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DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Mariana Comerlato
Circunferências: 
elementos, divisões, 
tangentes e retificações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir circunferência.
  Classificar os elementos e as divisões das circunferências.
  Determinar tangentes e retificações de circunferências.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a circunferência, os seus conceitos funda-
mentais e os principais estudiosos do assunto. Você também vai aprender 
a identificar e classificar seus principais elementos e a desenvolver as 
construções geométricas da circunferência, desde seu traçado básico 
até suas divisões e retificações.
Conceitos fundamentais
A circunferência é um elemento formado por um conjunto de pontos distribu-
ídos no espaço que possuem como característica o fato de todos eles estarem a 
uma mesma distância de um ponto conhecido como centro, conforme mostra 
a Figura 1. Assim como existem infi nitos pontos ao redor do seu perímetro, a 
circunferência também possui infi nitos raios e infi nitos diâmetros que conectam 
esses pontos do perímetro, conforme leciona Januário (2010).
Figura 1. Conceito geométrico da circunferência: um ponto central e infinitos pontos 
equidistantes do centro pela medida conhecida como raio.
A circunferência é considerada uma curva, então não podemos medi-la com 
uma régua. Para isso, estudiosos matemáticos da Antiguidade desenvolveram 
uma forma de calcular o comprimento de uma circunferência, representado 
da seguinte maneira:
C = 2 ∙ π ∙ r
onde:
  π = número que representa a relação métrica constante entre o com-
primento da circunferência e o seu diâmetro — segundo Reis (2014), 
π é um número irracional cujo valor é 3,141592, aproximadamente;
  r = raio da circunferência.
Ao longo deste capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de reti-
ficar a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir o seu comprimento em linha reta.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações2
Quando falamos em geometria, não podemos deixar de fora Euclides de Alexandria, 
grande matemático da Antiguidade e o primeiro a estudar a geometria. Uma das suas 
obras mais importantes é o tratado intitulado Os elementos, composto por 13 livros 
que serviram de base para diversos outros estudos e para o que ficou conhecido até 
hoje como geometria euclidiana. A publicação de Euclides é baseada em axiomas 
(verdades incontestáveis sobre a ciência) e postulados (verdades incontestáveis sobre 
um determinado assunto), conforme explica Boyer (1991). É nesse tratado que Euclides 
vai definir os elementos principais da geometria, como ponto, reta, arco, superfície, 
ângulo e diâmetro. Euclides também vai afirmar que, com um ponto e uma distância 
quaisquer, é possível construir uma circunferência com centro naquele ponto e raio igual 
àquela distância, conforme leciona Costa (2011). Além de ser uma das publicações mais 
antigas de que se tem registro, Os elementos também é uma das obras mais traduzidas 
da história da humanidade.
Elementos da circunferência
Junto com o centro e o raio, outros elementos são importantes para as demais 
construções geométricas da circunferência, como a sua divisão em partes 
iguais e a sua retifi cação, conforme leciona Carvalho (2008). Vejamos abaixo 
e, também, na Figura 2, a defi nição desses elementos.
  Arco: é uma porção da circunferência, ou seja, do seu perímetro, com-
preendida entre dois pontos. O arco pode apresentar tamanhos diversos. 
  Corda: é o segmento de reta que une as extremidades de um arco.
  Diâmetro: é a única corda que passa pelo centro da circunferência, 
tendo a dimensão equivalente ao dobro do raio. O diâmetro é a maior 
corda da circunferência.
  Flecha: é o trecho do raio que é limitado pela corda e pelo arco e que 
é perpendicular à corda.
3Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Figura 2. Elementos da circunferência: arco, corda, diâmetro e flecha.
Vejamos também outros elementos importantes — as retas e as suas posi-
ções relativas em relação à circunferência — abaixo e na Figura 3.
  Reta secante: reta que corta a circunferência em dois pontos, formando 
o segmento de reta conhecido como corda. Quando a secante corta a 
circunferência pelo seu centro, ela gera o seu diâmetro.
  Reta tangente: reta que toca a circunferência em apenas um ponto e que 
é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. O encontro entre a reta 
tangente e a circunferência é chamado de ponto de tangência. Além de 
saber identificar uma tangente, é importante desenhá-la de forma correta. 
Mais adiante veremos como construir uma reta tangente à circunferência.
Figura 3. Elementos da circunferência: retas secante e tangente.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações4
As circunferências também possuem ângulos relevantes, que podem ser 
os seguintes (Figura 4).
  Ângulo central: é o ângulo cujo vértice é o centro (O) da circunferência 
e que gera um arco correspondente (AB).
  Ângulo inscrito: ângulo que possui o vértice (D) na circunferência e 
seus lados são cordas (DE e CD). Ângulo encontrado em situações de 
inscrição de polígono em circunferência.
  Ângulo circunscrito: ângulo formado quando o vértice (G) está fora 
da circunferência e seus lados a tangenciam.
Figura 4. Elementos da circunferência: ângulos.
A geometria é um grande campo de estudo que possui muitos enfoques, como a 
geometria analítica, a descritiva e a espacial. Neste capítulo, estudamos a circunferência 
a partir do tema do desenho geométrico, mas a circunferência também pode ser 
observada e representada a partir de outras abordagens da geometria. A geometria 
analítica, por exemplo, estuda os lugares geométricos (retas, circunferência, parábolas, 
etc.) por meio de representações algébricas relacionadas a produtos cartesianos. Nesse 
caso, pela geometria analítica, a circunferência é caracterizada por uma expressão 
matemática que representa, em um plano cartesiano, as coordenadas x e y de seu 
centro (Xc e Yc), as coordenadas x e y de algum ponto genérico de sua formação, e 
a dimensão de seu raio (r). Portanto, segundo Santos e Ferreira (2009), na geometria 
analítica, a circunferência é dada por:
5Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Construções geométricas e divisões
Pode-se dizer que são dois os elementos mais importantes para a construção 
geométrica da circunferência: o ponto correspondente ao seu centro e o raio, 
que determina a distância do centro à borda composta pelos demais pontos. 
Essa é a lógica inicial para traçar uma circunferência. No desenho geométrico, 
o instrumento utilizado para o traçado de uma circunferência é o compasso, 
cuja ponta seca é posicionada no centro da circunferência, e cuja abertura 
representa o raio. Com o grafi te do compasso, desenha-se a circunferência, 
conforme leciona Giovanni (2016) e demonstra a Figura 5.
Figura 5. Desenho da circunferência por meio do 
instrumento compasso.
Fonte: FERNANDO BLANCO CALZADA/Shutterstock.com.
Além da construção básica da circunferência, é importante para o desenho 
geométrico saber determinar e construir outros elementos. A seguir, veremos 
o passo a passo dessas construções. É importante ressaltar a necessidade de 
instrumentos adequados para as construções, como régua, compasso e dupla 
de esquadros. 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações6
Identificação do centro de uma circunferência
Para identifi car o centro de uma circunferência dada, é necessário traçar duas 
cordas quaisquer (AB e BC) e as suas mediatrizes. O centro da circunferência 
será o ponto O, localizado no encontro das mediatrizes, conforme leciona 
Carvalho (2008) e demonstra a Figura 6.
Figura 6. Passo a passo para determinar o centro de uma circunferência.
A mediatriz é uma reta que corta outra reta ou segmento de reta em seu ponto médio. 
Veja nolink abaixo um vídeo que mostra como traçar uma mediatriz.
https://goo.gl/U66GJ3
Divisão da circunferência em três partes iguais 
e inscrição de um triângulo
A divisão de uma circunferência em três partes iguais inicia com o traçado 
de um eixo qualquer que passa pelo centro da circunferência (O) e corta o seu 
perímetro (A). Com a ponta seca do compasso em A e a abertura da dimensão 
do raio, desenha-se um arco que cruza a circunferência marcando os pontos B 
e C. Estes já são os dois primeiros pontos da divisão. O terceiro ponto (D) se 
encontra no cruzamento do eixo traçado inicialmente com a outra extremidade 
da circunferência.
7Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
O triângulo inscrito em uma circunferência dividida em partes iguais 
é chamado de triângulo equilátero, pois possui três lados e três ângulos 
internos iguais. Os ângulos internos do triângulo são considerados ângulos 
inscritos da circunferência (Figura 7). Para dividir uma circunferência em seis 
ou 12 partes iguais, basta traçar as mediatrizes dos lados e criar os pontos de 
intersecção das mediatrizes com a circunferência.
Figura 7. Passo a passo para dividir uma circunferência em três partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
O lado de um hexágono inscrito em uma circunferência é igual ao raio dessa circun-
ferência. Sendo assim, para dividir uma circunferência em seis partes iguais, basta ter 
um compasso em mãos com sua abertura na mesma medida do raio. Marque seis 
pontos consecutivos na circunferência e a divisão estará completa.
