Estrutura Cristalina - Metais II

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◼1
Materiais e suas 
Propriedades
Aula 02 – Estrutura Cristalina
Parte 2
◼2
Algumas definições....
- Polimorfismo
- Densidade
- Cristais como blocos construtivos
- Mono e policristais
◼3
Polimorfismo
• Pode haver duas ou mais estruturas cristalinas distintas para 
um mesmo material (alotropia para elementos simples)
•
Ferro
,  e 
carbono
diamante, grafite
CCC
CFC
CCC
1538ºC
1394ºC
912ºC
-Fe
-Fe
-Fe
líquido
Sistema do Ferro
◼4
Densidades das Classes de Materiais
rmetais > rcerâmicas> rpolímeros
Por quê?
Dados de densidade extraídos da tabela B1, Callister 
7e. inglês – material de apoio
r
(g
/c
m
 
)
3
Graphite/ 
Ceramics/ 
Semicond
Metals/ 
Alloys
Composites/ 
fibers
Polymers
1
2
20
30
Based on data in Table B1, Callister 
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).10
3
4
5
0.3
0.4
0.5
Magnesium
Aluminum
Steels
Titanium
Cu,Ni
Tin, Zinc
Silver, Mo
Tantalum
Gold, W
Platinum
Graphite
Silicon
Glass -soda
Concrete
Si nitride
Diamond
Al oxide
Zirconia
HDPE, PS
PP, LDPE
PC
PTFE
PET
PVC
Silicone
Wood
AFRE*
CFRE*
GFRE*
Glass fibers
Carbon fibers
Aramid fibers
* Metais possuem...
• empacotamento fechado
(ligação metálica)
• massas atômicas maiores
* Cerâmicas possuem...
• menor densidade de 
empacotamento
• elementos mais leves
* Polímeros têm...
• baixa densidade de 
empacotamento (geralmente
amorfo)
• elementos mais leves(C,H,O)
* Compósitos...
• valores Intermediários
De maneira geral a densidade de 
◼5
• Algumas aplicações de engenharia requerem monocristais:
• Propriedades de materiais cristalinos são
frequentemente relacionadas com sua
estrutura.
--Ex: Fratura no quartzo ocorre
mais facilmente ao longo de certos
planos cristalinos do que em
outros – planos de clivagem.
--monocristais de diamantes para
abrasivos
--lâminas de 
turbinas
Fig. 8.33, Callister 7e.
(GE Superabrasivos)
Ideia de Cristais como blocos
construtivos
Fluorita – -
https://commons.wikimedia.org/
wiki/File:Fluorita_green.jpeg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fluorita_green.jpeg
◼6
• Maioria dos materiais de engenharia são policristalinos.
• Placa de Nb-Hf-W resultante da solda por feixe de elétrons.
• Cada grão é um único cristal
• se os grãos estão orientados aleatoriamente, as propriedades
gerais do componente não são direcionais.
• Tamanho de grãos típicos: faixa de 1 nm até 2 cm
(i.e., de alguns até milhões/bilhões de planos atômicos).
Adaptado do Callister
5ed.
1 mm
Policristais
Grãos
Isotrópicos
Grãos
Anisotrópicos
◼7
• Monocristais
-Para materiais anisotrópicos
Propriedades variam com a direção:
-Exemplo: módulo de 
elasticidade (E) no Fe CCC:
• Policristais
-Propriedades podem ou não 
variar com a direção.
-se os grãos estão orientados 
aleatoriamente: isotrópico.
(Epoli ferro = 210 GPa)
-se os grãos estão 
texturizados, logo anisotrópico
200 mm
Dados da tabela 3.3, 
Callister 7e.
(Fonte R.W. Hertzberg, 
Deformation and 
Fracture Mechanics of 
Engineering Materials, 
3rd ed., John Wiley and 
Sons, 1989.)
Adaptado da Fig. 
4.14(b), Callister 7e.
(Fig. 4.14(b) is courtesy 
of L.C. Smith and C. 
Brady, the National 
Bureau of Standards, 
Washington, DC [now 
the National Institute of 
Standards and 
Technology, 
Gaithersburg, MD].)
Monocristais vs Policristais
E (diagonal) = 273 GPa
E (lateral) = 125 GPa
◼8
Pontos, direções e planos Cristalográficos 
envolvendo Células Unitárias
◼9
Coordenadas ou ponto de rede
As coordenadas de rede 
para um dos cantos da C.U. :
111
As coordenadas de rede para o 
centro de uma C.U. são:
a/2, b/2, c/2 ½ ½ ½
Translação: múltiplo inteiro das 
constantes de rede →
posição idêntica em outra
célula unitária
z
x
y
a b
c
000
111
y
z
•
2c
•
•
•
b
b
c
Coordenadas ou pontos de rede
◼10
Extraído do Callister 7 ed.
