Atividade 3 - Controle Digital

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
JOAO PAULO APARECIDO PAPAIT 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
MATHEUS HENRIQUE FOLSTER DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
JOAO PAULO APARECIDO PAPAIT 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
MATHEUS HENRIQUE FOLSTER DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado à disciplina 
Controle Digital, do curso de Engenharia 
da Computação da Universidade 
Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, 
como composição parcial da nota 
semestral da disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Desde os primórdios da criação dos sistemas de controle, diversos tipos de 
técnicas e maneiras de se controlar sistemas foram desenvolvidos, a cada qual para 
sua necessidade e conceitos a serem atendidos para um melhor funcionamento de 
um sistema ou mesmo melhor controle referente as ações para aquele sistema. 
Em situações convencionais quando se vai trabalhar com tipos de sistemas 
de controle, para uma melhor projeção e até evitar erros, muitas vezes se trabalha 
com o auxílio de softwares computacionais, as quais auxiliam nas métricas e 
maneiras que esses sistemas irão trabalhar, entretanto para certas situações, tais 
softwares não conseguem trabalhar com certos tipos de sistemas, visto que esses 
sistemas tem um número muito grande de variáveis, tanto na entrada quanto na 
saída. 
Vendo essa necessidade e com os avanços nas tecnologias aplicadas a 
área, foi desenvolvido o sistema de variáveis de estado, essa técnica foi de grande 
ajuda quando tratado de sistemas de controle robusto, já pode-se utilizar o menor 
número possível de variáveis que podem representar todo o estado do sistema, 
relacionando todas as componentes diferenciais de um determinado circuito. 
Essa técnica pode ser obtida por meio da função de transferência da entrada 
para a saída, onde a variável de maior ordem gerada pela função de transferência 
se torna o denominador e com essas variáveis do estado do sistema, pode-se 
determinar o estado juntamente com as derivadas apresentadas tem-se um sistema 
linear capaz de representar qualquer ponto do circuito em qualquer ponto. 
Após isso, pode-se representar o sistema de variáveis por meio de matrizes, 
as quais facilitam muito sua aplicação, visto que esses sistemas matriciais 
possibilitam a representação por matrizes de primeira ordem e se N, elementos de 
um vetor são um conjunto de variáveis de estado, então essa equação matricial 
diferencial pode ser chamada de equação de estado. 
Essa técnica pode ser aplicada em diversos tipos de projetos diferentes, que 
vão desde aplicações em controle de motores, para melhor desempenho no que se 
diz torque, rotação ou ciclos de trabalho, indo até áreas de aplicações militares, 
como rastreio de alvos ou controle de veículos blindados, possibilitando melhor 
desempenho desses tipos de carros de combate. 
 
 
Para um melhor entendimento dos sistemas de controle por meio de variáveis 
de estado, o presente relatório vem por meio de uma visão analítica e pratica, 
apresentar sua utilização aplicado ao controle de um motor de corrente continua, na 
qual por meio do software computacional, Matlab, será possível entender as 
perspectivas de equacionamentos matemáticos e matriciais, juntamente com sua 
extensão o simulink, a qual poderá proporcionar uma melhor perspectiva de como o 
sistema se comporta, visto que a extensão apresentará as formas de onda e dados 
necessários, as quais podemos citar; Matriz de controlabilidade do sistema, resposta 
impulsiva e entrada degrau do sistema de malha aberta, os ganhos 𝐾1𝑒 𝐾2 para 
alocar os polos do sistema regulando em -10 e -12, a resposta do sistema regulado 
a partir das condições iniciais [1000 0] (todos os estados), a resposta do sistema 
regulado para uma entrada degrau de valor 105 rad/s (aprox. 1000 rpm), ganhos 
𝐾1, 𝐾2 𝑒 ℎ para alocação de polos do sistema de rastreio em −15, −17 e −20, 
resposta do sistema de rastreio de referência para uma entrada degrau de valor 105 
rad/s (aprox. 1000 rpm), resposta do sistema de rastreio de referência para uma 
entrada arbitrária definida pelo grupo. 
Também, será possível entender como e quando e como é possível aplicar 
esse tipo de técnica de controle, podendo verificar e comparar por preceitos técnicos 
diversos tipos de técnicas de controle e verificar se a utilização de espaço de 
estados seria uma melhor alternativa dos que as demais técnicas. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
O presente capítulo possui o intuito de realizar a apresentação, dados, 
equacionamentos e análises referentes a proposta do relatório realizado, assim 
como o estudo acima da regulação e rastreio de um sistema de um motor de 
corrente contínua modelado em espaço de estados. 
 
