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Aula 09
Matemática p/ PM-SP (Soldado) - Com videoaulas
Professor: Arthur Lima
MATEMÁTICA Pっ PMどSP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰΓ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 09: RESUMO TEÓRICO 
 
Olá! 
 Nesta aula final vou disponibilizar um resumo teórico do conteúdo visto ao 
longo das 8 aulas anteriores deste curso. 
 Quero aproveitar para agradecê-lo pela confiança em mim depositada. 
Entendo que você tem em mãos agora um material bem completo, que certamente 
te ajudará a ser aprovado no próximo concurso do PM/SP! 
 Prof. Arthur Lima (www.facebook.com/ProfArthurLima) 
 
1. RESUMO TEÓRICO 
Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, 
representação fracionária e decimal: operações e propriedades. 
Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e 
capacidade. 
Nome do 
conjunto 
(e símbolo) 
Definição Exemplos Observações 
Números 
Naturais (N) 
Números 
positivos 
construídos com 
os algarismos 
de 0 a 9, sem 
casas decimais 
N = {0, 1, 2, 3 …} 
Subconjunto dos números 
positivos: 
N* = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, 11...} 
 
Lembrar que o zero não é 
positivo nem negativo, 
mas está incluído aqui. 
Números 
Inteiros (Z) 
Números 
naturais 
positivos e 
negativos 
Z = {... -3, -2, -1, 0, 
1, 2, 3...} 
Subconjuntos: 
Não negativos: {0, 1, 2...} 
Não positivos: {..., -2, -1, 0} 
Positivos: {1, 2, 3...} 
Negativos: { …-3, -2, -1} 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Números 
Racionais (Q) 
Podem ser 
representados 
pela divisão de 
2 números 
inteiros 
Frações: , ; 
 
Números decimais 
de representação 
finita. Ex.: 
1,25 (igual a ) 
 
As dízimas periódicas são 
números racionais. Ex.: 
0,333333... ou ou 
 
Medidas de comprimento 
- a unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m, 
cujos múltiplos e submúltiplos estão na tabela abaixo: 
Milímetro 
(mm) 
Centímetro 
(cm) 
Decímetro 
(dm) 
Metro 
(m) 
Decâmetro 
(dam) 
Hectômetro 
(hm) 
Quilômetro 
(km) 
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km 
 
- para “caminhar para a direita” (ir de metros para decâmetros, por exemplo) basta ir 
dividindo o valor original por 10; 
- para “caminhar para a esquerda” (ir de metros para decímetros, por exemplo) 
basta ir multiplicando o valor original por 10. 
Medidas de área 
- a unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo 
símbolo 2m : 
Milímetro 
quadrado 
(mm2) 
Centímetro 
quadrado 
(cm2) 
Decímetro 
quadrado 
(dm2) 
Metro 
quadrado 
(m2) 
Decâmetro 
quadrado 
(dam2) 
Hectômetro 
quadrado 
(hm2) 
Quilômetro 
quadrado 
(km2) 
1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 100; 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ン 
Medidas de volume 
- a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo 
símbolo 3m : 
Milímetro 
cúbico (mm3) 
Centímetro 
cúbico 
(cm3) 
Decímetro 
cúbico 
(dm3) 
Metro 
cúbico 
(m3) 
Decâmetro 
cúbico 
(dam3) 
Hectômetro 
cúbico 
(hm3) 
Quilômetro 
cúbico (km3) 
1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 1000; 
- 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), e 1000 litros = 1m3. 
 
Medidas de tempo 
- a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s. 
Milissegundo 
(ms) 
Segundo 
(s) 
Minuto 
(min) 
Hora (h) Dia 
1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h 
 
- basta montar regras de três simples para efetuar as conversões necessárias. 
 
Medidas de massa 
- a unidade padrão de medida de massa é o grama (g): 
Miligrama 
(mg) 
Centigrama 
(cg) 
Decigrama 
(dg) 
Grama 
(g) 
Decagrama 
(dag) 
Hectograma 
(hg) 
Quilograma 
(kg) 
1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg 
 
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa 
para a esquerda, devemos multiplicar por 10; 
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- uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas; 
 
Razão e proporção. Regra de três simples. Mínimo múltiplo 
comum. Porcentagem. 
 
Razão e proporção: 
- Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que 
duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que 
permanecem constantes. 
- Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à 
medida que a outra também cresce. 
- Podemos usar uma regra de três simples para relacionar grandezas diretamente 
proporcionais. Após montar a regra de três, devemos efetuar a multiplicação 
cruzada (das diagonais) e igualar os resultados: 
A ------------------- B 
C ------------------ D 
A x D = C x D 
 
- Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce 
à medida que a outra diminui. 
- No caso de termos 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou 
inversamente), temos uma regra de três composta. Neste caso, devemos: 
- Identificar as grandezas que são diretamente proporcionais e as que são 
inversamente proporcionais em relação a grandeza que queremos 
descobrir (aquela que possui a variável X). 
- inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que 
queremos. 
- igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões. 
 