Planos e Direções Cristalográficas
• Terminologia
– Direções: [ ]
– Planos: ( )
– Famílias de direções: < >
– Famílias de planos equivalentes: {}
VETORES!!!!
◼[110] CCC
◼[110] CFC
◼12
Direções Cristalográficas
1. Reposicionar o Vetor (se necessário) para 
passar através da origem 0,0,0.
2. Leia as projeções em termos das 
dimensões da célula unitária a, b e c
3. Ajuste aos menores valores inteiros
(aqui no exemplo multiplicou-se por 2)
4. Coloque entre colchetes, sem vírgula
[uvw]
ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ]
-1, 1, 1
Família de direções <uvw>
z
x
Algoritmo
Onde o tracejado representa um 
número negativo
[ 111 ]=>
y
x
y
z
Sistema para classificação de direções cristalográficas
Eixo x y z
Projeção a b/2 0
Projeção (em termos de 
a =1, b = 1, c=1
1 1/2 0
Ajuste (menores valores inteiros) 2 1 0
Classificação [2 1 0]
a
b/2
c
b/2
Como representar as direções na célula unitária?
• [100] [110] [111] [021]
z
1. Desenhe a célula + 
origem
2. Desenhe o vetor
3. “reduza” aos
menores valores
inteiros
4. [xyz]
x
y
[Direções]
• [100]
• [100]
• [011]
• [011]
x
y
z
◼0,0,1
◼1,1,
0
◼1,1,1
◼1,1,2
◼[001] ◼[112]
◼[111]
◼[110]
◼Esboçar as direções [001], [112], [111] 
e [110]
• <100>
• [100]
• [010]
• [001]
• [100]
• [010]
• [001]
x y
z
Uma <família de direções> inclui todas as direções 
possíveis com as mesmas coordenadas básicas
<Família de Direções>
x
y
z
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼[111]
◼Família 
<111>
◼19
Direções Cristalográficas
Densidade Linear
DL =
Número de átomos centrados sobre o vetor direção
Comprimento do vetor direção
Exemplo- Determinar a DL na 
direção [110] para a estrutura 
cristalina CFC
RR
átomos
DL
2
1
4
2
110 ==
- Direções equivalentes possuem densidades lineares idênticas.
[110]
◼21
ex: densidade linear do Al na
direção [110] 
a = 0.405 nm
Densidade Linear
• Densidade atômica linear  DL =
a
[110]
Unidade de comprimento do 
vetor direcional
Número de Átomos
No. átomos
comprimento
13.5 nm
a2
2
DL
-==
◼22
HCP – Direções Cristalográficas
1. Reposicionar o Vetor (se necessário) 
para passar através da origem. 
2. Leia as projeções em termos das 
dimensões da célula unitária a1, a2 , a3 e c 
3. Ajuste aos menores valores inteiros
4. Coloque entre colchetes, sem vírgula
[ 1120 ]ex: ½, ½, -1, 0 =>
As linhas tracejadas
indicam projeções nos
eixos a1 e a2
a1
a2
a3
-a3
2
a2
2
a1
-
a3
a1
a2
z
Algoritmo
◼23
• Cristais Hexagonais
– 4 parâmetros Miller-Bravais de coordenadas de 
rede estão relacionados com os indíces (i.e., 
u'v'w') como se segue: 
– Verificar a conversão de [010] -> [1210]
=
=
=
'ww
t
v
u
)vu( +-
)'u'v2(
3
1
-
)'v'u2(
3
1
-=
]uvtw[]'w'v'u[ →
-
a3
a1
a2
z
HCP – Direções Cristalográficas
◼24
Planos Cristalográficos
• Índices de Miller: Recíprocos dos interceptos 
axiais, livre de frações e múltiplos. Todos os 
planos equivalentes têm os mesmos índices 
de Miller. 
• Algoritmo
1. Leia os interceptos do plano com os eixos em 
termos de a, b, c
2. Pegue os recíprocos dos interceptos;
3. Reduza para o menor valor inteiro
4. Coloque entre parênteses, sem vírgulas 
i.e., (hkl)
Planos Cristalográficos
• Especificados através dos índices de Miller (h k l)
• Basicamente é o inverso de onde se cruzam os eixos x,y e z.
