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MODELAGEM MATEMÁTICA 
APLICADA ÀS FINANÇAS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. Ernani João Silva 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à disciplina de Modelagem Matemática Aplicada às 
Finanças. Acredito que você está curioso sobre o que vem a ser essa tal 
“modelagem matemática” e, logicamente, como ela é “aplicada às finanças”. 
Vamos responder a essa questão por partes. 
Modelagem significa fazer um modelo para alcançar uma melhor 
percepção sobre algo que necessita ser analisado. Por exemplo, antes de um 
alfaiate cortar tecidos caros para fazer um terno, ele sensatamente faz uso de 
uma modelagem dessa vestimenta em materiais mais simples (em geral, no 
papel). Da mesma forma, uma artista, antes de esculpir uma obra de arte de 
grandes proporções em um mármore, também faz um modelo em escala menor 
desse projeto. Entendeu? Uma modelagem nada mais é que um artifício utilizado 
para entendermos o que pode ocorrer em um determinado evento a ser 
realizado. 
Seguindo essa linha de raciocínio, podemos dizer que uma modelagem 
matemática é o que os estudiosos fazem quando querem analisar como certo 
evento se comportará frente às possibilidades numéricas conhecidas. Isso pode 
ser feito em diferentes ciências, como economia, física, biologia, sociologia etc. 
Em nosso caso, aplicamos a modelagem matemática em um cenário de 
finanças, ou seja, analisamos questões da vida financeira por meio de modelos 
matemáticos para buscar entendimento sobre o possível comportamento do 
capital ao longo do tempo. 
Nossa disciplina vai conduzi-lo nesse novo saber por meio de seis aulas 
(também chamadas de rotas), em que cada uma foi didaticamente dividida em 
cinco temas de aplicações de modelos matemáticos. Nesta primeira aula, nossa 
estrutura em temas apresenta uma visão geral sobre o que são juros (tema 1) e 
como eles impactam no capital (temas 2 e 3). Em seguida, vemos as formas de 
capitalização (tema 4) e, por fim, como os frutos desses rendimentos podem 
apresentar, em um mesmo período de tempo, igualdade de resultados (tema 5). 
Ufa! Quanto conteúdo que será visto. Talvez você esteja se perguntando 
“Por que tudo isso?”. Bem, nosso objetivo é que ao término desta aula você seja 
capaz de entender como os modelos da matemática financeira podem ser 
aplicados em nosso dia a dia. Além disso, queremos que você compreenda quais 
cuidados devem ser tomados quando taxas de juros são utilizadas em cálculos 
 
 
3 
e como estas devem ser interpretadas quando são citadas em projetos ou em 
investimentos financeiros. Dito isso, só me resta dizer... boa leitura! 
CONTEXTUALIZANDO 
A expressão finança é algo comum nas conversas das pessoas. Todavia, 
se você perguntar o que ela significa ou como surgiu, dificilmente encontrará 
alguém capaz de lhe responder. A palavra finança tem sua origem no termo 
francês finance e este, por sua vez, vem do termo finaare, que deriva do latim 
finis. O que significa? Bem, finis era usado para expressar “fim” e finace era uma 
expressão comum para indicar o “fim de uma dívida”. Assim, durante esta aula, 
desenvolvemos nosso raciocínio com base nesse cenário linguístico. 
Uma operação financeira envolve duas partes: uma que cede um capital 
(recurso financeiro) e outra que recebe esse capital. Dado esse fato, precisamos 
analisar como deve ser o fim dessa dívida (o valor a ser pago) ao longo do tempo. 
Talvez você esteja pensando: quando vou aplicar isso? A resposta é: em 
muitos momentos de sua vida! Entre outras aplicações, temos aqueles exemplos 
em que alguém empresta dinheiro para outra pessoa; alguém empresta dinheiro 
para um banco (o mercado chama isso de aplicação); alguém empresta dinheiro 
para uma empresa (o mercado chama isso de venda a prazo, de empréstimo 
comercial, participação acionária etc.). 
Este, meu caro leitor, é o contexto que abordamos nesta aula. Juntos, nós 
tentamos entender como oportunidades, riscos, capital, tempo e juros podem ser 
modelados pelo uso da matemática para serem aplicados. 
TEMA 1 – JUROS: CONCEITO ECONÔMICO BÁSICO 
Como vimos anteriormente, uma dívida ocorre quando alguém empresta 
algo que tem sobrando a outra pessoa que o necessita. Acontece que o ser 
humano, pelo menos segundo as teorias econômica clássica e neoclássica, é 
um indivíduo racional, egoísta e maximizador do próprio bem-estar. Tudo bem, 
eu sei que essas não as palavras mais lindas para nos definir, porém entenda 
que é assim que a história registrou nossos feitos aos olhos de muitos 
economistas. Dado os atributos apresentados, o ser humano, para aceitar 
emprestar algo para alguém, precisar ter uma vantagem mínima para si, isto é, 
 
 
4 
precisa ter um ganho que atenda a seu egoísmo de tal maneira que sua razão 
diga que seu bem-estar aumentou de alguma forma. 
Para que possamos dizer que algo é melhor ou pior, é necessário 
compará-lo com alguma coisa, ou seja, precisamos de uma régua. Nesse 
sentido, a razão econômica passou a considerar nos empréstimos duas variáveis 
nesse processo de comparação: custo de oportunidade e prêmio de risco. O 
custo de oportunidade considera o sacrifício que um empréstimo gera para quem 
empresta. Já o prêmio de risco é um valor adicional que é pago para quem cedeu 
o empréstimo, dado o risco de o dinheiro não ser devolvido segundo o acordo 
feito. Ou seja, esse último é um valor adicional pago para convencer alguém a 
sair de uma posição de risco menor para ir a uma posição de risco maior. A soma 
do custo de oportunidade com o prêmio de risco é o que chamamos de custo do 
capital ou juros. 
A palavra juro, como visto anteriormente, representa, portanto, um valor 
de direito que alguém tem por ter cedido sua propriedade a outrem. Podemos 
dizer que o juro nada mais é que o aluguel do dinheiro. Essa ideia vai de encontro 
com a própria origem da palavra, pois segundo alguns estudiosos, como 
demonstra Rodrigues (2014), juros deriva do “latim jus, juris (direito de 
propriedade, justiça, documento que estabelece um direito)”. Todavia, convém 
ressaltar que nem todas as nações usam o termo juro – os americanos usam 
interest; os espanhóis, interés; os franceses, intérêt, e assim por diante. 
Resumindo, muitos usam no lugar de juro a expressão interesse, ou seja, o valor 
que interessa para aquele que cede o dinheiro. Ficou um pouco confuso? Então 
veja este exemplo: 
Imagine que o Sr. João Honesto tem um amigo que está precisando de 
R$ 200 mil emprestados, por certo período de tempo, para comprar um carro 
esportivo. O Sr. João tem esse valor disponível, porém o dinheiro está aplicado 
em um banco. Além disso, por coincidência, para o mesmo período de tempo 
que o amigo deseja ficar com o dinheiro, o contrato do banco diz que o capital 
do Sr. João vai ser remunerado em R$ 10 mil. Ou seja, os R$ 200 mil de nosso 
fictício personagem, se ficarem no banco, vão aumentar para R$ 210 mil. Agora, 
se Sr. João sacar o dinheiro para emprestá-lo ao amigo, obviamente perderá a 
oportunidade de ganhar esse juro bancário. Assim, o valor de R$ 10 mil 
representa seu custo de oportunidade. 
 