Divisão da circunferência em quatro partes iguais 
e inscrição de um quadrado
Para dividir uma circunferência em quatro partes iguais é necessário traçar 
dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD). Os pontos dos diâmetros 
na circunferência formam o polígono, conforme mostra a Figura 8. Para 
dividir a circunferência em oito ou 16 partes, basta traçar as mediatrizes dos 
lados do polígono.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações8
Figura 8. Passo a passo para dividir uma circunferência em quatro partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
Divisão da circunferência em cinco partes iguais 
e inscrição de um pentágono
Para dividir uma circunferência em cinco partes iguais, inicialmente deve-
-se traçar dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD) e, em seguida, 
traçar a mediatriz do raio CO, achando o ponto médio (M). Com a ponta seca 
do compasso em M e a abertura do compasso MA, traçar o arco e localizar 
o ponto N no raio OD. A distância AN corresponde a 1/5 da circunferência, 
e essa medida pode ser transferida com o compasso marcando-se os vértices 
(F, G, H e I) do polígono iniciando em A, conforme mostra a Figura 9. Para 
divisões em partes múltiplas de cinco, é necessário traçar a mediatriz dos 
lados do polígono. 
Figura 9. Passo a passo para dividir uma circunferência em cinco partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
9Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Traçado de uma tangente
Conforme já vimos no início deste capítulo, a tangente é uma reta que toca a 
circunferência em apenas um ponto (ponto de tangência), sendo perpendicular 
ao raio que passa naquele ponto. Portanto, para traçar uma reta tangente a 
uma circunferência dada, é necessário, primeiramente, determinar o ponto 
de tangência (A) e seu respectivo raio (AO). Em seguida, com o auxílio de 
esquadros, deve-se traçar uma reta perpendicular (t) ao raio determinado, no 
ponto A, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10. Passo a passo para o traçado de uma reta tangente.
Retificações de circunferência
Retifi car a circunferência signifi ca transformar sua curva em uma linha 
reta que possua a mesma extensão do perímetro original da circunferência. 
A retifi cação da circunferência é importante para defi nirmos grafi camente 
seu comprimento. Como já vimos no início deste capítulo, é possível defi nir 
o comprimento de uma circunferência por meio da álgebra, com a expressão 
C = 2 ∙ π ∙ r. Trata-se, portanto, de duas formas diferentes e complementares 
de se obter o mesmo resultado, sendo o cálculo o modo mais preciso, pois 
trabalha com casas decimais que, muitas vezes, a régua não abrange.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, sendo o método 
de Arquimedes o mais conhecido deles. Arquimedes foi um matemático da 
Antiguidade Clássica inspirado por Euclides e que, dentre muitos estudos 
relevantes, encontrou uma aproximação apurada do número π que é a relação 
entre comprimento da circunferência e diâmetro. A Figura 11 representa essa 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações10
relação; ela demonstra que, se uma circunferência tem diâmetro de 1 unidade, 
o seu comprimento é de aproximadamente 3,14 unidades, valor da razão π.
Figura 11. Número π: relação entre o diâmetro e o com-
primento da circunferência.
Nos seus estudos algébricos, Arquimedes chegou à conclusão de que o 
comprimento de uma circunferência se dava a partir da seguinte combinação, 
baseada no número π: 
C = 3 ∙ d + 1/7 ∙ d
onde d é o diâmetro da circunferência.
A retificação da circunferência pelo método de Arquimedes segue, então, 
a lógica da fórmula desenvolvida por ele. Em uma circunferência dada, para 
retificarmos seu comprimento, necessitamos traçar três unidades inteiras do seu 
diâmetro mais um sétimo dessa mesma unidade. Para achar 1/7 do diâmetro, 
traçamos inicialmente um diâmetro AB e, em seguida, traçamos uma reta 
auxiliar (a), iniciando no ponto A desse diâmetro. Nessa reta, marcamos com 
o compasso, sempre na mesma abertura, 7 pontos. Unimos o sétimo ponto 
à outra extremidade do diâmetro (ponto B), formando um triângulo. Com 
os esquadros, traçamos uma reta paralela à reta do ponto 7 para transferir o 
ponto 6 para o diâmetro AB. A distância entre os pontos 6 e 7 no diâmetro AB 
equivale a 1/7 desse diâmetro. Por fim, é necessário marcar três dimensões do 
diâmetro e mais 1/7 do mesmo. Utilizamos o compasso para transferir essas 
medidas com precisão para um segmento de reta. Nesse caso, a retificação da 
11Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
circunferência de diâmetro AB equivale ao segmento de reta AE, conforme 
mostra a Figura 12. Para efeitos de segurança, é possível medir a retificação e 
conferir se as dimensões estão corretas por meio da fórmula do comprimento 
da circunferência: C = 2 ∙ π ∙ r. 
Figura 12. Método de Arquimedes para retificação da circunferência.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, mas todos se baseiam no 
estudo de Arquimedes sobre a relação entre comprimento e diâmetro da circunferência. 
Confira no link abaixo um vídeo que demonstra o método de Kochansky, matemático 
do século XVII.
https://goo.gl/CffRMi
Para finalizar, é importante ressaltar que, apesar de se tratar de um elemento 
simples, e talvez justamente por causa disso, o estudo da circunferência é de 
grande relevância. Sua simplicidade faz como que ela seja a base de muitos 
outros elementos. O fácil entendimento da circunferência e a compreensão 
de seus processos nos auxiliam em inúmeras questões do nosso dia a dia.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações12
BOYER, C. B. A history of mathematics. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1991.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 2. ed. Rio de Janeiro: Imperial, 2008.
COSTA, D. M. B. Apostila geometria descritiva. Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 
2011.
GIOVANNI, J. R. Desenho geométrico. São Paulo: FDT, 2016. v. 1. 
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
SANTOS, F. J. S.; FERREIRA, F. S. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
13Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato 
Jardim
Sistemas de projeção 
ortogonais: desenhodas 
vistas a partir de sólidos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever a lógica das projeções ortogonais.
  Reconhecer vistas ortográficas a partir de sólidos.
  Aplicar as vistas ortográficas em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a representação das projeções ortogonais 
do objeto tridimensional nos planos bidimensionais. Além disso, você vai 
verificar as principais convenções de desenho das vistas ortográficas — a 
composição dos diedros e a planificação da épura. Por fim, vai analisar 
a aplicação desses conceitos na arquitetura e no design de interiores.
Projeções ortogonais
A projeção, em geometria descritiva, consiste na representação de um objeto 
por meio de pontos projetados por retas que intersectam o plano de projeção. O 
resultado dessa projeção é a própria imagem do objeto no plano. A geometria 
descritiva tem como objetivo representar o espaço geométrico tridimensional 
em uma superfície bidimensional. Dessa forma, ela está relacionada à solução 
de problemas espaciais bidimensionais utilizando um processo reversível — 
por meio de vistas bidimensionais, constrói-se um volume tridimensional e, 
a partir de um volume geométrico, desenham-se vistas no plano.
O sistema de representação abrange um conjunto de técnicas para pro-
jeção de elementos tridimensionais em um plano bidimensional. Ou seja, é 
a planificação do sólido em três dimensões. Cada tipo de projeção — isto é, 
cada modo como as retas se projetam no objeto e incidem no plano — gera 
um resultado específico, que é adotado para seu melhor uso. Por exemplo, 
o sistema cônico apresenta semelhança com a visão humana, enquanto o 
sistema cilíndrico auxilia na representação do objeto em verdadeira grandeza 
(Figura 1), de onde se pode obter medidas reais do objeto, conforme explicam 
Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior (1987).
Figura 1. A distinção entre as duas representações: à esquerda, a projeção cônica; 
à direita, a projeção cilíndrica, cuja vista está representada em verdadeira grandeza.
Os sistemas são estudados com base em duas operações fundamentais: 
projeção e seção. As projeções são também chamadas de vistas, pois repre-
sentam as faces externas do objeto. As seções são cortes na peça, que mostram 
o interior do objeto e como ele se comporta ao longo do comprimento.
Sistema de projeções ortogonais
A representação de objetos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais, 
utilizando projeções ortogonais, foi idealizada por Gaspar Monge, no século 
XVIII, dando origem à geometria descritiva. Nesse contexto, considerando-se 
os planos vertical e horizontal prolongados além de suas interseções, o espaço 
é dividido em quatro partes, os diedros, cada um com duas faces, conforme 
lecionam Speck e Peixoto (2003). Como a representação de uma única projeção do 
objeto em um plano, muitas vezes, não é sufi ciente, qualquer objeto, seja qual for 
a sua forma, posição ou dimensão, pode ser representado no plano bidimensional 
pelas suas projeções cilíndricas ortogonais. Os quatros ângulos são numerados 
no sentido anti-horário e denominados 1º, 2º, 3º e 4º diedro, respectivamente 
(Figura 2). Dessa forma, o conjunto de vistas ou projeções consegue defi nir, por 
completo, o objeto, conforme leciona Curtis e Roldo (2015).
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos2
Figura 2. Montagem dos dois planos de projeções sobre 
os eixos X e Y, configurando os quatro diedros. 
O tipo de projeção cilíndrico-ortogonal define que as retas projetantes 
incidem no plano de forma perpendicular, de forma que as retas do objeto 
perpendiculares ao plano são representadas por pontos, e as retas paralelas 
a ele são linhas exatamente iguais às linhas reais do objeto. Nesse tipo de 
representação, a fonte das linhas projetantes se encontra longe do objeto, 
de forma que as distorções do olho, a projeção cônica, é reduzida a zero. As 
retas são paralelas entre si e não concorrentes ao ponto, assim como ocorre 
na representação cônica, conforme explica Asensi (1990).
Vistas ortográficas
As vistas ortográfi cas desenvolvidas por Gaspar Monge consistem em um 
conjunto de projeções que buscam defi nir o objeto tridimensional planifi cado. 
