SLIDES UNIDADE 3 - MICROECONOMIA - Teoria do Produtor

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Teoria da 
Produção
Teoria da 
Produção
Teoria da firma
 A teoria da firma busca a explicação sobre
como as empresas tomam decisões de
minimização de custos e como esses custos
variam com a produção.
 Pode ser dividida em duas partes:
 Teoria da produção
 Teoria dos custos
Teoria da firma
 As decisões das empresas sobre a produção
são semelhantes às dos consumidores
sobre a compra de bens e, da mesma
maneira, podem ser examinadas em três
etapas:
 Tecnologia de produção
 Restrições de custo
 Escolha de insumos
1
2
3
Tecnologia da Produção
 As empresas adquirem insumos e os
transformam em produtos
 O processo produtivo é a combinação e
transformação de insumos em produtos
 Se existirem n insumos, o processo
produtivo pode ser representado como:
Y f X , X , X , ..., X )
Tecnologia da Produção
Y f X , X , X , ..., X )
Quantidade produzida
Depende ou é função
Quantidades utilizadas 
de insumos
Tecnologia da Produção
 Função de produção:
 Indica o maior nível de produção que
uma firma pode atingir para cada
possível combinação de insumos, dado o
estado da tecnologia
 Mostra o que é tecnicamente viável
quando a firma opera de forma eficiente
 A função de produção é puramente física
4
5
6
Tecnologia da Produção
 Considerando dois insumos (X1 e X2), a
função de produção seria:
Y f X , X )
 Considerando que os insumos sejam K e L,
a função de produção seria:
Q f K, L)
Q = Produto; K = Capital; L = Trabalho
Tipos de insumos
 Os insumos, que também são chamados
fatores de produção, são aqueles que a
empresa utiliza no processo produtivo
 Eles podem ser agrupados em diversas
categorias :
 Trabalho
 Matérias-primas
 Capital
Tipos de insumos
Os insumos podem ser classificados como:
 Insumos/fatores variáveis
 São aqueles que variam de acordo com a
quantidade produzida
 Eles geram custos variáveis para a empresa
 Insumos/fatores fixos
 São aqueles que não variam com a
quantidade produzida
 Eles geram custos fixos para a empresa
7
8
9
Prazos de produção
 Curto prazo
 Período de tempo no qual a quantidade de um
ou mais insumos não pode ser modificada
 No CP existem insumos fixos e variáveis, ou
seja, custos fixos e variáveis.
 Longo prazo
 Período de tempo necessário para tornar
todos os insumos variáveis
 No LP só existem insumos variáveis, ou seja,
só tem custos variáveis
Produção com um insumo variável
 Conhecido como modelo fator-produto
 Nesse modelo, somente um insumo varia,
com todos os demais mantidos fixos
 Significa que a única forma de a empresa
aumentar a produção é aumentando o
insumo variável
 Típico modelo de curto prazo
Produção com um insumo variável
Y f X /X , X , ..., X )
Quantidade produzida
Depende ou é função
Quantidade utilizada de 
X1, dado que os demais 
estão fixos
A função de produção seria:
Y f X ou Q f L
10
11
12
Produção com um insumo variável
 A relação fator-produto Y f X /X , ..., X )
mostra que a produção de Y depende de um
único fator variável (X1) que é combinado
com os demais fatores fixos (X2,..., Xn).
 Existem algumas formas que caracterizam a
relação entre o único fator variável e a
quantidade produzida.
 O que acontece com a produção na medida
em que aumenta o uso do fator variável?
