Unidade 3 - Representação Transformada dos Sistemas

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ENG07044 
Controle de Processos 
Industriais 
Unidade 3 – Representação 
Transformada dos Sistemas - Função 
de Transferência 
Seborg, Edgar & Mellinchamp Caps. 3, 4 (parte), 5 e 6 
Ogunnaike & Ray Caps. 3, 5, 6, 7 e 8 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação Slide 2 
1. A Transformada de Laplace 
2. Propriedades da Transformada de Laplace 
3. A Função de Transferência 
4. Respostas de Sistemas de Primeira Ordem e 
Casos Particulares 
5. Respostas de Sistemas de Segunda Ordem 
6. Sistemas com Dinâmica no Numerador 
7. Sistemas de Ordem mais Elevada 
8. Resposta no Domínio da Frequência 
Conteúdo 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
 A transformada de Laplace é definida através da 
integral: 
 
Slide 3 
𝐹 𝑠 = � 𝑒−𝑠𝑠𝑓 𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 
 A variável 𝑠 é chamada de variável da transformada, é um número 
complexo e tem unidades inversas de tempo 
A Transformada de Laplace 
Também é representada por: 
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
 Observações: 
 A definição vale desde que exista esta integral 
 Se duas funções 𝑓 𝑡 e g 𝑡 são diferentes, então 
ℒ 𝑓 𝑡 e ℒ 𝑔 𝑡 serão diferentes – a 
transformada de uma função é unívoca 
 A transformada inversa é dada por 
A Transformada de Laplace 
𝑓 𝑡 = ℒ−1 𝐹 𝑠 =
1
2𝜋𝜋
� 𝑒𝑠𝑠𝐹 𝑠 𝑑𝑠
𝐶
 
onde 𝐶 é um contorno fechado no plano complexo 
Slide 4 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
 Observações: 
 Uma propriedade muito importante da 
transformada de Laplace é a linearidade, ou seja: 
A Transformada de Laplace 
ℒ 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔 𝑡 = 𝛼ℒ 𝑓 𝑡 + 𝛽ℒ 𝑔 𝑡 
Slide 5 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
1. Transformada de funções constantes (𝑡 ≥ 0) 
 
 
2. Transformada de derivadas 
Propriedades da Transformada de Laplace 
ℒ 𝑎 = 𝑎
𝑠
 
ℒ 𝑑𝑑(𝑠)
𝑑𝑠
 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0) 
ℒ 𝑑
2𝑑(𝑠)
𝑑𝑠2
=𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓𝑓(0) 
ℒ 𝑑
𝑛𝑑(𝑠)
𝑑𝑠𝑛
=𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − 𝑠𝑛−2𝑓𝑓(0) − 𝑓(𝑛−1)(0) 
⋮ 
𝑎 é uma constante 
Slide 6 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
3. Deslocamento em s 
 
 
4. Deslocamento no tempo 
Propriedades da Transformada de Laplace 
ℒ 𝑒𝑎𝑠𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 − 𝑎 
ℒ 𝑓(𝑡 − 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) 
Slide 7 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
5. Teorema do Valor Inicial 
 
 
6. Teorema do Valor Final 
 
 
7. Transformada da integral 
Propriedades da Transformada de Laplace 
lim
𝑠→0
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→∞
𝑠𝐹(𝑠) 
lim
𝑠→∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
 𝑠𝐹(𝑠) 
ℒ � 𝑓(𝑡)
𝑠
0
𝑑𝑡 =
1
𝑠
𝐹(𝑠) 
Desde que 𝑠𝐹(𝑠) 
 não se torne 
 infinito para nenhum 
 valor de 𝑠 tal que 
 Real 𝑠 > 0 
Slide 8 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Transformadas de Sinais Típicos 
 Função degrau unitário (step ou função de 
Heaviside) 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑈 𝑠 =
1
𝑠
 
1 
𝑢 𝑡 = �0, 𝑡 < 01, 𝑡 ≥ 0 
Slide 9 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Transformadas de Sinais Típicos 
 Função impulso (Delta de Dirac) 
𝑢(𝑡) 
𝑡 𝑈 𝑠 = 1 
𝑢 𝑡 = �∞, 𝑡 = 00,∀𝑡 ≠ 0 ∞ 
Slide 10 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Transformadas de Sinais Típicos 
 Função rampa com inclinação unitária 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑢 𝑡 = �0, 𝑡 < 0𝑡, 𝑡 ≥ 0 
1 
𝑈 𝑠 =
1
𝑠2
 
