MAPA - MAT - ANÁLISE MATEMÁTICA - 532022

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
	Acadêmico: Daniele Aparecida de Souza Santos
	R.A. 19150461-5
	Curso: Licenciatura em Matemática
	 Disciplina: ANÁLISE MATEMÁTICA
	Valor da atividade: 3,0 pontos
	Prazo: 16/09/2022
1) Apresente a definição formal e um exemplo simples de cada um dos conceitos a seguir:
a) Conjunto Finito;
Definição: um conjunto X é finito quando é vazio ou existe , e uma bijeção,. Neste caso, diz-se que tem elementos.
Ex: 
Nesse exemplo podemos dizer que o conjunto X tem cinco (5) elementos.
b) Conjunto Enumerável;
Definição: É quando f definido por f(n)=n é uma bijeção, ou seja, ainda que esse conjunto seja infinito, conseguimos enumerar todos os seus elementos.
Ex: O conjunto dos números pares X={2,4,6,...} é enumerável pois conseguimos dar nome a todos os seus elementos.
c) Conjunto (subconjunto dos Reais) Limitado Inferiormente e Superiormente, Cotas Inferiores e Superiores;
Limitado Inferiormente
Definição: seja . Dizemos que A é limitado inferiormente, se existir algum inteiro , tal que, para todo , temos . Quando , dizemos que é o elemento mínimo de e denotamos por .
Limitado Superiormente
Definição: um conjunto é dito limitado superiormente quando existe , tal que para todo . O número real é denominado de cota superior de . Da mesma forma, dizemos que é limitado inferiormente quando existe tal que , para todo . O número real é denominado cota inferior de . Quando é limitado superiormente e inferiormente, então, dizemos apenas que é limitado.
Ex.: o subconjunto dos números reais formado por todos os números 
De fato, se , então, é limitado inferiormente por e, limitado superiormente por 
Obs.: Quando é limitado superiormente e inferiormente, então, dizemos apenas que X é limitado.
Cotas Inferiores
Definição: um conjunto é dito limitado inferiormente quando existe , tal que
, para todo . O número real é denominado de cota inferior de 
Cotas Superiores
Definição: um conjunto é dito limitado superiormente quando existe , tal que
, para todo . O número real é denominado de cota superior de 
Ex.: 
 .
A é limitado. é cota inferior de ; é cota superior de A. Vale ressaltar que 0 não é a única cota inferior, todos os números menores do que 0 é cota inferior, e todo número maior do que é cota superior.
d) Ínfimo e Supremo;
Definição de Ínfimo: Seja , tal que ,é limitado inferiormente. Definimos o ínfimo de e denotamos por a maior das cotas inferiores de , em outras palavras, é o ínfimo de se:
i) for cota inferior de . 
ii) Se for uma cota inferior de , então, .
Ex.: seja . Prove que .
É claro que 0 é cota inferior de . Verificaremos que 0 é a maior das cotas inferiores. Seja , como não é limitado superiormente, então, existe tal que , ou seja, . Dessa forma, para todo , temos que não é cota inferior de . Portanto, 
Definição de Supremo: Seja limitado superiormente e não-vazio, chama-se o supremo de quando é a menor das cotas superiores de . Notação: 
Ex.: seja definido por . Então, supX = 1
e) Ponto Interior;
Definição: Sejam , e . Dizemos que é ponto interior ao conjunto se existe , tal que O conjunto dos pontos interiores ao conjunto chama-se interior do conjunto e denotamos por int 
Ex: o interior de é vazio, porque nenhum intervalo aberto pode ser formado apenas por números racionais. 
De fato, suponha, por absurdo, que existe . Logo, existe , tal que
. Mas existem irracionais em , contradição! Então, . Analogamente, .
f) Conjunto Aberto;
Definição: Dizemos que é um conjunto aberto em , se 
Observe que um conjunto só pode deixar de ser aberto se existir um , tal que não seja ponto interior. Como não existe ponto algum no conjunto somos obrigados a admitir que é aberto em .
