MAPA - ANÁLISE MATEMÁTICA

Prévia do material em texto

Centro Universitário de Maringá - Unicesumar
Acadêmico(a): WILAMES GERMANO DOS SANTOS OLIVEIRA RA: 1879231-5
Disciplina: Análise Matemática
Professor: Tiago Peres da Silva Suguiura
Curso: Licenciatura em Matemática
MAPA – Material de Avaliação Prática de Aprendizagem
Então vamos à atividade!
1) Apresente a definição formal de cada um dos conceitos a seguir:
a) Conjunto Finito;
Definição: um conjunto X é finito quando é vazio ou existe k ∈ ℕ e f: Ik → X, tal que f é bijeção, neste caso diz que X tem n elementos. Em outras palavras, um conjunto é considerado finito se conseguirmos contar a quantidade de seus elementos.
Ex.: X= {a, e, i, o, u}
Nesse exemplo podemos dizer que o conjunto X tem 5 elementos.
b) Conjunto Enumerável
Definição: um conjunto é enumerável quando f definida por f(n)=n é uma bijeção, ou seja, ainda que este conjunto seja infinito, conseguimos enumerar todos os seus elementos.
Ex.: O conjunto dos números pares X= {2, 4, 6, ...} é enumerável pois conseguimos dar nome a todos os seus elementos, onde o 2 tem o nome de x1, o 4 tem o nome de x2 e o 6 tem o nome de x3 e assim sucessivamente.
c) Conjunto (subconjunto dos Reais) Limitado Inferiormente e Superiormente, Cotas Inferiores e Superiores.
Definição: um conjunto X ⊂ ℝ é dito limitado superiormente quando existe b ∈ ℝ, tal que x ≤ b, para todo x ∈ X. O número real b é denominado de cota superior de X. Da mesma forma, dizemos que X ⊂ ℝ é limitado inferiormente quando existe a ∈ ℝ, tal que a ≤ x, para todo x ∈ X. O número real a é denominado cota inferior de X. Quando X é limitado superiormente e inferiormente, então, dizemos apenas que X é limitado. Ou seja o limite superior é o maior elemento do meu conjunto X, já a cota superior é todos os elementos dos ℝ com a condição de que este seja maior ou igual ao meu maior elemento do conjunto X, assim como o limite inferior é o menor elemento do meu conjunto X, já a cota inferior é todos os elementos dos ℝ com a condição de que este seja menor ou igual ao meu menor elemento do conjunto X.
Ex.: X= {-2, -1, 0, 1}
Neste caso minha cota inferior seria o conjunto: {..., -4, -3, -2}
Meu limite inferior seria o elemento: -2
Minha cota superior seria o conjunto: {1, 2, 3, 4, ...}
Meu limite superior seria o elemento: 1
d) Ínfimo e Supremo
Definição 2.6: seja X ⊂ ℝ, tal que X ≠ ∅ e X é limitado superiormente. Definimos o supremo de X, e denotamos por sup X, a menor das cotas superiores de X. Em outras palavras, b ∈ ℝ é o supremo de X se:
i) b for cota superior de X.
ii) Se c ∈ ℝ for cota superior de X , então, b ≤ c.
Ex.: X= {-2, -1, 0, 1}
Minha cota superior seria o conjunto: {1, 2, 3, 4, ...}.
Meu supremo de X seria o elemento 1, pois este é o menor elemento da minha cota superior.
Definição 2.7: seja X ⊂ ℝ, tal que X ≠ ∅ e X ,é limitado inferiormente. Definimos o ínfimo de X e denotamos por inf X a maior das cotas inferiores de X, em outras palavras, a ∈ ℝ é o ínfimo de X se:
i) a for cota inferior de X.
ii) Se c ∈ ℝ for uma cota inferior de X, então, c ≤ a.
A propriedade II, da Definição 2.6, é equivalente a: se c < b, então, existe x ∈ X, tal que c < x. Assim como a propriedade II, da Definição 2.7, é equivalente a: se a < c, então, existe x ∈ X, tal que x < c.
Ex.: X= {-2, -1, 0, 1}
Neste caso minha cota inferior seria o conjunto: {..., -4, -3, -2}.
Meu ínfimo de X seria o elemento -2, pois este é o maior elemento da minha cota inferior.
e) Ponto Interior 
Dados um conjunto A ⊂ Rn e x ∈ Rn, diz-se que x é interior a A se existir uma bola Br(x) ⊂ A. O conjunto de todos os pontos interiores de um dado conjunto designa-se como o seu interior, abreviadamente int A. Ou ainda, sejam X ⊂ ℝ, e a ∈ ℝ. Dizemos que a é ponto interior ao conjunto X se existe 𝜀 > 0, tal que (a - 𝜀, a + 𝜀) ⊂ X. O conjunto dos pontos interiores ao conjunto X chama-se interior do conjunto X e denotamos por:
int (X) = {x ∈ X; x é ponto interior}.
 
