Avaliação II - Individual

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:823850)
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Prova 67430400
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Em matemática, quando trabalhamos com raízes de equações algébricas, muitas vezes podemos criar 
problemas, fixando uma raiz e procurando descobrir um certo parâmetro para que satisfaça a fixação 
inicial.
Neste sentido, fixando-se x = -1 como raiz do polinômio P(x) = x³ + kx² - 78x -72, classifique V para 
as opções verdadeiras e F para as falsas quanto aos possíveis valores de k para que a fixação inicial 
seja satisfeita:
( ) k = 6
( ) k = -5
( ) k = 5 
( ) k = -6
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio possa ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. 
O polinômio P(x) = -x³ + 2x² - x + 2, possui -i, i e 2 como raízes. Então, pelo Teorema da 
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = -(x² + 1)·(x - 2).
B P(x) = -(x² - 1)·(x + 2).
C P(x) = (x² + 1)·(x - 2).
D P(x) = (x² - 1)·(x + 2).
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O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é 
exclusividade da nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de 
resolução desses problemas. No entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais 
dinâmica do que em outras épocas. Portanto, se 2 é raiz da equação x3 - 3x2 + 3x + k = 0, então 
analise as opções a seguir:
1. k = -3.
2. k = 6.
3. k = -2. 
4. k = -6. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção I está correta.
No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os Grupos 
Abelianos são assim chamados em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel que trouxe 
grandes contribuições à Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a 
caracterização de um grupo (G, *) como Abeliano:
1. Se, não apresentar as propriedades que o caracterizam como grupo, mais sim, verificada em (G, 
*) a propriedade comutativa.
2. Se (G, *) apresentar a propriedade comutativa, além das propriedades que caracterizam um 
grupo.
3. Se (G, *) possuir as características de um grupo e a propriedade distributiva.
4. É um conjunto não vazio, munido de uma operação fechada, associativa, comutativo e que 
possui o elemento neutro e inverso de qualquer operação binária.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença II está correta.
B Somente as sentenças I e IV estão corretas.
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C Somente as sentenças I e III estão corretas.
D Somente as sentenças II e IV estão corretas.
Um grupo é uma estrutura formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definida uma 
aplicação binária, que pode ser classificado de algumas maneiras. A respeito das propriedades dessa 
estrutura, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Existência do elemento neutro.
( ) Tricotomia.
( ) Transitividade.
( ) Existência de Inversos. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - V.
B F - V - F - F.
C F - F - V - V.
D F - V - F - V.
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da álgebra clássica. As 
primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as 
soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontram totalmente dentro do conjunto dos 
números reais.
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + 9x = 0 é:
A S = {0, -3i, 3i}.
B S = {0, -3, 3}.
C S = {0, -9i, 9i}.
D S = {0, -9, 9}.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função 
de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são -2, 1, e -3 e o coeficiente 
dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ - 7x + 6 = 0 
( ) x³ - 2x² - 5x + 6 = 0 
( ) x³ + 4x² + x - 6 = 0
( ) x³ - 4x² + x + 6 = 0 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
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B F - F - F - V.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar 
a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e 
subtrair os expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o 
quociente do polinômio P(x) = x4 - 10x3 + 24x2 + 10x - 24 por D(x) = x2 - 4x - 5, analise as opções a 
seguir que procuram apresentar a solução desta equação, e classifique V para as sentenças verdadeiras 
e F para as falsas:
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética 
modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos 
computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita. Para esse sistema de aritmética, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 22 ≡ 3 (mod 5)
( ) 52 ≡ 2 (mod 4)
( ) 31 ≡ -2 (mod 3)
( ) 80 ≡ 3 (mod 7) Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B F - V - F - F.
C V - F - V - F.
D V - F - V - V.
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Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático 
para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é 
utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a).
Para o polinômio P(x) = x³ -3x² + 5x - 5 dividido por D(x) = x - 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 4.
B R(x) = 2.
C R(x) = 3.
D R(x) = 1.
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