Nesse tipo de projeção, a fi nalidade é representar os objetos em verdadeira 
grandeza, já que que as retas se projetam com um ângulo de 90º no plano, 
evitando distorção na imagem do objeto. Dessa forma, na projeção cilíndrica 
ortogonal de um objeto, quando posicionado com uma das faces paralelas ao 
plano, temos uma representação em verdadeira grandeza da face. As faces 
perpendiculares a esse mesmo plano, diferentemente, se resumem a linhas.
3Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Em resumo, na área do desenho técnico, vista ortográfica é a figura 
resultante da projeção cilíndrica ortogonal do objeto sobre um plano de 
projeção de referência. Essa vista apresenta um aspecto particular do ob-
jeto a partir da direção adotada pelo observador. Vale lembrar que, pelas 
definições mongeanas, esse observador se encontra distante do objeto, de 
modo que as linhas cônicas são corrigidas e se tornam perpendiculares ao 
plano, conforme leciona Asensi (1990).
Já que apenas uma vista não é suficiente para representar um objeto, 
conforme demonstra a Figura 3, utilizamos o sistema de vistas ortográficas, 
obtidas sobre três planos de projeção perpendiculares entre si: um vertical, 
um horizontal e um de perfil. Caso o objeto possua as faces ortogonais, terá 
também elas paralelas aos planos de projeção, ou seja, todas elas representadas 
por figuras em verdadeira grandeza. Essas três vistas geralmente garantem a 
plena representação do objeto, e são denominadas vista anterior (VA), vista 
lateral esquerda (VLE) e vista superior (VS). Desdobrando esses planos, 
temos a vista lateral à direita e a superior abaixo da vista anterior.
Figura 3. No caso dos objetos da figura, apenas uma vista 
não é suficiente para representá-los, já que ela é igual para 
os três objetos. 
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos4
É importante ressaltar que a representação das vistas ortográficas de Gaspar Monge 
normalmente ocorre em apenas dois planos de projeção, sem o plano de perfil. Porém, 
no desenho técnico, é praticamente inviável definir um objeto com apenas duas 
figuras — por isso, é utilizado outro plano. Outra definição importante é que, quando 
posicionamos um objeto com a face paralela ao plano de projeção, conseguimos 
fazer com que as vistas estejam em verdadeira grandeza. Na geometria descritiva, os 
objetos estão em qualquer lugar do espaço, sem relação com os planos de projeção. 
Veja a figura abaixo:
Diedros
Como vimos, dois planos, um horizontal e outro vertical, no momento em que 
se intersectam, formam quatro diedros. A aresta comum entre eles é chamada 
linha de terra (LT). A nomenclatura desses planos se inicia pelo diedro 
superior direito e segue em sentido anti-horário. Seguindo a lógica de um 
paralelepípedo, que possui seis faces, é possível representar o objeto por meio 
de seis vistas, resultando em seis fi guras. No diedro, a lógica é a mesma: de 
acordo com o posicionamento do observador, temos as seis vistas ortográfi cas 
que, segundo a ABNT, são dispostas da seguinte maneira (ASSOCIAÇÃO 
BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1988):
  vista anterior ou de frente (VA);
  vista lateral esquerda (VLE), localizada à direita da VA;
5Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
  vista superior (VS), abaixo da VA;
  vista posterior (VP), à direita da VLE e simétrica à VA em relação a VLE;
  vista lateral direita (VLD), à esquerda da VA e simétrica à VLE em 
relação à VA;
  vista inferior (VI), acima da VA e simétrica à VS em relação à VA.
O desmembramento desse cubo de projeção, isto é, a planificação das vistas 
com o posicionamento dentro da normativa,é chamado de épura. Dessa forma, 
independentemente do país em que se faz a leitura do desenho, sabendo em 
qual diedro ocorreram as projeções, é possível indicar qual a vista do objeto, 
conforme leciona Boni (2017).
A épura é uma representação planificada de qualquer entidade geométrica a partir 
das projeções ortogonais, utilizada na geometria descritiva e no desenho técnico. 
Conforme varia o diedro em que o objeto é utilizado, altera-se o posicionamento das 
vistas na épura. As coordenadas dos respectivos pontos projetados são marcadas 
nos planos a partir da LT, a fim de identificá-los no espaço. O posicionamento do 
observador é o que determina em qual diedro o objeto será projetado e quais vistas 
serão representadas na épura. Veja a figura abaixo:
Essa denominação se refere à projeção de um objeto no 1º diedro. Essa é 
a utilização mais comum na Europa e no Brasil. Nos Estados Unidos e no 
Canadá, por exemplo, a projeção mais usual é a que ocorre no 3º diedro. Já 
as projeções no 2º e 4º diedros não são utilizadas porque ocorre a superposição 
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos6
de projeções quando os planos são rebatidos na épura, conforme lecionam 
Speck e Peixoto (2003).
No 3º diedro, devemos considerar que os planos são transparentes para 
visualizar o objeto através deles. As vistas ortográficas são as mesmas que 
no 1º diedro, porém, no rebatimento da épura, essas vistas assumem novas 
posições, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Como funciona a projeção no 3º diedro e sua épura.
Embora não tão utilizada no Brasil, a projeção do objeto no 3º diedro é mais 
intuitiva, já que a denominação das vistas e sua disposição na épura equivalem 
à posição das faces do objeto. Além disso, a projeção ocorre no plano à frente 
do objeto, e não posterior, como no 1º diedro, conforme explicam Bornancini, 
Petzold e Orlandi Júnior (1987). 
Acesse o link a seguir para saber mais sobre diedros e posicionamento do objeto em 
relação aos planos.
https://goo.gl/XzimBo
7Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Modos de representação
A representação na técnica usual é plana e linear, ou seja, é feita por meio 
de linhas em um espaço bidimensional. Os aspectos do objeto aparecem, 
no plano, a partir do contorno aparente, representado pelas arestas. Esse 
contorno é percebido quando os raios de visão tangenciam a superfície do 
objeto. A interseção das retas projetantes, que cruzam o objeto, com o plano 
de projeção, determina as vistas ortográfi cas desse elemento tridimensional. 
Assim, uma aresta projetada no plano pode representar uma aresta do objeto, 
uma geratriz da superfície curva, uma reta inclinada ou o acúmulo de outras 
linhas, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5. A projeção de uma geratriz, de uma aresta em verdadeira grandeza e de um 
plano inclinado acumulado (aresta reduzida).
Quando existe uma linha a ser projetada no plano, porém não visível, a 
representamos com uma linha tracejada. Elas são representadas porque 
existem — e devemos representar todos os elementos do objeto —, mas 
não estão visíveis nessa projeção. Porém, quando as linhas invisíveis são 
sobrepostas pelas visíveis, elas não são representadas. Por essa mesma 
convenção, não é necessária a representação de duas vistas opostas de 
um mesmo contorno, conforme lecionam Bornancini, Petzold e Orlandi 
Júnior (1987).
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos8
Seguindo as normas de desenho técnico, a linha tracejada deve ser composta por 
segmentos de mesmo tamanho, cujo espaçamento entre eles é menor que a metade 
do seu comprimento. Outro detalhe a ser observado é que a linha tracejada não deve 
encostar em outra aresta que esteja no mesmo alinhamento. Assim, existe um espaço 
entre elas, conforme mostra a imagem abaixo.
Outra norma de representação é que nunca devemos escrever o nome 
da vista que estamos representando, já que existe uma convenção que de-
fine a projeção em função do seu posicionamento. Assim, em um objeto, 
a vista anterior corresponde à face do objeto com a maior medida no eixo 
horizontal; seguindo a convenção, à direita dessa vista estará a vista lateral 
esquerda e, abaixo dela, a vista superior. Sempre que possível, essas serão 
as vistas representadas. Caso haja algum detalhe maior, que será mostrado 
com melhor qualidade em outra vista, podemos alterar essas projeções, 
conforme leciona Boni (2017).
Acesse o link a seguir para saber mais sobre as vistas auxiliares, utilizadas quando as 
seis vistas não são suficientes para representar as peculiaridades do objeto.
https://goo.gl/NLj6V3
9Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Aplicação das vistas ortográficas
O uso das vistas ortográfi cas nas profi ssões de arquiteto e designer é de suma 
importância, já que elas representam o espaço ou o objeto com maior nível de 
detalhamento. A partir delas, torna-se possível planifi car os elementos tridi-
mensionais, conforme explicam Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior (1987).
Na arquitetura, a partir de um espaço tridimensional, é possível gerar a 
planta baixa do espaço (vista superior) e as vistas laterais (quando externas, são 
chamadas de fachadas). Também existem as seções ou cortes, que são vistas 
especiais que atravessam o interior do objeto. Esse recurso está relacionado 
à materialidade da construção e é empregado na área da construção civil no 
detalhamento de peças hidráulicas, em detalhes de maquinário, nas formas 
de lajes, entre outros.
Na área do design, as vistas são fundamentais para a elaboração do projeto 
de qualquer objeto produzido industrialmente, para a execução correta dos 
produtos. Essas vistas ortográficas podem ser cotadas, no caso de produtos à 
venda, por exemplo, para que o comprador entenda o produto.
Não importa se as vistas estão dispostas sobre uma folha de papel, desenha-
das à mão, ou na tela do computador em um aplicativo tipo CAD (Computer 
Aided Design); a questão é que, por mais realista que seja uma representação em 
perspectiva, as vistas ortográficas são insuperáveis em termos de praticidade 
e quantidade de informações.