2.1 Motor de corrente contínua 
 
A modelagem matemática de determinado sistema dinâmico parte do 
pressuposto de que há a possibilidade de representar através de um conjunto de 
equações as características dinâmicas do sistema. Ademais, para cada sistema 
existente há a possibilidade de determinar o seu devido modelo matemático, sobre a 
perspectiva que o observador deseja analisar e modelar. 
Conforme Dorf e Bishop (2018, p. 52) o motor CC realiza a conversão da 
energia elétrica para a energia mecânica rotacional, de forma que o torque presente 
no rotor do motor estará disponível para a utilização em determinada carga a qual se 
deseja utilizar. Ainda apresentam a importância da utilização dos motores CC em 
inúmeras aplicações pelo fato das suas características principais, como torque 
elevado, controle da velocidade e facilidade de implementação em vários métodos 
de controle. 
Segue abaixo a representação elétrica e estrutural de um motor CC: 
 
Figura 1 – Diagrama elétrico e esboço estrutural de um motor CC 
 
Fonte: Dorf e Bishop (2018, p. 53) 
 
 
 
Percebe-se através da Figura 1 que ao aplicar uma tensão de entrada Vc 
ao enrolamento do estator atuando no controle da intensidade do campo magnético 
gerado pelo estator, a qual induz o movimento do rotor. 
Realizando a análise utilizando a tensão Vc(t) como a entrada e a posição 
do rotor θ(t) como a saída a serem consideradas para a função transferência, tem-se 
que ao aplicar a tensão de entrada uma corrente ic(t) é gerada e começa a circular 
pelo encolamento de campo. 
Como o fluxo de campo no entreferro ϕ(t) é proporcional a esta corrente 
de campo, podemos equacionar da seguinte maneira: 
 
ϕ(t) = Kc ∙ ic(t) (1) 
 
Quando há uma corrente de armadura ia(t) circulando nos enrolamentos 
do rotor há a interação entre ela e o campo magnético gerado no estator, e com isso 
há o aparecimento do torque, proporcional ao fluxo e a corrente de armadura, sendo 
expresso por: 
 
𝑇𝑚(t) = K1 ∙ ϕ(t) ∙ ia(t) = K1 ∙ Kf ∙ if(t) ∙ ia(t) (2) 
 
Logo, segue abaixo a conversão da Equação 2 para o domínio da 
frequência considerando o motor controlado pela corrente de campo: 
 
𝑇𝑚(s) = (K1 ∙ Kf ∙ Ia) ∙ If(s) = Km ∙ If(s) (3) 
 
Onde Ia é a corrente de armadura constante e Km é a constante referente 
aos aspectos construtivos do motor. 
Como o torque do motor é composto pelo torque da carga Tc somado ao 
torque de perturbação Tp ao qual é frequentemente desprezível, ou seja, Tp é nulo, 
pode-se equacionar o torque do motor da seguinte maneira: 
 
𝑇𝑚(s) = 𝑇𝑐(s) + 𝑇𝑝(s) = 𝑇𝑐(s) (4) 
 
 
 
Como o torque do motor é referente apenas ao torque da carga a 
equação 3 pode ser alterada da seguinte maneira: 
 
𝑇𝑚(s) = 𝑇𝑐(s) = Km ∙ Ic(s) (5) 
 
Sendo o torque da carga expresso por: 
 
𝑇𝑐(s) = J ∙ 𝑠
2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) (6) 
 
Equacionandoa relação entre a corrente de campo com a tensão de 
campo, a qual foi a entrada escolhida para o sistema, há no domínio da frequência o 
seguinte resultado: 
𝑉𝑐(s) = (Rc + Lcs) ∙ Ic(s) (7) 
 
Isolando a corrente de campo na equação 5: 
 
𝐼𝑐(s) =
Vc(s)
(Rc+Lcs)
 (8) 
 
Igualando as equações 5 e 6, referentes as duas expressões encontradas 
para o torque da carga, e substituindo a expressão da corrente de campo deduzida 
na equação 8 há a seguinte igualdade: 
 
J ∙ 𝑠2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) = Km
Vc(s)
(Rc+Lcs)
 (9) 
 
Como as variáveis de interesse são a tensão Vc(s) como entrada e a 
posição 𝜃(𝑠) como saída, isolando ambas e arranjando os termos há a possibilidade 
de encontrar a função transferência do sistema em malha aberta. 
 
