Aula 13 - Cap 18 Nilson - Transformada de Fourier

Prévia do material em texto

Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
1 de 17 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER 
NOTAS DE AULA (CAP. 18 – LIVRO DO NILSON) 
 
0. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 SÉRIES DE FOURIER: descrevem funções periódicas no 
domínio da freqüência (amplitude e fase). 
 
 TRANSFORMADA DE FOURIER: estende esta descrição para 
funções não periódicas. 
 
 Qual a necessidade da TF se já foi estudada a 
Transformada de Laplace (TL), que na verdade faz o 
mesmo? 
• A Transformada de Fourier (TF) não é uma nova 
transformada, mas sim um caso especial da Transformada 
de Laplace bilateral (limite inferior é menos infinito e não 
zero), onde a parte real da freqüência complexa s é nula. 
• A TL unilateral é utilizada para determinar a resposta de 
circuitos elétricos lineares a uma perturbação que ocorre, 
após estabelecidas as condições iniciais. 
 
{ }
0
( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt
+∞ −= = ∫_ (1) 
 
• A TF pode ser interpretada como caso limite da Série de 
Fourier quando o período T tende para infinito. 
 
1. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
 Considere inicialmente a forma exponencial da Série de Fourier 
dada por 
 
 
0
0
0 0
0
2
2
( )
1 1( ) ( )
j n t
n
n
t T T
j n t j n t
n
t T
f t C e
C f t e dt f t e dt
T T
ω
ω ω
+∞
∆
=−∞
+
− ∆ − ∆
−
⎧
=⎪
⎪
⎨
⎪ = =
⎪⎩
∑
∫ ∫ 
(2)
 
 
onde considerou-se t0 = -T/2 na equação (2) anterior. 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
2 de 17 
 
 Para transformar uma função periódica numa função 
aperiódica, basta fazer o período T da função periódica tender a 
infinito. 
 A distância entre as freqüências harmônicas ∆ω é dada por 
 
 ( ) 0 0 0
21n n
T
πω ω ω ω∆ = + − = = (3) 
 
Nota-se pois que à medida que o período T aumenta, a 
distância entre as freqüências harmônicas torna-se cada vez 
menor. No limite quando T tende a infinito não existe mais 
distância entre as freqüências harmônicas e desta forma a 
freqüência é contínua. 
 Pela equação (3) tem-se que 
 
 
01
2 2T
ω ω
π π
∆
= = (4) 
 
Desta forma, quando T tende a infinito, tem-se que 
 
 
0
1
2
( )
d
T
n frequência contínua
ω
π
ω ω
⎧ →⎪
⎨
⎪ →⎩
 (5) 
 
 De acordo com a primeira das equações (2) os coeficientes Cn 
também variam inversamente com o período T. Quando T tende 
a infinito, estes coeficientes tendem a zero. No entanto, de (2) 
vem que 
 
 
0
2
2
( )
T
j n t
n
T
C T f t e dtω− ∆
−
= ∫ 
 
Desta forma, quando T tende a infinito 
 
 
( ) j tnC T f t e dt
ω
+∞
−
−∞
→ ∫ (6) 
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
3 de 17 
 
 A integral presente na equação (6) é conhecida como 
Transformada de Fourier da função f(t) e é representada por 
 
 { }( ) ( ) ( ) ( )
j tf t F F j f t e dtωω ω
+∞
−
−∞
= = = ∫Y (7) 
 
 A Transformada Inversa de Fourier é obtida explicitamente 
investigando o comportamento da primeira das equações (2) 
quando T tende a infinito. Assim 
 
 
( )
( ) ( )
0 0
0 0
1( )
1
2 2
j n t j n t
n n
n n
j n t j n t
n n
n n
f t C e C T e
T
C T e C T e
ω ω
ω ωω ω
π π
+∞ +∞
∆ ∆
=−∞ =−∞
+∞ +∞
∆ ∆
=−∞ =−∞
= = ⋅ =
∆
= ⋅ = ⋅ ∆
∑ ∑
∑ ∑ 
(8)
 