Slide 11 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Transformadas de Sinais Típicos 
 Senóide Perfeita 
𝑢(𝑡) 
𝑢 𝑡 = �0, 𝑡 < 0𝑠𝑒𝑠 𝜔𝑡, 𝑡 ≥ 0 
𝑈 𝑠 =
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
 
𝑡 
Slide 12 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
 Uma propriedade que revela a natureza da 
transformada de um certo sistema é a seguinte 
A Função de Transferência 
A transformada da “integral de convolução” 
ℒ 𝑦(𝑡) = ℒ � 𝑔 𝑡 − 𝜏
𝑠
0
𝑢 𝜏 𝑑𝜏 
é igual integral ao produto das transformadas de 𝑔(𝑡) e 𝑢(𝑡): 
ℒ 𝑦(𝑡) = 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑈(𝑠) 
 
𝑮 𝒔 ≡ 𝒀 𝒔
𝑼 𝒔
 é chamada de “função de 
 transferência” do sistema 
 
Slide 13 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
A Função de Transferência 
A resposta de um sistema físico 
obtida através da função de 
transferência representa a 
variação em torno do estado 
estacionário inicial 
 Muito importante: como tanto a integral de convolução 
quanto a função de transferência do sistema se baseiam 
num sistema inicialmente em repouso (estado 
estacionário), deve-se observar que 
𝑮 𝒔 ≡
𝚫𝒀 𝒔
𝚫𝑼 𝒔
 Então: 
Slide 14 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
A Função de Transferência 
 A função de transferência pode ser vista como 
uma representação externa (entrada – saída) do 
sistema que mostra como o mesmo reage a uma 
dada função de entrada 
 
G(s) 𝚫U(s) 𝚫Y(s) 
Slide 15 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
A Função de Transferência 
 Funções de transferência de sistemas lineares 
sempre podem ser escritas como funções 
racionais de 𝑠, ou seja: 
 
𝐺 𝑠 ≡
𝑁 𝑠
𝐷 𝑠
=
𝑏𝑚𝑠𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯+ 𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0
 
 𝐷 𝑠 é o polinômio denominador de 𝐺 𝑠 , e 𝑁 𝑠 o 
numerador 
 𝑠 é a ordem da função de transferência 
 pela condição de causalidade, obrigatoriamente 𝑚 ≤ 𝑠 
Slide 16 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
A Função de Transferência 
 Definimos ainda: 
  os polos 𝑝 da função de transferência 𝐺 𝑠 são os 
valores de 𝑠 tais que 𝐷 𝑝 = 0 
 os zeros 𝑧 da função de transferência 𝐺 𝑠 são os 
valores de 𝑠 tais que 𝑁 𝑧 = 0 
 o ganho 𝐾 da função de transferência 𝐺 𝑠 é o 
valor que corresponde a lim
𝑠→0
𝐺(𝑠) 
Slide 17 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
A Função de Transferência 
 Podemos representar igualmente a função de 
transferência da seguintes formas: 
 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝛽𝑚𝑠 + 1 𝛽𝑚−1𝑠 + 1 ⋯ 𝛽1𝑠 + 1
𝜏𝑛𝑠 + 1 𝜏𝑛−1𝑠 + 1 ⋯ 𝜏1𝑠 + 1
 
 Forma de constantes de tempo 
𝐺 𝑠 = 𝐾𝑓
𝑠 − 𝑧1 𝑠 − 𝑧2 ⋯ 𝑠 − 𝑧𝑚
𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 ⋯ 𝑠 − 𝑝𝑛
 
 Forma de zeros-polos 
Slide 18 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Exemplos: 
 Tanque (sistema de acúmulo) 
 𝐹𝑒 
𝐹𝑠 
h 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
1
𝐴
𝐹𝑒 − 𝑘ℎ 
𝐺 𝑠 ≡
Δ𝐻 𝑠
Δ𝐹𝑒 𝑠
=
1/𝐴
𝑠 + 𝑘/𝐴
 
Slide 19 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Exemplos: 
 Sistema de aquecimento (volume constante) 
 