𝐹. 𝑇. 𝑀. 𝐴. =
𝜃(𝑠)
Vc(s)
=
Km
s∙(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)
 (10) 
 
Gerando assim o seguinte diagrama de blocos em malha aberta: 
 
 
 
 
Figura 2 – Diagrama de blocos em malha aberta 
 
Fonte: Dorf e Bishop (2018, p. 54) 
 
 
Nota-se a presença de um bloco integrador (1/s) a qual multiplica a 
função transferência em malha aberta, sabemos da física que a velocidade de dada 
massa pode ser encontrada através da derivada da posição, de forma análoga que 
para encontrar a posição integra-se a velocidade. 
Portanto, analisando o bloco integrador da Figura 2 nota-se que ao retirá-
lo a saída deixa de ser a posição θ(s) e se torna a velocidade ω(s), a qual é um 
parâmetro de melhor análise, pois o seu valor é estabilizado em determinado tempo, 
enquanto para a posição os valores tendem ao infinito. 
Com isso, o diagrama de blocos com a saída sendo a velocidade fica da 
seguinte maneira: 
 
Figura 3 – Diagrama de blocos em malha aberta com velocidade na saída 
 
Fonte: Adaptado de Dorf e Bishop (2018) 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência em malha aberta: 
 
𝐹. 𝑇. 𝑀. 𝐴 =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)
 (11) 
 
Logo, com a análise realizada em cima da função de transferência em 
malha aberta, pode-se equacionar em malha fechada utilizando a força contra 
eletromotriz na realimentação do sistema. 
Tratando de um motor CC controlado pela armadura, a variável de 
controle é a corrente de armadura ia, uma vez que, quando ela é constante o torque 
do rotor pode ser representado pela seguinte expressão: 
 
 
 
𝑇𝑚(s) = (K1 ∙ Kc ∙ Ic) ∙ Ia(s) = Km ∙ Ia(s) (12) 
 
De forma que a tensão de armadura Va pode ser obtida pelo seguinte 
equacionamento: 
𝑉𝑎(s) = (Ra + Las) ∙ Ia(s) + 𝑉𝑐𝑒(s) (13) 
 
Onde Vce(s) é a tensão que relaciona a força contra eletromotriz de 
maneira proporcional à velocidade do motor, ou seja, obedecendo a seguinte 
proporcionalidade: 
 
𝑉𝑐𝑒(s) = 𝐾𝑐𝑒 ∙ ω(s) (14) 
 
Isolando a corrente de armadura da equação 13 com a equação 14: 
 
Ia(s) =
𝑉𝑎(s)−𝐾𝑐𝑒∙ω(s) 
Ra+Las
 (15) 
 
De forma análoga ao desenvolvimento em malha fechada, o torque de 
perturbação Tc é nulo, desta forma o torque do motor e da carga sendo expresso 
como equivalentes. 
 
𝑇𝑚(s) = 𝑇𝑐(s) = J ∙ 𝑠
2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) (16) 
 
Igualando as equações 12 e 16 e assumindo ω(s)=sθ(s) obtém-se a 
seguinte relação: 
 
J ∙ 𝑠2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) = Km
Va(s)−𝐾𝑐𝑒∙θ(s)∙s 
(Ra+Las)
 (17) 
 
Como as variáveis de interesse são a tensão Va(s) como entrada e a 
posição 𝜃(𝑠) como saída, isolando ambas e arranjando os termos há a possibilidade 
de encontrar a função transferência do sistema em malha fechada. 
 