 
No limite, quando T tende a infinito, a freqüência harmônica nω0 
se torna a freqüência contínua ω, o somatório se torna uma 
integral e a equação (8) pode ser escrita como 
 
 
1( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
π
+∞
−∞
= ∫ (9) 
 
Exemplo – Determinar a TF do pulso da figura abaixo 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
22
2 2
2 2
( )
j t
j t
m m
j jm
eF V e dt V
j
V e e
j
ττ ω
ω
τ τ
ωτ ωτ
ω
ω
ω
++ −
−
− −
−
⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥−⎣ ⎦
= −
−
∫
 
(10)
 
 
−τ /2 τ /2
Vm 
t 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
4 de 17 
 
 
Como 
 
 
cos sen
2sen
cos sen
j b
jb jb
jb
e b j b
e e j b
e b j b
−
−⎧ = −⎪ ⇒ − = −⎨
= +⎪⎩
 
 
Logo 
 
 
 ( ) ( )
( )sen 2( ) 2sen 2
2
m
m
VF j V
j
ωτ
ω ωτ τ
ω ωτ
= − =⎡ ⎤⎣ ⎦− 
(11)
 
 
 
Lembrar que para a mesma função , suposta periódica 
 
 
 
 
( )0
0
sen 2
2
m
n
nVC
T n
ω ττ
ω τ
=
 (12) 
 
 
Traçando o gráfico para as 
funções F(ω) em (11) e Cn em 
(12) percebe-se que quando a 
função periódica passa a ser 
aperiódica, o espectro de 
freqüência que inicialmente é 
discreto, passa a ser contínuo. 
No entanto, o leitor pode 
perceber que em todos os 
casos a forma de onda é a 
mesma. 
 
 
 
 
−τ /2 τ /2
Vm 
t T−τ /2 T+τ /2
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
5 de 17 
 
 
2. CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER 
 
Para que uma função possua a Transformada de Fourier, basta 
que a integral de Fourier seja convergente, ou seja, basta que a 
equação (7) tenha um valor finito. 
 
Em geral, funções f(t) que são bem comportadas e que diferem de 
zero em um intervalo de tempo finito vão possuir Transformada de 
Fourier. 
 
NOTA: função bem comportada é uma função contínua e limitada 
em todos os pontos de seu domínio. 
 
Se f(t) é diferente de zero em um intervalo de tempo infinito, a 
convergência da integral de Fourier depende do comportamento de 
f(t) quando t tende a infinito. Assim, vai existir a Transformada de 
Fourier se uma das condições de Dirichlet for atendida, ou seja, se 
 existir. 
 
Exemplo – Determinar a TF da função mostrada abaixo. 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) [ ]
0
0 0
0
( ) ( )
1 0
j t a t j t
a j t
a j t
a j t
F f t e dt K e e dt
eK e dt K
a j
K K Ke
a j a j a j
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω
+∞ +∞
− − −
−∞
+∞+∞ − +
− +
− +
+∞
= = =
⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥− +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦+ + +
∫ ∫
∫
 
(13)
 
 
( )f t dt
+∞
−∞
∫
K e-at
K 
t 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
6 de 17 
 
NOTAS: 
 
 Existem muitas funções de interesse prático que a integral de 
Fourier não converge. Por exemplo: 
(a) f(t) = K (constante) 
(b) f(t) = K senωt (senóide) 
(c) f(t) = K u(t) (degráu) 
 Nestes casos utiliza-se um subterfúgio matemático para cálculo 
das Transformadas de Fourier destas funções, descrito a 
seguir: 
1) Criar uma função de aproximação que possua Transformada 
de Fourier e que possa se tornar arbitrariamente próxima da 
função de interesse; 
2) Calcular a TF desta função de aproximação; 
3) Calcular o limite da TF obtida quando a função de 
aproximação tende para a função de interesse. 
 