Ex.: sejam com Então é aberto. 
De fato, para todo tome e observe que e Portanto .
g) Ponto Aderente;
Definição: Dizemos que é ponto aderente a um conjunto , quando existe uma sequência tal que 
Ex.: o ponto é aderente a . 
De fato, a sequência para , suficientemente grande, está contida em e . 
Analogamente, b é aderente a .
h) Conjunto Fechado;
Definição: Um conjunto X é fechado se e só se coincidir com o seu fecho, ou seja, 
Ex.: dados . Então, são fechados. 
De fato, e ambos são abertos.
i) Ponto de Acumulação;
Definição: Um ponto é chamado de ponto de acumulação do conjunto , se dado
, tem-se , ou seja, se todo intervalo contém algum ponto diferente de . 
O conjunto dos pontos de acumulação de é representado pela notação:
Ex.: prove que é ponto de acumulação de .
Dado ,observe que não é limitado superiormente. Assim, existe , tal que , ou seja, . Portanto, e é ponto de acumulação de .
j) Conjunto Compacto;
Definição: Dizemos que é um conjunto compacto se, e somente se, é limitado e fechado.
Ex.: prove que é compacto. 
De fato, todo intervalo com é fechado. É claro que é limitado, inferiormente, por e, superiormente por , logo, limitado. Portanto, é compacto.
2) Apresente as seguintes definições relacionadas às integrais. O objetivo das definições das letras (a), (b) e (c) é apresentarmos o suficiente para podermos chegar na definição correta da letra (d).
a) Partição de um intervalo fechado: Uma partição de um intervalo , geralmente denotada P ou , na reta real é uma sequência finita de números reais tal que:
Temos ainda que: 
Onde: 
Isso significa que a partição de um intervalo fechado é a mesma coisa que dizer que este intervalo é igual à soma das de suas partes.
Ex.: Seja A = [0, 10], P(A) = {0, 2, 4,8]
b) Soma superior e soma inferior de uma função: A soma superior de uma função é o somatório de partes na qual a soma acontece por excesso, isso significa que vai se aproximar do valor de sua área por meio de um valor maior, porém cada vez mais próximo do seu valor exato. 
Considerando o ponto Mi que fornece o valor máximo da função em cada um dos subintervalos [Mi-1, Mi]. A soma superior;
Soma Inferior: Quando falamos de soma inferior é quando calculamos o somatório das partes que acontece por falta, isso significa que vai se aproximar do valor de sua área por meio de um valor menor, porém cada vez mais próximo do seu valor exato.
Considerando então o ponto Mi que fornece o valor mínimo da função em cada um dos subintervalos [Mi-1, Mi] que é dado por; 
c) Integral Inferior e Integral Superior.
Sejam f: [a, b] → uma função limitada. Definimos a integral superior e a integral inferior de f, respectivamente, por:
O e sendo tomados relativamente a todas as partições P do intervalo [a, b]. 
Obs.: O símbolo _ próximo ao a e b indicam que a integral é inferior ou superior, ou seja, se estiver no a é ponto inferior, se estiver no b é superior.
d) Função integrável.
Dizemos que uma função é integrável quando a soma inferior é igual a soma superior.
Ou seja, 
 
Def.: Se 
Ex.: Se 
	
De fato, dada uma partição P de , teremos que mi = Mi = C consequentemente assim como , ou seja, integrais superior e inferior iguais a ou 
Bibliografia
DESTCH, Denise Trevisoli; CRAVEIRO, Irene Magalhães; KATO, Lilian Akemi; SCHULZ, Rodrigo André; RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá-PR, Unicesumar, 2020.
Análise e Calcule. Conjuntos limitados e ilimitados - Exemplos. Youtube, data de publicação do vídeo. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=CeGXcufSiog&t>. Acesso em: 10 de setembro de 2022.
ÁVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.