 
 
𝐹. 𝑇. 𝑀. 𝐹. =
𝜃(𝑠)
Va(s)
=
Km
s∙[(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)+(𝐾𝑚∙𝐾𝑐𝑒)]
 (18) 
 
De forma análoga a realizada na função de transferência de malha aberta, 
para encontrar a de malha fechada para que saída seja a velocidade ω(s) é 
necessário tirar o bloco integrador do sistema (1/s), pois a integral da velocidade é a 
posição, obtendo assim o seguinte diagrama de blocos: 
 
 
Figura 4 – Diagrama de blocos em malha fechada com velocidade na saída 
 
Fonte: Adaptado de Dorf e Bishop (2018) 
 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência em malha fechada: 
 
𝐹. 𝑇. 𝑀. 𝐹. =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)+(𝐾𝑚∙𝐾𝑐𝑒)
 (19) 
 
A modelagem matemática de determinado sistema dinâmico parte do 
pressuposto de que há a possibilidade de representar através de um conjunto de 
equações as características dinâmicas do sistema. Ademais, para cada sistema 
existente há a possibilidade de determinar o seu devido modelo matemático, sobre a 
perspectiva que o observador deseja analisar e modelar. 
Sobre esse contexto, segue abaixo o esquema de um motor de corrente 
contínua: 
Dando continuidade, os parâmetros físicos utilizados no presente trabalho 
podem ser constatados através da Quadro 1. 
 
 
 
 
Quadro 1 – Parâmetros propostos pela atividade 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Para adequar os equacionamentos desenvolvidos anteriormente para o 
modelo de espaço de estados, pode ser escolhido como variáveis de estado a 
velocidade de rotação e a corrente elétrica, sendo também para entrada, que até o 
momento era a tensão, sendo substituída por um degrau, ademais foram 
substituídas as nomenclaturas das variáveis para as que foram propostas pelo 
trabalho, seguindo o Quadro 1. 
Segue abaixo o modelo de espaço de estados: 
 
�̇�(𝑡) = 𝐴 [
−
𝑏
𝐽
𝐾𝑡
𝐽
−
𝐾𝑔
𝐿𝑎
−
𝑅𝑎
𝐿𝑎
] [
𝜔(𝑡)
𝑖𝑎(𝑡)_
] + [
0
1
𝐿𝑎
] 𝑢(𝑡) (20) 
 
Realizando a análise do espaço de estados através da Equação 20, 
obteve-se o seguinte script: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Script de espaço de estados do motor CC 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Uma vez que, seu desenvolvimento gerou os seguintes resultados para 
as matrizes pertencentes ao espaço de estados: 
 
Figura 6 – Resultado das matrizes de espaço de estados desenvolvido 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
2.2 Matriz de controlabilidade do sistema 
 
Para verificar se o sistema é controlável ou não, foi modelada a matriz de 
controlabilidade (matriz Control) através do Matlab. Sendo que 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = [B A ∗ B], 
assim foi obtido os valores: 
 
 
C𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 = [
0 2
2 −4
] (20) 
 
Para o sistema ser controlável o determinante da matriz citada acima teria 
que ser diferente de zero ou, utilizando o comando rank do Matlab (Figura 7), teria 
que dar o valor da ordem da matriz Control. 
Figura 7: Comandos para verificar controlabilidade 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Nesse caso o determinante foi diferente de zero e o comando rank retornou 
o valor 2, que representa a ordem da matriz, ou seja, o sistema é controlável e pode 
dar continuidade a modelagem do compensador (Figura 8). 
Figura 8: Valores obtidos para a matriz Control 
 
Fonte: Autoria própria 
 
2.3 Resposta impulsiva e ao degrau do sistema 
 
A análise da resposta do sistema foi realizada de duas maneiras, 
primeiramente para a entrada degrau em relação a função transferência de malha 
aberta e fechada, e em seguida para a entrada impulsiva. 
Segue abaixo o roteiro implementado no MATLAB: 
 
 
 
Figura 9: Script resposta ao degrau e ao impulso 
clc 
clear all 
close all 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% DADOS INICIAIS % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
Ra=1; % Resistência de armadura [Ohm] 
La=0.5; % Indutância da armadura [H] 
Kt=0.01; % Constante de torque [N.m/A] 
Kg=0.01; % Constante de FCE [V/rad/s] 
b=0.1; % Coeficiente de atrito viscoso [N.m.s] 
J=0.01; % Momento de inércia do motor [kg.m^2] 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA % 
%-------------------------------------------------------------------------%t=[0:0.05:30]; 
num1=[1]; den1=[J b]; sys1=tf(num1,den1); 
num2=[Kt]; den2=[1]; sys2=tf(num2,den2); 
num3=[1]; den3=[La Ra]; sys3=tf(num3,den3); 
 
%Malha aberta 
sysa=series(sys1,sys2); 
sys_ma=series(sysa,sys3) 
 