 
5 
Quanto ao risco, sabemos que no banco o risco do Sr. João Honesto é 
praticamente zero, pois lá ele tem liquidez diária (pode sacar seu dinheiro a 
qualquer momento) e, além disso, como o banco é sólido (tradicional e bem 
capitalizado), o risco de o banco não devolver o dinheiro é inexpressivo. O 
mesmo não ocorre com o amigo do Sr. Honesto, pois ele pode perder o emprego, 
fugir etc. Seja qual for o caso, acabou o dinheiro e a amizade. Por isso, para que 
o Sr. João Honesto seja convencido a tirar seu dinheiro do banco, ele precisa teralguma vantagem nesse empréstimo para o amigo. Quanto de vantagem? Pelo 
menos um valor que supere os ganhos do banco, dado o risco que ele precisará 
assumir. Em outras palavras, ele precisa receber um valor adicional que cubra, 
segundo sua análise, o risco que está assumindo pelo tempo que ficará longe de 
seu dinheiro. Ele precisa receber um valor denominado pelo mercado como 
prêmio de risco. 
Convém ressaltar que o valor de um prêmio de risco é algo muito pessoal, 
por isso alguns estipulam quantias maiores e outros valores menores que 
aquelas que, muitas vezes, acreditaríamos ser certo e(ou) justo. Para 
resumirmos a história, vamos supor que o Sr. João considere justo receber um 
prêmio de risco de R$ 5 mil pelo empréstimo dos R$ 200 mil. Assim, temos que 
o juro a ser cobrado pelo nosso personagem para ceder o empréstimo é de R$ 
15 mil (R$ 10 mil de custo de oportunidade mais R$ 5 mil de prêmio de risco). 
Com base nesse conceito, podemos elaborar nosso primeiro modelo matemático 
a ser aplicado em finanças: 
 K = J = COp + PR (1) 
Em que: 
 K = custo do capital (em unidades monetárias); 
 J = juros (em unidades monetárias); 
 COp = custo de oportunidade (em unidades monetárias); 
 PR = prêmio de risco (em unidades monetárias). 
Mas atenção! Esse modelo 1, o qual aborda os valores monetários para 
explicar o comportamento do juro, é apenas a ponta do iceberg; mais tarde, 
veremos uma vertente mais famosa dessa lógica (modelo 4). Acredite, você vai 
gostar! Mas até lá temos um caminho a percorrer, o qual começa com o conceito 
de montante. 
 
 
6 
TEMA 2 – MONTANTE, PRINCIPAL E JUROS: CONCEITOS FINANCEIROS 
Como vimos anteriormente, uma dívida tem, no mínimo, dois atores 
envolvidos: alguém que cede um empréstimo e alguém que recebe o 
empréstimo. Aquele que cede o empréstimo deseja receber, além do valor 
emprestado, um valor adicional chamado de juro. Quando os juros são somados 
ao valor principal (isto é, ao valor original), o que obtemos é o valor total que 
quita uma dívida, isto é, o valor montante da dívida (modelo 2)1: 
 M = P + J (2) 
Em que: 
 M = montante = valor original acrescido de juro; 
 P = principal = valor original do dinheiro emprestado; 
 J = juro = custo do capital. 
Portanto, logicamente, é possível deduzir que se forem conhecidos dois 
dos três elementos desse modelo de análise, o terceiro pode ser facilmente 
encontrado. Vamos retornar ao caso do Sr. João Honesto, porém transformando-
o em quatro questões para ilustrar a aplicação do modelo: 
a. Qual é o valor pago para quitar uma dívida cujo valor emprestado foi de 
R$ 200 mil e o juro cobrado foi de R$ 15 mil? 
Resolução 
M = P + J  M = R$ 200 mil + R$ 15 milM = R$ 215 mil 
b. Qual foi o valor emprestado sabendo que uma dívida foi quitada com um 
pagamento de R$ 215 mil e o juro cobrado foi de R$ 15 mil? 
Resolução 
M = P + J  R$ 215 mil = P + R$15 mil  P = R$ 215 mil – R$ 5 mil  P 
= R$ 200 mil 
c. Qual foi o valor do juro cobrado sabendo que uma dívida de R$ 200 mil 
foi quitada por R$ 215 mil? 
 
1 O valor principal P pode aparecer em alguns livros como C, pois eles tratam o valor original 
como capital. Nesses casos, a fórmula será: M = C + J. Todavia, o conceito teórico é o mesmo. 
 
 
7 
Resolução 
M = P + JR$ 215 mil = R$ 200 mil + J  J = R$ 215 mil – R$ 200 mil  
J = R$ 15 mil 
Já sei o que você está pensando: “Credo, que coisa mais fácil! É só isso?”. 
Bem, já que é assim... Vamos complicar um pouco mais as coisas. Até aqui, 
tratamos todos os valores que compõem os juros em termos monetários (ou seja, 
tudo em unidade de dinheiro), porém o mercado não costuma tratá-los dessa 
forma, ele prefere usar as unidades percentuais nos processos analíticos. O 
motivo? É mais fácil analisar os custos do capital em diferentes possibilidades 
financeiras. Venha comigo, vou explicar como isso é feito. 
Uma percentagem é uma representação simplificada de uma razão 
matemática em que o consequente (ou denominador) apresenta valor igual a 
100, e o antecedente (ou numerador) apresenta... Hum! Ficou um pouco 
confuso, acho melhor exemplificarmos esse conceito com uma regra de três 
simples e o caso do Sr. João Honesto. 
Você lembra que o Sr. João Honesto, para emprestar seu dinheiro, 
desejava receber R$ 215 mil, que eram os R$ 200 mil que emprestará mais R$ 
15 mil referentes ao juro? Esses R$ 15 mil podem ser transformados em um 
valor percentual, como demonstram os sete passos que seguem: 
 
a. Forma de regra de três simples: 
R$ % 
200 mil (valor original) . 100 
mil (valor do juro) . X 
b. Dados da regra de três na forma de razão: 
200 𝑚𝑖𝑙
15 𝑚𝑖𝑙
= 
100
𝑥
 
c. Aplicando a 1ª propriedade das proporções (multiplicação cruzada): 
200 𝑚𝑖𝑙 . 𝑥 = 100 . 15 𝑚𝑖𝑙  x = 
100 . 15 𝑚𝑖𝑙
200 𝑚𝑖𝑙 
 