- para efetuar divisões em partes proporcionais, lembre-se que: 
Se a c
b d
 , então a a c
b b d



, e também c a c
d b d



 
 
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- você também pode utilizar constantes de proporcionalidade. Ex.: se uma taxa é 
diretamente proporcional ao peso de uma mercadoria, então podemos escrever que: 
taxa = k . peso 
(onde k é a constante de proporcionalidade) 
 
- um número N é divisível por um divisor D quando o resto da divisão de N por D é 
igual a zero, ou seja, quando a divisão é EXATA. Veja na tabela abaixo os principais 
critérios para identificarmos se um número é divisível por um certo divisor: 
Divisor* Critério de divisibilidade Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 
Números pares (isto é, terminados em um 
algarismo par) 
0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 
Números cuja soma dos algarismos é divisível 
por 3 
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 27 (2+7=9), 
51 (5+1=6), 915 (9+1+5=15) etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for 
divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc. 
9 
Números cuja soma dos algarismos é divisível 
por 9 
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 
(7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo 
pelo qual praticamente não são cobrados. 
 
- MMC (mínimo múltiplo comum) entre dois números é o menor número que é 
múltiplo de ambos os números. Ex.: o MMC entre 10 e 15 é o número 30. Por outro 
lado, veja que o número 30 é divisível por 10 e também por 15.- para obter o MMC, basta fatorar os números, usando todos os divisores 
necessários até tornar os dois números iguais a 1. Ex.: 
 
 
 
 
 
 
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10 15 Fatores 
5 15 
(mantido, pois não é divisível por 2) 
2 
5 
(mantido, pois não é divisível por 3) 
5 3 
1 1 5 
(chegamos ao valor 1 para ambos os números, portanto temos o MMC) MMC = 2 x 3 x 5 = 30 
 
- MDC (máximo divisor comum) é o maior número capaz de dividir, de maneira 
exata, dois números distintos. Ex.: o MDC entre 45 e 60 é o número 15. 
 
- para obter o MDC, basta fatorar os números, usando apenas os divisores capazes 
de dividir os DOIS números: 
45 60 Fatores 
15 20 3 
5 4 5 
(note que não há nenhum fator capaz de dividir 5 e 4 simultaneamente, portanto 
chegamos ao MDC) 
MDC = 3 x 5 = 15 
 
Porcentagem: 
- A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100; 
- Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, 
basta efetuar a seguinte divisão: 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
 
- Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o 
por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número 
decimal por 100 para chegar em um número percentual. 
- Podemos dizer que: 
quantia de interesse = porcentagem total 
 
- Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 
20% x 300. 
 
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- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%). Exemplo: para 
aumentar em 30%, basta multiplicar por 1,30; 
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). Exemplo: para 
reduzir em 15%, basta multiplicar por 0,85; 
- para duas operações sucessivas de aumento ou redução, basta multiplicar os 
índices. Exemplo: para aumentar o preço de um produto em 20% em um ano e 
então aumentar em 30% no ano seguinte, basta multiplicar o preço inicial por 1,20 x 
1,30; 
 
Equação do 1º grau. Sistema de equações do 1º grau. Relação 
entre grandezas: tabelas e gráficos. 
 
Equações de primeiro grau 
- são as equações escritas na forma 0ax b  , onde a e b são números que 
chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 0a  
 
- a variável x está elevada ao expoente 1 (lembrando que 1x x ) 
 
- o valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma 
equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz 
 
- a raíz da equação é sempre dada por b
a
 
 
Sistemas de primeiro grau 
- quando temos um sistema formado por “n” equações e “n” variáveis, devemos 
resolver usando o método da substituição, que é aplicado em 2 etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item 
anterior 
 
 
 
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Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, 
teorema de Pitágoras. 
- Ângulo é uma abertura delimitada por duas semi-retas. 
- O ângulo de 90o é conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos podem ser 
classificados em: 
 - Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. 
 - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. 
- Dois ângulos podem ser: 
 - Ângulos congruentes: se possuem a mesma medida 
 - Ângulos complementares: se a sua soma é 90o 
 - Ângulos suplementares: se a sua soma é 180o 
- Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada 
Bissetriz. 
- Ângulos opostos pelo vértice tem o mesmo valor 
- Além da medida em graus, uma outra unidade de medida de ângulos é chamada 
de “radianos”. 180o correspondem a  (“pi”) radianos. 
 
