Princípio dos Trabalhos Virtuais - Vigas e Teorema de Castigliano

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Princípio dos Trabalhos Virtuais – Vigas e Teorema de Castigliano
Prof.: Lucas Farias Palma
Faculdade de tecnologia de Valença – Factiva
Bacharelado em engenharia civil
 
 
 
AULA PARA CURSO DE NIVEL SUPERIOR
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 O método da força virtual pode ser formulado para vigas ou pórticos considerando a viga mostrada na Figura ao lado.
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
De maneira semelhante, se tivermos que determinar a inclinação da tangente em um ponto sobre a linha elástica da viga, um momento unitário deve ser aplicado ao ponto, e o momento virtual interno correspondente tem que ser determinado.
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 É importante entender que as integrais no lado direito representam a quantidade de energia de deformação virtual por flexão que é armazenada na viga.
 Se forças concentradas agirem sobre a viga ou a carga distribuída for descontínua, não poderemos efetuar uma integração única em todo o comprimento da viga.
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Procedimento de análise:
Momentos virtuais m ou 
Coloque a carga virtual unitária sobre a viga no ponto e oriente-a ao longo da linha de ação do deslocamento desejado ( o mesmo vale para o momento).
 Determine coordenadas x adequadas válidas dentro de regiões da viga onde não houver nenhuma descontinuidade na carga real, nem na virtual.
 Com a carga virtual no lugar e todas as cargas reais removidas da viga, calcule o momento interno m ou em função de cada coordenada x.
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Procedimento de análise:
Momentos reais
 Usando as mesmas coordenadas x estabelecidas em m ou , determine os momentos internos M provocados pelas cargas reais.
 É importante que M positivo aja na mesma direção positiva para m ou . 
Isso é necessário uma vez que o trabalho virtual positivo ou negativo depende do sentido da direção da carga virtual definida por +- m ou +-, bem como os deslocamentos provocados por +- M
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Procedimento de análise:
Equação do Trabalho Virtual
 Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento ou a inclinação desejada. Preste atenção aos sinais das integrais!
 Se a soma algébrica de tocas as integrais para a viga interna for positiva, ou está naa mesma direção da carga ou momento virtual unitária(o) adotada(o).
Isso é necessário uma vez que o trabalho virtual positivo ou negativo depende do sentido da direção da carga virtual definida por +- m ou +-, bem como os deslocamentos provocados por +- M
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Exercício: Determine o deslocamento do ponto A da viga e aço mostrada na figura ao lado. , 
 
x1
x2
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Exercício: Determine o deslocamento do ponto A da viga e aço mostrada na figura ao lado. , 
 
x1
x2
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Método das forças virtuais aplicado a vigas
 Exercício: Determine o deslocamento do ponto A da viga e aço mostrada na figura ao lado. , 
 
x1
x2
[
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Teorema de Castigliano
Aplicado a corpos que tenham temperatura constante e comportamento linear elástico.
 O teorema propõe que o deslocamento na direção de uma carga P é igual à derivada parcial de primeira ordem de energia de deformação em relação à carga P.
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Teorema de Castigliano aplicado a Treliças
Vimos na ultima aula que a energia de deformação de um elemento de barra é dada pela equação	
Substituindo essa equação na equação do ultimo slide temos que 
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Teorema de Castigliano aplicado a Treliças
Exemplo: Determine o deslocamento horizontal da articulação C da treliça de aço mostrada na figura. A área da seção transversal de cada elemento é indicada na figura. Considere . 
+
13
Teorema de Castigliano aplicado a Treliças
Exemplo: Determine o deslocamento horizontal da articulação C da treliça de aço mostrada na figura. A área da seção transversal de cada elemento é indicada na figura. Considere . 
Solução:			membro	 N	 	N(P=40)		L	
			 AB	 0	0	0		4	0
			 BC	 0	0	0		3	0
			 AC 	 1,67P	1,67	66,67(10³)		5	556,7*10^6
			 CD	 -1,33P	-1,33	-53,33(10³) 	4	283,7*10^6
+
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Teorema de Castigliano aplicado a Treliças
Exemplo: Determine o deslocamento horizontal da articulação C da treliça de aço mostrada na figura. A área da seção transversal de cada elemento é indicada na figura. Considere . 
			 = 0+0 + 556,7*10^6+ 283,7*10^6
			 	
+
 = 5,32 mm
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Teorema de Castigliano aplicado a Vigas
Anteriormente também foi visto que a energia de deformação interna para uma viga é dada pela equação	
Substituindo em
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Teorema de Castigliano aplicado a Vigas
Exemplo: Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na figura. Considere 
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Teorema de Castigliano aplicado a Vigas
Exemplo: Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na figura. Considere 
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Teorema de Castigliano aplicado a Vigas
Exemplo: Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na figura. Considere 
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Teorema de Castigliano aplicado a Vigas
Exemplo: Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na figura. Considere 
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