𝐺 𝑠 ≡
Δ𝑇 𝑠
Δ�̇� 𝑠
=
1/ 𝜌𝜌𝑐𝑝
𝜌
𝐹 𝑠 + 1
 
Fe, ρe, Te 
V, ρ, T 
 
Fs, ρ, T 
 
Q 
. 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
𝐹
𝜌
𝑇𝑒 − 𝑇 +
�̇�
𝜌𝑐𝑝𝜌Slide 20 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Exemplos: 
 CSTR isotérmico, com volume constante e 
reação de primeira ordem 
𝐺 𝑠 ≡
Δ𝐶𝐴 𝑠
Δ𝐶𝐴,𝑒 𝑠
=
𝐹/𝜌
𝑠 + 𝑘 + 𝐹/𝜌
 
Fe 
CA,e 
F 
CA 
V 
T 
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑡
=
𝐹
𝜌
𝐶𝐴,𝑒 − 𝐶𝐴 − 𝑘𝐶𝐴 
Slide 21 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Respostas em relação a entradas típicas: 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦(𝑡) 
𝑡 
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
𝐴𝐾 
0,632𝐴𝐾 
𝜏 
∠ 𝐴𝐾/𝜏 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 𝑒−𝑠/𝜏 
𝐴 
(𝜏 > 0) 
Slide 22 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Respostas em relação a entradas típicas: 
Rampa com inclinação 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦(𝑡) 
𝑡 
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
𝐴𝐾 
𝜏 
𝐴 ∠ 𝐴𝐾 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾𝜏 𝑒−𝑠/𝜏 +
𝑡
𝜏 
− 1 
(𝜏 > 0) 
Slide 23 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Casos Particulares de Sistemas de 1ª Ordem 
 Sistema de Ganho Puro: saída proporcional à 
entrada 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦(𝑡) 
𝑡 
𝐺 𝑠 = 𝐾 
𝐴𝐾 
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑢(𝑡) 𝐴 
Sistema sem dinâmica – sempre em estado estacionário! 
“Ordem Zero” 
Slide 24 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Casos Particulares de Sistemas de 1ª Ordem 
 Sistema Puramente Capacitivo 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝐴 
Sistema marginalmente estável! 
“Integradores Puros” 
𝐺 𝑠 =
𝐾𝑓
𝑠
 
𝑦(𝑡) 
𝑡 
𝐴𝐾𝑓 
∠ 𝐴𝐾𝑓 
Slide 25 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Podem aparecer na interconexão de sistemas 
semelhantes de 1ª ordem 𝐹𝑒 
h2 
h1 
𝐹𝑠 
𝑑ℎ1
𝑑𝑡 =
1
𝐴1
𝐹𝑒 − 𝑘1ℎ1 
𝑑ℎ2
𝑑𝑡 =
1
𝐴2
𝑘1ℎ1 − 𝑘2ℎ2 
Δ𝐻1 𝑠 =
1 𝑘1⁄
𝐴1𝑠 𝑘1⁄ + 1
Δ𝐹𝑒(𝑠) 
Δ𝐻2 𝑠 =
𝑘1 𝑘2⁄
𝐴2
𝑘2
𝑠 + 1
Δ𝐻1 𝑠 =
𝑘1 𝑘2⁄
𝐴2
𝑘2
𝑠 + 1
⋅
1 𝑘1⁄
𝐴1
𝑘1
𝑠 + 1
Δ𝐹𝑒(𝑠) 
Slide 26 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Pela composição de diferentes características 
dinâmicas 
Sistema de 
aquecimento a gás 
de passagem 
Dinâmica da 
medição de temperatura 
Dinâmica do 
aquecimento 
Slide 27 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Alguns sistemas apresentam inerentemente 
características de segunda ordem 
Manômetro líquido 
de tubo em U 
Slide 28 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Forma padrão de sistemas de segunda ordem 
Parâmetros: 
𝐾 : ganho estacionário da função de transferência (unidade de 
 𝑦/unidade de 𝑢) 
𝜏: constante de tempo ou período natural (unidade de tempo) ≡ 
 inverso da frequência natural 𝜔𝑛 
𝜁: coeficiente, ou fator, de amortecimento (adimensional) 
 
 
 
