2021-2454-lista5

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MAT-2454 — CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II — QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS
BONS ESTUDOS!
1. CURVAS NO R3
EXERCÍCIOS
1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:
a. O cilindro x2 + y2 = 4 e a superfície z = xy.
b. O parabolóide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabólico y = x2.
c. O cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 1 + y.
d. O cilindro x2 + y2 = 9 e o plano x + y = 2z.
1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a. C =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z e z = 2y
}
;
b. C =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9 e 4x + 4y = z2, z ≥ 0
}1;
c. C =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z = 1 e 2x + 2y + z = 1
}
;
d. C =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, x2 + y2 − z2 = 4 e z = x + y
}
1.3. Verifique quais das curvas abaixo estão contidas na superfície S : x2 + y2 − z2 = 0. Verifique
a sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.
a. α(t) = (tg t, 1, sec t), t ∈]− π2 ,
π
2 [
b. α(t) = (sin t, 1, cos t), t ∈ [0, 2π[
c. α(t) = (t, 12 −
t2
2 ,
1
2 +
t2
2 ), t ∈ R
d. α(t) = (cos t, sin t, 1), t ∈ [0, 2π[
e. α(t) = (1, sec t, tg t), t ∈]− π2 ,
π
2 [
1.4. Verifique quais curvas abaixo estão contidas no gráfico de f (x, y) = 1− x2 − y2. Verifique a
sua resposta plotando, em algum software, a superfície e a curva num mesmo gráfico.
a. α(t) = (cos t, sin t, 1), t ∈ [0, 2π[
b. α(t) = (t, t, 1− 2t2), t ∈ R
c. α(t) = (cos t, 0, sin t), t ∈ [0, 2π[
d. α(t) = (t2, t, 1− t2 − t4), t ∈ R
e. α(t) = (sin t, cos t, 0), t ∈ [0, 2π[
1.5. Sejam γ1, γ2, γ3 : I ⊆ R→ R3 curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:
a.
〈
γ1(t), γ2(t)
〉′
=
〈
γ′1(t), γ2(t)
〉
+
〈
γ1(t), γ′2(t)
〉
;
b.
(
γ1(t)× γ2(t)
)′
= γ′1(t)× γ2(t) + γ1(t)× γ′2(t).
Com isso obtenha uma expressão para para as derivada do produto misto e da norma:[
γ1(t), γ2(t), γ3(t)
]
=
〈
γ1(t), γ2(t)× γ3(t)
〉
e ‖γ1(t)‖ =
√〈
γ1(t), γ1(t)
〉
.
RESPOSTAS
1.1 As parametrizações não são únicas.
a. γ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 2 sin 2t),
t ∈ [0, 2π).
b. γ(t) = (t, t2, 2t2 + t4), t ∈ R.
c. γ(t) = (t, t
2−1
2 ,
t2+1
2 ), t ∈ R.
d. γ(t) = 3(cos t, sin t, 12 (cos t + sin t),
t ∈ [0, 2π).
1.2 As parametrizações não são únicas.
a. γ(t) = (cos t, 1 + sin t, 2 + 2 sin t),
t ∈ [0, 2π).
b. γ(t) =
(
3 cos t, 3 sin t, 2
√
3(cos t + sin t)
)
,
se t ∈ [−π/4, 3π/4].
c. γ(t) = (
√
2 cos t + 1,
√
2 sin t +
1,−3 − 2
√
2(cos t + sin t), t ∈
[0, 2π).
d. γ(t) = (t,− 2t , t−
2
t ), t > 0.
1.3 Somente as curvas: a, c, d.
1.4 Somente as curvas: b, d, e.
1Omitir a restrição z ≥ 0 é bem desafiador!
1
2. SUPERFÍCIES DE NÍVEL, PLANOS TANGENTES E DERIVADAS DIRECIONAIS
EXERCÍCIOS
2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível c da função F : R3 → R:
a. F(x, y, z) = x + 2y + 3z e c = 1 b. F(x, y, z) = x2 − ey + z2 e c = 0
c. F(x, y, z) = x2 + y2 − z2 e c = 0 d. F(x, y, z) = x2 + y2 − z2 e c = −1
e. F(x, y, z) = x2 + y2 − z2 e c = 1 f. F(x, y, z) = x2 − y2 e c = 1
g. F(x, y, z) = x2 − y2 + z2 e c = 1
Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma função f : D ⊂ R2 → R (z como função de x
e y)?
2.2. Ache os pontos do hiperbolóide x2 − y2 + 2z2 = 1 nos quais a reta normal é paralela à reta
que une os pontos (3,−1, 0) e (5, 3, 6).
2.3. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície xyz = a num ponto do primeiro oc-
tante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume
independente do ponto de tangência.
2.4. Mostre que o elipsóide 3x2 + 2y2 + z2 = 9 e a esfera x2 + y2 + z2 − 8x− 6y− 8z + 24 = 0 se
tangenciam no ponto (1, 1, 2) (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto).
2.5. Ache a reta tangente à interseção do gráfico da função f (x, y) = x3 + y3 + 2 com o cilindro
x2 + y2 = 2 no ponto (1, 1, 4).
2.6. Sejam f : R2 → R e γ : R→ R3, diferenciáveis com∇ f (1, 0) = (2, 1) e γ′(t) 6= (0, 0, 0), para
todo t ∈ R. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a
superfície z3 + x3 + yz + xy3 = 0. Sabendo que (1, 0,−1) está na imagem de γ, determine
uma equação para a reta tangente a γ neste ponto.
2.7. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície (x− 1)2 + (y− 2)
2
4
− (z− 1)2 = 0
nos pontos (2, 2, 2) e (2, 2, 0).
2.8. Suponha que sobre um certo aberto A ⊂ R3 o potencial elétrico V : A → R é dado por
V(x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
a. Ache a taxa de variação do potencial em P = (3, 4, 5) na direção do vetor ~v =~i +~j−~k.
b. Qual a direção e sentido em que a taxa do potencial elétrico, em P, é a maior possível? E
a menor possível?
c. Qual o valor dessa taxa máxima?
RESPOSTAS
2.1 Apenas a superfície do item a..
2.2 ±
(√
2
3 ,−2
√
2
3 ,
√
3
2
)
.
2.5 X = (1, 1, 4) + λ(−1, 1, 0), λ ∈ R.
2.6 X = (1, 0,−1) + λ(2,−9,−5), λ ∈ R.
2.7 (x− 3)2 + (y− 2)2 + (z− 1)2 = 2
2.8 a. 32√
3
; b. (38, 6, 12); c. 2
√
406.
MAT–2454 (2020) 2 de 2
	1. Curvas no R3
	2. Superfícies de Nível, Planos Tangentes e Derivadas Direcionais