurações de cargas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a depender da configuração das cargas fonte do campo , se discretas ou contínuas,
e se forem contínuas, se finitas ou infinitas, teremos os seguintes métodos de cálculo do
potencial elétrico:
Agora, vamos à prática!
MÃO NA MASSA
V (p)=   ∫  k dqr
V (r)=   − ∫ r
a
→
E .  d
→
l   ou  
→
E =   −
→
∇  V (r)
→
E
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma esfera, de raio R e carga total Q, geradora de um potencial elétrico
esfericamente simétrico. A cada distância radial esférica, podemos traçar uma superfície
esférica, de raio r, onde o potencial elétrico será o mesmo ao longo de toda essa superfície.
Para cada outra superfície equivalente, de outro raio, centrada na origem, teremos uma
superfície de potencial constante. Pergunta-se: Como é possível ter superfícies de mesmo
potencial elétrico e qual a sua utilidade?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 1
ETAPA 2
ETAPA 3
As superfícies de mesmo potencial elétrico, chamam-se superfícies equipotenciais. São
aquelas nas quais uma carga de prova pode mover-se livremente sem alteração de seu
potencial elétrico.
No caso esférico, o potencial será , e para cada raio esférico, teremos uma
superfície equipotencial naquele raio, As linhas de campo elétrico serão
perpendiculares às superfícies equipotenciais.
Como cargas elétricas somente são aceleradas na presença de diferenças de potencial
elétrico, em superfícies equipotenciais isso não ocorre. E assim, nenhum pássaro morre
quando pousa em uma única linha de tensão elétrica, por exemplo.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Calcular a capacitância
CAPACITÂNCIA
Chamamos de capacitância a habilidade de acumulação de cargas elétricas e energia elétrica
por componentes elétricos ou sistemas elétricos, diante de diferençasde potencial elétrico.
É um fenômeno natural, que pode ser identificado na natureza, entre as nuvens e o solo, em
materiais que acumularam cargas estáticas e sua vizinhança física, em sistemas elétricos e
eletrônicos, sendo macroscópicos ou microscópicos (em eletrônica em grande escala de
integração). Em termos práticos, nosso interesse está na possibilidade de utilização
tecnológica dessa energia armazenada.
V (r)=
k Q
r
VA,VB,VC, … .
→
E
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitância
Certamente, ao ler estas linhas, seu equipamento computador, ou mídia eletrônica, possui
alguns bilhões de capacitores em seus circuitos integrados microscopicamente. Atualmente,
convivemos com acumuladores elétricos de energia a todo instante: baterias, pilhas,
capacitores etc. Essencialmente, todos têm a capacidade de acumular energia em forma
elétrica.
 COMENTÁRIO
A simples habilidade dos materiais de acumular cargas elétricas pode transformar esse sistema
em um rudimentar capacitor, e essa habilidade pode ser mensurada por sua capacitância.
Vamos nos limitar aqui aos componentes acumuladores de energia que costumamos chamar
de capacitores. A ideia essencial de um capacitor é de um componente elétrico, ou eletrônico,
composto por duas paredes condutoras separadas mecanicamente por um material dielétrico,
um não condutor ideal. Vamos deixar o aprofundamento sobre os dielétricos para o Explore+.
Por ora, vamos pensar no desenho básico de um capacitor: duas placas condutoras, dispostas
paralelamente, bem próximas, mas separadas por uma distância d. Esses componentes são
essenciais à eletrônica e à elétrica em geral. Certamente, você já ouviu falar da necessidade
de correção de instalações elétricas, em indústrias, com o ajuste necessário de um banco de
capacitores. Bem, isso também ficará para mais tarde. O importante é compreender que o
fenômeno da capacitância é parte da nossa experiência natural e tecnológica.
 Figura: Esquema Simples de um Capacitor
Vamos definir capacitância como a constante de proporcionalidade, de unidade S.I. Faraday
(F), entre as cargas elétricas acumuladas nas paredes de um capacitor e a diferença de
potencial elétrico necessária para produzir esse acúmulo:
 Figura: Imagem Ilustrativa para Capacitores
C =
Q
| ΔV |
Se um capacitor, em um circuito elétrico, for alimentado com uma diferença de potencial
elétrico ∆V, por uma fonte de tensão elétrica e, consequentemente, acumular cargas elétricas,
Q, em suas paredes, de tal maneira a estabelecer a mesma diferença de potencial na região
entre essas paredes, o acúmulo de cargas cessará e o capacitor estará carregado
eletricamente.
