334276993-Exemplo-Resolvido-Teorema-de-Castigliano

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MÉTODO DE ENERGIA/TEOREMA DE CASTIGLIANO – VIGAS 
 
1) Determinar a energia de deformação (𝑈) para a viga abaixo. Em seguida, determinar (b) a deflexão no 
ponto (𝛿𝐵) e (c) a rotação (𝜃𝐵)no ponto 𝐵. Considere (𝐸𝐼)𝐴𝐵 = 2(𝐸𝐼)𝐵𝐶, 𝑤0 = 10 𝑘𝑁. 𝑚, 𝑎 = 2 𝑚, 𝐸 =
210 𝐺𝑃𝑎 e 𝐼 = 160 × 106 𝑚𝑚4. 
 
O método de energia aplicado a vigas nos 
diz que: 
 
𝑈 = ∫
𝑀2𝑑𝑥
2𝐸𝐼
 
 
Onde: 
 
𝑈 – Energia de deformação; 
𝑀 – Função de momento na viga; 
𝐸 – Módulo de elasticidade do material; 
𝐼 – Momento de inércia da seção 
transversal. 
 
 
a) Iniciando pela energia de deformação, temos: 
 
𝑀𝑆1 = −5𝑥
2 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚) 
 
𝑀𝑆1
2 = 25𝑥4 
 
𝑀𝑆2 = −2 × 10 × (𝑥 − 1) − 18 → 𝑀𝑆2 = −20𝑥 + 2 (2 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑚) 
 
𝑀𝑆2
2 = 400𝑥2 − 80𝑥 + 4 
 
OBS: A análise dos momentos realizada acima, foi feita partindo da ponta de balanço. 
Assim: 
𝑈 =
1
4𝐸𝐼
∫ 25𝑥4𝑑𝑥
2
0
+
1
2𝐸𝐼
∫ (400𝑥2 − 80𝑥 + 4)
4
2
𝑑𝑥 
𝑈 =
1
4𝐸𝐼
[5𝑥5]0
2 +
1
2𝐸𝐼
[
400𝑥3
3
− 40𝑥2 + 4𝑥]
2
4
 
 
𝑈 =
1
4𝐸𝐼
[5(2)5] +
1
2𝐸𝐼
[(
400(4)3
3
− 40(4)2 + 4(4)) − (
400(2)3
3
− 40(2)2 + 4(2))] 
 
𝑈 =
80
4𝐸𝐼
+
1
2𝐸𝐼
(
23728
3
−
2744
3
) ∴ 𝑈 =
10552
3𝐸𝐼
 
 
Como: 
𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 = 210 × 106 𝑘𝑁 𝑚²⁄ 
𝐼 = 160 × 106 𝑚𝑚4 = 160 × 106 × (
1
1000
)
4
= 160 × 10−6 𝑚4 
 
Temos: 
𝑈 =
10552
3 × 210 × 106 × 160 × 10−6
 → 𝑈 = 104,68 × 10−3 𝑘𝐽 → 𝑈 = 104,68 𝐽 
 
OBS: Devemos lembrar que a energia de deformação 𝑈 é denotada por 𝑁. 𝑚 (𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒) e corresponde a energia 
associada à deformação de flexão da barra. 
 
b) Para a determinação da deflexão, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado: 
 
O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz que: 
 
 
𝛿 = ∫ (
𝑀
𝐸𝐼
) (
𝜕𝑀
𝜕𝑃
) 𝑑𝑥 
 
Onde: 
 
𝛿 – Deflexão; 
𝑃 – Carga aplicada; 
𝑀 – Função de momento na viga; 
𝐸 – Módulo de elasticidade do material; 
𝐼 – Momento de inércia da seção transversal. 
 
Para a determinação de deflexão pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de uma carga concentrada 
no ponto de interesse. No nosso caso, a carga fictícia 𝑃 foi aplicada no ponto 𝐵. 
 