𝐺 𝑠 ≡
Δ𝑌 𝑠
Δ𝑈 𝑠
=
𝐾
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏𝑠 + 1
 
Slide 29 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Respostas em relação a entradas típicas: 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
Δ𝑌 𝑠 ≡
𝐾
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏𝑠 + 1
⋅
𝐴
𝑠
 
Tempos três casos, em função de 𝜁: 
𝜁 > 1: Sistema superamortecido 
𝜁 = 1: Sistema criticamente amortecido 
𝜁 < 1: Sistema subamortecido 
 
 
 
Slide 30 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑡 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Respostas em relação a entradas típicas: 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦(𝑡) 
𝜁 
Slide 31 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: sistema superamortecido 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 𝑒−
𝜁
𝜏𝑠 cosh
𝜁2 − 1
𝜏
𝑡 +
𝜁
𝜁2 − 1
sinh
𝜁2 − 1
𝜏
𝑡 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 −
𝜏1𝑒−𝑠/𝜏1 − 𝜏2𝑒−𝑠/𝜏2
𝜏1 − 𝜏2
 
ou 
𝑦(𝑡) 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝜏⁄ 
Slide 32 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: diferença qualitativa da 
resposta de um sistema superamortecido em relação 
à resposta de um sistema de primeira ordem 
𝑦(𝑡) 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝜏⁄ 
2ª Ordem 
1ª Ordem 
Slide 33 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: diferença qualitativa da 
resposta de um sistema superamortecido em relação 
à resposta de um sistema de primeira ordem 
𝑦(𝑡) 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝜏⁄ 
2ª Ordem 
1ª Ordem 
Slide 34 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: sistema criticamente 
amortecido 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 1 +
𝑡
𝜏
𝑒−𝑠/𝜏 
𝑦(𝑡) 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝜏⁄ 
Slide 35 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: sistema subamortecido 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 𝑒−
𝜁
𝜏𝑠 cos
1 − 𝜁2
𝜏
𝑡 +
𝜁
1 − 𝜁2
sin
1 − 𝜁2
𝜏
𝑡 
ou 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 −
1
1 − 𝜁2
⋅ 𝑒−
𝜁
𝜏𝑠 ⋅ sin
1 − 𝜁2
𝜏
𝑡 + 𝜙 𝜙 = atan 
1 − 𝜁2
𝜁 
𝑦(𝑡) 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝜏⁄ 
𝑎 ⋅ sin 𝑥 + 𝑏 ⋅ cos 𝑥 = 
𝑐 ⋅ sin (𝑥 + 𝜙) 
𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝜙 = atan (𝑏 𝑎)⁄ 
 
Slide 36 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: sistema subamortecido 
𝑏 
𝑃 
𝑦 
𝐴𝐾
 
𝑡 𝑡𝑟 𝑡𝑝 
𝑎 𝑐 
𝒃 ± 𝟎,𝟎𝟎𝒃 
𝑡𝑠 
Slide 37 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑦 
𝐴𝐾
 
𝑡 
 Tempo de assentamento (ts): 
tempo para o sistema estabilizar em 
±5 do valor final; 
 Overshoot (OS): o máximo valor 
percentual atingido pela resposta em 
relação ao valor final (𝑎 𝑏⁄ ); 
 Tempo de subida (tr): diferença de 
tempo para que a resposta atinja pela 
1ª vez valor igual ao final 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Características: 
Slide 38 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑦 
𝐴𝐾
 
𝑡 
 Razão de decaimento: relação das 
amplitudes de picos sucessivos (𝑐 𝑎⁄ ); 
 Período de oscilação (P): tempo 
transcorrido entre picos sucessivos; 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Características: 
Slide 39 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Segunda Ordem 
 Resposta a um degrau: sistema subamortecido 
Slide 40 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑡 
Zeros e Dinâmica de Numerador 
 Exemplo: sistema lead-lag : 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦
𝐴𝐾
 𝛽 
𝐺 𝑠 =
𝐾(𝛽𝑠 + 1)
𝜏𝑠 + 1
 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 − 1 −
𝛽
𝜏
𝑒−
𝑠
𝜏 
Slide 41 
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Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑡 
Zeros e Dinâmica de Numerador 
 Exemplo: sistema de segunda ordem com zero: 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦
𝐴𝐾
 