Geralmente os estudantes não conseguem ver as questões teóricas sendo 
aplicadas na prática. Muitos se perguntam: “Para que vou usar isso na minha 
vida?”. Assim, um exemplo de representação de vistas bastante usual são os 
desenhos infantis. As crianças planificam os objetos, já que não conhecem as 
características da construção tridimensional. Seguindo essa ideia, os desenhos 
animados mais antigos, até o fim dos anos 1990, trabalhavam apenas com 
as imagens planificadas, conforme explicam Bornancini, Petzold e Orlandi 
Júnior (1987). Outro exemplo da aplicação das vistas ortográficas na prática 
é a especificação de peças das áreas da engenharia. No caso de um encaixe 
de canos de PVC, por exemplo, uma luva é a peça que serve de união entre 
eles — assim, precisa ter uma seção de entrada maior do que a seção de saída. 
Isso fica difícil de representar na perspectiva; por isso, usamos as vistas e os 
cortes, que apresentam essas áreas de forma mais definida, conforme mostra 
a Figura 6.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos10
Figura 6. Imagem de uma luva redutora em perspectiva, vista lateral e seção. Observe que 
todas as representações do objeto se fazem necessárias para a compreensão do objeto.
Fonte: Adaptado de Luva... ([2018]).
Na arquitetura, o espaço tridimensional é representado por meio das plani-
ficações em planta baixa (vista superior), além das fachadas (vistas externas) 
e cortes (seções ou vistas internas). Não existe projeto arquitetônico sem a 
utilização desses recursos — são eles os responsáveis pelo projeto sair do 
papel e se tornar real. Além disso, a vista ortográfica consiste na representação 
exata do espaço, mesmo que, para os leigos, seja mais difícil de compreender.
Uso de software
Atualmente, a maior parte dagrafi cação nas áreas de construção civil e de-
sign ocorre pelo meio digital. Assim, a utilização de software de modelagem 
tridimensional facilita o processo de criação do objeto. Diferentemente do 
papel, alguns desses programas já desenvolvem as vistas ortográfi cas a partir 
do objeto tridimensional, ou vice-versa.
O software da Trimble, SketchUp, permite que o profissional desenvolva 
um espaço ou produto e, sem novos desenhos, consiga a projeção das vistas 
ortográficas. Por possuir um leiaute interativo e de fácil entendimento, é um 
dos softwares mais utilizados no mundo. Depois do objeto modelado, todas 
as vistas ortográficas ficam sob uma aba específica (Figura 7). Dessa forma, 
se desejado, elas podem ser exportadas como imagens ou como linhas para 
edição no AutoCAD, por exemplo. Isso permite que o trabalho ganhe anda-
mento e maior rigor técnico.
11Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Figura 7. Interface do software SketchUp com a modelagem de um sólido e as vistas 
ortográficas retiradas do desenho a partir da ferramenta do software. A disposição das 
vistas segue a épura do 1º diedro.
Existem inúmeros softwares de modelagem, como o Rhinoceros, que 
dispõe de telas de visualização do processo em perspectiva, vista superior, 
lateral e frontal (Figura 8). Dependendo do modelo a ser desenhado, é possível 
escolher e expandir as vistas que mais convêm. Esse é um software voltado 
para o design, em que a modelagem paramétrica permite maiores edições em 
superfícies.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos12
Figura 8. Leiaute do software Rhinoceros, com as quatro janelas de visualização do modelo: 
perspectiva e outras três vistas ortográficas, conforme for pertinente na modelagem.
Existem diversos outros software de modelagem que permitem um desenho 
mais técnico, como o AutoCAD, o 3dMAX e o Revit, por exemplo. O primeiro 
permite um desenho técnico, mas sem que as vistas derivem diretamente do 
modelo. O segundo possui um sistema de modelagem mais complexo, mas 
com um resultado satisfatório, principalmente se conter superfícies mais 
complexas, como curvas. O terceiro trabalha com o desenvolvimento plano e 
tridimensional simultaneamente, de forma que é possível agregar informações 
descritivas ao modelo e elas gerarem o modelo tridimensional, como pé-direito, 
vão de esquadria, materialidade, entre outros.
Enfim, em profissões que trabalham com a tridimensionalidade, é impor-
tante entender como o objeto ou o espaço são planificados e se comportam 
quando representados apenas por pontos e linhas. A partir de planos de pro-
jeção que se intersectam perpendicularmente, Gaspar Monge criou o plano de 
perfil, que permitiu o desenvolvimento das seis principais vistas ortográficas 
e, dessa maneira, possibilitou representar com rigor os objetos tridimensionais 
planificados.
13Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
ASENSI, F. I. Ejercícios de geometría descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1990. 505 p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 1026: Cotagem em desenho 
técnico. Rio de Janeiro, 1988. Disponível em: <http://www.abntcatalogo.com.br/norma.
aspx?ID=4578>. Acesso em: 17 set. 2018.
BONI, F. Desenho técnico 1A. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2017.
BORNANCINI, J. C.; PETZOLD, N.; ORLANDI JÚNIOR, H. Desenho técnico básico: funda-
mentos teóricos e exercícios a mão livre. 4. ed. Porto Alegre: Sulina, 1987.
CURTIS, M C. G.; ROLDO, L. Desenho técnico à mão livre: um instrumento didático. 
Educação Gráfica, v. 19, n. 3, p. 55-66, 2015.
LUVA soldável 25mm marrom. Casa&contrução, São Paulo, [2018]. Disponível em: 
<https://www.cec.com.br/material-hidraulico/tubos-e-conexoes/luvas/luva-solda-
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SPECK, J. H.; PEIXOTO, V. V. Manual básico de desenho técnico. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 2003. 180 p.
Leitura recomendada
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores Associados, 
1986. 306 p.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Triângulos: elementos, 
construções, pontos 
notáveis e triângulos órticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever os elementos e as características dos triângulos.
  Construir triângulos utilizando instrumentos de desenho.
  Reconhecer os pontos notáveis e triângulos órticos em triângulos.
Introdução
Os triângulos são formas geométricas estáveis e rígidas que apresentam 
três vértices e uma base. São figuras de grande importância histórica 
nos campos da matemática, astronomia, arquitetura e arte, estudadas e 
utilizadas por civilizações antigas, como a egípcia, a babilônica e a grega. 
O triângulo é o menor entre os polígonos e admite uma circunferência 
inscrita e circunscrita em seu perímetro.
Neste capítulo, você vai estudar as classificações de triângulos de 
acordo com seus lados e ângulos, as operações gráficas executadas a 
partir da forma do triângulo e os elementos e pontos notáveis como 
incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro, além dos instrumentos 
utilizados para desenhá-los.
Elementos e características dos triângulos
Dentre os polígonos, os triângulos se destacam e são de fundamental importância 
para o desenho geométrico por apresentarem uma série de propriedades especí-
fi cas. O triângulo é o polígono que apresenta o menor número de lados e resulta 
da interligação de três segmentos de reta consecutivos e não colineares. Para que 
três segmentos de reta, AB, BC e AC, formem um triângulo, é necessário que:
AB + BC > AC
AB − BC < AC
A forma e o tamanho de um triângulo ficam determinados quando se 
conhecem os tamanhos de pelo menos três dos seus elementos — lados, ân-
gulos, medianas, alturas, razão entre dois lados, etc. —, sendo que um desses 
elementos conhecidos deve ser um comprimento, conforme lecionam Albrecht 
e Oliveira (2013). A Figura 1 apresenta os elementos notáveis dos triângulos.
Figura 1. Elementos notáveis do triângulo. 
Fonte: Adaptada de triangulo-divisoes.png ([2018]).
  Altura: medida da reta imaginária que faz ângulo de 90° com a base e vai até o 
seu vértice oposto.
  Bissetriz: reta que divide o ângulo pela metade.
  Mediana: segmento de reta imaginário que conecta o vértice ao ponto médio 
do lado oposto a ele.
  Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio de um segmento fazendo ângulo 
de 90° com este.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos2
Quando combinamos as informações de medidas de lados e ângulos de 
um triângulo, obtemos uma figura estável e rígida. Não é possível construir 
dois triângulos diferentes a partir das mesmas medidas; trata-se de uma fi-
gura plana indeformável. Por isso utilizamos o termo “triangular” para fazer 
referência ao processo de obtenção ou de conferência de medidas por meio 
do desenho de triângulos.
Um exemplo de triangulação de medidas pode ser observado quando se 
faz o levantamento métrico de um espaço construído: depois de medir duas 
paredes ou a distância entre dois pilares, verifica-se o ângulo e a precisão 
dessas medidas por meio do traçado de uma diagonal, que também é medida 
fechando-se um triângulo, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2. Levantamento métrico e triangulação de medidas.
Fonte: Imagem... [2018]).
A Figura 2 mostra um esboço de planta baixa em que algumas paredes 
da edificação não são ortogonais. Assim, para garantir a correção das me-
3Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
didas de paredes e os seus ângulos de inclinação, a pessoa responsável pelo 
levantamento tirou as medidas das paredes e, além disso, mediu as diagonais, 
desenhando triângulos imaginários nessa planta. Combinando essas medidas 
e sabendo que, para cada três medidas de lados, apenas um triângulo pode 
ser desenhado, garante-seque as paredes levantadas terão os seus ângulos e 
medidas em correspondência com a realidade.
Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou ângulos, 
conforme mostra a Figura 3.
Figura 3. Tipos de triângulo.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com.
Portanto, quanto aos lados:
  Equilátero — possui lados iguais.
  Isósceles — possui dois lados iguais.
  Escaleno — possui lados desiguais.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos4
E quanto aos ângulos:
  Retângulo — possui dois ângulos agudos e um ângulo reto.
  Acutângulo — possui três ângulos agudos.
  Obtusângulo — possui um ângulo maior do que 90º.
Mesmo sabendo que o triângulo é uma figura fechada, devemos sempre lembrar que, 
na sua definição, ele não se configura como uma área de superfícies — pelo contrário, 
os seus elementos constitutivos são três segmentos de reta e três pontos. Ou seja, um 
triângulo é diferente de um plano triangular.
A noção intuitiva de plano apoia-se na ideia de superfícies como um quadro ou uma 
parede. O plano é uma figura ideal e deve-se entendê-lo como formado por infinitos 
pontos — ou seja; ele é aberto e infinito. A identificação do plano é dada por letras 
minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, Φ, ψ, etc.
A construção de triângulos utilizando 
instrumentos de desenho
Lápis, régua, esquadros e compasso são os instrumentos básicos para trabalhar 
com desenho geométrico. Para a construção de triângulos, normalmente 
iniciamos com o desenho do segmento de reta que defi ne sua base e, então, 
defi nimos os outros dois lados a partir dos ângulos formados com esta, ou 
triangulamos suas medidas com o uso do compasso.
Abaixo podemos analisar três exemplos que ilustram maneiras diferentes 
de desenhar um triângulo equilátero e nos mostram como a prática do desenho 
geométrico permite que o desenhista encontre soluções variadas para um 
problema, desde que conheça a lógica geral da geometria plana.
1. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3 cm usando somente 
a régua e o par de esquadros.
 ■ 1º passo: Traçar o lado – AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Posicionar os esquadros de forma a obter, a partir de A 
e B, ângulos de 60º, cruzando-os e obtendo-se o ponto C (vértice 
oposto à base AB).
5Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
2. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3cm utilizando régua 
e compasso (Figura 4).
 ■ 1º passo: Traçar o lado ⎯ AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Abrir o compasso com a distância ⎯ AB e colocar a sua 
ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca 
em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, 
assim, o ponto C; assim é possível ligar os pontos e definir o triângulo 
desejado.
Figura 4. Desenho com instrumentos. 
Fonte: Adaptada de 4.jpg ([2018]).
3. Construir um triângulo equilátero inscrito, sendo dada a circunferência 
de raio = 1,25 cm (Figura 5). 
 ■ 1º passo: Traçar a circunferência e o seu diâmetro.
 ■ 2º passo: Com a ponta seca do compasso em uma das extremidades 
do diâmetro e abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a cir-
cunferência duas vezes, definindo-se, assim, os dois pontos (vértices) 
que geram o triângulo.
 ■ 3º passo: Por fim, ligam-se os pontos e define-se o triângulo.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos6
Figura 5. Desenho com instrumentos, a partir de uma circunferência.
Fonte: Adaptada de Bola (2012).
Aplicação no design
No design de interiores, o uso de triângulos é normalmente associado com 
a criação de superfícies — pisos, ladrilhos ou estampas. Por formar ângulos 
mais agudos do que as outras formas planas perfeitas, o triângulo é menos 
utilizado na defi nição de áreas e compartimentações. A prevalência do ângulo 
reto, que, via de regra, defi ne espaços retangulares, tem conexão com as 
formas do corpo humano. Portanto, no design de mobiliário, os triângulos 
podem aparecer como fi gura defi nidora de posições do corpo, mas raramente 
são construídos como partes do mobiliário que interagem diretamente com 
as noções de conforto e ergonomia.
Na Figura 6, podemos observar um exemplo de como a definição de triân-
gulos pode auxiliar o designer nos projetos de leiaute de interiores.
7Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 6. Aplicação de triângulos no leiaute de interiores. 
Fonte: Adaptada de 2011-06-09_112308.png ([2011]).
O caráter simbólico dos triângulos
Paralelamente às questões do desenho e da geometria como conhecimentos ligados 
à matemática, podemos olhar para as muitas e profundas significações simbólicas 
atribuídas ao triângulo ao longo da história de diferentes culturas.
No cristianismo, o triângulo equilátero é vinculado à Santa Trindade e serviu como 
elemento de composição pictórica para artistas, sobretudo na Idade Média e no Renas-
cimento, que tinham como intenção vincular a percepção das imagens representadas 
na arte com as relações hierárquicas estabelecidas no evangelho. Em culturas menos 
figurativas, como na Mesopotâmia e no Egito, o triângulo equilátero é muitas vezes 
interpretado como seta, com o seu vértice apontando para o Sol, fazendo referência à 
divindade atribuída a ele e à conexão entre a Terra e o plano superior. Além disso, por 
ser a figura geométrica fechada com menor número de lados, o triângulo configura 
uma ponta mais aguda do que em outras figuras — quanto maior o número de lados 
de uma figura plana regular, mais obtuso o ângulo formado por esses lados, tendendo à 
circunferência. Portanto, o triângulo tem sido usado como símbolo fálico, em oposição 
ao feminino e à maternidade, representados pelo círculo (NUNES E FAINGUELERNT, 2015).
Fonte: image.jpg ([2018].
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos8
Pontos notáveis e triângulos órticos 
em triângulos
Além de seus vértices e lados, os triângulos carregam consigo outros pontos, 
formas inscritas, circunscritas e interseções, que têm sido estudados desde 
as origens da geometria. Esses pontos e relações notáveis são descritos aqui 
com o intuito de aprofundar a análise da forma dos triângulos e investigar suas 
interações com outras aplicações do desenho geométrico. Para entender e ser 
capaz de aplicar o conhecimento dos pontos notáveis do triângulo, deve-se 
ter em mente as operações de traçado de bissetrizes, mediatrizes, medianas 
e alturas, conceitos descritos anteriormente neste capítulo.
  Incentro do triângulo — é o centro da circunferência inscrita no tri-
ângulo. Esse ponto é a intersecção das bissetrizes dos ângulos internos 
do triângulo (Figura 7).
Figura 7. Incentro do triângulo.
Fonte: 1200px-Inradius.svg.png ([2018]).
  Circuncentro do triângulo — é o centro da circunferência circunscrita 
no triângulo. Esse ponto é a intersecção das mediatrizes dos lados do 
triângulo (Figura 8).
9Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 8. Circuncentro do triângulo. 
Fonte: Circuncentro_en_triángulo_acutángulo.png ([2018]).
  Baricentro ou centro de gravidade do triângulo — é a intersecção 
das medianas do triângulo (Figura 9).
Figura 9. Baricentro do triângulo. 
Fonte: Adaptada de bari.jpg ([2018]).
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos10
  Ortocentro do triângulo — é a intersecção das alturas do triângulo 
(Figura 10).
Figura 10. Ortocentro. 
Fonte: 279px-Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg.png ([2018]).
Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo, denominado 
triângulo órtico, justamente por ser obtido a partir da construção do ortocentro. 
Assim, chama-se órtico um triângulo ABC qualquer cujos vértices são os pés 
das alturas do triângulo ABC.
O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtu-
sângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo 
acutângulo e no triângulo obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés 
dastrês alturas coincidem em um mesmo ponto, que é o vértice do triângulo 
que contém o ângulo reto. Todo triângulo não retângulo possui um único 
triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de 
quatro triângulos diferentes: um acutângulo e três obtusângulos, conforme 
mostra a Figura 11.
11Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 11. Triângulos órticos iguais obtidos de quatro triângulos diferentes. 
Fonte: Figura3_triangulos_orticos.png ([2018]).
A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo triângulo 
órtico. Note que o triângulo acutângulo ABC contém os outros três triângulos 
obtusângulos; por esse motivo, o triângulo acutângulo é denominado triângulo 
fundamental do triângulo órtico. As alturas de um triângulo acutângulo são 
as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico, conforme leciona 
Kilhian (2015). 
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos12
1200PX-INRADIUS.SVG.PNG. [2018]. Largura: 587 pixels. Altura: 296 pixels. Formato: 
PNG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/
Inradius.svg/1200px-Inradius.svg.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
2011-06-09_112308.PNG. Minha Casa Minha Cara, [2011]. Largura: 587 pixels. Altura: 
198 pixels. Formato PNG. Disponível em: <http://www.minhacasaminhacara.com.
br/wp-content/uploads/2011/06/2011-06-09_112308.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
279PX-ALTITUDES_AND_ORTHIC_TRIANGLE_SVG.SVG.PNG. [2018]. Formato: PNG. 
Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/
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4.JPG. Universidade Estadual de Londrina, [2018]. Largura: 260 pixels. Altura: 247 pixels. 
