Avaliação II - Individual Estruturas Algébricas (MAD17)

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09/07/2023, 22:17 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:823850)
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Prova 67430741
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 7/3
Nota 7,00
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da álgebra clássica. As 
primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as 
soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontram totalmente dentro do conjunto dos 
números reais.
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + 9x = 0 é:
A S = {0, -3i, 3i}.
B S = {0, -9i, 9i}.
C S = {0, -3, 3}.
D S = {0, -9, 9}.
O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é 
exclusividade da nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de 
resolução desses problemas. No entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais 
dinâmica do que em outras épocas. Portanto, se 2 é raiz da equação x3 - 3x2 + 3x + k = 0, então 
analise as opções a seguir:
1. k = -3.
2. k = 6.
3. k = -2. 
4. k = -6. 
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Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção II está correta.
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações 
binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, sejam os dois 
polinômios
P(x) = 2x3 - 3x2 + 5x + 1
Q(x) = x3 - x2 + 2x + 6
Sobre a operação P(x) - Q(x), analise as sentenças a seguir:
1. 3x3 - 2x2 + 3x - 5
2. x3 + 2x2 - 3x + 5
3. 3x3 + 2x2 - 3x + 5
4. x3 - 2x2 + 3x - 5
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção III está correta.
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C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção I está correta.
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma 
das formas de resolver é diminuindo o seu grau, fatorando por meio de divisões de polinômios. 
Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x 
+ 1 e resto R(x) = -15. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir:
1. x² + 5x + 12
2. x² - 5x - 12
3. x² - 5x + 12
4. x² + 5x - 12
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque.
O polinômio P(x) = x³ - 3x² + 4x - 12, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da 
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = 2·(x² - 4)·(x - 3).
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B P(x) = (x² + 4)·(x - 3).
C P(x) = 2·(x² + 4)·(x - 3).
D P(x) = (x² - 4)·(x - 3).
Um grupo é uma estrutura formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definida uma 
aplicação binária, que pode ser classificado de algumas maneiras. A respeito das propriedades dessa 
estrutura, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Existência do elemento neutro.
( ) Tricotomia.
( ) Transitividade.
( ) Existência de Inversos.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B F - V - F - F.
C F - V - F - V.
D V - F - F - V.
Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética 
modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos 
computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita. Para esse sistema de aritmética, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 41 ≡ -4 (mod 5)
( ) 72 ≡ 2 (mod 4)
( ) 31 ≡ -3 (mod 4)
( ) 55 ≡ 6 (mod 7)
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Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V.
B V - F - V - F.
C F - V - F - F.
D V - F - F - V.
Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático 
para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é 
utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x - a).
Para o polinômio P(x) = -x3 - 2x2 + 3x + 7 dividido por D(x) = x - 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 15.
B R(x) = -3.
C R(x) = 13.
D R(x) = -2.
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair 
os expoentes).
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do 
polinômio P(x) = x4 - 7x3 + 17x2 - 17x + 6 por D(x) = x2 - 3x + 2, a opção que apresenta a soma das 
soluções (raízes) dessa equação é:
A -3.
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B 3.
C -4.
D 4.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função 
de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 2, 1, e -3 e o coeficiente 
dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ + 4x² + x - 6 = 0 
( ) x³ - 7x + 6 = 0
( ) x³ - 2x² - 5x + 6 = 0 
( ) x³ - 4x² + x + 6 = 0 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D F - F - V - F.
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