Aula-09_Resistência dos Materiais Avançado

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AULA 09
Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-a
entre dois pontos bem próximos, uma cinco
centímetros do outro.
Você está simulando uma estrutura em compressão
simples.
Agora, pressione dois pontos distantes 15 cm um
do outro. Algo começa a aparecer nessa nova
posição, é visivelmente mais fácil criar condições
para a barra começar a encurvar.
A barra está começando a sofrer o fenômeno da
flambagem. Faça agora com pontos distantes a
30cm.
Force a régua até a ruptura. A régua se quebra,
pois o plástico é um material frágil.
 Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante.
 Você notará que a lata, sem se quebrar, amassa.
 Não quebrou porque, ao contrário do plástico que é frágil, o alumínio é dúctil e se
deforma bastante antes de perder sua unidade.
 Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que é reduzido
sensivelmente se a altura for pequena.
Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendência a flambar.
Quanto mais flexível for o material (menor E), mais fácil é a ocorrência da flambagem.
 Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de uma quantificação do
limite que se pode colocar uma peça comprimida, para que ela não flambe.
 CONCLUSÃO
 Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a uma
força de compressão axial são denominados colunas.
 Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente reta antes da
carga. A carga é aplicada no centroide da seção transversal.
 A deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem.
 A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando
está na iminência de sofrer flambagem é denominada carga
crítica, Pcr.
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝒏𝒏𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝟐𝟐
n ⇒ número de deflexões;
E ⇒ módulo de elasticidade;
 I ⇒ momento de inércia;
L ⇒ comprimento da barra.
Configuração deformada das colunas para diferentes valores de n e suas
respectivas equações de flambagem.
A. Coluna biarticulada;
B. Flambagem para n = 1;
C. Flambagem para n = 2;
D. Flambagem para n = 3.
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝒏𝒏𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝟐𝟐
 n ⇒ número de deflexões;
 E ⇒ módulo de elasticidade;
 I ⇒ momento de inércia;
 L ⇒ comprimento da barra.
𝝈𝝈 = 𝑬𝑬 � 𝜺𝜺 𝑬𝑬 ⇒ módulo de elasticidade;
𝜺𝜺 ⇒ deformação normal específica.
 Determine as cargas críticas para cada caso a seguir, considerando
que a área transversal seja quadrada de aresta 0,2m, do módulo de
elasticidade de 200GPa e o comprimento da barra ser de 1,2 m.
𝐼𝐼 =
𝑏𝑏 � ℎ3
12 =
0,2 � 0,23
12
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝒏𝒏𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝟐𝟐
Calculando o momento de inércia
=
0,24
12
𝐼𝐼 = 1,33 � 10−4 𝑚𝑚4
Carga crítica para a letra (b)
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟏𝟏𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 � 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 � 𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟒𝟒
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟖𝟖 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟓𝟓𝑵𝑵
Carga crítica para a letra (c)
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 � 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 � 𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟒𝟒
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟓𝟓𝑵𝑵
Carga crítica para a letra (d)
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟑𝟑𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 � 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 � 𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟒𝟒
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟖𝟖 � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟓𝟓𝑵𝑵
 Se a coluna não tiver nenhum suporte lateral, ela sempre flambará em torno do
eixo principal na seção transversal com o menor momento de inércia.
 Na figura são exibidas diferentes seções transversais de colunas.
 Em (a), (b) e (c) o momento de inércia 𝑰𝑰𝒂𝒂 é maior que 𝑰𝑰𝒃𝒃, fazendo com que a
coluna flambe no plano a – a e o momento de inércia 𝑰𝑰𝒃𝒃 deve ser usado para o
calculo da carga crítica.
 Em (d) e (e) o momento de inércia em ambas as direções é o mesmo, e a coluna
poderá flambar em qualquer direção.
a) Seção retangular vazada;
b) Seção retangular;
c) Perfil I;
d) Seção quadrada;
e) Seção circular vazada.
 Comprimento de curva efetivo de uma coluna engastada na base em função de
uma coluna biarticulada
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝒏𝒏𝟐𝟐 � 𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝐿𝐿𝑒𝑒 ⇒ comprimento efetivo
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝒆𝒆𝟐𝟐
 Caso consiga identificar o comprimento efetivo de uma coluna,
independentemente de sua complexidade, pode-se utilizar a seguinte equação,
para descobrir sua carga crítica:
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑳𝑳𝒆𝒆𝟐𝟐
 Com o conhecimento do calculo da carga crítica em diferentes vinculações, pode-se
encontrar a tensão crítica correspondente.
 Unicamente dividindo a carga crítica pela área da secção transversal.