Daí: 
 
𝑀𝑆1 = −5𝑥
2 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚) 
𝜕𝑀𝑆1
𝜕𝑃
= 0 
 
𝑀𝑆2 = −10 × 2 × (𝑥 − 1) − 18 − 𝑃(𝑥 − 2) ∴ 𝑀𝑆2 = −20𝑥 + 2 − 𝑃𝑥 + 2𝑃 
𝜕𝑀𝑆2
𝜕𝑃
= −𝑥 + 2 
 
𝛿 =
1
2𝐸𝐼
∫ (−5𝑥2) × (0)𝑑𝑥 +
1
𝐸𝐼
2
0
∫ (−20𝑥 + 2 − 𝑃𝑥 + 2𝑃)
4
2
× (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 
 
𝛿 =
1
𝐸𝐼
∫ (20𝑥2 + 𝑃𝑥2 − 42𝑥 − 4𝑃𝑥 + 4𝑃 + 4)
4
2
𝑑𝑥 
 
𝛿 =
1
𝐸𝐼
[
20𝑥3
3
+
𝑃𝑥3
3
− 21𝑥2 − 2𝑃𝑥2 + 4𝑃𝑥 + 4𝑥]
2
4
 
 
Como 𝑃 é uma força fictícia, utilizada apenas como recurso para obtenção da deflexão, seu valor é zero, portanto: 
 
𝛿 =
1
𝐸𝐼
[
20𝑥3
3
− 21𝑥2 + 4𝑥]
2
4
 
𝛿 =
1
𝐸𝐼
[(
20(4)3
3
− 21(4)2 + 4(4)) − (
20(2)3
3
− 21(2)2 + 4(2))] ∴ 𝛿 =
388
3𝐸𝐼
 
 
Daí: 
𝛿 =
388
3 × 210 × 160
 → 𝛿 = 3,85 × 10−3 𝑚 → 𝛿 = 3,85 𝑚𝑚 
 
c) Para a determinação da rotação, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado: 
 
O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz 
que: 
 
 
𝜃 = ∫ (
𝑀
𝐸𝐼
) (
𝜕𝑀
𝜕𝑀0
) 𝑑𝑥 
 
Onde: 
 
𝜃 – Rotação; 
𝑀0 – Momento aplicado; 
𝑀 – Função de momento na viga; 
𝐸 – Módulo de elasticidade do material; 
𝐼 – Momento de inércia da seção transversal. 
 
Para a determinação da rotação pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de um momento aplicado 
no ponto de interesse. No nosso caso, já existe um momento aplicado nesse ponto, portanto, não será necessário 
utilizar momento fictício. Chamaremos o momento de 18𝑘𝑁𝑚 por 𝑀0. Logo: 
 
𝑀𝑆1 = −5𝑥
2 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚) 
𝜕𝑀𝑆1
𝜕𝑀0
= 0 
 
 
𝑀𝑆2 = −10 × 2 × (𝑥 − 1) − 𝑀0 → 𝑀𝑆2 = −20𝑥 + 20 − 𝑀0 (2 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑚) 
𝜕𝑀𝑆2
𝜕𝑀0
= −1 
 
Daí: 
𝜃 =
1
2𝐸𝐼
∫ (−5𝑥2)
2
0
(0)𝑑𝑥 +
1
𝐸𝐼
∫ (−20𝑥 + 20 − 𝑀0)
4
2
(−1)𝑑𝑥 
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ (20𝑥 − 20 + 𝑀0)
4
2
𝑑𝑥 → 𝜃 =
1
𝐸𝐼
[10𝑥2 − 20𝑥 + 𝑀0𝑥]2
4 
 
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[(80 + 4𝑀0) − (2𝑀0)] ∴ 𝜃 =
80 + 2𝑀0
𝐸𝐼
 
 
Como 𝑀0 = 18 𝑘𝑁𝑚, temos: 
 
𝜃 =
116
210 × 160
 → 𝜃 = 3,45 × 10−3 𝑟𝑎𝑑 
 
Verificando os resultados no FTOOL, obtemos: 
 
 
DISCUSSÕES: 
 
Observamos que podemos desenvolver o problema de forma literal ou numérica. A solução literal fornece um 
volume muito grande de cálculos, porém facilita a detecção e correção de eventuais erros cometidos. Já a solução 
literal é mais simples, mas não permite detectar erros, ou seja, se o resultado final estiver errado, só nos restará 
iniciar o exercício novamente. Caberá ao aluno resolver da maneira que lhe parecer mais confortável.