 
 
8 
d. Como sempre, teremos o 100 da % nesse tipo de conta, vamos destacá-
lo: 
𝑥 = 100 . 
 15 𝑚𝑖𝑙
200 𝑚𝑖𝑙 
 
e. Resolvendo a razão, isto é, dividindo em cima e em baixo por 200 mil: 
𝑥 = 100 . 
 0,075
1 
 
f. Efetuando a multiplicação da fração em cima e em baixo por 100: 
𝑥 = 
7,5
100 
 = 7,5 por 100 = 7,5% (esse valor é chamado de taxa de juro) 
g. Como em finanças o símbolo da taxa de juro é a letra i (por causa de 
interest), substituímos x por i para indicar a taxa de juro desse 
empréstimo: i = 7,5%. 
Assim, podemos extrair nosso próximo modelo: 
 
 i = (J / P) . 100 (3) 
Em que: 
 I = taxa de juro para o período de tempo t; 
 J = juro = custo do capital para o período t; 
 P = principal = valor original. 
Resumindo a ópera, temos que R$ 15 mil de juros em R$ 200 mil 
emprestados é o mesmo que uma taxa de juro de 7,5%, ou seja, o mesmo que 
R$ 7,5 de juros a cada R$ 100,00. Lembra-se do modelo 1? Pois bem, agora ele, 
por causa do uso das taxas, fica assim: 
 k = i = COp + PR (4) 
 
Em que: 
 k = custo do capital (valor em %, k minúsculo); 
 i = taxa de Juros; 
 
 
9 
 COp = custo de oportunidade (valor em %); 
 PR = prêmio de risco (valor em %). 
Dica: considerando o modelo 1 e o modelo 4, o modelo 4 é o mais 
importante, porque usa taxas em vez de unidades monetárias e tanto o mercado 
como a academia preferem analisar o custo do capital por meio de percentagens. 
Por quê? Ora, porque assim é mais fácil comparar as aplicações, pois 
precisamos olhar apenas as variações percentuais que elas oferecem. Da 
mesma forma, fica mais fácil para simularmos operações com outros valores de 
empréstimos com as mesmas condições de oportunidade e risco. Por exemplo, 
caso o Sr. Honesto quisesse emprestar mais dinheiro para o amigo, veja só como 
seriam os juros e o montante para uma quantia de R$ 300 mil de dinheiro cedido 
a uma taxa de 7,5% para o período: 
 
a. Forma de regra de três simples: 
R$ % 
300 mil (valor original) . 100 
x (valor do juro) . 7,5 (taxa de juro) 
b. Dados da regra de três na forma de razão: 
300 𝑚𝑖𝑙
𝑥
= 
100
7,5
 
 
c. Aplicando a 1ª propriedade fundamental da proporção: 
300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5 = 100 . 𝑥  x = 
300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5
100 
 
d. Como sempre estarão presentes nesse tipo de conta tanto o valor 100 da 
% e o valorda taxa de juros, vamos destacá-los: 
𝑥 = 300 𝑚𝑖𝑙 . 
 7,5
100 
  𝑥 = $ 300 𝑚𝑖𝑙 . 0,075 = $ 22.500,00 ; 
 
O que, por sua vez, é o mesmo que dizer: 
 
𝑅$ 300 𝑚𝑖𝑙 . 7,5% = $ 22.500 
 
 
10 
Sendo R$ 300 mil = P, R$ 22,5 mil = J e 7,5% = i, podemos extrair com 
esses dados nosso modelo 5: 
 J = P . i (5) 
Em que: 
 J = juros cobrados no período; 
 P = principal (valor no início do período); 
 I = taxa de juro para o período. 
Como o juro é de R$ 22.500,00, podemos encontrar facilmente o 
montante: 
M = P + J => M = R$ 300 mil + R$ 22.500 => M = R$ 322.500,00 
Convenhamos, é bem legal! Mas pode ficar melhor, pois podemos 
modelar tudo isso. Pense comigo: 
 O montante de R$ 322,5 mil é a soma do principal (R$ 300 mil) com os 
juros (R$ 22,5 mil). Assim: M = P + J. 
 O juro de R$ 22,5 mil é o produto dos R$ 300 mil (principal) com 7,5% da 
taxa de juro (veja o item d, modelo 5). Portanto: J = P . i. 
 Trocando o J na fórmula M = P + J por P . i, temos M = P + P . i. 
 Se colocarmos P em evidência, o que teremos? Ora, simplesmente a 
fórmula base da matemática financeira para um período, a qual, por sua 
vez, representa nosso próximo modelo matemático: 
 M = P + J  M = P. (1 + i) (6) 
Em que: 
 M = montante (valor no término do período); 
 J = juros cobrados no período; 
 P = principal (valor no início do período); 
 I = taxa de juro para o período. 
 
Vamos testar! 
a. Montante: 
 
 
11 
M = P. (1 + i)  M = R$ 300 mil . (1+ 7,5%)  M = R$ 300 mil . 1,075 = 
R$ 322,5 mil 
b. Juros: 
J = P . i  J = R$ 300 mil . 7,5%  J = R$ 22,5 mil (resposta juros) 
ou 
M = P + J  R$ 322, 5 mil = R$ 300 + J  J = R$ 22,5 mil (resposta 
juros) 
Viu? O valor obtido com o modelo ficou igual ao valor feito por regra de 
três, só que o cálculo foi bem mais fácil com ele. Acredito que você está 
começando a entender como é legal aplicar a modelagem matemática em 
finanças. Vamos complicar um pouco mais as coisas? Que bom que você 
concordou! Então vamos lá, vamos para o tema 3. 
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO: AJUSTES DE PERÍODOS E TAXAS 
No exemplo que fizemos até agora, eu disse que o empréstimo do Sr. 
João Honesto ocorria em certo período, porém não disse qual era a unidade de 
medida desse período (se era dias, semanas, meses ou anos). Além disso, 
afirmei que a taxa de juros era referente a esse período como um todo (veja que 
os modelos 3, 5 e 6 têm o termo “para o período” em destaque na taxa de juro). 
Todavia, nem sempre isso acontece, pois a capitalização (o processo de geração 
do juro) na maioria das vezes é feita em mais de um momento em um mesmo 
período de tempo. Por fim, o cálculo pode ou não considerar juros intermediários, 
por isso... Hum! Acho que você ficou confuso de novo. Bem, meu caro leitor, 
fique tranquilo, pois neste tema eu vou explicar tudo isso de um jeito bem fácil. 
3.1 Período de aplicação e período de capitalização 
Como vimos agora a pouco, quando usamos a expressão capitalização 
em finanças, estamos nos referindo ao processo de geração de juros (J) por 
meio do uso de uma taxa de juro (i) em um certo período de aplicação. Essa 
capitalização no período de aplicação pode ocorrer em diferentes quantidades. 
Por exemplo: capitalização diária significa que o juro será gerado todos os dias 
 