 A tensão crítica é a tensão a qual a secção transversal está submetida no momento da
carga crítica.
𝝈𝝈𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄
𝑨𝑨
=
𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬 � 𝑰𝑰
𝑨𝑨 � 𝑳𝑳𝒆𝒆𝟐𝟐
 Essa equação pode ser reescrita utilizando o
conceito de raio de giração de uma coluna:
𝒄𝒄 =
𝑰𝑰
𝑨𝑨
 Assim essa equação torna-se:
𝝈𝝈𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝝅𝝅𝟐𝟐 � 𝑬𝑬
𝑳𝑳𝒆𝒆
𝒄𝒄
𝟐𝟐
 O termo ⁄𝑳𝑳 𝒄𝒄 é chamado de índice de
esbeltez e depende exclusivamente das
dimensões da coluna:
 Uma coluna curta e larga terá um índice
de esbeltez baixo e sofrerá flambagem
com uma alta tensão crítica.
 Já uma coluna alta e esbelta terá um
índice de esbeltez alto e sofrerá
flambagem com uma baixa tensão crítica.
𝝀𝝀 =
𝑳𝑳
𝒄𝒄
Portanto, o índice de esbeltez mede a flexibilidade da coluna e
pode ser usado para classificar uma coluna como longa,
intermediária ou curta.
Gráfico da curva de Euler para um aço estrutural.
Três barras de aço:
 Mesmo módulo de elasticidade;
 Mesmo tipo de vinculação;
 Mesmo comprimento efetivo;
 Mesma área de secção transversal.
 Defina, do maior
para o menor, qual
seção transversal
terá maior carga
crítica?
 Compare as cargas críticas para cada seção transversal.
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐∎ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐△ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐⨀ =
𝜋𝜋2�𝐸𝐸�𝐼𝐼∎
𝐿𝐿𝑒𝑒2
∶ 𝜋𝜋
2�𝐸𝐸�𝐼𝐼△
𝐿𝐿𝑒𝑒2
∶ 𝜋𝜋
2�𝐸𝐸�𝐼𝐼⨀
𝐿𝐿𝑒𝑒2
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐∎ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐△ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐⨀ = 𝐼𝐼∎ ∶ 𝐼𝐼△ ∶ 𝐼𝐼⨀
 Portanto, temos que comparar os
momentos de inércia dessas seções:
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐∎ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐△ ∶ 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐⨀ =
𝑏𝑏4
12
∶ 𝑙𝑙
4
96
∶ 𝜋𝜋𝑑𝑑
2
64
 Sabendo que as áreas são iguais,
podemos:
𝐴𝐴∎ ∶ 𝐴𝐴△ ∶ 𝐴𝐴⨀ ⇒ 𝑏𝑏2 =
𝑙𝑙2 � 3
4
=
𝜋𝜋 � 𝑑𝑑2
4
 Como o módulo de elasticidade, o
comprimento efetivo e a área são as
mesma para todas as seções, a equação
da carga crítica pode ser resumida:
 Agora vamos escrever os momentos de
inércia em função das áreas:
𝐼𝐼∎ = 𝑏𝑏2 𝑏𝑏2
1
12
𝐼𝐼△ = 𝑙𝑙
2� 3
4
𝑙𝑙2� 3
4
3
18
𝐼𝐼⨀ =
𝜋𝜋 � 𝑑𝑑2
4
𝜋𝜋 � 𝑑𝑑2
4
1
4𝜋𝜋
𝐼𝐼∎ ∶ 𝐼𝐼△ ∶ 𝐼𝐼⨀ =
𝐴𝐴∎2
12
∶
𝐴𝐴△2 3
18
∶
𝐴𝐴⊙2
4𝜋𝜋
 Como as áreas são iguais:
𝐼𝐼∎ ∶ 𝐼𝐼△ ∶ 𝐼𝐼⨀ =
1
12
∶
3
18
∶
1
4𝜋𝜋
𝐼𝐼∎ ∶ 𝐼𝐼△ ∶ 𝐼𝐼⨀ = 0,083 ∶ 0,096 ∶ 0,079
Três barras de aço:
 Mesmo módulo de elasticidade;
 Mesmo tipo de vinculação;
 Mesmo comprimento efetivo;
 Mesma área de secção transversal.
 Defina, do maior para o
menor, qual seção
transversal terá maior
carga crítica?
 Conclui-se que, o triângulo
terá a maior carga crítica,
seguido pelo quadrado e
pelo círculo.
Uma coluna com perfil W150x13, com
propriedades geométricas na figura (seção
transversal) é utilizada para suportar uma
coberta.