Produção com um insumo variável
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6
Y
 (
P
ro
d
u
ç
ã
o
)
X (Trabalho)
Variação
Y 
Produção
X 
Trabalho
1001001
1002002
1003003
1004004
1005005
𝑑Y
𝑑X
0 e 
𝑑 Y
𝑑X
0
Retornos 
constantes
Produção com um insumo variável
0
200
400
600
800
1000
1200
0 1 2 3 4 5 6
Y
 (
P
ro
d
u
ç
ã
o
)
X (Trabalho)
Variação
Y 
Produção
X 
Trabalho
1001001
1502502
2004503
2507004
30010005
𝑑Y
𝑑X
0 e 
𝑑 Y
𝑑X
0
Retornos 
crescentes
13
14
15
Produção com um insumo variável
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6
Y
 (
P
ro
d
u
ç
ã
o
)
X (Trabalho)
Variação
Y 
Produção
X 
Trabalho
1001001
851852
652503
503004
203205
𝑑Y
𝑑X
0 e 
𝑑 Y
𝑑X
0
Retornos 
decrescentes
Produção com um insumo variável
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
Y
 (
P
ro
d
u
ç
ã
o
)
X (Trabalho)
Variação
Y 
Produção
X 
Trabalho
1001
-10902
-20703
-25454
-30155
𝑑Y
𝑑X
0 e 
𝑑 Y
𝑑X
0
Retornos 
negativos
Produção com um insumo variável
Y = f(X1)
X1
Y
0 A B
Crescente Decrescente Negativo
Constante
16
17
18
Produção com um insumo variável
Quando o uso de um insumo aumenta,
mantendo-se os demais insumos fixos, a partir
de dado momento, as quantidades adicionais
de produto obtidas tornam-se cada vez
menores
Lei dos rendimentos 
marginais decrescentes
Produção com um insumo variável
Produto Médio (PMe)
 O PMe é a produtividade média do fator
variável
 Dado pela razão entre a quantidade
produzida e a quantidade de fator variável
utilizada
𝐏𝐌𝐞
𝐘
𝐗𝟏
 𝐨𝐮 𝐏𝐌𝐞
𝐐
𝐋
Produção com um insumo variável
X1
Y
0 X1
Y
𝐏𝐌𝐞
𝐘
𝐗𝟏
O PMe é dado pela
inclinação da reta
que sai da origem
até o ponto na
função de produção
O PMe será máximo
quando essa linha
tangenciar a curva
de produção
PMe máximo
19
20
21
Produção com um insumo variável
𝐏𝐌𝐞
𝐘
𝐗𝟏
O PMe é dado pela
inclinação da reta
que sai da origem
até o ponto na
função de produção
O PMe será máximo
quando essa linha
tangenciar a curva
de produção
X1
Y PMe máximo
X1
PMe
PMe
Produção com um insumo variável
Produto Marginal (PMg)
 O PMg mede a variação na produção
causada pelo acréscimo de uma unidade
adicional do fator variável
 O PMg é a derivada da função no ponto de
produção
𝐏𝐌𝐠
𝐘
𝐗𝟏
𝒅𝐘
𝒅𝐗𝟏
 𝐨𝐮 𝐏𝐌𝐠
𝐐
𝐋
𝒅𝐐
𝒅𝐋
Produção com um insumo variável
X1
Y
0
𝐏𝐌𝐠
𝒅𝐘
𝒅𝐗𝟏
O PMg é dado pela
inclinação da reta
tangente ao ponto de
produção
O PMg será máximo no
ponto de inflexão da
função de produção
PMg máximo
O PMg será zero no
ponto de produção
máxima
PMg = 0
22
23
24
Produção com um insumo variável
𝐏𝐌𝐠
𝒅𝐘
𝒅𝐗𝟏
O PMg é dado pela
inclinação da reta
tangente ao ponto de
produção
O PMg será máximo no
ponto de inflexão da
função de produção
O PMg será zero no
ponto de produção
máxima
X1
Y
PMg máximo
X1
PMg
PMg
PMg = 0
Produção com um insumo variável
X1
Y
PMg máximo
X1
PMe
e 
PMg
PMg
Y máximo
PMe máximo
PMe
Produção com um insumo variável
X1
Y
PMg máximo
X1
PMe
e 
PMg
PMg
Y máximo
PMe máximo
PMe
25
26
27
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
Estágio I:
- PMg > 0 Produção crescente
- PMg > PMe PMe crescente
Limite I e II:
- PMg = PMe
- PMe máximo
Estágio II:
- PMg > 0 Produção crescente
- PMg < PMe PMe decrescente
Limite II e III:
- PMg = 0 Produção máxima
Estágio III:
- PMg < 0 Produção decrescente
- PMe decrescente
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
Estágio III é irracional, pois a adição
de insumo variável faz a produção
diminuir (PMg < 0)
Estágio I é irracional, pois tanto a
produção quanto a produtividade
estão crescendo, ou seja, não faz
sentido parar de adicionar o insumo
variável
Estágio II é racional
Decisão racional fica entre a
máxima produtividade (Limite I e II)
e a máxima produção (Limite II e III)
Onde ficar na função 
de produção?