 
12 
no período de aplicação; capitalização mensal significa que o juro será gerado 
somente a cada mês no período de aplicação; capitalização anual significa que 
o juro será gerado apenas a cada ano; e assim por diante. Ou seja, em um 
período de aplicação, teremos, conforme a condição de capitalização, n períodos 
de capitalizações, em que pelo menos um dos três cenários que segue ocorrerá: 
a. Quando o período t (tempo de aplicação) é igual ao da condição de 
capitalização, então o valor de n será igual a 1. Por exemplo: 
o Período de tempo 1 ano, capitalização anual => n = 1 capitalização 
o Período de tempo 1 mês, capitalização mensal => n = 1 capitalização 
b. Quando o período de tempo t é maior que o da condição da capitalização, 
o valor de n será maior que 1. Por exemplo: um período de tempo de 1 
ano com capitalização mensal terá 12 períodos de capitalização (n = 12), 
pois: 
Regra de três simples 
Tempo 
(condição e período) 
n 
(capitalizações) 
Condição da capitalização => 1 mês 1 
Período da aplicação ajustado => 1 ano = 12 meses. x 
1
12
= 
1
𝑥
  1. x = 12 . 1  x = 12  n = 12 capitalizações 
Aqui temos algo muito importante na matemática financeira: sempre 
devemos ajustar a unidade de medida do período de aplicação para ficar igual à 
unidade da condição da capitalização. Somente depois é que achamos o número 
n de períodos de capitalização. Nesse caso, a condição de capitalização era 
mensal, e o período de aplicação era anual, por isso 1 ano virou 12 meses. 
c. Quando o período de tempo t é menor que o da condição da capitalização, 
o valor de n será menor que o número 1. Por exemplo: um período de 
tempo de 1 mês, com capitalização anual, tem 0,0833 períodos de 
capitalização (n = 0,0833), pois: 
Regra de três simples Tempo n 
Condição da capitalização => 1 ano 1 
Período da aplicação ajustado=> 1 mês = 1/12 ano. x 
1
1/12
= 
1
𝑥
  1. x = 1 / 12 . 1  x = 
1
12
  n = 0,0833 capitalizações 
 
 
13 
Como você pode observar nos itens b e c, sempre que o período de 
aplicação é ajustado para a unidade de tempo da condição de capitalização, o 
valor que obtemos no ajuste é igual ao valor do próprio n (período de 
capitalizações). Então, por conseguinte, basta realizarmos o ajuste das unidades 
para termo o valor de n. Vamos exercitar essa questão de ajuste de unidade de 
tempo para você ter certeza disso: 
a. Período de aplicação de 2 anos, capitalização bienal: 
n = 1 capitalização, pois a aplicação é igual à condição de capitalização. 
b. Período de aplicação de 2 anos, capitalização mensal: 
1 ano = 12 meses  n = 12 meses/ano . 2 anos  n = 24 capitalizações. 
c. Período de aplicação de 6 meses, capitalização anual: 
6 meses = 0,5 ano  n = 0,5 capitalização. 
d. Período de aplicação de 1/3 trimestre, capitalização semestral: 
1 trimestre = 1/2 semestre  n =1/2 semestre/ trimestre .1/3 de trimestre 2 
n = 1/6 capitalizações = 0,16667 capitalizações. 
É fácil transformar o período do tempo de aplicação em um número n de 
quantidades de capitalizações, basta verificar quantas capitalizações ocorrem 
naquele período. Agora, uma dica muito importante: quando falamos de 
capitalização em tempo comercial ou ordinário, saiba que os anos sempre terão 
360 dias e os meses sempre terão 30 dias. Agora, se falarmos em capitalização 
em tempo civil ou normal, faça a contagem dos anos com 365 dias para os anos 
normais e 366 dias para os anos bissextos. Já os meses devem ser contatos 
segundo os dias que realmente apresentarem (obs.: se não for dito qual é o mês, 
use 30 dias como regra geral). 
Agora vamos falar sobre as taxas de juros e as capitalizações. Para 
começo de conversa, existem várias formas de identificar uma taxa de juro: taxa 
nominal, taxa proporcional, taxa efetiva, taxa equivalente, taxa aparente e taxa 
 
2 A simbologia  significa portanto. 
 
 
14 
real. Todavia, neste tema, abordamos apenas as duas primeiras taxas no 
próximo tópico. 
3.2Taxa de juro nominal e taxa de juro efetiva 
A taxa de juro nominal é o nome que uma taxa recebe quando não 
sabemos qual é a capitalização que será feita ou quando a unidade de tempo da 
taxa não bate com a unidade de tempo da capitalização. Por exemplo, se alguém 
falar para você que a taxa de juro é de 12% ao ano e não disser qual é a 
capitalização, então 12% ao ano é uma taxa nominal. Da mesma forma, se lhe 
for dito que a taxa de juro é de 12% ao ano e a capitalização é mensal, então 
12% ao ano também é uma taxa nominal, pois nesse caso a unidade de tempo 
da taxa é ano e a unidade da capitalização é mês. 
A taxa efetiva, por sua vez, nada mais é que uma taxa que efetivamente 
é usada no cálculo de matemática financeira, pois sua unidade de tempo é igual 
à unidade de tempo da condição de capitalização. Por exemplo, 12% ao ano com 
capitalização anual é uma taxa efetiva, assim como 2% ao mês com 
capitalização mensal também é uma taxa efetiva. Quando recebemos uma taxa 
de juro e ela não apresenta igualdade para com a unidade de tempo da 
capitalização, dizemos que ela é apenas uma taxa nominal e, assim, precisa ser 
convertida em uma taxa efetiva de juro para poder ser usada nos cálculos. Por 
exemplo, 36% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal, porém, 
utilizando o conceito de proporcionalidade, podemos transformá-la em 3% ao 
mês. A mágica é a seguinte: 
 
Resolução por 
regra de três simples 
Taxas de juro 
(i) 
Período 
(unid. capitalização) 
Taxa nominal => 36% = 0,36 12 meses 
Taxa efetiva => x . 1 mês 
0,36
𝑥
= 
12
1
  12. x = 0,36 . 1  x = 
0,36. 1
12
  x = 0,03  i = 3% 
Ou seja, para transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva, 
precisamos ajustá-la, o que, por sua vez, pode ser feito facilmente por meio de 
uma regra de três ou por meio de um modelo que pode ser derivado desse 
procedimento lógico: 
 