Exemplo – Determinar a TF da função f(t) = A (constante). 
 
 
A integral de Fourier de f(t) = A não converge, logo esta função não 
possui a princípio uma Transformada de Fourier. Para cálculo da 
TF deve ser aplicado o subterfúgio matemático apresentado 
anteriormente. 
1) Criar a função de aproximação; 
 
( ) 0
( ) ; 0
( ) 0
t
t
t
f t Ae para t
f t Ae
f t Ae para t
ε
ε
ε
ε−
−
⎧ = − ∞ < <⎪= > ⇒ ⎨
= < < +∞⎪⎩
 (14) 
 
 
1tAe ε− 
A 
t 
2tAe ε− 
1tAeε 
2tAeε 
2 1ε ε<
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
7 de 17 
 
2) Calcular a TF desta função de aproximação; 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
0
( )
1 0 0 1
1 1 2
t j t t j t
j t j t j t
j t j t
F Ae e dt Ae e dt
A e dt e e dt
e eA
j j
A
j j
A
j j
ε ω ε ω
ε ω ε ω ω
ε ω ε ω
ω
ε ω ε ω
ε ω ε ω
ε ω ε ω
+∞
− − −
−∞
+∞
− − + − + −
−∞
+∞− − + − +
−∞
= + =
⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪= + =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
⎛ ⎞
= + =⎜ ⎟− +⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
2 2
Aε
ε ω+
 
(15)
 
 
3) Calcular o limite da TF calculada quando a função de 
aproximação tende à função de interesse. 
 
A figura abaixo mostra a função F(ω) calculada em (15) para 
alguns valores de ε. O leitor pode ver que à medida que ε 
diminui, a função tende para a forma da função impulso δ(t). 
 
freqüência (rad/s) 
ε = 5 
ε = 1
ε = 0,5 A = 1
2 2
2( ) AF εω
ε ω
=
+
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
8 de 17 
 
Assim, analisando mais pormenorizadamente a função F(ω) 
vê-se que: 
 
 2 2
2( ) AF εω
ε ω
=
+ 
(16)
 
 
(a) Em ω = 0, a função F(ω) tende para 2A/ε0
2lim A
ε ε→
= ∞ 
 
(b) ε governa a duração de F(ω) . Se ε tende a zero, a duração 
de F(ω) também tende a zero. 
 
0
2lim A
ε ε→
= ∞ 
 
(c) A área sob a função F(ω) independe de ε e vale 2π A. 
 
 2 2 2 2
0
2 14 2AÁrea d A d Aε ω ε ω π
ε ω ε ω
+∞ +∞
−∞
= = =
+ +∫ ∫ (17) 
 
Assim sendo, a função F(ω) vai valer: 
 
 ( ) 2 ( )F Aω π δ ω= (18) 
 
 
3. USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA 
CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
Uma outra forma para se calcular a Transformada de Fourier é 
fazer uso de tabelas de Transformadas de Laplace Unilaterais, 
desde que haja a convergência da Integral de Fourier. Uma 
condição para a convergência da Integral de Fourier é obtida 
quando todos os pólos de F(s) estão no semi-plano esquerdo. 
 
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
9 de 17 
 
REGRAS BÁSICAS DE USO DA TL PARA CÁLCULO DA TF: 
 
Regra 1. Se f(t) = 0 para t ≤ 0 (denominada de função de tempo 
positivo), então pode-se obter a TF diretamente da TL 
de f(t) substituindo s por jω, ou seja 
 
{ } { }( ) ( )
s j
f t f t
ω=
Y P _ (19) 
 
 
Exemplo – Determinar a TF da função de tempo positivo f(t) 
abaixo. 
 
