Lista 7 - Integral de Linha

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA (UFBA)
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DISCIPLINA: MATA03 - CÁLCULO B
LISTA 7
Integrais de linha
(1) Calcule as integrais de linha:
(a)
∫
C
xy4 ds, onde C é a metade direita do ćırculo x2 + y2 = 16.
(b)
∫
C
y3 ds, onde C é o traço da curva parametrizada α(t) = (t3, t), 0 ≤ t ≤ 2.
(c)
∫
C
2x ds, onde C = C1 ∪ C2, com C1 arco da curva y = x2 ligando o ponto (0, 0) ao ponto
(1, 1), e C2 o segmento de reta ligando o ponto (1, 1) ao ponto (1, 2).
(d)
∫
C
xy + 1 ds, onde C é o ćırculo de centro (0, 0) e raio 1.
(2) Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
(a) F (x, y) = (x, y + 2) sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide
r(t) = (t− sen t, 1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
(b) F⃗ (x, y) = ey i⃗−sen(πx) j⃗ sobre um objeto que se move sobre o caminho triangular que conecta
os pontos (1, 0), (0, 1), (−1, 0), na ordem indicada.
(3) Calcule:
∫
C
(x − y) dx + xy dy, onde C é o arco do ćırculo x2 + y2 = 4, percorrido no sentido
anti-horário, do ponto (2, 0) ao ponto (0,−2).
(4) Considere o campo vetorial F⃗ (x, y) = (ax2y + y3 + 1) i⃗ + (2x3 + bxy2 + 2) j⃗, em que a e b são
constantes.
(a) Determine valores de a e b para os quais F⃗ é um campo conservativo.
(b) Para estes valores de a e b, encontre uma função potencial do campo F⃗ .
(5) Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e
o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
∫
C
F⃗ dr, onde C é a curva indicada:
(a) F⃗ (x, y) = (e2y − 2xy) i⃗+ (2xe2y − x2 + 1) j⃗; C : r(t) = (tet, (1 + t)), 0 ≤ t ≤ 1.
1
2
(b) F⃗ (x, y) = (2x+ 1) i⃗+ (2y + 3) j⃗; onde C é arco da hiperbóle x2 − y2 = 1 de (1, 0) (2,
√
3).
(c) F⃗ (x, y) = 2(x− y) i⃗+ 2(3y − x) j⃗; onde C é qualquer curva ligando (3, 0) a (0, 3).
(d) F⃗ (x, y) = (3x2y+xy2−1) i⃗+(x3+x2y+4y3) j⃗; onde C é o quadrado com vértices em (0, 0),
(1, 0), (1, 1) e (0, 1), percorridos no sentido anti-horário.
(6) Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
(a)
∮
C
(y2 − 7y) dx+ (2xy + 2x) dy, onde C é o ćırculo de raio 1 e centro na origem.
(b)
∮
C
(y2 cosx) dx+(x2+2y senx) dy, onde C é o triângulo percorrido do (0, 0) ao (2, 6) ao (2, 0)
ao (0, 0).
(c)
∮
C
(ex
4
+ y2) dx+(xy+sen(ln y)) dy, onde C é o quadrilátero percorrido do (1, 1) ao (1, 2) ao
(2, 3) ao (2, 1).
(d)
∫
C
3xy dx+ 2y2 dy, onde C é o arco do ćırculo x2 + y2 = 4 no primeiro quadrante, do ponto
(0, 2) ao (2, 0).
(7) Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
F (x, y) = (x+ ey
2
, x3 + 3xy2 + 2xyey
2
)
para mover uma part́ıcula pela metade superior do ćırculo x2 + y2 = 4 do ponto (2, 0) ao (−2, 0).
(8) Seja D região limitada por uma curva fechada e suave por partes C. Mostre que a área da região
D é dada por A(D) =
∮
C
F⃗ dr, para F⃗ =
−y
2
i⃗+
x
2
j⃗ ou A(D) =
1
2
∮
C
−y dx+ x dy.
(9) Mostre que a integral I =
∮
C
xy2 dx+ (x2y + 2x) dy sobre qualquer quadrado C depende apenas
do tamanho do quadrado, e não da sua localização.
(10) Calcule a área da superf́ıcie
S = {(x, y, z) : x2 + y2 = 1 e 0 ≤ z ≤ xy + 1}.
(11) Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x2+y2 = 4, x ≥ 0. 0. Se a densidade
linear for uma constante k, determine a massa do arame.
(12) Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro
na origem e raio a. Se a função densidade for ρ(x, y) = xy, encontre a massa do arame.
(13) A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x2+ y2 = 100. A altura da cerca na posição
(x, y) é dada pela função h(x, y) = 4 + 0, 01(x2 − y2), portanto a altura varia de 3 m a 5 m.
Suponha que 1 L de tinta permita pintar 100 m2. Faça um esboço da cerca e determine quanto
de tinta você precisará para pintar os dois lados da cerca.
3
(14) Calcule a integral de linha
∫
C
F dr onde F é o campo dado por
F (x, y) =
−y
x2 + y2
i⃗+
x
x2 + y2
j⃗
e C é a curva dada por r(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π]. O campo F é conservativo?
4
GABARITO
Integrais de linha
(1) (a)
5
√
5− 1
6
+ 2 (b)
2
5
46 (c)
145
√
145− 1
54
(d) 2π ; (2) (a) 2π2 (b) 2(2− e− 2
π
); (3) 3π +
2
3
; (4) (a)
a = 6, b = 3 (b) f(x, y) = 2x3y+ xy3 + x+2y+C; (5) (a) e5 − 2e2 +1 (b) 5+ 3
√
3 (c) 18 (d) 0; (6) (a)
9π, (b) −16 (c) 16
6
, (d) 8− 16
3
; (7) 12π− 4; (10) 2π; (11) 2kπ; (12) a
3
2
; (13) 2π (14) (a) 2π (b) O campo
não é conservativo.