Principais figuras geométricas planas: 
- Perímetro é a soma do comprimento dos lados da figura 
- Área é a mensuração do espaço (plano) ocupado por aquela figura. As principais 
figuras geométricas planas são: 
 
Figura Definição Área 
Retângulo 
 
Quadrilátero onde os 
lados opostos são 
paralelos entre si, e 
todos os ângulos 
internos são iguais a 
90º 
A = b x h 
Quadrado 
retângulo onde a base 
e a altura tem o 
mesmo comprimento 
2A L 
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Trapézio 
 
 
4 lados, sendo 2 deles 
paralelos entre si, e 
chamados de base 
maior (B) e base 
menor (b) 
 
 
2
b B h
A
 
 
Losango 
 
4 lados de mesmo 
comprimento 2
D dA  
Paralelogramo 
 
 
 
H 
H 
ｴ 
 
quadrilátero com os 
lados opostos 
paralelos entre si 
A = b x h 
Triângulo 
 
 
 
figura geométrica com 
3 lados 
2
b hA  
Círculo 
todos os pontos se 
encontram à mesma 
distância (raio) do 
2A r  
ou 
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centro. Perímetro 
(comprimento) é 
2P r   
2
4
DA   
(pois D = 2r) 
 
- Observações adicionais sobre os Triângulos: 
 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o 
 - Tipos de triângulos: eqüilátero ( todos os lados iguais e todos os ângulos 
internos iguais a 60º), isósceles (dois lados iguais, e ângulos da base iguais), 
escaleno (três lados com medidas diferentes, e ângulos internos diferentes entre si). 
 - A altura do triângulo eqüilátero de lado “a” é 3
2
ah  , e sua área é 

2 3
4
aA 
 - Dois triângulos são semelhantes se possuem os mesmos ângulos internos. 
Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são 
proporcionais. 
 - Triângulo retângulo: 
- possui um ângulo de 90º. Os dois lados menores são chamados 
catetos, e o maior (oposto ao ângulo de 90º) é a hipotenusa: 
 
 
- O Teorema de Pitágoras nos diz que (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + 
(cateto 2)2 
 
 - Veja algumas relações métricas presentes no triângulo abaixo: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱ 
 
2
2
2
h m n
b m a
c n a
b c a h
 
 
 
  
 
 - Condição de existência de um triângulo: o comprimento do lado maior deve 
ser inferior à soma dos lados menores. 
 
Principais figuras geométricas espaciais: 
- Chamamos de volume a medida da quantidade de espaço tridimensional ocupada 
pela figura espacial. 
- A área superficial de uma figura plana é dada pela soma das áreas de suas faces, 
que são polígonos (figuras planas) como aqueles estudados acima. 
- Os principais encontram-se na tabela abaixo: 
Figura Volume Comentários 
 
Paralelepípedo 
 
 
H 
L 
C 
 
V = Ab x H 
ou 
V = C x L x H 
Todos os ângulos são retos. 
A área superficial é a soma da 
área dos 6 retângulos das faces 
Cubo 
V = A3 
 
Paralelepípedo onde todas as 
arestas tem a mesma medida 
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A 
A 
A 
 
Cilindro 
 
 
R 
H 
 
V Ab H  
 
 2V R H 
área total é a soma da área da 
base (que deve ser contada 
duas vezes) e a área lateral 
(que é um retângulo). 
2lateralA HxC Hx R  
Cone 
 
 
 R 
 H G 
 
3
Ab HV 
 
Lembrar que: 
G2 = R2 + H2 
 
A área lateral é um setor circularde raio G e comprimento 
2C R . Assim, 
 
Alateral =  xGxR 
Pirâmide 
 
3
Ab HV 
 
- chamamos de apótema a 
altura de cada uma das faces 
laterais, que são triângulos. 
Prisma V = Ab x H - as faces laterais de ambos são 
 
 
L 
H 
L L 
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H 
L 
 
 
retângulos 
Esfera 
 
V = 4 R3/3 
Área superficial é: 
A = 4 R2 
 
Média aritmética simples. 
- a média aritmética de um conjunto de dados consiste na soma de todos os valores 
da variável observada, dividida pelo total de observações. 
 
 
Soma dos valoresMedia
Total de observacoes
 
 
- generalizando, a fórmula para o cálculo da média de uma variável X é: 
1
n
i
Xi
Média
n


 
 
- caso tenhamos dados em uma tabela de frequências: 
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi






 
 
- se tivermos os dados agrupados em classes, devemos utilizar a seguinte fórmula 
para calcular a média: 
 
C 
R 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヴ 
1
1
( )
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi






 
 
- nessa fórmula, PMi é o ponto médio da classe “i”. 
 
- propriedades relativas à média de um conjunto de dados: 
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, 
a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. 
- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor 
constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo 
mesmo valor. 
- o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. 
Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, 
costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da 
distribuição.