0
0 0
( )
cos 0at
para t
f t
e t para tω−
= ≤⎧
⎨
= >⎩
 
 
 
Utilizando a propriedade em (19) basta fazer 
 
{ } { }
( ) ( )0 2 22 20 0
( ) cosat
s j
s j
s a j af t e t
s a j aω
ω
ωω
ω ω ω
−
=
=
+ +
= = =
+ + + +
Y _ 
 
 
Regra 2. Como o intervalo de integração da TF vai de – ∞ a +∞, 
uma função de tempo negativo (função nula para 
tempos positivos) pode possuir uma TF. A TF de 
funções de tempo negativo pode ser obtida calculando-
se a TL de f(–t) e substituindo s = – jω, ou seja 
 
{ } { }( ) ( ) s jf t f t ω=−= −Y _ (20) 
 
 
Regra 3. Uma função que não se anula nem para tempos 
positivos, nem para tempos negativos, pode ser 
considerada como uma soma de duas funções, uma de 
tempo negativo e outra de tempo positivo. Assim, pata a 
determinação de sua TF podem ser utilizadas as regras 
1 e 2 anteriores. Isto quer dizer que se 
 
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
f t f t para t
f t f t para t
+
−
= >
= < 
 
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
10 de 17 
 
Então 
 
( ) ( ) ( )f t f t f t+ −= + 
 
 
e desta forma 
 
{ } { }
{ } { }
{ } { }
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
s j s j
f t f t f t
f t f t
f t f t
ω ω
+ −
+ −
+ −
= =−
= + =
= =
= −
Y Y
Y > Y
_ > _
 
(21)
 
 
 
Exemplo – Determinar novamente a TF da função f(t) = e-a|t|. 
 
( ) 0
( ) 0
at
at
f t e para t
f t e para t
+ −
−
= >
= < 
 
 
Assim 
 
{ } { }
{ } { }
1( )
1( )
at
at
f t e
s a
f t e
s a
+ −
− −
= =
+
− = =
+
_ _
_ _
 
 
 
Finalmente pode-se calcular a TF da função pedida, ou seja, 
 
 
{ } ( ) ( )
( ) ( ) 2 2
1 1
1 1 2
a t
s j s j
e
s a s a
a
j a j a a
ω ω
ω ω ω
−
= =−
= + =
+ +
= + =
+ − + +
Y
 
 
 
Regra 4. Se f(t) é par, então 
 
{ } { } { }( ) ( ) ( )s j s jf t f t f tω ω= =−= +Y _ _ (22) 
 
 
Regra 5. Se f(t) é ímpar, então 
 
{ } { } { }( ) ( ) ( )s j s jf t f t f tω ω= =−= −Y _ _ (23) 
 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
11 de 17 
 
 
4. USO DE LIMITES PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA 
DE FOURIER 
 
4.1. TF da função sinal [sgn(t)] 
 
 
 
A função sgn(t) pode ser expressa por 
 
sgn( ) ( ) ( )t u t u t= − − (24) 
 
 
Para calcular sua TF é necessário: 
(a) Estabelecer uma função de aproximação para sgn(t) 
 
0
limsgn( ) ( ) ( )t tt e u t e u t
ε
ε ε
→
−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (25) 
 
 
Logo,considera-se como função aproximação a função dada 
por 
 
( ) ( )( )
( ) ( )
t te u t e u tf t
f t f t
ε ε−
+ −
−= −
 
 
 
(b) Calcular a TF da função aproximação 
 
{ } ( ) ( )
( ) ( ) 2 2
1 1( )
1 1 2
s j s j
f t
s s
j
j j
ω ω
ε ε
ω
ω ε ω ε ω ε
= =−
= − =
+ +
−
= − =
+ − + +
Y
 (26) 
 
 
( )te u tε− 
1 
t 
[ ]( )te u tε − − 
– 1 
( )u t
( )u t− − 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
12 de 17 
 
(c) Calcular o limite da TF calculada quando a função 
aproximação tende à função de interesse 
 
{ }
0
2 2( )lim jf t
jε ω ω→
−
= =Y (27) 
 
 
4.2. TF da função degrau unitário [u(t)] 
 
 Para calcular sua TF faz-se: 
 
(a) Estabelecer uma função aproximação para u(t) 
A função u(t) pode ser expressa por 
 
1 1( ) sgn( )
2 2
u t t= + (28) 
 
 
 
(b) Calcular a TF da função aproximação 
 
{ }
[ ]
1 1( ) sgn( )
2 2
1 1 2 12 ( ) ( )
2 2
f t t
jt t
j
π δ π δ
ω ω
⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
−⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
Y Y Y
 (29) 
 
 
(c) Neste caso não é necessário o cálculo do limite pois a 
função degrau unitário foi obtida pela soma correta (e não 
aproximada) de duas outras funções. 
 