 
15 
x = 0,24 . 
 1 mês
12 meses
  i efetivo = i nominal . 
condição capitalização
período da taxa nominal
 (7) 
Vamos fazer alguns exercícios com esse modelo com a ajuda de 
Castanheira e Macedo (2010, p. 68-69): 
a. Taxa de 24% ao ano, capitalização mensal: 
i efetivo = 24% . 
 1 𝑚ê𝑠
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo = 0,24 . 0,0833  i efetivo = 2% ao mês 
b. Taxa de 36% ao ano, capitalização bimestral: 
i efetivo= 36% . 
 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo= 0,36 . 0,1667  i efetivo= 6% ao bimestre 
ou 
i efetivo= 36% . 
 1 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
6 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
  i efetivo= 0,36. 0,1667 i efetivo= 6% ao bimestre 
c. Taxa de 20% ao semestre, capitalização trimestral: 
i efetivo= 20% . 
 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
  i efetivo= 0,20 . 0,5  i efetivo= 10% ao trimestre 
ou 
i efetivo= 20% . 
 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
2 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
  i efetivo= 0,20. 0,5 i efetivo= 10% ao trimestre 
Viu? O ajuste da taxa é muito fácil; todavia, este exige atenção. Agora que 
já sabemos ajustar os períodos e as taxas de juros às condições de 
capitalização, no próximo tema estudamos quais são as duas principais formas 
de geração de juro: capitalização simples e capitalização composta. 
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO: REGIME SIMPLES E COMPOSTO DE JUROS 
O processo de capitalização, como já vimos de maneira sintética no tema 
1, consiste no ato de gerar um valor de juro em certo período de tempo, com 
 
 
16 
base em uma taxa de juro i. Até aqui, essa lógica estava expressa no seguinte 
modelo: M = P + J  M = P + P . i  M= P . (1 + i). 
Acontece que esse modelo trata o processo de capitalização como sendo 
n = 1, ou seja, a capitalização somente ocorreu uma vez no período de tempo 
da aplicação. Todavia, como vimos anteriormente, em um período de aplicação 
o processo de capitalização pode ocorrer também com valores de n < 1 (uma 
fração do período de aplicação) ou com valores de n > 1 (mais de uma vez 
conforme o período de aplicação). Dado esse fato, precisamos evidenciar a 
variável n em nossos cálculos. Para tanto, devemos considerar que J é, na 
verdade, um caso de n =1 e, assim, devemos mudar nossa fórmula: 
 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + (J 1 + J 2 +...+J n) 
Em que: 
 M = montante (valor final); 
 P = principal (valor original); 
 J = somatório dos juros formados no período (de j = 1 até j = n); 
 J1 = juro formado na primeira capitalização (j = 1); 
 J2 = juro formado na segunda capitalização (j = 2); 
 Jn = juro formado na “enésima” capitalização (última capitalização; j = n). 
O pulo do gato aqui é saber que existem duas formas diferentes de gerar 
os juros: capitalização simples de juros e capitalização composta de juros. A 
capitalização simples é uma forma na qual a taxa de juro i somente terá impacto 
sobre o valor principal (valor original do capital). Já na capitalização composta, 
a taxa i, por sua vez, impactará em cada etapa da capitalização tanto no principal 
como também no valor do juro acumulado até então. Vamos entender essa 
lógica! 
4.1 Capitalização simples 
Se adaptarmos o modelo M = P + J para um cenário de várias 
capitalizações, com a taxa impactando apenas no valor do P, o que teremos será 
um valor constante para cada item do J j, pois: 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J1 + J2 +...+Jn 
17 
Em que: J1 = P . i ; J2 = P . i ; Jn = P . i; 
Ou seja: J1 = J2 = ...= Jn = J  ∑ .𝑛𝑗=1 J j = n . J ou J . n
Assim: M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J . n  M = P + P . i . n
Portanto, todos os juros que serão gerados terão o mesmo valor e, por 
isso, para acharmos o valor do juro total ( J), basta multiplicar quantas vezes 
esse valor único de juro aparece: J . n ou P. i . n. Agora, se deixarmos em 
evidência P na fórmula M = P + P . i . n, temos a modelagem matemática que 
representa a capitalização simples dos juros: 
 M = P . (1 + i . n) (8) 
Em que: 
 M = montante (valor no término do período de tempo);
 P = principal (valor no início do período t);
 I = taxa de juro ajustada à condição de capitalização;
 n = período de capitalização.
Vamos exercitar! Relembrando o cenário original do Sr. João Honesto,
temos que eram R$ 200 mil de empréstimos, com juro de 7,5% para o período 
como um todo. Agora, vamos alterar um pouco as coisas para entendermos o 
que é a capitalização simples dos juros. Imagine que esse período 
do empréstimo é de 1 ano e que Sr. Honesto resolveu que seria justo que os 
7,5% de juro do período (isto é, ao ano) fossem considerados por capitalização 
mensal em regime de cálculo por juros simples. Quanto será cobrado de juro 
nesse um ano e quanto será o montante a ser pago ao final do empréstimo? 
(Obs.: para facilitar a demonstração, vamos omitir “mil” na resolução e 
adicioná-lo somente no final). 
18 
a. Resolução método extenso (somente para fins didáticos):
Antes de efetuarmos os cálculos, 
precisamos verificar se a taxa de 
juro é nominal ou efetiva3: 
Se a taxa é de 7,5% ao ano e a 
capitalização é mensal, temos 
aqui apenas taxa nominal de juro. 
Assim, precisamos transformá-la 
em taxa efetiva: 
i = 7,5% / 12 = 0,625% ao mês. 
Nesta tabela de capitalização simples, fica evidente que o valor do juro é 
sempre o mesmo, pois a taxa de juro sempre vai impactar apenas no valor do 
principal no momento zero. Assim, ao término do período de aplicação (ou seja, 
na data de devolução do empréstimo), o Sr. João Honesto precisa receber seus 
R$ 200 mil mais R$ 15 mil de juros referentes aos 0,625% ao mês de taxa de 
juro. 
b. Resolução por modelagem (o que deve ser feito sempre)
Fórmula para encontramos o montante: M = P . (1 + i . n)
M=200. (1 + 0,625%.12)  M = 200. (1 + 0,625/100. 12)  M = 200. (1
+ 0,00625 .12)
M= 200 . (1 + 0,075)  M = 200 . 1,075  M = R$ 215 mil (montante) 
Fórmula para encontramos o juro: J = P . i . n 
J = 200 . 0,625% . 12  J = 200 . 0,625/100 . 12  J = 200 . 0,00625 .12 
3 É importante deixar claro que nem todos usam o termo taxa efetiva para a taxa utilizada no 
cálculo de capitalização simples de juros. Em geral, reserva-se o termo taxa efetiva para a 
capitalização composta de juros, assim, no juro simples, o termo mais usado é taxa proporcional. 
Entretanto, por uma questão de coerência semântica, usamos aqui na aula o termo taxa efetiva, 
dado o fato que é ela (essa taxa proporcional) que efetivamente é usada no cálculo. 
19 
J = 200 . 0,075  J = R$ 15 mil (juro) 
Usando os dois modelos que deduzimos na explicação teórica, obtemos 
os mesmos valores da tabela. Agora, você percebeu que o juro simples de 7,5% 
ao ano e o de 0,625% ao mês terão o mesmo resultado? Isso sempre acontecerá 
na capitalização simples de juro, mas o motivo eu só vou explicar no tema cinco 
dessa aula. Então segura a curiosidade até lá. 
4.2 Capitalização composta 
Adaptando agora o modelo básico que vimos para um cenário de várias 
capitalizações para uma condição em que a taxa de juros incide tanto no valor 
do P como também nos juros acumulados, o que temos são valores diferentes 
para cada item do J j: 
M = P + ∑ .𝑛𝑗=1 J j  M = P + J1 + J2 +...+Jn
Em que: J1 = P0 . i ; J2 = P1 . i ; Jn = Pn . i 
Ou seja: ∑ .𝑛𝑗=1 J j = J1 + J2 +...+Jn = (P. i) + (P1 . i) + ... + (Pn . i)
Assim: P1 = P + P . i  P1 = P . (1 + i)  
P2 = P1 + P1 . i  P2 = P1 .(1+ i )  P2 = P. (1 + i) . (1 + i) P2 = P . (1 +i)2 
Portanto, para encontrar o valor de cada novo P no período de aplicação, 
basta multiplicar o valor de P original por (1 + i), elevado ao período de 
capitalização, que aqui foi 2. Assim: Pn = P(1 +i)n. 
Por fim, temos que sendo Pn o último valor capitalizado, ele é, em verdade, 
o próprio valor montante do período de capitalização, o que, por sua vez, nos
permite obter a modelagem matemática que representa a capitalização 
composta dos juros: 
 M = P . (1 + i)n (9) 
Em que: 
 M = montante (valor no término do período de tempo);
 P = principal (valor no início do período t);
 i = taxa de juro ajustada à condição de capitalização;
20 
 n = período de capitalização.
Vamos exercitar! Vamos relembrar o cenário original do Sr. João Honesto 
e alterar novamente um pouco a situação para entendermos o que é a 
capitalização composta dos juros. Imagine que esse período do empréstimo é 
de 1 ano e que Sr. Honesto resolveu que seria justo que os 15% de juro do 
período (isto é, ao ano) fossem por capitalização mensal em regime de cálculo 
por juros composto. Quanto será cobrado de juro nesse um ano e quanto será o 
montante a ser pago ao final do empréstimo (Obs.: para facilitar a demonstração, 
omitimos novamente “mil” na resolução)? 
a. Resolução método extenso (somente para fins didáticos):
Antes de efetuarmos os cálculos, 
precisamos verificar se a taxa de 
juro é nominal ou efetiva. 
Se a taxa é de 7,5% ao ano e a 
capitalização é mensal, temos 
aqui apenas taxa nominal de juro. 
Assim, precisamos transformá-la 
em taxa efetiva: 
i = 7,5% / 12 = 0,625% ao mês 
Nesta tabela de capitalização composta, fica evidente que o valor do juro 
é diferente em cada momento de capitalização, pois a taxa de juro sempre vai 
impactar no valor do principal no momento zero mais o valor acumulado de juro 
até aquele momento novo. Assim, ao término do período de aplicação (ou seja, 
na data de devolução do empréstimo), o Sr. João Honesto precisa receber seus 
R$ 200 mil mais R$ 15,53 mil de juros referentes aos 0,6250% ao mês de taxa 
de juro. Ou seja, ele precisa receber R$ 0,53 mil a mais que o valor do juro 
simples. O mercado chama isso de juros sobre juros. 
Agora, você notou que o cálculo para transformar a taxa nominal em taxa 
efetiva é o mesmo que o do juro simples? Não existe diferença nesse ponto. 
Também não existe diferença de valores no momento n = 1. O motivo? Ora, 
 