28
29
30
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
A quantidade ótima de insumo
variável vai depender do preço
deste insumo (PX1), relativamente
aos preços dos outros insumos
fixos.
Se X1 for relativamente barato,
então é melhor utilizá-lo buscando a
máxima produção (Limite II e III)
Se X1 for relativamente caro, então
é melhor utilizá-lo buscando sua
máxima produtividade (Limite I e II).
Onde ficar na função 
de produção?
Produção com um insumo variável
A tomada de decisão para lucro máximo
Lucro = Receita Total – Custo Total
L = RT – CT
RT = Preço de venda x quantidade vendida
RT = PY Y
CT = Preçode compra x quantidade comprada
CT = PX1 X1
Produção com um insumo variável
L = PY Y – PX1 X1
Qual quantidade de X1 para obter lucro
máximo?
L
X1
0
Lucro máximo Para maximizar o lucro:
𝑑L
𝑑X
0
𝑑 L
𝑑X
0
31
32
33
Produção com um insumo variável
L = PY Y – PX1 X1
𝑑L
𝑑X
P
𝑑Y
𝑑X
P
𝑑X
𝑑X
0
P PMg P 0
P PMg P
𝑑 L
𝑑X
0 ⇒ P
𝑑PMg
𝑑X
0
Preço pago pelo fator deve
ser igual ao que ele traz de
retorno para a empresa
PMg deve ser
decrescente
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
Se PX1 for alto, então o PMgX1
também deve ser alto, ou seja, mais
próximo do Limite I e II
𝐏𝐘𝐏𝐌𝐠𝐗𝟏 𝐏𝐗𝟏
𝐏𝐘
𝒅𝐏𝐌𝐠𝐗𝟏
𝒅𝐗𝟏
𝟎
Se PX1 for baixo, então o PMgX1
pode ser mais baixo, ou seja, mais
próximo do Limite II e III
Elasticidade da produção (EY)
 A elasticidade da produção mede a variação 
percentual (%) na quantidade produzida de 
uma mercadoria que decorre de uma % no 
uso do fator variável, C.P.
 É dada por:
E
%Y
%X
Y
Y
X
X
Y
X
X
Y
34
35
36
Elasticidade da produção (EY)
 Pode-se calcular a elasticidade no ponto,
utilizando-se o conceito de derivada
E
%Y
%𝑋
𝑑Y
𝑑X
X
Y
PMg
E
%Y
%X
PMg
PMe
1/PMe
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
Estágio I:
- PMg > PMe EY > 1
Limite I e II:
- PMg = Pme EY = 1
Estágio II:
- PMg < PMe 0 < EY < 1
Limite II e III:
- PMg = 0 EY = 0
Estágio III:
- PMg < 0 EY < 0
E
%Y
%X
PMg
PMe
Produção com um insumo variável
Dada a função de produção:
Y
5
6
X 21X 9,4X
PMe
Y
X
5
6
X 21X 9,4
PMg
𝑑Y
𝑑X
15
6
X 42X 9,4
37
38
39
Produção com um insumo variável
Qual valor de X que maximiza o PMg?
PMg
𝑑Y
𝑑X
15
6
X 42X 9,4
𝑑PMg
𝑑X
30
6
X 42 0
X 8,4
Y 1066,8
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
8,4
1066,8
Produção com um insumo variável
Qual valor de X que maximiza o PMe?
