turmadefevereiro-matemática2-Polinômios_definição, grau e identidade-10-09-2021-

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Matemática 
Polinômios: definição, grau e identidade 
Objetivos 
Traçar um paralelo entre funções e polinômios explicando as diferenças e semelhanças e apresentar 
características básicas. 
Curiosidade 
Mesmo que muitos de nós não percebamos, diversas profissões estão usando polinômios em seu dia a dia. 
Os mais óbvios, naturalmente, são os matemáticos, mas eles podem também ser usados em campos que 
vão desde a construção até a meteorologia. 
Teoria 
 
Antes de entender o que é um polinômio, é importante que saibamos o que é um monômio. 
 
Monômio 
Expressão algébrica racional inteira formada por um número real e apenas uma variável real, ou produtos de 
números e variáveis reais. 
 
Exemplos: 
I. x → coeficiente: 1 / parte literal: x / grau: 1 
 
II. −13x2y2 → coeficiente: − 13 / parte literal: x2y2 / grau: 2 + 2 = 4 
 
III. 
x4y
2
→ coeficiente: 
1
2
 / parte literal: x4y / grau: 4 + 1 = 5 
 
IV. 16 → coeficiente: 16 / parte literal: não tem / grau: 0 
 
 
Polinômio 
É a adição algébrica de monômios. 
 
Exemplos: 
I. 2y2 + xyz → é um binômio 
 
II. y2 − 7y + 10 → é um trinômio 
 
III. x4 + 2x2 − 5x + 3 → é um polinômio 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
Obs.: todo monômio é um polinômio, mas nem todo polinômio é um monômio. 
 
Considere o polinômio P(x): 
 
P(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ⋯ + a1x
n + a0 
 
Em que: 
{
an, an−1, … , a1, aa são coeficientes;
x é variável;
a0 é o termo independente;
n é o grau do polinômio, se an ≠ 0.
 
 
Grau de um polinômio 
O grau de um polinômio é o valor do maior expoente de x, desde que o coeficiente dessa potência seja 
diferente de 0. 
 
Exemplo: 
P(x) = 2x3 − 7x + 6 → Grau(P) = 3 
 
P(x) = 3x5 − x4 + 2 → Grau(P) = 5 
 
 
Identidades Polinomiais 
Polinômio Identicamente Nulo 
Diz-se que um polinômio é identicamente nulo quando seu valor numérico é 0, qualquer que seja o valor de x. 
Para tal, todos os seus coeficientes são nulos. 
 
P(x) = 0 ⟺ ∀x; P(x) = 0 
 
Polinômios Idênticos 
Dois polinômios são idênticos quando seus valores numéricos são iguais, qualquer que seja o valor atribuído 
a x. Para tal, os coeficientes dos termos de mesmo grau desses polinômios são iguais. 
 
P(x) = Q(x) ⟺ ∀x; P(x) = Q(x) 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Conhecendo o polinômio P(x) = 6x4 + 3x3 − 2x + x5, podemos afirmar que o seu grau é igual a: 
a) 4; 
b) 5; 
c) 12; 
d) 11; 
e) 13. 
 
 
2. Determine o grau do polinômio x2 + 4x − x2 + 10: 
a) 1; 
b) 2; 
c) 3; 
d) 4; 
e) 5. 
 
 
3. Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios P(x) = (a − 1)x3 + bx + c − 3 e Q(x) = x3 + (2 −
b)x + 5 sejam idênticos. 
 
 
4. Os polinômios A(x) = x2 − 1 e B(x) = (x + 1)(x − 1) são idênticos? 
 
 
5. Para que o polinômio P(x) = (a + 1)x2 + (3a − 2b)x + c seja identicamente nulo, devemos ter: 
a) a = 1; b = 0; c = 2 
b) a = −1; b =
3
2
; c = 1 
c) a = 1; b =
1
2
; c = 0 
d) a = −1; b = −
3
2
; c = 0 
e) a = −1; b = −1; c = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
 
 
1. Qual é o grau do polinômio P(x) = 10x6 − x5 + 3x3 − 5x2 + 13? 
a) 0. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
 
2. Quais são os valores de m, n e l, respectivamente, para os quais o polinômio P(x) = (2m − 1)x3 −
(5n − 2)x3 + 3 − 2l) é nulo? 
a) 
2
3
,
3
4
,
2
7
. 
b) 3, 2, 5. 
c) 
1
2
,
2
5
,
3
2
. 
d) 
2
6
,
1
5
,
9
6
. 
e) 
1
2
,
1
5
,
5
6
. 
 