DEMONSTRAÇÃO
Os capacitores podem ser conectados em arranjos de capacitores em série e em paralelo.
Sempre que conectarmos capacitores, em combinações em série e em paralelo, o resultado
será o de uma capacitância equivalente. Se precisarmos, como exemplo, de um capacitor de
determinado valor de capacitância, podemos combinar outros capacitores de forma a obter a
capacitância equivalente desejada.
 ATENÇÃO
Não confunda capacitores (componentes) com capacitância (fenômeno)!
ARRANJO EM PARALELO
Vamos considerar a combinação de N capacitores em paralelo, como na figura. Perceba que a
carga total acumulada no sistema de capacitores será a soma das cargas de cada capacitor Ci,
em que . Ou seja, .i = 1, 2, 3, … , N Qtotal =  ∑
N
i=1 Qi
Nesse arranjo, em paralelo, cada capacitor será alimentado com a mesma diferença de
potencial ∆V. Então, a capacitância equivalente Ceqem paralelo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO EM SÉRIE
Vamos considerar, agora, a combinação de N capacitores em série, como na figura. A diferença
de potencial ∆V será a soma dos potenciais que alimentam cada capacitor 
Qtotal = Q1 + Q2 + ⋯ + QN
ΔV ⋅ Ceq = ΔV(C1 + C2 + ⋯ + CN)
Ceq = ∑
N
i=1 Ci
ΔV =  ∑Ni=1 Vi.
Nesse caso, como cada capacitor acumulará a mesma carga elétrica, Q, em suas paredes,
pois estão em série, a capacitância equivalente em série será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos à prática!
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
ΔV = V1 + V2 + ⋯ + VN
= + + ⋯ +
= ∑Ni=1
Q
Ceq
Q
C1
Q
C2
Q
CN
1
Ceq
1
Ci
Vamos pensar no processo de carga de um capacitor, cuja capacitância é definida linearmente
pela definição padrão, . Consideremos que esse capacitor seja alimentado com uma
diferença de potencial entre suas paredes. Suponha, ainda, que possa acumular uma carga
total Q, sendo (+ Q) numa parede e (–Q) na outra. Vamos definir o potencial zero na parede
negativa e o potencial na parede positiva. Pergunta-se: Qual a é energia potencial elétrica,
total, acumulada nesse capacitor?
RESOLUÇÃO
 Escolha uma das Etapas a seguir.
ETAPA 01
A energia potencial elétrica é o potencial elétrico multiplicado pela carga de prova. Mas o
capacitor em carga, não apresenta o potencial elétrico V0 desde o início do processo de carga.
O capacitor, na verdade, vai se carregando desde o potencial zero até o potencial V0. As
cargas elétricas vão se acumulando desde a carga zero, até a carga total Q. Assim, devemos
integrar a energia potencial desde a carga zero até a carga máxima Q.
ETAPA 02
ETAPA 03
C =
Q
|ΔV |
V0
V0
C =
Q
|ΔV |
ΔV = V0
V =
q
C
dU = V dq
ΔU = ∫ Q
0
V dq
ΔU = ∫ Q
0
dq
q
C
ΔU = = CV 20
1
2
Q2
C
1
2
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A compreensão da teoria eletromagnética e seus fenômenos pressupõe a continuação dos
estudos dos conceitos e fenômenos da Eletrostática, para distribuições contínuas de cargas
elétricas e suas relações, como parte fundamental do que compreendemos hoje como a Teoria
Eletrodinâmica Clássica.
Esses conceitos são a base de toda a nossa tecnologia e experiência contemporânea. Neste
tema, você estudou os fenômenos, conceitos e definições de distribuições contínuas de cargas,
seus campos, potenciais elétricos, o importantíssimo conceito de fluxo de campo, Lei de Gauss
e aplicações à capacitância. Não deixe de experimentar as indicações complementares no
Explore +.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BARROS, L. M. Física Teórica Experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 
GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 10.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 3.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo:
Blucher, 2018.
TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2015. v. 3.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia: Capacitância e Dielétricos
URL: http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap4.pdf
Experimente: Simulador de Hockey Elétrico
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/electric-hockey
Experimente: Simulador John-travoltage
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/john-travoltage
Experimente: Simulador de Capacitores
URL: https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/capacitor-lab
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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