%Malha fechada 
sys_mf=feedback(sys_ma,Kg) 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% RESPOSTA AO DEGRAU % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
figure (1) 
subplot(2,2,[1,2]); 
[y,t]=step(sys_ma,t) 
plot(t,y,'r','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao degrau - Malha aberta') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Tensão [v]') 
 
subplot(2,2,[3,4]); 
[y1,t1]=step(sys_mf,t) 
plot(t1,y1,'b','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao degrau - Malha fechada') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Tensão [v]') 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% RESPOSTA AO IMPULSO % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
figure (2) 
subplot(2,2,[1,2]); 
[y2,t2]=impulse(sys_ma,t) 
plot(t2,y2,'r','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao impulso - Malha aberta') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Tensão [v]') 
 
subplot(2,2,[3,4]); 
[y3,t3]=impulse(sys_mf,t) 
plot(t3,y3,'b','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao impulso - Malha fechada') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Tensão [v]') 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Levando em consideração a função de transferência em malha aberta 
apresentada pela Equação 11, foram obtidas as seguintes simulações: 
 
Figura 10: Resposta ao degrau 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Em seguida, conforme a função de transferência em malha fechada 
apresentada pela Equação 18, foram obtidas as seguintes simulações: 
 
Figura 11: Resposta impulsiva 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
2.4 Regulação do sistema 
 
Um sistema regulador de estados pode ser entendido como o 
desenvolvimento de uma malha fechada na qual as referências para as saídas são 
todas iguais a zero, ou seja, a entrada do sistema fica sujeita o seu cálculo em 
função dos estados do sistema multiplicados por uma matriz de ganhos constantes, 
ressaltando que, a realimentação dos estados é negativa. 
De modo geral o regulador de estados possui a finalidade de manter o 
sistema em uma determinada condição de regime permanente, ou seja, manter os 
estados em uma dada condição estacionária. 
Desta forma foi desenvolvido o seguindo script através do MATLAB: 
 
Figura 12: Script do sistema regulado 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Primeiramente, realizando uma análise prévia da matriz A do espaço de 
estados apresentado anteriormente, buscando através dos autovalores da mesma, 
foi encontrado que para a alocação de polos em -9.9975 e -2.0025 o sistema é 
estável. 
Por conseguinte, foi realizado o cálculo dos ganhos do regulador de 
estados através da função “kreg”, na qual foi inserido o lugar dos polos a serem 
inseridos, propostos pelo roteiro da atividade, em -10 e -12. 
Desta maneira, foram obtidos os seguintes valores dos ganhos do 
sistema regulador: 
 
 
 
Figura 13: Resultados do kreg para os polos em -10 e -12 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Dando prosseguimento, no SIMULINK foi desenvolvido o diagrama de 
blocos, inserindo a referência nula de entrada, os valores dos ganhos da 
realimentação de estados negativa e do diagrama de blocos do espaço de estados, 
aos quais foram inseridos os valores das matrizes e vetores pertencentes a 
formulação do sistema; 
 
Figura 14: Diagrama de blocos do sistema regulado 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
De forma a atender a proposta, foi colocado condições iniciais 
diretamente no bloco do espaço de estados, ou seja, colocando o sistema em uma 
posição inicial de [1000 0] para realizar a simulação do sistema regulador. Os 
parâmetros dos blocos podem ser visualizados a seguir: 
 
 
 
Figura 15: Parâmetros do espaço de estados 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Por fim, foi implementado o diagrama de blocos do sistema regulado, 
porém com uma entrada degrau. 
 
Figura 16: Diagrama de blocos do sistema regulado com entrada degrau 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 Rastreio do sistema 
 
O artificio da realização do rastreamento de determinado sistema de 
controle pode ser entendido como o ato de um processo a rastrear o sinal de 
referência dado como entrada. 
Quando se trata do acionamento de um motor C.C., a qual é submetido a 
um sinal referencial de entrada, é possível fazer com que a sua saída (velocidade 
angular) siga a referência de modo perfeito em regime permanente. Este processo é 
muito usual, pois uma vez projetado o sistema de rastreamento é possível utilizá-lo 
para quaisquer sinais de entrada a ser considerada como referência. 
Primeiramente, dado o modelo de espaço de estados de um motor C.C. 
apresentado anteriormente, foi desenvolvido o seguinte script através do MATLAB: 
 
