Roteiro de Estudos CÁLCULO II

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Curvas de nível: dada uma função , sua curva de nível k é o subconjunto do definido por
.
Obs.: uma curva de nível pode não corresponder à ideia intuitiva de curva; pode ser o conjunto vazio, um
ponto ou um par de retas, por exemplo. 
Superfícies de nível: dada uma função , sua superfície de nível k é o subconjunto do 
 definido por .
Obs.: uma superfície de nível pode não corresponder à ideia intuitiva de superfície. 
Limites: se uma função é limitada e , então:
Funções contínuas: uma função é contínua em se ela está definida em , tem limite
quando e vale a igualdade:
 
 
Derivadas parciais: Teorema de Schwarz: se é de classe , então:
Derivada direcional da função no ponto na direção do versor , é, por
definição: 
Cálculo da derivada direcional: 
O Gradiente de é sempre perpendicular às curvas de nível de 
. Analogamente no espaço, o vetor gradiente é perpendicular às superfícies de nível da
função.
 
Equação da reta tangente à curva no ponto :
 
Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
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Roteiro de Estudos | Cláudio Possani
1º Caso: suponha seja uma função , e são funções deriváveis de t.
Então, z é uma função derivável em t e
2º Caso: suponha seja uma função , e são funções de classe ,
então, z é uma função derivável de e t, e temos:
 
Polinômio de Taylor. Ordem 2:
 
 
Ponto crítico: se é diferenciável, dizemos que é um ponto crítico da função se 
 .
 
Pontos de máximo/mínimo: ponto crítico de 
 
 
 
 
D > 0 e , então é ponto de mínimo (local).
D > 0 e , então é ponto de máximo (local).
D < 0, então não é ponto de máximo nem de mínimo.
D = 0, então nada se conclui.
 
Teorema de Fubini em 2 variáveis. Domínios retângulos:
 
Teorema de Fubini em 2 variáveis (caso geral):
E, analogamente:
 
Volume do sólido dado pela condição com isto é, sólido limitado
lateralmente pela região D, acima do gráfico de e abaixo do gráfico de 
Coordenadas polares no plano:
 
 
Jacobiano 
 
Massa de uma placa: em que é a densidade.
 
Momento em relação ao eixo é 
e, em relação ao eixo , é 
 
Centro de Massa ou Baricentro de uma placa
 
Perpendicularismo de vetores: 
 são perpendiculares 
 
Coplanariedade: os vetores são coplanares ou paralelos a um mesmo plano ⇔ 
 
Equação geral de um plano: se o vetor é perpendicular ao plano , então a equação geral
do plano é para algum valor de .
Conhecendo-se um ponto do plano, podemos determinar o valor de .