Pratique e compartilhe Unidade 2

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Pratique e compartilhe Unidade 2 
 
 
a) Para encontrar o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a 
função f(x) = cos(x), vamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e 
avaliá-las em x = 0. 
Derivadas de f(x) = cos(x): 
f'(x) = -sin(x) 
f''(x) = -cos(x) 
f'''(x) = sin(x) 
f''''(x) = cos(x) 
Avaliando as derivadas em x = 0: 
f(0) = cos(0) = 1 
f'(0) = -sin(0) = 0 
f''(0) = -cos(0) = -1 
f'''(0) = sin(0) = 0 
f''''(0) = cos(0) = 1 
Agora podemos escrever o polinômio de Maclaurin de grau 4 para f(x) = 
cos(x) usando as derivadas avaliadas em x = 0: 
P4(x) = f(0) + f'(0) * x + (f''(0) * x^2) / 2! + (f'''(0) * x^3) / 3! + (f''''(0) 
* x^4) / 4! 
= 1 + 0 * x + (-1 * x^2) / 2 + (0 * x^3) / 6 + (1 * x^4) / 24 
= 1 - (x^2) / 2 + (x^4) / 24 
Portanto, o polinômio de Maclaurin de grau 4 para f(x) = cos(x) é P4(x) = 1 
- (x^2) / 2 + (x^4) / 24. 
 
 
 
 
 
 
(b) Para encontrar o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a função 
f(x) = e^x, vamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e avaliá-las em x = 0. 
Derivadas de f(x) = e^x: 
f'(x) = e^x 
f''(x) = e^x 
f'''(x) = e^x 
f''''(x) = e^x 
Avaliando as derivadas em x = 0: 
f(0) = e^0 = 1 
f'(0) = e^0 = 1 
f''(0) = e^0 = 1 
f'''(0) = e^0 = 1 
f''''(0) = e^0 = 1 
Agora podemos escrever o polinômio de Maclaurin de grau 4 para f(x) = e^x 
usando as derivadas avaliadas em x = 0: 
P4(x) = f(0) + f'(0) * x + (f''(0) * x^2) / 2! + (f'''(0) * x^3) / 3! + (f''''(0) * x^4) / 
4! 
= 1 + 1 * x + (1 * x^2) / 2 + (1 * x^3) / 6 + (1 * x^4) / 24 
= 1 + x + (x^2) / 2 + (x^3) /