 
21 
quando é n = 1, no juro simples temos que (1 + i . n) = (1 + i .1) = (1 + i); já no 
juro composto, (1 + i) n = (1 + i) 1 = (1 + i). Ou seja, tanto no juro simples como 
no juro composto, quando é n =1, o valor multiplicado de P é apenas (1 + i). 
Aposto que você entendeu porque é que, quando temos apenas uma 
capitalização no período de aplicação, podemos usar apenas a fórmula M = P . 
(1 + i ), vista no tema 2. 
Como já sabemos a diferença entre juros simples e juros compostos, 
vemos no próximo tema como podemos ter para um mesmo valor principal um 
mesmo resultado de montante, em condições de capitalização diferentes, em um 
mesmo período de tempo de aplicação. Chegou a hora de estudarmos o que são 
taxas equivalentes e proporcionais. 
TEMA 5 – TAXAS EFETIVAS: PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
Intuitivamente, talvez você espere que um mesmo valor principal de 
capital, em um mesmo período de aplicação, em condições de capitalizações 
diferentes, tenha sempre para taxas efetivas distintas também valores montantes 
diferentes. Todavia, se olharmos bem as fórmulas que foram estudas até aqui, 
podemos deduzir que, em verdade, nem sempre isso ocorrerá. Por quê? Porque 
em matemática financeira existe tanto a condição das taxas proporcionais nos 
juros simples como a condição das taxas equivalentes nos juros compostos. Ou 
seja, existem cenários financeiros em que taxas efetivas diferentes, para um 
mesmo valor de principal, geram, conforme a condição de capitalização, 
resultados iguais de montante em um mesmo período de aplicação. Vamos 
agora estudá-los! 
5.1 Capitalização simples: taxas proporcionais 
Este, por certo é um dos tópicos mais breves desta aula, pois apenas 
apresenta a constatação de um fato que está explícito na fórmula de 
capitalização simples. Para tanto, usamos alguns exemplos de capitalização 
diferentes para uma taxa de juro anual de 24% (taxa nominal), aplicada em um 
valor principal de R$ 10,00 durante um período de aplicação igual a 2 anos: 
a. Capitalização diária, juros simples (ano comercial): 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização 
 
 
 
22 
i = 24% ao ano / 360 dias = 0,066667% ao dia (taxa efetiva) 
n = 2 anos . 360 dias = 720 dias = 720 capitalizações 
2. Cálculo do valor montante: 
M = P.(1 + i.n) => M = $10.(1 + 0,06667% . 720) => M = R$ 10.(1 + 48%) 
 