Figura 17: Script resposta ao degrau e ao impulso 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% RASTREIO % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
k1ras=sym('k1ras'); 
k2ras=sym('k2ras'); 
h=sym('h'); 
 
kras=[k1ras k2ras]; 
Aras=[A-B*kras B*h; -C 0] 
 
% Para alocar os polos deve se buscar os autovalores da mariz Aras 
 
autoval=eig(Aras) %Autovalores da matriz Aras 
autoval=[autoval(1)==-15;autoval(2)==-17;autoval(3)==-20] 
% Alocação de polos do sistema de rastreio em −15, −17 e −20; 
 
Kras=solve(autoval(1),autoval(2),autoval(3)) 
Kras.h % Primeiro valor é o ganho que procura, o segundo é resíduo --> 32 
Kras.k1ras %--> 23749/100 
Kras.k2ras %--> 20 
% k1 --> 23749/100 
% k2 --> 20 
% h --> 2550 
 
Kras=[Kras.k1ras(1) Kras.k2ras(1) Kras.h(1)] 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Desta forma, primeiramente foi utilizado a biblioteca “sym” para conseguir 
atribuir valores aos ganhos K1, K2 e h para a alocação de polos do sistema de 
rastreio. 
 
 
Em seguida foi desenvolvido o vetor “kras” a fim de se armazenar os 
valores dos ganhos, e a matriz “Aras” de forma a representar a matriz do espaço de 
estados, porém para os valores a serem atribuídos da posição dos polos. 
Logo, para alocar os polos deve-se encontrar os autovalores da matriz 
“Aras”, e em seguida atribuir os valores da alocação dos polos do sistema para o 
conjunto [-15; -17; -20]. 
Através deste desenvolvimento é realizado a resolução do sistema criado 
para os valores pré estabelecidos, podendo assim encontrar os valores dos ganhos 
K1, K2 e h necessários para o sistema, nos quais respectivamente possuem o valor 
de 247.49, 20 e 2550. 
Com esses valores encontrados é possível realizar a simulação através 
do SIMULINK, substituindo os ganhos nos blocos necessários para a aplicação. 
Segue abaixo os modelos desenvolvidos: 
 
Figura 18: Simulação do sistema de rastreio para diversos tipos de entrada 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
O presente capítulo possui o intuito de realizar a apresentação, dados, 
simulações e análises referentes a proposta do relatório realizado, de forma a 
enfatizar a utilização da alocação dos polos para um sistema regulado e um sistema 
de rastreio. 
 
3.1 Regulação do sistema 
 
Conforme os conceitos inerentes a regulação do sistema apresentados 
anteriormente, assim como a utilização do script no MATLAB, juntamente a 
construção do diagrama de blocos no simulink foi possível realizar as simulações 
requeridas pela proposta da atividade. 
Primeiramente, foi realizado a simulação do sistema regulado, de forma 
que, mesmo sem haver uma entrada definida para o sistema, ao inicia-lo é possível 
verificar que a saída alcança o valor do setpoint pré-estabelecido, e depois começa 
a diminuir em regime permanente até voltar ao estado original. 
Segue abaixo a simulação: 
 
Figura19: Simulação sistema regulado 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Com a simulação é possível verificar que, para um sistema mesmo sem 
uma entrada em sua composição, é possível realizar a sua simulação apenas com 
 
 
sua realimentação e suas condições iniciais, das quais foram apresentadas 
anteriormente. 
De forma análoga, porém inserindo um degrau no sistema para fins de 
visualização do comportamento so saída, foi obtida a seguinte simulação: 
 
 
Figura 20: Simulação sistema regulado com um degrau 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
3.2 Rastreio do sistema 
 
A utilização da alocação de polos do sistema de rastreio é muito usual 
quando deseja-se aproximar a saída tendo em vista o sinal de entrada, 
independentemente de seu valor ou formato. 
Desta forma, a presente seção busca apresentar os resultados obtidos 
através das simulações realizadas no SIMULINK para três sinais diferentes de 
referência, sendo um degrau, um senoide e uma combinação entre um sinal dente 
de serra e uma senoide. 
 