 
 
 
 
1/2 
t 
1 sgn( )
2
t 
1 sgn( )
2
t
t 
( )u t
≡
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
13 de 17 
 
 
4.3. TF da função co-seno [cos(t)] 
 
Sabe-se que a TFI é dada por 
 
1( ) ( )
2
j tf t F e dωω ω
π
+∞
−∞
= ∫ (30) 
 
 
 
Seja então 
 
( )0( ) 2F ω π δ ω ω= − (31) 
 
 
Então, utilizando a propriedade de 
filtragem da função δ(ω) vem que 
 
( ) 00
1( ) 2
2
j tj tf t e d e ωωπ δ ω ω ω
π
+∞
−∞
= − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (32) 
 
 
Assim 
 
{ }0 02 ( )j te ω π δ ω ω= −Y (33) 
 
 
Como 
 
0 0 0
0
0 0
0
0 0
cos sen
cos
2cos sen
j t j t j t
j t
e t j t e et
e t j t
ω ω ω
ω
ω ω
ω
ω ω
−
−
⎧ = + +⎪ ⇒ =⎨
= −⎪⎩
 (34) 
 
 
Então 
 
{ } { } { }
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
0 0
1cos
2
1 2 2
2
j t j tt e eω ωω
π δ ω ω π δ ω ω
π δ ω ω δ ω ω
−⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
= − + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Y Y Y
 (35) 
 
 
 
O leitor pode perceber que o resultado já era esperado, uma vez 
que um cosω0t só contém uma freqüência, que é a própria ω0. 
ω 0ω 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
14 de 17 
 
 
5. APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA 
SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
Existem duas razões básicas para que a Transformada de 
Laplace seja mais utilizada que a Transformada de Fourier na 
análise de circuitos elétricos: 
1. A Transformada de Laplace existe para um número maior 
de funções; 
2. A Transformada de Laplace permite que se introduza as 
condições iniciais de funcionamento do circuito com mais 
facilidade. 
 
No entanto, uma propriedade funcional da Transformada de 
Fourier relativa à convolução no tempo, descrita a seguir, vai 
proporcionar uma maneira eficaz de aplica-la na solução de 
circuitos elétricos quando se desejar a resposta estacionária. 
 
Propriedade Funcional da Transformada de Fourier relativa 
à Convolução no Tempo 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d Y X Hλ λ λ ω ω ω
+∞
−∞
= − ⇒ = ⋅∫ (55) 
 
 
Exemplo – Determinar i0(t) no circuito abaixo utilizando a TF, 
quando ig(t) = 20 sgn(t). 
 
A TF da excitação é da forma 
 
{ }( ) 20sgn( )
2 4020
gI t
j j
ω
ω ω
= =
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Y
 
 
 
As impedâncias em cada uma das pernas do circuito acima são 
respectivamente 1 Ω e ( 3 + j ω ) Ω. 
 
i0(t)
1Η 
3Ω 
ig(t) 1Ω 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
15 de 17 
 
A relação entre as correntes I0(ω) e Ig(ω) é a função de 
transferência desejada (divisor de corrente), dada por 
 
0 ( ) 1( )
( ) 4g
IH
I j
ωω
ω ω
= =
+ 
 
 
A corrente I0(ω) vai ser dada então por 
 
( )
0
1 2
1 1 40( ) ( )
4 4
40
4 4
gI Ij j j
K K
j j j j
ω ω
ω ω ω
ω ω ω ω
= = ⋅ =
+ +
= = +
+ +
 