M = R$ 10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
b. Capitalização mensal, juros simples: 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 12 meses = 2 % ao mês (taxa efetiva) 
n = 2 anos .12 meses = 24 meses = 24 capitalizações 
2. Cálculo do valor montante: 
M = P.(1 + i.n) => M = R$ 10 . (1 + 2% . 24) => M = R$ 10 . (1 + 48%)  
M = R$ 10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
c. Capitalização anual, juros simples: 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano (taxa efetiva) 
n = 2 anos 
2. Cálculo do valor montante: 
M= P. (1 + i.n) => M = R$ 10 . (1 + 24% . 2) => M = R$ 10 . (1 + 48%)  
M = R$ 10 . 1,48 => M = R$ 14,80 
Pense comigo! Se para realizarmos um cálculo de valor montante 
precisamos ajustar o período do tempo e a taxa de juros para condição de 
capitalização, isto é, precisamos deixá-las na mesma unidade de tempo da 
condição, então, nos juros simples, por i e n serem fatores de uma multiplicação, 
 
 
23 
sempre teremos para uma mesma taxa nominal, em um mesmo período de 
aplicação, o mesmo valor montante como resultado, não importa a condiçãode 
capitalização. Está duvidando? Então veja isso: valor principal de R$ 20; tempo 
de aplicação 3 anos; taxa de juro de 1% ao dia (considerar ano comercial) com 
condição de... 
a. Capitalização mensal, juros simples: 
M = 20.(1 + (1%.30).(3.12) )= 20.(1 + 3 . 36) = 20.(1 + 10,8) = 20.11,8 = R$ 236,00 
b. Capitalização anual, juros simples: 
M = 20.(1 + (1%.360). 3) = 20.(1 + 3,6 . 3) = 20.(1 + 10,8) = 20.11,8 = R$ 236,00 
c. Capitalização trienal, juros simples: 
M = 20.(1 + (1%.3.360).(3/3)) = 20.(1 + 10,8 .1) = 20.(1 + 10,8) = 20.11,8 = R$ 236,00 
Viu? Mesmo com taxa nominal ao dia, tempo de aplicação em anos, os 
resultados são sempre os mesmos para o valor montante, uma vez que na 
capitalização simples as taxas proporcionais obtidas geram resultados iguais de 
montantes para o mesmo período de aplicação. 
5.2 Capitalização composta: taxas equivalentes 
Vamos ver agora o que acontece na capitalização composta. Começamos 
fazendo os três exemplos do tópico anterior: taxa de juro anual de 24% (taxa 
nominal) para um valor principal de R$ 10,00 durante um período de aplicação 
igual a 2 anos: 
a. Capitalização diária, juros compostos (ano comercial): 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 360 dias = 0,066667 % ao dia (taxa efetiva) 
n = 2 anos .360 dias = 720 dias 
2. Cálculo do valor montante: 
M = P.(1+ i)n => M= R$ 10.(1+0,06667%)720 => M = R$10. (1,0006667)720 
 
 
24 
 
M = R$ 10 . 1,615816 => M = R$ 16,16 
b. Capitalização mensal, juros compostos: 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano / 12 meses = 2 % ao mês (taxa efetiva) 
n = 2 anos .12 meses = 24 meses 
2. Cálculo do valor montante: 
M = P.(1 + i )n => M = R$ 10 . (1 + 2%) 24 => M = R$ 10 . (1,02)24  
M = R$ 10 . 1,608437 => M = R$ 16,08 
c. Capitalização anual, juros compostos: 
1. Ajuste das taxas e do período à condição de capitalização: 
i = 24% ao ano (taxa efetiva) 
n = 2 anos 
2. Cálculo do valor montante: 
M = P . (1 + i )n => M = R$ 10 . (1 + 24%)2 => M = R$ 10 . (1,24)2  
M = R$ 10 . 1,5376 => M = R$ 15,38 
Como você pode ver, agora não temos com o uso das taxas proporcionais 
valores iguais de montante. O motivo? O valor de n no juro composto é utilizado 
na forma de potência. Por isso, na capitalização composta de juros, para 
obtermos um mesmo valor montante para certo valor de principal, em um mesmo 
período, é necessário o uso de uma taxa de equivalência. Ou seja, não basta 
simplesmente fazer a taxa proporcional de uma mesma taxa nominal. Veja como 
essa taxa efetiva equivalente pode ser obtida, por meio deste exemplo: vamos 
encontrar a taxa equivalente anual da taxa efetiva diária 0,06667%: 
Se: 
 
 
25 
M = P.(1 + i )n = R$ 10.(1+0,06667%)720 dias = 16,15816 = R$ 16,16 
Então: 
16,15816 = 10.(1+ i )2 anos  16,15816/10 = (1+ i)2  1,615816 = (1+ i)2  
1 + i =√1,615816
2
 (raiz de índice 2)1+ i =1,6158161/2 1+ i =1,271147  
i = 1,271147 – 1  i = 0,271147 = 27,1147% 
Vamos testar: 
M = P.(1 + i )n = R$10.(1 + 27,1147%)2 anos = R$ 16,158 = $ 16,16 
Lógica aprovada, vamos modelar para achar i que queremos (i q): 
 
10.(1 + i q)2 anos = 10.(1 + 0,06667%)720 dias; vamos simplificar o valor 10 
(1+ i q)2 anos = (1 + 0,06667%)720 dias 1 + i q = [ (1 + 0,06667%)720 dias] 1/2 anos  
1 + i q = (1 + 0,06667%) 720 dias / 2 anos  i q = (1+0,06667%) 360 / 1 – 1 
Vamos interpretar o que significa a potência 360/1. Ela demonstra uma 
razão entre as duas unidades de tempo do cálculo (em que temos que são 
necessários 360 dias para cada 1 ano). Todavia, também podemos interpretar 
esse cenário como sendo que a taxa diária de 0,06667% (a taxa efetiva que 
temos) precisa ser elevada por 360 dias (= 1 ano, condição de capitalização que 
queremos) para ser convertida em uma taxa efetiva anual (taxa efetiva que 
queremos). Assim, podemos transformar nossa lógica financeira na seguinte 
modelagem matemática: 
 i q = (1 + i t) nq / nt ─ 1 (10) 
Em que: 
 i q = taxa efetiva de juro que quero; 
 i t = taxa efetiva de juro que tenho; 
 n q = período de capitalização que quero (na unidade de n t ); 
 n t = período de capitalização que tenho. 
Vamos testar! 
 