• Índice de Miller desse plano (012)
◼25
Extraído do Callister
◼26
Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
exemplo a b c
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Interceptos 1 1 
2. Inverso 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Redução 1 1 0
1. Interceptos 1/2  
2. Recíproco 1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Redução 2 0 0
exemplo a b c
Adaptado do Callister 7e.
◼27
Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
•
•
•
4. Índices de Miller(634)
exemplo
1. Interceptos 1/2 1 3/4
a b c
2. Recíprocos 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Redução 6 3 4
(001)(010),
Família de Planos {hkl}
(100), (010),(001),Ex: {100} = (100),
Adaptado do Callister 7e.
◼28
Planos Cristalográficos (HCP)
• Em células unitárias Hexagonais, o mesmo
princípio é aplicado
examplo a1 a2 a3 c
4. Índices Miller-Bravais (1011)
1. Interceptos 1  -1 1
2. Recíprocos 1 1/
1 0 
-1
-1
1
1
3. Redução 1 0 -1 1
a2
a3
a1
z
Adaptado da Fig. 3.8(a), Callister 7e.
◼29
Planos Cristalográficos
◼Verifique para a figura 
ao lado
Adaptado do Callister 7e.
◼30
Planos Cristalográficos
Adaptado da Fig. 3.9, Callister 7e.
◼y
◼z
Sistema para classificação de planos cristalográficas
Eixo x y z
Projeção a b C
Projeção (em termos de 
a =1, b = 1, c=1
1 1 1
Redução 1 1 1
Classificação-índice de Miller (1 1 1)
◼a
◼c
◼b
◼Como representar as posições dos planos 
cristalinos?
Sistema para classificação de direções 
cristalográficas
Eixo x y z
Projeção a b C
Projeção (em termos de 
a =1, b = 1, c=1
1 1 1
Redução 1 1 1
Classificação
[1 1 1]
(Perpendicular ao 
plano (1 1 1))
(Planos)
• (xyz)
• (100) (110)
• (111) (100) (040) (020) 
x y
z
1. Desenhe a origem e a célula 
unitária.
2. O plano (x,y,z) interceptará os eixos 
em (1/x, 1/y, 1/z)Índices de 
Miller
{Famílias de Planos}
• {xyz}
• {100}
• {110}
• {100}
x y
z
Arranjo atômico em um sistema cúbico simples
• Ao longo do plano
(xyz)
• (100)
• (110)
• (111)
x y
z
±
±
-
++
Exercício:
Desenhar o arranjo
atômico para o 
plano (110), porém
em sistemas CFC e 
CCC
◼Resposta
◼36
Planos Cristalográficos
• Às vezes é necessário calcular o
empacotamento atômico para os planos
cristalográficos
• Uma folha de ferro pode ser usado como
catalisador. O empacotamento atômico dos
planos expostos é importante.
a) Desenhe os planos cristalográficos (100) e (111)
para o Fe.
b) Calcule a densidade para cada um desses
planos.
◼37
Densidade planar para o Fe (100) 
Solução: em T < 912C o ferro tem a estrutura CCC 
structure.
(100)
Raio do Fe R = 0.1241 nm
R
3
34
a =
Adaptado da Fig. 3.2(c), Callister 7e.
2D unidade
de repetição
= Densidade planar= 
a2
1
átomos
2D unid. Repet.
= 
nm2
Atms
12.1
m2
átomos
= 1.2 x 1019
1
2
R
3
34área
2D unid. repetição
◼38
Densidade Planar para Fe (111) 
Solução (cont): plano(111) 1 átomo no plano/ unid. superfície
33
3
2
2
R
3
16
R
3
42
a3ah2área =







===
Átomos no plano
átomos acima do plano
átomos abaixo do plano
ah
2
3
=
a2
1
= = 
nm2
átomos
7.0
m2
átomos
0.70 x 1019
3 2R
3
16
Densidade planar = 
átomos
2D Unid. Repet.
área
2D unid.repet.
Densidades Planar
◼- Planos cristalográficos equivalentes possuem densidades 
planares idênticas.
DP=
Número de átomos centrados sobre um plano
Área do plano
24
1
28
2
22110 RR
átomos
DP ==
Bibliografia
• W.D. Callister Jr., Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução. Trad.
Murilo Stamile Soares, 5ª Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2002.
• L.H. Van Vlack, Princípios de Ciências dos Materiais: Uma Introdução, 5ª
Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2002.
• J.F. Schackelford, Introduction to Materials Science for Engineers, Prentice
Hall, 6th Edition, 2004.
• J.C.Anderson, K.D.Leaver, P.Leevers, R.D.Rawlings, Materials Science for
Engineers, 5th Edition
• Material de aula dos professores Sandra e Márcio.
◼40