Formato GIF. Disponível em: <http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/img/gif/
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ALBRECHT, C. F.; OLIVEIRA, L. B. Desenho geométrico [recurso eletrônico]. Viçosa: Editora da 
UFV, 2013. Disponível em: <https://www2.cead.ufv.br/serieconhecimento/wp-content/
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BOLA de natal com cartolina. Conteúdos Didáticos EVT, 15 nov. 2012. Disponível em: 
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IMAGEM de levantamento métrico. Fórum da Casa, [2018]. Largura: 587 pixels. Altura: 
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13Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
KILHIAN, K. Triângulos órticos. O Barcicentro da Mente, 24 jun. 2015. Disponível em: 
<https://www.obaricentrodamente.com/2015/06/triangulos-orticos.html>. Acesso 
em: 14 set. 2018.
NUNES, K. R. A.; FAINGUELERNT, E. K. Fazendo arte com a matemática. 2. ed. Porto 
Alegre: Penso, 2015.
TRIANGULO-DIVISOES.PNG. Matematica.pt, [2018]. Largura: 269 pixels. Altura: 236 pi-
xels. Formato PNG. Disponível em: <https://www.matematica.pt/images/resumos/
triangulo-divisoes.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
Leituras recomendadas
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2005.
CARVALHO, B. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1959.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
JORGE, S. Desenho geométrico: ideias e imagens. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1998.
NEVES, J. M. C. Desenho geométrico plano. São Paulo: Nacional, 1943.
PUTNOKI, J. C. Desenho geométrico. Porto Alegre: Scipione, 1991.
RIVEIRA, F. Traçados em desenho geométrico. Rio Grande: FURG, 1986.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato Jardim
Sólidos em três dimensões
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir sólidos em três dimensões.
  Esquematizar sólidos em três dimensões.
  Ilustrar aplicações de sólidos em três dimensões em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a geometria, a parte da matemática que 
estuda as figuras planas e espaciais, focando nos objetos tridimensionais, 
nas características desses sólidos e nas suas aplicações práticas, princi-
palmente nas áreas de arquitetura e design de interiores.
Matemática e a visualização 
tridimensional do espaço
Quando pensamos em sólidos em três dimensões, evocamos a matemática e, 
mais especifi camente, a geometria. Essa ciência busca estudar as formas de 
fi guras planas ou espaciais, bem como a posição relativa dessas fi guras no 
espaço e as suas demais propriedades. Conforme Rezende e Queiroz (2000), 
“geometria” é uma palavra de origem grega que vem da união de geo, que 
signifi ca terra, e métron, que signifi ca medir; assim, geometria, literalmente, 
signifi ca “medir a terra”, o que refl ete o seu objetivo primordial de estudar e 
medir as formas da natureza.
Ao longo dos séculos, o estudo da geometria passou por evoluções e con-
quistas cujo entendimento é essencial para compreendermos a geometria 
moderna. Vejamos a seguir alguns fatos e figuras históricas importantes 
relacionadas a essa ciência:
  Arquimedes foi responsável pela descoberta do cálculo do volume de 
superfícies de revolução.
  Descartes desenvolveu o sistema de coordenadas, que serve para lo-
calizar um ponto no espaço, tendo como base a determinação dos 
quadrantes (Figura 1). Utilizam-se os eixos x e y para a determinação 
das coordenadas de cada ponto: o eixo x contém as abcissas, e o y, as 
ordenadas. A indicação da posição do ponto é dada pelo par (x,y), e o 
ponto em que os dois eixos se encontram é dado pela coordenada (0,0). 
Esse geômetra também foi responsável por unir a geometria com a 
álgebra, dando origem à geometria analítica.
Figura 1. O plano cartesiano, com seus eixos (x e y) e a 
divisão dos quadrantes.
  Tales de Mileto foi o primeiro a usar o raciocínio lógico dedutivo 
aplicado à geometria. A ele são atribuídas as descobertas de que 
os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais e de que todo 
diâmetro divide um círculo em duas partes iguais, além do teorema de 
Tales da intersecção. Quando duas retas são transversais a um conjunto 
de três ou mais retas paralelas, a razão entre os comprimentos de dois 
segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão 
entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados 
sobre a outra. (Figura 2).
Sólidos em três dimensões2
Figura 2. Segundo o teorema de Tales de Mileto, AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’.
  Mileto também constatou que ângulos adjacentes são suplementares, 
somando 180º, e ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, 
são iguais.
Ângulo é a medida da abertura formada por duas semirretas que partem da mesma 
origem. Assim, o encontro entre duas retas forma quatro ângulos. Quando observados 
dois a dois, conclui-se queos ângulos podem estar lado a lado, consistindo em ângulos 
adjacentes, ou podem se opor um ao outro, consistindo em ângulos opostos. Os 
ângulos adjacentes somam 180º, sendo suplementares um ao outro. Nessa mesma 
lógica, os ângulos opostos são iguais, ou seja, congruentes.
3Sólidos em três dimensões
  Por fim, foi na geometria euclidiana, proposta por Euclides, que se 
compilou o maior número de informações a respeito das figuras planas 
e tridimensionais, dando origem ao livro chamado Os elementos, no 
qual essas informações foram agrupadas e que serviu de referência 
principal e inquestionável até meados do século XIX, conforme leciona 
Dolce (2013).
Seguindo essas pesquisas no campo dos elementos tridimensionais, en-
tendeu-se que toda figura tem uma dimensão. O substantivo “dimensão” se 
origina do latim dimensĭo, que significa um aspecto ou uma faceta de algo. Em 
matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários 
para identificar um ponto desse espaço. Um objeto que possui três dimensões 
é constituído de três grandezas geométricas:
  largura;
  comprimento;
  profundidade. 
Frequentemente abstraímos figuras em três dimensões apenas observando 
a sua representação plana, como na televisão, nos desenhos animados, nos 
desenhos de gibis, entre outros meios de representação bidimensional, conforme 
lecionam Rezende e Queiroz (2000).
Entes geométricos
Os entes geométricos fundamentais são entidades que compõem as fi guras e 
os elementos: a linha, os polígonos e os sólidos geométricos. A distinção entre 
eles está no número de planos que ocupam e, por consequência, na quantidade 
de dimensões que possuem.
O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento 
ou largura, ou seja, é adimensional, isto é, não tem tamanho. Uma sucessão 
contínua de pontos constrói uma linha, que possui apenas uma dimensão, o 
comprimento. As retas podem se intersectar em qualquer dos seus pontos 
ou com planos. Planos são entendidos como conjuntos infinitos de pontos.
O polígono é uma figura geométrica representada por meio de pontos que 
se situam em um mesmo plano, como o triângulo, o quadrado, o retângulo, o 
trapézio, o hexágono, o pentágono, o paralelogramo, o losango, entre tantos 
outros. O cálculo para o tamanho dessas figuras é a área, e cada figura tem 
uma fórmula estipulada.
Sólidos em três dimensões4
O sólido geométrico é uma figura que tem os pontos em mais de um plano 
de representação, como o cilindro, a esfera, o cone e os prismas. Esses sólidos 
possuem três dimensões — altura, largura e comprimento —, e o volume é 
a denominação do espaço que eles ocupam. São constituídos por vértices, 
que ligam arestas, que constroem faces. Essas faces são, em geral, figuras 
geométricas, excluindo-se raros casos, como a esfera. As faces dos sólidos 
geométricos podem ser entendidas como planos, conforme leciona Dante 
(2011). A Figura 3 traz a representação de determinados entes geométricos.
Figura 3. Os entes geométricos: a reta, o polígono e o sólido geomé-
trico. Nesse exemplo, a reta indica um cateto do triângulo, o polígono 
apresenta três lados e o sólido é um prisma triangular.
Como pode-se observar na Figura 3, toda figura geométrica é composta 
por retas, assim como o sólido é gerado a partir de um polígono. Ou seja, a 
reta possui uma dimensão, o comprimento, enquanto o polígono apresenta 
duas dimensões, a largura e o comprimento. Com essas duas dimensões, 
pode-se calcular a área que a figura ocupa. Já no sólido geométrico, temos 
três dimensões: a largura, o comprimento e a altura. Assim, o espaço que ele 
ocupa é calculado por meio do volume, obtido pela área da base (polígono) 
multiplicada pela altura. A unidade padrão do volume é o metro cúbico (m³) 
e seus derivados (cm³, mm³, etc.).
Sólidos geométricos
Como vimos, os sólidos geométricos são exemplos de elementos que têm três 
dimensões: largura, altura e profundidade. Trata-se de objetos presentes nos 
três planos de projeção, compostos por pontos, linhas e planos, e nos quais o 
5Sólidos em três dimensões
ponto de partida das linhas (retas) são os vértices. Para o cálculo do volume 
que um sólido ocupa, é preciso entender as relações matemáticas das fi guras 
planas e tridimensionais, que veremos abaixo, com base em Dante (2011).
  Cubo: é um prisma em que todas as faces têm forma de quadrado. 
Esse sólido possui oito vértices (ou cantos), 12 arestas e seis faces. Sua 
apresentação mais conhecida é o dado. Assim, a área de qualquer face 
desse sólido é lado × lado, ou lado². Para calcular o volume, multipli-
camos a área da face pela altura, que também é igual a qualquer lado 
do quadrado; ou seja, V = lado³, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Exemplo de um cubo com lado (l) igual a 2; 
ou seja, todas as arestas do sólido medem 2.