 
 
onde 
 
( )1 2 40
40 4010 10
4 jj
K e K
j j ωωω ω =−=
= = = = −
+ 
 
 
Desta forma 
 
0
10 10 2 1( ) 5 10
4 4
I
j j j j
ω
ω ω ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
A corrente i0(t) vai ser dada então por 
 
4
0 ( ) 5sgn( ) 10 ( )
ti t t e u t−= − 
 
 
20sgn( )t
t 
20sgn( )t
410 ( )e t u t−−
5sgn( )t
5sgn( )t
20 
–20 
5 
–5( )gi t 
0 ( )i t 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
16 de 17 
 
Exemplo – Determinar i0(t) no mesmo circuito anterior se a 
corrente ig(t) = 50 cos 3t. 
 
A TF da excitação é da forma 
 
{ }
( ) ( )
( ) 50cos3
50 3 3
gI tω
π δ ω δ ω
= =
= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
Y
 
 
 
As impedâncias em cada uma das 
pernas do circuito acima são respectivamente 1 Ω e (3+jω) Ω. 
 
A relação entre as correntes I0(ω) e Ig(ω) é a função de 
transferência desejada (divisor de corrente), dada por 
 
0 ( ) 1( )
( ) 4g
IH
I j
ωω
ω ω
= =
+ 
 
 
A corrente I0(ω) vai ser dada então por 
 
( ) ( )0
1 50( ) ( ) 3 3
4 4g
I I
j j
πω ω δ ω δ ω
ω ω
= = ⋅ − + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + 
 
 
Desta forma, no tempo vai ser 
 
{ } ( ) ( )
( ) ( )
1
0
3 3 3 3
36,87 36,87
3 36,87 3 36,873 36,87 3 36,87
3 350( ) ( )
2 4
25 25
4 3 4 3 5 5
5 5
j t
j t j t j t j t
j j
j t j tj t j j t j
i t F e d
j
e e e e
j j e e
e e e e e e
ωδ ω δ ωπω ω
π ω
+∞
−
−∞
− −
− ° °
− − ° − °− + ° − °
− + +⎡ ⎤⎣ ⎦= = =
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫Y
 
 
Lembrando que 
 
cos sen
2cos
cos sen
j b
jb jb
jb
e b j b
e e b
e b j b
−
−⎧ = −⎪ ⇒ + =⎨
= +⎪⎩
 
 
 
 
i0(t)
1Η 
3Ω 
ig(t) 1Ω 
Transformada de Fourier ® Clever Pereira / UFMG 
 
 
17 de 17 
 
então 
 
( ) ( ) ( )3 36,87 3 36,870 ( ) 5 10cos 3 36,87j t j ti t e e t A− − ° − °⎡ ⎤= + = − °⎣ ⎦ 
 
 
NOTA: Uma vez que a fonte é senoidal, então a corrente i0(t) 
pode ser calculada utilizando o método dos fasores 
(transformação fasorial). Cabe também lembrar ao leitor que 
neste capítulo serão utilizados os fasores associados aos 
valores máximos, e não os fasores associados aos valores 
eficazes, mais utilizados no dia a dia do analista de circuitos AC. 
Assim procedendo vem que 
 
0
1
4 3
1 50 0
4 3
50 0 10 36,87
5 36,87
gI Ij
j
= =
+
= ∠ ° =
+
∠ °
= = ∠ − °
∠ °
 
 
A corrente i0(t) vai ser dada então por 
 
( )0 ( ) 10cos 3 36,87i t t A= − ° 
 
 
O leitor pode perceber que a análise utilizando a transformação 
fasorial é bem mais rápida e mais simples do que a análise 
utilizando a Transformada de Fourier, sendo por isto a mais 
utilizada nestes tipos de cálculos. 
 
I0 
j3 Ω 
3Ω 
Ig 1Ω