 
26 
a. Taxa equivalente anual da taxa efetiva diária 0,06667% (ano comercial): 
i q = (1 + i t) nq / nt – 1  i q = (1 + 0,06667%) 360 dias / 1 dias – 1  
i q = 1,000667 360 – 1  i q = 1,271147 – 1  i q = 27,1147% 
Comprovando a taxa de equivalência: período de aplicação de 2 anos: 
M = P.(1 + i )n => M = R$ 10.(1 + 0,06667% ao dia ) 720 dias => M = R$ 16,16 
M = P. (1 + i )n => M = R$ 10.(1 + 27,1147% ao ano) 2 anos=> M = R$ 16,16 
Conclusão: montantes iguais, portanto as taxas são equivalentes. 
b. Taxa equivalente mensal da taxa efetiva diária 0,06667% (ano comercial): 
i q = (1 + i t) nq / nt – 1  i q = (1 + 0,06667%) 30 dias / 1 mês – 1  
i q = 1,000667 30 – 1  i q = 1,020195 – 1  i q = 0,020195 = 2,0195% 
Comprovando a taxa de equivalência: período de aplicação de 24 meses: 
M = P.(1 + i )n => M = R$ 10.(1 + 0,06667% ao dia) 720 dias => M = R$ 16,16 
M = P. (1 + i )n => M = R$ 10.(1 + 2,0195% ao mês)24 meses => M = R$ 16,16 
Conclusão: montantes iguais, portanto as taxas são equivalentes. 
Resumindo a opera, temos que na capitalização composta de juros: 
i = 0,06667% a.d. equivale a i = 2,0195% a.m., que equivale a i = 
27,1147% a.a. 
Em que: 
 a.d. = ao dia; 
 a.m. = ao mês; 
 a.a. = ao ano. 
Ou seja, em um mesmo período de aplicação, qualquer valor principal terá 
o mesmo valor montante quando essas taxas efetivas forem utilizadas. Todavia, 
diferente do que ocorre na capitalização simples de juros, essas taxas efetivas 
apresentam taxas nominais anuais diferentes entre si: 
 
 
27 
 Taxa efetiva 0,06667% a.d. 360 dias = taxa nominal de 24,0000% ao ano. 
 Taxa efetiva 2,0195% a.m. 12 meses = taxa nominal de 24,2335% ao ano. 
 Taxa efetiva 27,1147% a.a. 1 ano = taxa nominal de 27,1147% ao ano. 
Então, não se esqueça de que: 
1. Taxas proporcionais da taxa nominal, na capitalização simples de 
juros, geram valores montantes iguais para um mesmo valor de principal 
(capital original), em um mesmo período de capitalização. 
2. Taxas efetivas equivalentes, na capitalização composta de juros, 
geram valores montantes iguais para um mesmo valor de principal (capital 
original), em um mesmo período de capitalização. Todavia, não 
apresentam, necessariamente, igualdade nas taxas nominais quando 
usada o princípio da proporção. 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos as bases 
da matemática financeira e vimos como a economia interpreta o juro e a 
capitalização composta e simples. Agora, entre no fórum da disciplina e, usando 
o conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares como a AVEF, se a 
capitalização composta de juros é justa ou não. Para tanto, usem como base o 
seguinte texto on-line: <http://profmoney.com.br/investimentos/juros-compostos-
por-que-e-justo/>. 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso 
O Sr. Kenenóis tem uma aplicação no Banco A no valor de R$ 100 mil, 
em que a capitalização é mensal, com taxa de 18,6% ao ano. O Sr. Kenenóis 
pediu ao Banco B uma proposta de taxa para sua aplicação, para ver se valeria 
a pena transferir seus recursos do Banco A para o Banco B. Na análise, o Sr. 
Kenenóis precisa considerar que: (i) o Banco B somente trabalha com a condição 
de capitalização anual; (ii) na opinião de nosso personagem, o Banco A tem riscozero e o Banco B tem risco efetivo de 2,73% ao ano. Sabendo que ambas as 
aplicações são capitalizações compostas de juro, responda: qual deve ser a taxa 
efetiva mínima anual no Banco B para que o Sr. Kenenóis considere a 
 
 
28 
possibilidade de mudar sua aplicação de banco? Quanto ele terá de montante 
após 6 meses de aplicação caso mude de banco? 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
Para resolver esse problema, precisamos encontrar a taxa efetiva do 
Banco A (tema 3) e, depois, determinar a taxa equivalente anual da taxa mensal 
do Banco A (tema 5) – ela será o custo de oportunidade do Sr. Kenenóis. Em 
seguida, precisamos encontrar a taxa mínima para Banco B, considerando o 
custo de oportunidade e o prêmio de risco (tema 1). Por fim, calculamos o valor 
montante por meio de uma capitalização composta, que exige ajuste de período 
(respectivamente, temas 4 e 3). 
c. Apresentação da solução do problema 
1. Encontrar a taxa efetiva mensal do Banco A. 
18% ao ano com capitalização mensal => 18% / 12 meses => i = 1,55% a.m. 
2. Encontrar a taxa efetiva equivalente anual da taxa efetiva mensal. 
 i q = (1 + i t) nq / nt – 1  i q = (1 + 1,55%)12 meses / 1 mês – 1 = 20,27% 
3. Encontrar a taxa efetiva anual para transferência. 
i = COp + PR  i = 20,27% + 2,73%  i = 23% 
4. Ajustar o período para o cálculo do juro composto. 
Condição de capitalização anal  
Período de aplicação 6 meses = Período de capitalização 0,5 ano 
5. Calcular o valor montante. 
M = P . (1 + i) n  M = 100 . (1 + 23%) 0,5  M = 110,9056 = R$ 110,91 
 
 
 
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FINALIZANDO 
Então, meu caro leitor, como foi visto nesta aula, em finanças o valor inicial 
P do capital sofre incrementos ao longo de um período de aplicação, em virtude 
do impacto que a taxa de juro efetiva i tem sobre ele. Todavia, para que o juro J 
e o valor montante M possam ser definidos, é necessário conhecer, antes de 
tudo, as condições de capitalização estabelecidas entre a parte que cede e a 
parte que recebe o capital (quando o juro será criado). O motivo? Somente assim 
podemos transformar o período da aplicação/empréstimo em um valor de n 
períodos de capitalização e também ajustar os valores das taxas nominais para 
valores de taxas efetivas. Além disso, vimos que, para realização dos cálculos, 
também precisamos saber se a capitalização dos juros será realizada de maneira 
simples (apenas sobre o principal) ou composta (juros sobre juros). Convém 
lembrar que nesta rota também vimos que a taxa de juros é composta por duas 
variáveis (custo de oportunidade e prêmio de risco) e que ela, além de poder ser 
tratada de como informação nominal e efetiva, pode ser analisada segundo a 
percepção da equivalência (taxa proporcional para juros simples, taxa 
equivalente para juros compostos). Antes de terminarmos, não se esqueça de 
sempre ajustar o período de aplicação para período de capitalização e de 
equalizar as unidades das taxas de juros para a condição de capitalização. Isso 
é tudo pessoal... por enquanto! 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: InterSaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da engenharia econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011. 
RODRIGUES, S. Juros, o roubo do tempo. Revista Veja, São Paulo, Coluna 
Sobre Palavras. 31 out. 2014. Disponível em: 
<https://veja.abril.com.br/blog/sobre-palavras/juros-o-roubo-do-tempo/>. 
Acesso em: 15 dez. 2017.