  Paralelepípedo ou bloco retangular: é a designação dada a um prisma 
cujas faces são paralelogramos. Um paralelepípedo tem seis faces, sendo 
que sempre duas são idênticas e paralelas entre si; ou seja, ele possui 
três dimensionamentos de faces distintos. Esse prisma possui 12 arestas 
e oito vértices. Assim, a área da base é calculada pela multiplicação 
das duas medidas distintas do retângulo. Para se obter o volume desse 
paralelepípedo, o cálculo é V = A × h (Figura 5). Os paralelepípedos 
podem ser retos ou oblíquos, dependendo de suas faces laterais serem 
perpendiculares ou não à base. Para o volume do paralelepípedo oblíquo, 
devemos considerar a altura e a distância entre os dois planos da base, 
e não o comprimento da aresta inclinada.
Sólidos em três dimensões6
Figura 5. Exemplo de um paralelepípedo cujas faces são 
paralelogramos iguais a cada dois.
  Prismas: são sólidos geométricos que fazem parte dos estudos de geo-
metria espacial. O prisma é caracterizado por ser um poliedro convexo 
com duas bases — dois polígonos iguais, congruentes e paralelos —, 
além das faces planas laterais (paralelogramos). A altura do prisma é a 
distância entre as duas bases. Os prismas podem ser regulares — aqueles 
sólidos cujas bases são polígonos regulares, resultando, assim, em prismas 
retos —, ou oblíquos — quando as arestas verticais das faces laterais não 
formam um ângulo de 90º com a base. Se for um prisma reto, a altura é 
igual à dimensão da aresta lateral. Caso seja um prisma oblíquo, devemos 
desconsiderar essa informação e calcular a distância entre os planos 
horizontais. De acordo com o formato da base — triangular, quadrado, 
pentágono, hexágono, etc. —, teremos um prisma triangular, quadran-
gular, pentagonal, hexagonal, respectivamente, conforme leciona Safier 
(2013). A Figura 6 mostra os polígonos e os seus prismas correspondentes.
Figura 6. Esquema dos polígonos e os seus prismas correspondentes.
7Sólidos em três dimensões
Os prismas e suas bases geométricas são o foco do vídeo 
disponível no link abaixo: 
https://goo.gl/wuvnuY 
Aqui surgem figuras mais complexas, para as quais o cálculo da área da 
base não se dá somente pela multiplicação dos lados. Por exemplo, para se 
obter a área de um triângulo, o resultado da multiplicação da base pela altura 
deve ser dividido por dois, já que é a metade de um retângulo. No pentágono, 
a área pode ser definida de várias maneiras, sendo mais simples quando trans-
formamos o polígono em cinco triângulos. Assim, a área de cada triângulo 
é a metade da multiplicação do lado pela metade da altura total. O resultado 
é cinco vezes essa área: A = 5 × [(l × h/2)2)]. A mesma lógica dos triângulos 
pode ser utilizada para os polígonos de mais lados, como o hexágono e o 
heptágono, por exemplo.
Para o cálculo do volume dos prismas, devemos obter a área da base 
pela distância entre os dois planos horizontais, que pode ou não corres-
ponder ao tamanho da aresta lateral. No caso dos sólidos oblíquos, a aresta 
inclinada não deve ser considerada como altura, conforme leciona Venturi 
(2003). É importante salientar que o cilindro é também um prisma, mas com 
base circular. Ele éuma das formas geométricas mais comuns na prática 
dos arquitetos, engenheiros e decoradores, e o único objeto curvo regular. 
É uma forma que possui o mesmo diâmetro ao longo de toda a altura. Assim, 
para o cálculo do volume do cilindro, precisamos encontrar a área do círculo 
a partir do raio ou do diâmetro. Assim, A = πr². Para o volume, deve-se 
multiplicar a área pela altura do sólido, que é determinada pela geratriz do 
cilindro (Figura 7).
Sólidos em três dimensões8
Figura 7. Representação de um cilindro, cuja determinante da 
área e do volume é a constante matemática π (pi).
Sólidos de revolução
Os sólidos de revolução são gerados a partir da rotação de uma fi gura plana ao 
redor de um eixo imaginário estipulado. Assim, um cone pode ser construído a 
partir da rotação de um triângulo retângulo em um eixo sobre um dos catetos. 
Seguindo essa lógica, a base do cone seria um círculo de raio igual à base do 
triângulo, e sua altura seria a outra lateral do triângulo, perpendicular à base 
(Figura 8). As geratrizes desse cone são retas correspondentes à hipotenusa, 
a linha inclinada da fi gura geométrica, conforme leciona Venturi (2003).
Figura 8. O cone é um sólido de rotação obtido a partir de um 
triângulo retângulo.
9Sólidos em três dimensões
O tronco de cone segue esse mesmo princípio, porém a figura que sofre 
a rotação no eixo é um trapézio. Existe um polígono circular na base, outro 
semelhante, mas menor, na parte superior, e a aresta inclinada é a geratriz do 
objeto tridimensional.
A esfera é um sólido em que nenhuma das faces é plana ou paralela a um 
plano de projeção. É obtida a partir da rotação de um semicírculo a partir de 
um eixo central. Assim, a partir do ponto central, qualquer ponto na superfície 
da esfera está equidistante. Essa relação tridimensional equivale ao raio na 
circunferência, que é a planificação da esfera. Como a esfera apresenta ca-
racterísticas distintas dos demais sólidos, seu volume não é calculado a partir 
da área da base. Sua fórmula é V = 4/3(πr³), conforme leciona Dolce (2013). 
No vídeo disponível no link abaixo, podemos entender 
melhor como funciona a superfície de uma esfera e sua 
relação volumétrica no espaço:
https://goo.gl/aazr6V 
Aplicação dos sólidos tridimensionais
Quando tratamos de arquitetura e design de interiores, estamos falando de 
lugares, que nada mais são do que espaços tridimensionais. Assim, a melhor 
forma de representar esses espaços é por meio de perspectivas, nas quais os 
elementos são representados em três dimensões. A planifi cação dos espaços, 
por meio da planta baixa e das vistas, representa esses mesmos espaços, só 
que em duas dimensões — o que corresponde aos polígonos ou às fi guras 
geométricas.
É a partir dos objetos tridimensionais básicos que os profissionais projetam 
edificações e mobiliários, das formas mais simples às mais complexas. Todo 
objeto é tridimensional, desde a folha de papel, até o vidro e a película. Por 
menor que seja sua espessura, tudo o que existe no espaço é tridimensional, 
presente nos três planos de projeção e possuindo três medidas: largura, altura 
e profundidade.
Sólidos em três dimensões10
Outra utilização de sólidos e suas propriedades é na área de produtos e 
embalagens. Com conceito estético, é possível desenvolver e otimizar a en-
velopagem de materiais, calculando-se uma capacidade maior com a menor 
utilização de material. Isso é muito vantajoso para as empresas, porque reduz 
o custo do produto e mantém a quantidade fornecida de material.
Uso de software 
Quando pensamos na representação de sólidos, como citado acima, usamos as 
perspectivas. Por muitos anos, as perspectivas eram desenhadas à mão livre 
ou com o uso de ferramentas como esquadro, compasso e réguas. Além de 
demandarem tempo para serem feitas corretamente, qualquer correção levava 
ainda mais tempo. Nesse sentido, o uso do computador como ferramenta de 
desenho facilitou a representação gráfi ca. Os softwares, aplicativos e progra-
mas de desenho tridimensional facilitam o desenvolvimento dessas formas, 
simples ou complexas, e, principalmente, a sua edição. 
Um dos softwares mais utilizados para modelagem tridimensional é o 
SketchUp. O antigo produto da Google, hoje pertencente à Trimble, possui uma 
interface acessível (Figura 9) que permite desde a construção de sólidos simples 
até a modelagem paramétrica, cuja construção exige maior conhecimento. Ele 
é usado para o desenvolvimento de modelos arquitetônicos e protótipos de 
produtos e dispõe de uma ampla biblioteca de produtos já modelados.
Figura 9. Adaptação da interface do software SketchUp, que permite a modelagem rápida 
e precisa dos sólidos.
11Sólidos em três dimensões
O download do software SketchUp, para uso institucional, é gratuito e está disponível 
no link abaixo.
https://goo.gl/VWBsBb
Outro programa bastante utilizado na criação de objetos, principalmente 
voltado à área de atuação do designer, é o Rhinoceros. Seu uso é mais es-
pecializado, já que a construção do objeto é feita de forma paramétrica, ou 
seja, deve-se atribuir valores ao objeto, que podem ser alterados ao longo do 
trabalho (Figura 10). O SketchUp, ao contrário, possui uma modelagem livre, 
em que se altera a forma pura de qualquer forma. Os parâmetros exigem maior 
cuidado inicialmente, mas resultam em uma modelagem mais correta no fi nal. 
O Rhinoceros permite a visualização do modelo em perspectiva e em três 
vistas planifi cadas, ajudando na edição do plano correto.
Figura 10. Adaptação do leiaute do software Rhinoceros, com as quatro janelas de visuali-
zação do modelo, além dos diversos ícones de modelagem e edição. No lado direito estão 
os parâmetros do objeto.
Existem diversos outros softwares de modelagem, como o AutoCAD e 
o 3dMAX, porém de desenho mais complexo e de utilização mais indicada 
para outras áreas. No entanto, todos têm o mesmo propósito: representar 
tridimensionalmente objetos no espaço, com maior proximidade da realidade.