3.2.1 Degrau 
 
Para primeira simulação buscou-se realizar o rastreio acima de um sinal 
de referência simples, como o degrau unitário, a qual possui grande importância 
 
 
quando há a necessidade do estudo acima de sinal e sistemas lineares, além de 
análises de circuitos elétricos 
 Basicamente, o degrau possui valor nulo para valores menores que zero, 
e unitário para maiores que zero. Na presente simulação o degrau é deslocado uma 
casa para a direita, para melhorar a visualização, e com amplitude de 1000. 
Desta forma, segue abaixo o diagrama de blocos realizado: 
 
Figura 21: Diagrama de blocos do rastreio com entrada degrau 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Para o diagrama de blocos realizado, com o degrau utilizado como o sinal 
de rastreio, foi obtido a seguinte simulação: 
 
Figura 22: Rastreio devido a entrada degrau como referência 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Percebe-se que, em regime permanente o sinal de saída possuirá erro de 
regime permanente nulo, devido a parcela integrativa do diagrama, e com isso com 
os demais valores encontrados é possível realizar o rastreio do degrau. Outro ponto 
 
 
relevante é a presença de uma pequena oscilação, ocasionando um máximo 
sobressinal, que em pouco tempo é suprimido e a saída do sistema entra em 
regime. 
 
3.2.2 Senoide 
 
Dando prosseguimento, a segunda simulação buscou-se realizar o 
rastreio acima de uma senoide como sinal de referência, a qual representa o gráfico 
do seno de um ângulo traçada em função do ângulo, gerando assim o 
comportamento oscilatório, que em correntes alternadas representa 
matematicamente sinais em função do tempo. 
Para a simulação foi utilizada uma senoide de amplitude 1000 com 
frequência de 2 rad/s. Portanto, segue abaixo o diagrama de blocos desenvolvido: 
 
Figura 23: Diagrama de blocos do rastreio com entrada senoidal 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Em seguida, segue abaixo a saída do sistema em comparação com a 
senoide de referência: 
 
 
 
Figura 24: Rastreio devido a entrada senoidal como referência 
 
Fonte: Autoria própria 
 
Percebe-se que ao realizar o rastreio há um aumento na amplitude da 
saída em relação ao sinal de entrada, juntamente a um atraso em sua resposta, 
provindo do compensador por atraso de fase, que por sua vez reduz o ganho em 
altas frequências, atenuando os ruídos no sistema, porém acaba tornando a 
resposta mais lenta, e em baixas frequências causa o aumento do ganho, levando 
maior precisão em estado estacionário. 
 
 
3.2.3 Combinação senoide com dente de serra 
 
Para fins de validação do rastreio aplicado, foi realizado uma combinação 
entre uma senoide e uma onda dente de serra, através de um bloco somador, a qual 
realizou a composição das duas para servirem como a entrada do sistema. 
 
Figura 25: Diagrama de blocos do rastreio com entrada arbitrária 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
Desta forma, pôde perceber que houve o rastreio da onda, podendo 
visualizar uma pequena variação na defasagem da mesma, além da presença de 
umas oscilações no pico máximo da onda. 
Logo, segue abaixo a simulação: 
 
Figura 26: Rastreio devido a entrada arbitrária como referência 
 
Fonte: Autoria própria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
O presente trabalho possuiu o intuito de utilizar algumas ferramentas com 
o uso da modelagem de sistemas de controle por espaço de estados, de forma a 
apresentar alguns artifícios e metodologias aplicadas atualmente para se realizar a 
regulação e o rastreio de sistemas. 
Com o regulador foi possível verificar em como, mesmo sem uma dada 
entrada para o sistema, há a possibilidade de manter o sistema em uma data 
condição em regime permanente, devido as condições iniciais inseridas no bloco de 
espaço de estados. 
Desta forma, através das simulações pôde-se observar o comportamento 
do sistema quando submetido a esta ferramenta. 
Por conseguinte, ao utilizar o rastreio do sistema é possível visualizar a 
saída do sistema rastreando a entrada, ressaltando que, a modelagem e os valores 
dos ganhos obtidos através do MATLAB são essenciais para a simulação. 
Ademais, é notório que, independentemente da entrada, seu formato e 
amplitude, para os valores de ganhos calculado juntamente a estrutura projetada, a 
saída rastreará a entrada, obtendo apenas uma defasagem e em alguns momentos 
algumas oscilações em picos da entrada de referência. 
Por fim, a presente atividade foi imprescindível para o entendimento 
acima de ferramentas usuais do cotidiano de sistemas de controle moderno, 
principalmente quando se trabalha com modelagem de espaços de estados, 
possibilitando alocar os polos para melhorar o desempenho do sistema no lugar de 
melhor rendimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
OGATA, Katsuhiko et al. Modern control engineering. Upper Saddle River, NJ: 
Prentice hall, 2010. 
 