Já o ponto b não é ponto interior de X, visto que, como vemos na reta real acima, ele está fora do nosso conjunto.
f) Conjunto Aberto
Definição: Definimos um intervalo aberto ou ainda um conjunto aberto de extremos a e b: (a, b) = ]a, b[ = { x ∈ ℝ; a < x < b}, ou seja, x está sempre entre o intervalo ab, porém nunca será igual a a, assim como também não será igual a b.
g) Ponto Aderente
Dados um conjunto F ⊂ Rn e x ∈ Rn diz-se que x é um ponto aderente a F se for um ponto fronteiro ou um ponto de F. A F ∪ ∂F chamamos fecho de F, que abreviamos F. Ou ainda, dizemos que x ∈ ℝ é ponto aderente a um conjunto X ⊂ ℝ, quando existe uma sequência (xn) ⊂ X tal que lim xn = x.
Ex.: Ao conjunto dos pontos aderentes ao conjunto A chama-se aderência de A e representa-se por A. Onde A = [0, 3] U {5}, cuja representação geométrica é:
Note que A ⊂ A. Em particular, a aderência de A é formada pelos pontos de A e pelos pontos que apesar de não pertencerem a A, são limite de uma sucessão de elementos de A.
h) Conjunto Fechado
Definição: Definimos um intervalo fechado ou um conjunto fechado de extremos a e b: (a, b) = [a, b] = { x ∈ ℝ; a ≤ x ≤ b}, ou seja, x está entre o intervalo ab, e também deve ser igual a ambos simultaneamente.
i) Ponto de Acumulação
Dados um conjunto F ⊂ Rn e x ∈ Rn diz-se que x é um ponto de acumulação de F se qualquer que seja a bola Br(x), esta contém um ponto de F distinto de x. Ou ainda, um ponto a ∈ ℝ é chamado de ponto de acumulação do conjunto X ⊂ ℝ , se dado 𝜀 > 0, tem-se (X - {a}) ∩ (a - 𝜀, a + 𝜀) ≠ ∅ , ou seja, se todo intervalo (a - 𝜀, a + 𝜀) contém algum ponto x ∈ X diferente de a. O conjunto dos pontos de acumulação de X é representado pela notação: 
X' = {x ∈ ℝ; x é ponto de acumulação de X}
Ex.: Consideremos o subconjunto A de , .
Sendo ⸹ > 0 (qualquer), à vizinhança de centro I e raio d pertence pelo menos um outro elemento de A.
Diz-se, então, que I é um ponto de acumulação de A.
Um número c diz-se ponto de acumulação de  se em qualquer vizinhança de centro c existe pelo menos um elemento de A diferente de c.
c é ponto de acumulação de A Û 
Um ponto pode não pertencer a um conjunto e ser ponto de acumulação desse conjunto. É o caso do número 4 do conjunto A = [1,4[; 4 é ponto de acumulação de A, visto que em qualquer vizinhança de 4 existe um elemento de A distinto de 4.
	