Sólidos em três dimensões12
Os sólidos básicos que geram figuras planas, originados do arranjo de pontos 
e retas, são de extrema importância para as representações de arquitetura e 
design. A edição dessas formas cria um universo de possibilidades na indústria 
da construção e de desenvolvimento de produtos, de proporções muito maiores 
do que Descartes e Tales de Mileto poderiam imaginar. 
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1.
DOLCE, O. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 10.
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. 
Campinas: UNICAMP, 2000.
SAFIER, F. Teoria e problemas de pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.
VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. Curitiba: Unificado, 2003.
Leituras recomendadas
BAYER, A.; BATISTA, M. L. Matemática: tópicos básicos. Porto Alegre: Editora da ULBRA, 
1998.
BENEZ, L. Sistemas de coordenadas. Inape, Araçatuba, SP, 20 mai. 2010. Disponível em: 
<http://www.inape.org.br/astronomia-astrofisica/sistemas-de-coordenadas>. Acesso 
em: 4 set. 2018.
13Sólidos em três dimensões
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Jardim
Concordância de retas, 
arcos e circunferência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir concordância em desenho geométrico.
  Descrever os passos para concordar retas, arcos e circunferências.
  Usar concordâncias para resolver problemas de desenho geométrico.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a maneira de dar continuidade a linhas, 
sejam elas retas ou arcos, de forma suave e sem a formação de ângulos. 
Você vai verificar os conceitos de concordância e os seus princípios fun-
damentais, além de aprender a concordar retas, arcos e circunferências 
para resolver questões relacionadas à construção de ovais e arcos.
Conceitos e princípios da concordância
No desenho geométrico, concordância signifi ca unir duas ou maislinhas 
de diferentes espécies de forma que nos pontos de contato haja suavidade ao 
passar de uma linha para outra, sem reversão ou ângulo, conforme lecionam 
Albrecht e Oliveira (2012). A concordância pode ocorrer entre retas, arcos 
e circunferências. É possível destacar alguns elementos de sua composição, 
mostrados também na Figura 1:
  Ponto de concordância — considerado o ponto de transição entre uma 
forma e outra. Dependendo do tipo de concordância, pode haver um ou 
mais pontos de contato e transição entre curvas, retas e circunferências.
  Centro e raio de concordância — elementos do arco que foi traçado 
para concordar com outro raio ou outra reta.
Figura 1. Elementos principais da concordância.
As concordâncias seguem a lógica das aplicações de tangência. Na tan-
gência, reta e circunferência se tocam em apenas um ponto, conhecido como 
ponto de tangência. Na concordância, o ponto de tangência se torna o ponto 
de concordância e o centro perpendicular ao raio. Além disso, o centro da 
circunferência tangente à reta ou à outra circunferência se torna o centro de 
concordância.
Além dos elementos presentes na concordância, existem alguns princípios 
fundamentais para o entendimento e a construção de concordâncias, descritos 
a seguir.
1. A concordância entre uma reta e um arco (ou uma circunferência) ocorre 
quando a reta é tangente ao mesmo. Nesse caso, o ponto de concordância 
é coincidente ao ponto de tangência; pode-se dizer também que o centro 
do arco ou da circunferência e o ponto de concordância estão sobre uma 
reta perpendicular à reta concordante.
2. Dois arcos concordantes possuem centros e ponto de concordância 
colineares, ou seja, estão sobre uma mesma reta. Além disso, no ponto 
de concordância entre dois arcos é possível traçar uma tangente comum, 
conforme leciona Costa (2011). 
3. A concordância entre duas retas ocorre por meio de pelo menos um 
arco entre elas e pelo menos dois pontos de concordância. As retas 
podem ser concorrentes, convergentes ou paralelas entre si, conforme 
afirma Januário (2010).
Ao longo do capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de retificar 
a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir seu comprimento em linha reta.
Concordância de retas, arcos e circunferência2
Construções de concordâncias
Existem inúmeras situações de concordância entre retas, arcos e circunferências 
que dependem de posições relativas entre os objetos, raios e curvaturas deseja-
das. Nos itens a seguir, será demonstrado como são construídas determinadas 
concordâncias, apresentando-se os passos necessários e os desenhos.
Concordar uma reta conhecida com um arco
Dada uma reta (r), para se concordar um arco em determinado ponto (C) 
dessa reta, é necessário, inicialmente, traçar uma perpendicular (p) nesse 
ponto determinado. Nessa perpendicular, deve-se marcar o segmento de reta 
referente ao raio do arco, encontrando o centro (O) do arco a ser traçado. Por 
fi m, com a ponta seca do compasso no centro do arco e uma abertura com 
a dimensão do raio, resta traçar o arco desejado concordando com a reta, 
conforme leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 2.
Figura 2. Passos para a concordância entre uma reta e um arco.
Concordar uma reta conhecida com um arco que passa 
especificamente por um ponto fora da reta
A situação descrita aqui é uma variação do item anterior, com a particulari-
dade de que o arco deve passar por um ponto específi co, que também é dado 
no problema. Da mesma forma mostrada anteriormente, deve-se iniciar a 
construção da concordância com o traçado de uma perpendicular (p) no ponto 
de concordância (C). Em seguida, é necessário traçar um segmento (CD) 
que une o ponto de concordância ao ponto especifi cado do arco. Traça-se a 
mediatriz (m) desse segmento, que vai cruzar a perpendicular (p) da reta dada. 
3Concordância de retas, arcos e circunferência
O cruzamento entre a mediatriz e a perpendicular é onde se localiza o centro 
(O) do arco a ser traçado, e seu raio é a distância do centro encontrado até o 
ponto de concordância (C). Então, o arco é traçado concordando com a reta, 
colocando-se a ponta seca do compasso em O e a abertura em CO, conforme 
leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 3.
Figura 3. Passos para a concordância entre uma reta e um arco que passa por um ponto 
específico.
A mediatriz é uma reta que divide um segmento de reta ao meio, a partir de seu ponto 
médio. Para traçar uma mediatriz, você vai precisar de compasso e régua. Inicialmente, 
coloque a ponta seca do compasso em uma das extremidades do segmento a ser 
dividido. A abertura do compasso deve ser maior que a metade do segmento. Agora 
é só traçar arcos em cima e embaixo do segmento e repetir a operação na outra 
extremidade.
Atenção! Mantenha sempre a mesma abertura de compasso! Com uma régua ou 
esquadro, trace a mediatriz unindo os cruzamentos dos arcos desenhados. É importante 
perceber que a mediatriz é uma reta perpendicular ao segmento que está sendo 
dividido.
Concordar duas retas convergentes com um círculo
Para concordar duas retas convergentes (a e b), é necessário prolongar essas 
retas até o ponto de cruzamento (V) entre elas. Em seguida, deve-se traçar a 
bissetriz do ângulo formado entre os prolongamentos. Com a ponta seca do 
Concordância de retas, arcos e circunferência4
compasso no vértice do ângulo, traça-se um arco com um raio que alcance os 
trechos das retas a serem concordados, marcando os pontos de concordância (A 
e B). Em um dos pontos de concordância, deve-se desenhar uma perpendicular 
à respectiva reta, que cruzará a bissetriz, resultando, então, no centro do arco 
de concordância (O). Com a ponta seca do compasso em O e a abertura até 
um dos pontos de concordância, traça-se o arco de concordância, conforme 
mostra a Figura 4.
Figura 4. Passos para concordar duas retas convergentes com um círculo.
Caso não seja possível determinar o ponto de encontro entre as retas, 
é necessário construir um ângulo auxiliar interior e com lados paralelos e 
equidistantes às retas que se deseja concordar. Deve-se traçar a bissetriz 
desse ângulo e, em seguida, construir uma perpendicular a uma das retas 
no ponto que se deseja concordar (A). Assim como nos passos anteriores, 
o cruzamento da bissetriz com a perpendicular resulta no centro do arco 
de concordância. O traçado do arco é feito com o compasso no centro (O) 
e a abertura até o ponto de convergência (A), conforme leciona Carvalho 
(2008) e mostra a Figura 5.
5Concordância de retas, arcos e circunferência
Figura 5. Passos alternativos para concordar duas retas conver-
gentes com um círculo.
A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo pela metade no seu vértice, for-
mando dois ângulos congruentes, ou seja, iguais. A bissetriz pode ser traçada com 
o compasso. Inicialmente deve-se colocar a ponta seca do compasso no vértice do 
ângulo e desenhar um arco de raio qualquer que cruze os dois lados do ângulo. Em 
seguida, deve-se encontrar o ponto médio entre os pontos gerados pelo cruzamento 
dos lados do ângulo com o arco traçado. Por último, traça-se a bissetriz, partindo do 
vértice e passando pelo ponto médio encontrado.
Concordar um arco com outro de sentido contrário 
e que passa por um ponto específico
Dado o arco AB de centro O, para concordar outro arco a BP, sendo B o ponto 
de concordância e P um ponto do arco, é necessário, inicialmente, traçar uma 
reta passando pelo centro O e o ponto de concordância. Como princípio da 
concordância, o centro do novo arco a ser concordado deverá estar sobre essa 
reta. A posição exata desse centro é determinada pela mediatriz do segmento 
formado pelo ponto de concordância e o ponto em que o novo arco deve passar, 
conforme mostra a Figura 6.
Concordância de retas, arcos e circunferência6
Figura 6. Passos para concordar dois arcos de sentido contrário.
Concordância e desenho geométrico de ovais 
e arcos
Existem elementos conhecidos