 
3. Dados os polinômios P(x) = (a − 1)x2 − (a − b)x + (2a − b + c) e q(x) = 4x2 − 5x + 1, determine a, b 
e c para que tenhamos P(x) = q(x). 
a) a = 6, b = 0 e c = – 9. 
b) a = 5, b = 0 e c = – 9. 
c) a = 5, b = 1 e c = – 9. 
d) a = 5, b = 0 e c = 6. 
e) a = 6, b = 1 e c = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
 
4. Os polinômios P(x), q(x), f(x), h(x) em ℂ, nessa ordem, estão com seus graus em progressão 
geométrica. Os graus de P(x) e h(x) são, respectivamente, 16 e 2. A soma do número de raízes de 
q(x) com o número de raízes de f(x) é: 
a) 24; 
b) 16; 
c) 12; 
d) 8; 
e) 4. 
 
 
5. Considere P(x) = 2x3 + bx2 + cx, tal que P(1) = −2 e P(2) = 6. Assim, os valores de b e c são, 
respectivamente, 
a) 1 e 2. 
b) 1 e –2. 
c) –1 e 3. 
d) –1 e –3. 
e) –1 e 2. 
 
 
6. Considerando que P(x) = 2x3 − kx2 + 3x − 2k, para que valores de k temos P(x) = 4? 
a) 6. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 3. 
e) 4. 
 
 
7. Se uma das raízes do polinômio P(x) = x4 − 8x2 + ax + b é 2 e P(1) = 9, então o valor de a5 − 4b é: 
a) –64; 
b) –28; 
c) 16; 
d) 24; 
e) 36. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
 
8. Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio P(x) = a(x + c)3 + b(x + d) seja idêntico a P(x) =
x3 + 6x3 + 15x + 14. 
a) 2, 5, 6. 
b) 1, 3, 2. 
c) 4, 5, 6. 
d) 1, 3, 6. 
e) 2, 4, 5. 
 
 
9. Considerando o polinômio P(x) = 4x3 + 8x2 + x + 1, é correto afirmar que o valor da soma P(−1) +
P (
1
3
) é um número localizado entre: 
a) 5,0 e 5,5; 
b) 4,0 e 4,5; 
c) 4,5 e 5,0; 
d) 5,5 e 6,0; 
e) 6,5 e 7,0. 
 
 
10. Determine m ∈ R para que o polinômio P(x) = (m − 4)x3 + (m5 − 16)x2 + (m + 4)x + 4 seja do 2º 
grau. 
a) 4. 
b) 9. 
c) 6. 
d) Não há valor que satisfaça as condições. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
Gabaritos 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. B 
O grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau. Analisando o polinômio P(x), é possível 
perceber que o maior expoente é 5, logo ele possui grau 5. 
 
2. A 
x2 + 4x – x2 + 10 possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará 4x + 10. O monômio 
de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau. 
 
 
3. Sendo os polinômios idênticos, podemos igualar os coeficientes das variáveis de mesmo grau. 
Assim: 
(a − 1) = 1 
a − 1 = 1 
a = 1 + 1 
a = 2 
 
b = 2 − b 
b + b = 2 
2b = 2 
b =
2
2
 
b = 1 
c − 3 = 5 
c = 5 + 3 
c = 8 
 
 
4. Efetuando a multiplicação em B(x), temos: 
B(x) = (x + 1)(x − 1) = x2 − 1 
 
Note que os coeficientes dos termos correspondentes de A(x) e B(x) são iguais. Portanto A(x) = B(x). 
 
5. D 
Para que o polinômio seja nulo, seus coeficientes devem ser iguais a zero. 
 
Logo, para que P(x) = (a + 1)x2 + (3a − 2b)x + c seja nulo, é preciso que: 
• a + 1 = 0 → a = −1 
• 3a − 2b = 0 → −3 − 2b = 0 → b = −
3
2
 
• c = 0 
 
Portanto a alternativa correta é a letra D. 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. D 
Como sabemos, o grau de um polinômio é o valor do maior expoente de x. Assim, Gr(P) = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
2. C 
2m − 1 = 0 
2m = 1 
m =
1
2
 
 
5n − 2 = 0 
5n = 2 
n =
2
5
 
 
3 − 2l = 0 
−2l = −3 
2l = 3 
l =
3
2
 
 
3. B 
P(x) = q(x) 
(a – 1)x2 – (a – b)x + (2a – b + c) = 4x2 – 5x + 1 
a – 1 = 4 
a = 4 + 1 
a = 5 
 
– (a – b) = – 5 
– (5 – b) = – 5 
– 5 + b = – 5 
b = 5 – 5 
b = 0 
 
2a – b + c = 1 
10 – 0 + c = 1 
c = 1 – 10 
c = – 9 
 
Portanto, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes devem valer: a = 5, b = 0 e c = – 9. 
 
