Avaliação II Estrutura Algebrica

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Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas 
um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de 
termos envolvendo a variável x. Por exemplo, a equação algébrica 2x³ - 2x² - 8x + 8 = 0, 
possui uma das raízes em que x = 1. Desta forma, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas, quanto as características que podemos definir de suas 
outras duas raízes: 
( ) Inteiras e positivas. 
( ) Inteiras e de sinais contrários. 
( ) Irracionais e positivas. 
( ) Irracionais e de sinais contrários. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - V - F - F. 
B 
V - V - V - F. 
C 
F - F - V - F. 
D 
F - F - F - V. 
Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um 
dispositivo prático para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de 
Briot-Ruffini. Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio 
do tipo (x-a). 
Para o polinômio P(x) = x² - 4x + 8 dividido por D(x) = x + 2, obtém-se o resto: 
A 
R(x) = 19. 
B 
R(x) = 20. 
C 
R(x) = 18. 
D 
R(x) = 17. 
Um grupo é uma estrutura formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi 
definida uma aplicação binária, que pode ser classificado de algumas maneiras. A 
respeito das propriedades dessa estrutura, classifique V para as sentenças verdadeiras e 
F para as falsas: 
( ) Fechamento. 
( ) Comutatividade. 
( ) Existência do elemento neutro. 
( ) Existência de Inversos. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - F - V - V. 
B 
V - F - V - V. 
C 
F - V - F - F. 
D 
V - F - V - F. 
Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão 
de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base 
e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como com os números reais, podemos 
dividir dois polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e um resto R(x), 
nulo ou não. 
Neste contexto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de: 
P(x) = x³ - 6x² + 5x + 7 por D(x) = x + 2 
A 
R(x) = 35. 
B 
R(x) = 15. 
C 
R(x) = - 15. 
D 
R(x) = - 35. 
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar 
a divisão entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base 
(conservar a base e subtrair os expoentes). 
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da 
divisão do polinômio x4 + 3x3 - 3x2 - 7x + 6 por x2 + x - 2, a opção que apresenta a soma 
das soluções (raízes) dessa equação é: 
A 
2. 
B 
-2. 
C 
1. 
D 
-1. 
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra 
Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi 
no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º 
graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se 
encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. 
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + 16x = 0 é: 
A 
S = {0, -4i, 4i}. 
B 
S = {0, 4, -4}. 
C 
S = {16, -16, i}. 
D 
S = {-16i, 16i, 0}. 
Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um 
sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem 
um certo valor, o módulo. Devemos muito bem conhecer a classe dos possíveis restos 
da divisão de um número por um certo valor, para defini-la. Baseado nisto, classifique 
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) 22 ≡ 1 (mod 5) 
( ) 31 ≡ 3 (mod 4) 
( ) 25 ≡ 1 (mod 3) 
( ) 22 ≡ 1 (mod 4) 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - F - V - V. 
B 
V - F - F - V. 
C 
F - V - V - F. 
D 
V - V - F - F. 
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser 
escrita em função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 
1, -3, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 
( ) x³ - 2x² - 11x + 12 = 0 
( ) x³ - 5x² + 10x -12 = 0 
( ) x³ - 4x² + 3x - 12 = 0 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
F - F - F - V. 
B 
F - F - V - F. 
C 
V - F - F - F. 
D 
F - V - F - F. 
Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a 
famosa "aritmética modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na 
criptografia utilizada hoje nos computadores pada mandar mensagens ou dados de 
forma restrita. Para esse sistema de aritmética, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
( ) 22 ≡ -3 (mod 4) 
( ) 52 ≡ 4 (mod 7) 
( ) 31 ≡ 1 (mod 5) 
( ) 80 ≡ 1 (mod 3) 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - F - V - V. 
B 
F - V - V - F. 
C 
V - F - V - F. 
D 
F - V - F - V. 
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito 
como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de 
destaque. 
O polinômio P(x) = -x³ + 3x² - x + 3, possui -i, i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema 
da Decomposição, podemos escrever P(x) como: 
A 
P(x) = -(x² - 1)·(x + 3). 
B 
P(x) = (x² - 1)·(x + 3). 
C 
P(x) = (x² + 1)·(x - 3). 
D 
P(x) = -(x² + 1)·(x - 3).