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Moderno; 8ª. Ed, LTC, Rio de 
Janeiro, 2001. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO A: Script completo da atividade desenvolvida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Script resposta ao degrau e ao impulso 
clc 
clear all 
close all 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% DADOS INICIAIS % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
Ra=1; % Resistência de armadura [Ohm] 
La=0.5; % Indutância da armadura [H] 
Kt=0.01; % Constante de torque [N.m/A] 
Kg=0.01; % Constante de FCE [V/rad/s] 
b=0.1; % Coeficiente de atrito viscoso [N.m.s] 
J=0.01; % Momento de inércia do motor [kg.m^2] 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
t=[0:0.05:30]; 
num1=[1]; den1=[J b]; sys1=tf(num1,den1); 
num2=[Kt]; den2=[1]; sys2=tf(num2,den2); 
num3=[1]; den3=[La Ra]; sys3=tf(num3,den3); 
 
%Malha aberta 
sysa=series(sys1,sys2); 
sys_ma=series(sysa,sys3) 
 
%Malha fechada 
sys_mf=feedback(sys_ma,Kg) 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% RESPOSTA AO DEGRAU % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
figure (1) 
subplot(2,2,[1,2]); 
[y,t]=step(sys_ma,t) 
plot(t,y,'r','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao degrau - Malha aberta') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Saída') 
 
subplot(2,2,[3,4]); 
[y1,t1]=step(sys_mf,t) 
plot(t1,y1,'b','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao degrau - Malha fechada') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Saída') 
 
%-------------------------------------------------------------------------%% RESPOSTA AO IMPULSO % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
figure (2) 
subplot(2,2,[1,2]); 
[y2,t2]=impulse(sys_ma,t) 
plot(t2,y2,'r','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao impulso - Malha aberta') 
xlabel('Tempo [s]') 
 
 
ylabel('Saída') 
 
subplot(2,2,[3,4]); 
[y3,t3]=impulse(sys_mf,t) 
plot(t3,y3,'b','LineWidth',2), grid 
title('Resposta ao impulso - Malha fechada') 
xlabel('Tempo [s]') 
ylabel('Saída') 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% ESPAÇO DE ESTADOS % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
A=[-b/J Kt/J; -Kg/La -Ra/La]; 
B=[0; 1/La]; 
C=[1 0]; %Deseja-se controlar a primeira variáveis de estado (velocidade w) 
D=0; 
 
sys1=ss(A,B,C,D); % Matriz espaço de estados 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% REGULAÇÃO % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
eig(A) %Autovalores da matriz A -> Para -9.9975 e -2.0025 sistema é estável 
 
Cont=[B A*B]; %Matriz de controlabilidade Cmp=[B AB A'B ...]=[B AB] 
 
dt=det(Cont); %Determinante da matriz controlabilidade 
 
kreg=place(A,B,[-10 -12]) %Ganhos de realimentação colocando os polos em 
%-10 e -12 para melhorar o desempenho --> x1 = -0.01 e x'1 = 5 
 
%-------------------------------------------------------------------------% 
% RASTREIO % 
%-------------------------------------------------------------------------% 
 
k1ras=sym('k1ras'); 
k2ras=sym('k2ras'); 
h=sym('h'); 
 
kras=[k1ras k2ras]; 
Aras=[A-B*kras B*h; -C 0] 
 
% Para alocar os polos deve se buscar os autovalores da mariz Aras 
 
autoval=eig(Aras) %Autovalores da matriz Aras 
autoval=[autoval(1)==-15;autoval(2)==-17;autoval(3)==-20] 
% Alocação de polos do sistema de rastreio em −15, −17 e −20; 
 
Kras=solve(autoval(1),autoval(2),autoval(3)) 
Kras.h % Primeiro valor é o ganho que procura, o segundo é resíduo --> 32 
Kras.k1ras %--> 23749/100 
Kras.k2ras %--> 20 
% k1 --> 23749/100 
% k2 --> 20 
% h --> 2550 
 
Kras=[Kras.k1ras(1) Kras.k2ras(1) Kras.h(1)] 
 
 
Fonte: Autoria própria