O comprimento das coluna é 2m e o modulo
de elasticidade do aço é E=200 GPa.
 Quais são respectivamente , as cargas
críticas para a coluna caso ela tenha as
seguintes vinculações:
a) Bi-engastada;
b) Engastada/articulada;
c) Biarticulada;
d) Engastada/apoiada.
 Inicialmente, calcule a carga crítica em função do comprimento efetivo:
 Para a situação bi-engastada, 𝐿𝐿𝑒𝑒 = 0,5𝐿𝐿
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝜋𝜋2 � 𝐸𝐸 � 𝐼𝐼
𝐿𝐿𝑒𝑒2
=
𝜋𝜋2 � 200 � 109 � 82 � 10−8
𝐿𝐿𝑒𝑒2
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1618615,122
𝐿𝐿𝑒𝑒2
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1618615,122
0,5 � 2 2
= 1618,62𝑘𝑘 𝑁𝑁
 Para a situação engastada/articulada, 𝐿𝐿𝑒𝑒 =0,7𝐿𝐿
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1618615,122
0,7 � 2 2
= 825,82𝑘𝑘 𝑁𝑁
 Para a situação bi-articulada, 𝐿𝐿𝑒𝑒 = 𝐿𝐿
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1618615,122
2 2
= 404,65𝑘𝑘 𝑁𝑁
 Para a situação engastada/articulada, 𝐿𝐿𝑒𝑒 = 2𝐿𝐿
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1618615,122
2 � 2 2
= 101,16𝑘𝑘 𝑁𝑁
82 � 10−2 𝑚𝑚 4
82 � 10−8𝑚𝑚4
 Conclui-se que, a sequência de cargas
críticas para as situações indicadas é:
1. Bi-engastada (1618,62k N)
2. Engastada/articulada (825,82k N)
3. Bi-articulada (404,65k N)
4. Engastada/apoiada (101,16k N)
 Uma coluna com perfil W150x13, com propriedades geométricas
na figura (seção transversal) é utilizada para suportar uma coberta.
 O comprimento das coluna é 2m e o modulo de elasticidade do
aço é E=200 GPa.
 Quais são respectivamente , as cargas críticas para a coluna caso
ela tenha as seguintes vinculações:
a) Bi-engastada;
b) Engastada/articulada;
c) Bi-articulada;
d) Engastada/apoiada.
Para uma coluna de madeira sofra flambagem elástica, ou seja, passível de
usar a equação de Euler, seu índice de esbeltez deve ser maior que 100.
Suponha que essa coluna seja quadrada, bi-articulada com 4 metros de
comprimento e modulo de elasticidade de 15000 Mpa.
 Qual a dimensão máxima do lado que esta coluna
pode ter para que ela sofra flambagem elástica e
com esta dimensão, qual é sua tensão crítica?
 Inicialmente, calcule quais dimensões desta seção para
que a esbeltez da coluna seja maior que 100.
𝜆𝜆 =
𝐿𝐿
𝑟𝑟 100 >
4
𝑟𝑟
 Aplicando a equação do raio de giração:
𝑟𝑟 =
𝐼𝐼
𝐴𝐴
 Agora, calcule a tensão crítica
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝜋𝜋2 � 𝐸𝐸
�𝐿𝐿 𝑟𝑟
2
 Portanto, para que a condição de índice de esbeltez maior que 100 seja
garantida, a dimensão do lado da coluna deve ser 𝑏𝑏 < 13,85 𝑐𝑐𝑚𝑚;
 E a tensão crítica da coluna será 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 14,80 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑀𝑀.
𝑟𝑟 > 0,04
0,04 >
�𝑏𝑏4 12
𝑏𝑏2
0,04 >
𝑏𝑏2
12
𝑏𝑏 < 13,85 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝜋𝜋2 � 1500 � 106
100 2
𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = 14,80 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑀𝑀
	Resistência dos Materiais Avançado
	Experiências para entender a flambagem
	Experiências para entender a flambagem
	Carga crítica – Fórmula de Euler (coluna ideal com apoios de pinos)
	Cálculo da Menor Carga Crítica
	Exemplo 01:
	Cálculo da Menor Carga Crítica
	Outros Tipos de Vinculação
	Comprimento efetivo de colunas com diferentes vinculações
	Tensão de Flambagem no Regime Elástico e Índice de Esbeltez de uma Barra
	Índice de Esbeltez
	Qual terá maior Carga Crítica?
	Resposta:
	Qual terá maior Carga Crítica?
	Qual terá maior Carga Crítica?
	Resposta
	Qual terá maior Carga Crítica?
	Qual terá maior Carga Crítica?
	Resposta