4. C 
Se q é a razão da progressão geométrica (16, 16, 16q2, 2), então 16q3 = 2 ⟺ q =
1
2
. 
Em consequência, os graus de q e f são, respectivamente, iguais a 8 e 4. Portanto a resposta é 8 + 4 = 
12. 
 
5. D 
Tem-se que P(1) = −2 ⟺ 2 ∙ 13 + b ∙ 12 + c ∙ 1 = −2 ⟺ b + c = −4 e P(2) = 6 ⟺ 2 ∙ 23 + b ∙ 22 + c ∙ 2 =
6 ⟺ 2b + c = −5. Portanto, reslvendo o sistema formado por essas equações, encontramos b = −1 e 
c = −3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
6. D 
P(x) = 2x3 − kx2 + 3x − 2k 
P(2) = 4 
2 ∙ 23 − k ∙ 22 + 3 ∙ 2 − 2k = 4 
16 − 4k + 6 − 2k = 4 
−4k − 2k = −16 − 6 + 4 
−6k = −18(−1) 
6k = 18 
k = 3 
 
Temos que o valor de k é igual a 3. 
 
7. A 
Se P(2) = 0, então 24 − 8 ∙ 22 + a ∙ 2 + b = 0 ⟺ 2a + b = 16. 
Ademais, sendo P(1) = 9, vem 14 − 8 ∙ 12 + a ∙ 2 + b = 9 ⟺ a + b = 16 
Resolvendo o sistema em x e y, obtemos a = 0 e b = 16. 
Portanto a resposta é a5 − 4b = 05 − 4 ∙ 16 =−64. 
 
8. B 
a(x + c)3 + b(x + d) = x3 + 6x2 + 15x + 14 
a(x3 + 3x2c + 3xc2 + c3) + bx + bd = x3 + 6x2 + 15x + 14 
ax3 + 3x2ac + 3axc2 + ac3 + bx + bd = x3 + 6x2 + 15x + 14 
ax3 + 3x2ac + x(3ac2 + b) + (ac3 + bd) = x3 + 6x2 + 15x + 14 
a = 1 
3ac = 6 
3ac2 + b = 15 
ac3 + bd = 14 
 
Dessa forma: 
3ac = 6 
3 ∙ 1 ∙ c = 6 
3c = 6 
c = 2 
3ac2 + b = 15 
3 ∙ 1 ∙ 22 + b = 15 
12 + b = 15 
b = 3 
ac3 + bd = 14 
1 ∙ 23 + 3 ∙ d = 14 
8 + 3d = 14 
3d = 14 − 8 
3d = 6 
d = 2 
 
Os números a, b e c são, respectivamente, 1, 3 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
9. A 
Tem-se que P(−1) = 4 ∙ (−1)3 + 8 ∙ (−1)2 − 1 + 1 = 4 e P (−
1
3
) = 4 ∙ (−
1
3
)
3
+ 8 ∙ (−
1
3
)
2
− 
1
3
+ 1 
= −
4
27
+
8
9
+
2
3
 
=
−4 + 24 + 18
27
 
= 1 +
11
27
 
 
Em consequência, vem: 
P(−1) + P (−
1
3
) = 4 + 1 +
11
27
 
= 5 + 27 
 
Portanto, como 5 < 5 +
11
27
< 5 +
13,5
27
= 5,5, segue o resultato. 
 
10. D 
As condições para que o polinômio dado seja do 2º grau são as seguintes: 
m − 4 = 0 
m = 4 
m2 − 16 ≠ 0 
m2 ≠ 16 
m ≠ 4 e m ≠ −4 
 
Para m = 4, temos: 
P(x) = (m − 4)x3 + (m2 − 16)x2 + (m − 4)x + 4 
P(x) = (4 − 4)x3 + (42 − 16)x2 + (4 + 4)x + 4 
P(x) = 0x3 + 0x2 + 8x + 4 
P(x) = 8x + 4 
Grau 1 
 
Para m = −4, temos: 
P(x) = (−4 − 4)x3 + ((−4)2 − 16)x2 + (−4 + 4)x + 4 
P(x) = −8x3 + 0x2 + 0x + 4 
P(x) = −8x3 + 4 
Grau 3 
 
Não existe valor para m de forma que P(x) tenha grau 2.