𝛽 
𝐺 𝑠 =
𝐾(𝛽𝑠 + 1)
𝜏1𝑠 + 1 𝜏2𝑠 + 1
 
𝑦 𝑡 = 𝐴𝐾 1 +
𝜏1 − 𝛽
𝜏2 − 𝜏1
𝑒−
𝑠
𝜏1 −
𝜏2 − 𝛽
𝜏2 − 𝜏1
𝑒−
𝑠
𝜏2 
Slide 42 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Zeros e Dinâmica de Numerador 
 Exemplo: sistema de segunda ordem com zero: 
A característica da resposta vai depender da relação 
entre 𝛽, 𝜏1 e 𝜏2 (considerando 𝜏2 > 𝜏1): 
 𝛽 > 𝜏2: resposta apresenta sobrevalor (overshoot) 
𝛽 = 𝜏2 ou 𝛽 = 𝜏1: sistema é equivalente a um sistema 
de 1ª ordem 
 0 < 𝛽 < 𝜏2: resposta monotônica 
 𝛽 < 0: resposta inversa 
Condição para resposta inversa: zero positivo  𝛽 < 0 
 𝐾1𝜏2 + 𝐾2𝜏1 < 0 (com 𝐾 = 𝐾1 + 𝐾2 > 0) 
Slide 43 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
𝑡 
Sistemas de Ordem Elevada 
 Exemplo: sistema de ordem N 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦
𝐴𝐾
 
𝑁 
𝐺 𝑠 =
 𝐾
𝜏𝑠 + 1 𝑁
 
Slide 44 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Ordem Infinita 
 Sistema de Atraso Puro: saída é a entrada 
deslocada (atrasada) 
Entrada degrau, magnitude 𝐴 
𝑢(𝑡) 
𝑡 
𝑦(𝑡) 
𝑡 
𝐺 𝑠 = 𝑒−𝜃𝑠 
𝐴 
𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡 − 𝜃) 𝐴 
“Tempo Morto” 
𝜃 
Slide 45 
ENG07046 - Modelagem, Simulação e Otimização de Processos 
Parte 1 - Introdução 
Introdução Objetivos Definições Classificação 
Sistemas de Ordem Elevada 
 Sistema genérico 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝛽𝑚𝑠 + 1 𝛽𝑚−1𝑠 + 1 ⋯ 𝛽1𝑠 + 1
𝜏𝑛𝑠 + 1 ⋯ 𝜏𝑗2𝑠2 + 2𝜉𝑗𝜏𝑗𝑠 + 1 ⋯ 𝜏1𝑠 + 1
𝑒−𝜃𝑠 
 𝑁 Polos (alguns possivelmente complexos), 𝑀 zeros, atraso/tempo 
morto 𝜃 
 zeros negativos tendem a acelerar a resposta; 
 se o número de polos e zeros for o mesmo, a resposta 
(mesmo a partir de estado estacionário) tem um salto na origem; 
 a diferença entre o número de polos e zeros é igual à maior 
ordem da derivada que é nula na origem: diferença de 1, 
𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ ]𝑠=0 = 0, e assim por diante; 
 sistemas com 𝑁 < 𝑀 não existem (sistemas não-causais) 
Slide 46 
	ENG07044�Controle de Processos�Industriais
	Número do slide 2
	A Transformada de Laplace
	A Transformada de Laplace
	A Transformada de Laplace
	Propriedades da Transformada de Laplace
	Propriedades da Transformada de Laplace
	Propriedades da Transformada de Laplace
	Transformadas de Sinais Típicos
	Transformadas de Sinais Típicos
	Transformadas de Sinais Típicos
	Transformadas de Sinais Típicos
	A Função de Transferência
	A Função de Transferência
	A Função de Transferência
	A Função de Transferência
	A Função de Transferência
	A Função de Transferência
	Sistemas de Primeira Ordem
	Sistemas de Primeira Ordem
	Sistemas de Primeira Ordem
	Sistemas de Primeira Ordem
	Sistemas de Primeira Ordem
	Casos Particulares de Sistemas de 1ª Ordem
	Casos Particulares de Sistemas de 1ª Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Sistemas de Segunda Ordem
	Zeros e Dinâmica de Numerador
	Zeros e Dinâmica de Numerador
	Zeros e Dinâmica de Numerador
	Sistemas de Ordem Elevada
	Sistemas de Ordem Infinita
	Sistemas de Ordem Elevada