crescimento de pop. 1

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Crescimento e Dinâmica 
Populacional
QUAL A MATÉRIA PRIMA PARA O ESTUDO DE 
POPULAÇÕES ?
Tamanho populacional
Na sua forma mais simples, todavia informações 
vitais podem estar sendo ocultadas
Séries temporais
“Censo”
CRESCIMENTO POPULACIONAL
DINÂMICA POPULACIONAL
Interpretação matemática
Quais fatores promovem o crescimento de uma população na 
natureza e que representem processos inerentes a cada 
população?
População (N)
Nascimentos (B)
(+)
Imigração (I)
(+)
Mortes (D)
(-)
Emigração (E)
(-)
Variação no tamanho da população
B = nascimentos
D = mortes
I = imigração
E = emigração
B = nascimentos
D = mortes
I = imigração
E = emigração
População fechada
População aberta
CRESCIMENTO POPULACIONAL 
INDEPENDENTE DA DENSIDADE
0r 
População cresce (tamanho)
0r 
População decresce (extinção) 
0r =
População constante (estável) 
N
N
N
tempo
tempo
tempo
dN
rN
dt
=
são correspondentes
1t tN N+ =
Modelos crescimento populacional 
exponencial discreto
Modelo Contínuo ≠ Modelo Discreto
• Nt = Tamanho da População no tempo ‘t’.
Interpretação matemática
t t + 1
N0 = 7 N1 = 11
 ,
 ln( )
0 1
0 0 1
0 1
re
r
r
r
r





=
=
  
   
=  =
Relação em taxa de variação per capita e taxa 
finita de variação da população
N
N
N
tempo
tempo
tempo
<
Densidade inicial 10
Taxa de variação finita populacional 1,2
Crescimento populacional 0 10
1 12
2 14,4
3 17,28
4 20,736
5 24,8832
6 29,85984
7 35,83181
8 42,99817
9 51,5978
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10
geração
d
e
n
s
id
a
d
e
 p
o
p
u
la
ç
ã
o
 (
N
)
1t tN N+ =
1t tN N+ =
• Mas os recursos são ilimitados? 
• Qual a evidencia da limitação dos recursos?
• Como ela afeta o crescimento populacional?
Crescimento populacional 
dependente da densidade
(crescimento logístico)
• O modelo anterior possuía recursos ilimitados para uma 
população crescer
• Logo, taxa de nascimento (b) e mortalidade (d) per capita 
eram constantes - Dinâmicas independentes da densidade
Vamos assumir que os recursos e reprodução são limitados
dN
rN
dt
=
( ' ')
dN
b d N
dt
= −
Vamos torná-los dependentes da densidade
Dependência da densidade
Taxa de nascimento instantânea
- aumentando N, espera-se que a taxa de nascimento 
decresça (menos comida para reprodução)
b́ b aN= −
N = população
b = taxa de nascimento per capita (constante)
b’ = taxa atual de nascimento per capita
a = força da dependência de densidade (constante)
a = 0, sem dependência de densidade 
a > 0, força de dependência 
N
taxa
Taxa de 
nascimento
b0max
0max´b b aN= −
Taxa instantânea de mortes
- aumentando N, espera-se que a taxa de mortalidade 
cresça (oposto da taxa de nascimento)
´d d cN= +
N = população
d = taxa de mortalidade per capita (constante)
d’ = taxa atual de mortalidade per capita
c = reflete o efeito da dependência na taxa de mortalidade (constante)
c = 0, sem dependência de densidade
c = a = 0, modelo de crescimento exponencial 
N
taxa
Taxa de 
mortalidade
d0max
0max´d d cN= +
Substituindo as novas taxas na equação:
( ' ')
, 
'
'
dN
b d N
dt
onde
b b aN
d d cN
= −
= −
= +
[( ) ( )]
dN
b aN d cN N
dt
= − − +
[( ) ( )]
dN
b aN d cN N
dt
= − − +
( )
1
( )
onde, 
, , , constantes
dN a c
rN N
dt b d
a b c d
 +
= − 
− 
=
1
onde, 
capacidade suporte do ambiente
dN N
rN
dt K
K
 
= − 
 
=
( )
( )
b d
K
a c
−
=
+
O que é capacidade suporte do ambiente?
1
dN N
rN
dt K
 
= − 
 
Equação logística
Crescimento exponencial Proporção não utilizada da 
capacidade suporte
Ex: uma população N = 7 em um ambiente de K = 100
7
1 1 93% recursos não utilizados
100
N
K
   
− = − =   
   
N
taxa
Taxa de 
mortalidade
Taxa de 
nascimento
K
d0min
b0max
O gráfico ilustra como as taxas de nascimento e morte per 
capita muda em função da dependência da densidade
Quando a população parará de crescer?
Quando N = K (equilíbrio estável)
N (tamanho da
população)
dN/dt
K
Taxa de crescimento da população em função do tamanho 
populacional
Simulações Logístico contínuo r=0,5 e K=30
Uma condição inicial acima da capacidade suporte e outra abaixo
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20
TEMPO
P
O
P
U
L
A
Ç
Ã
O
Capacidade
Suporte
K
= 30
microcosmo
10 ml
Zoom Tetrahymena thermophila
Enterobacter aerogenesTempo entre cada geração (3-4 horas) 
“Experimento de garrafa” 
Variação nos valores são:
1. Balanço morte/nascimento
2. Erros amostrais
3. Variação climática
Algumas comparações interessantes...
K
N (Tamanho pop)
N (Tamanho pop)
1 dN
N dt
  
  
  
1 dN
N dt
  
  
  
Crescimento logístico
Crescimento exponencial
1
dN N
rN
dt K
 
= − 
 
Simulações do logístico discreto
LOGISTICO DISCRETO
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 5 10 15
TEMPO
P
O
P
U
L
A
Ç
Ã
O
R=2
1 1
t
t t
E
E E R
K
+
 
= − 
 
LOGISTICO DISCRETO
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50
TEMPO
P
O
P
U
L
A
Ç
Ã
O
Simulações do logístico discreto R=3
1 1
t
t t
E
E E R
K
+
 
= − 
 
LOGISTICO DISCRETO
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40
TEMPO
P
O
P
U
L
A
Ç
Ã
O
Simulações do logístico discreto R=3,5
1 1
t
t t
E
E E R
K
+
 
= − 
 
LOGISTICO DISCRETO
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50
TEMPO
P
O
P
U
L
A
Ç
Ã
O
Simulações do logístico discreto R=3,9
1 1
t
t t
E
E E R
K
+
 
= − 
 