	1 é ponto de acumulação de A
4 é ponto de acumulação de A
6 não é ponto de acumulação de A
j) Conjunto Compacto
Definição: dizemos que X ⊂ ℝ é um conjunto compacto se, e somente se, X é limitado e fechado. Em um espaço topológico (X, τX), dado um conjunto A ⊂ X, uma cobertura (de abertos) de A é uma família U ⊂ τX, tal que:
Uma subcobertura de 𝒰 é uma subfamília V ⊂ 𝒱 ⊂ 𝒰 que também é uma cobertura de A. Também dizemos que 𝒰 cobre A.
Segue outras definições de conjunto compacto:
Definição: A união finita de intervalos fechados e limitados é um conjunto compacto.
Definição: Como todo conjunto finito é fechado e também limitado, temos que todo conjunto finito é compacto.
2) Apresente as seguintes definições relacionadas às integrais. O objetivo das definições das letras (a), (b) e (c) é apresentarmos o suficiente para podermos chegar na definição correta da letra (d).
a) Partição de um intervalo fechado.
Dado um conjunto A, a coleção de todos os subconjuntos de A, indicada por P(A), é chamada de conjunto das partes de A. Usamos a notação P(A) = {X; X ⊂ A}. Em outras palavras uma partição de um intervalo [a, b], geralmente denotada P ou II, na reta real é uma sequência finita x0, x1, x2, ... , xk de números reais tal que: a = x0 < x1 < x2 < ... < xk = b. Temos ainda que: x0 = a, x1 = a+L, x2 = a+2L, x3 = a+3L, ... , xn = a+nL = b, onde L = , logo a partição de um intervalo fechado significa dizer que esse intervalo/objeto/figura dentre outros, é igual à soma de seus pedaços/partes, ou ainda que esse intervalo/objeto/figura dentre outros, foi dividido em várias/inúmeras partes iguais que somadas dão um inteiro que é o próprio intervalo/objeto/figura.
Ex.: Seja 1 = [0, 1], P(1) = {0, 0.1, 0.3, 0.5, 1}.
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{k}=b.}
b) Soma superior e soma inferior de uma função .
Quando falamos de soma superior de uma função, estamos falando de um somatório de partes em que a soma acontece por excesso, ou seja vai se aproximar do valor da sua área por meio de um valor maior, porém cada vez mais próximo ao valor exato da área que pretendemos calcular. Consideramos assim o ponto Mi que fornece o valor máximo da função em cada um dos subintervalos [Xi - 1, Xi], que é dado por:
O excesso são as pequenas partes dos retângulos (partições) que passam da linha da função (linha vermelha).
Quando falamos de soma inferior de uma função, estamos falando de um somatório de partes em que a soma acontece por falta, ou seja vai se aproximar do valor da sua área por meio de um valor menor, porém cada vez mais próximo ao valor exato da área que pretendemos calcular. Consideramos assim o ponto mi que fornece o valor mínimo da função em cada um dos subintervalos [Xi - 1, Xi], que é dado por:
 
As faltas são as lacunas entre os retângulos (partições) e a linha da função (linha vermelha).
c) Integral Inferior e Integral Superior
Quando falamos em integral inferior, estamos falando em aumentar as minhas somas inferiores até elas chegarem próximos à curva da função para assim diminuir a falta até chegar na minha função.
Definição: Considere f: [a, b] → ℝ limitada. Definimos a integral inferior, 
como o supremo das somas inferiores.
Quando falamos em integral superior, estamos falando em diminuir as minhas somas superiores até elas chegarem próximos à curva da função para assim diminuir o excesso até chegar na minha função.
Definição: Considere f: [a, b] → ℝ limitada. Definimos a integral superior, 
como o ínfimo das somas superiores.
OBS.: O símbolo * próximo ao ponto a e ao ponto b, indicam que a integram é inferior ou superior, ou seja, se ele estiver no ponto a é inferior e se no b superior.
d) Função integrável.
Dizemos que uma função é integrável quando as somas inferior e superior são iguais.
Definição: Dizemos que uma função Considere f: [a, b] → ℝ	 é integrável, quando a integral superior é igual a integral, isto é:
Ex.: A função constante f(x) = c, definida no intervalo [a, b] é integrável e 
De fato, dada uma partição P de [a, b], teremos que mi = Mi = C, consequentemente, S(f, p) = c (b - a) assim como s(f, p) = c (b - a), ou seja, integrais superior e inferior iguais a c(b - a) ou S(f, p) = c (b - a) = s(f, p).
Para melhorar nossa compreensão vejamos o exemplo a seguir construído no geogebra.
 
Ex.: A função g: [a, b] → ℝ, tal que g(x) = 
Av. Guedner, nº 1610, Fone/fax: (0xx44) 3027-6360
CEP 87050-900 – Maringá – Paraná
E-mail info@cesumar.br – Home Page: www.ead.cesumar.br