PMe
Y
X
5
6
X 21X 9,4
𝑑PMe
𝑑X
10
6
X 21 0
X 12,6
Y 1785,4
40
41
42
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
8,4
1066,8
1785,4
12,6
Produção com um insumo variável
Qual valor de X que maximiza a produção?
Y
5
6
X 21X 9,4X
𝑑Y
𝑑X
15
6
X 42X 9,4 0
∆ 42 4
15
6
9,4 1858 → ∆ 43,1
Produção com um insumo variável
Qual valor de X que maximiza a produção?
15
6
X 42X 9,4 0
∆ 43,1
X 0,2 e X 17,02
Y 2134,6
43
44
45
Produção com um insumo variável
X1
Y
I
X1
PMe
e 
PMg
PMg
IIIII
PMe
8,4
1066,8
1785,4
12,6
2134,6
17
Lucro máximo vai
ocorrer com uso de
X1 entre 12,6 e 17
unidades
Vai depender dos
preços de Y e de X1
𝐏𝐘𝐏𝐌𝐠𝐗𝟏 𝐏𝐗𝟏
𝐏𝐌𝐠𝐗𝟏
𝐏𝐗𝟏
𝐏𝐘
Produção com um insumo variável
Lei dos rendimentos marginais decrescentes
Quando o uso de um insumo aumenta,
mantendo-se os demais insumos fixos, a partir
de dado momento, as quantidades adicionais
de produto obtidas tornam-se cada vez
menores
Isso ocorre devido a existência de um PMg
positivo, mas decrescente
Estágio racional é caracterizado por retornos
decrescentes
Efeito da Inovação Tecnológica
X1
Y
X1
A produtividade do fator
variável aumenta quando
ocorrem melhoramentos
tecnológicos.
Mesmo que ocorram
retornos decrescentes no
processo produtivo.
46
47
48
Produção com dois insumos variáveis
 Conhecido como modelo fator-fator
 Nesse modelo, a produção é obtida pela
combinação dos insumos variáveis
 Há possibilidade de substituir um insumo
pelo outro para atingir determinado nível de
produção
 Modelo de longo prazo
Y f X , X )
Quantidade produzida
Depende ou é função
Quantidades utilizadas de 
X1 e X2
A função de produção seria:
Y f X , X ou Q f L, K
Produção com dois insumos variáveis
Produção com dois insumos variáveis
 Escolha da quantidade de insumos a utilizar
é similar ao modelo sobre comportamento
do consumidor
 Tecnologia de produção
 Restrições de custo
 Escolha de insumos
49
50
51
Produção com dois insumos variáveis
 Tecnologia da produção baseada em
isoquantas
 Isoquantas são curvas que representam
todas as possíveis combinações de insumos
que geram a mesma quantidade de produto
 Isso significa que várias combinações de
insumos podem produzir a mesma
quantidade de produto
Produção com dois insumos variáveis
Trabalho (X1)
54321
75655540201
C
ap
ita
l (
X
2) 90857560402
1051009075553
11511010085654
12011510590755
L (X1)
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
Isoquanta 
Q = 75
K (X2)
Trabalho (X1)
54321
75655540201
C
a
p
ita
l (
X
2
)
90857560402
1051009075553
11511010085654
12011510590755
Produção com dois insumos variáveis
52
53
54
X1 (L)
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
Q1 = 55
Q2 = 75
Q3 = 90
X2 (K)
Produção com dois insumos variáveis
Trabalho (X1)
54321
75655540201
C
a
p
ita
l (
X
2
)
90857560402
1051009075553
11511010085654
12011510590755
Mapa de 
isoquantas
X1 (L)
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
Q1 = 55
Q2 = 75
Q3 = 90
X2 (K)
Produção com dois insumos variáveis
Trabalho (X1)
54321
75655540201
C
a
p
ita
l (
X
2
)
90857560402
1051009075553
11511010085654
12011510590755
Para uma mesma
quantidade de L, o
aumento de K aumenta
a produção
Para uma mesma
quantidade de K, o
aumento de L aumenta
a produção
Produção com dois insumos variáveis
 Para um mesmo nível de K, o produto
aumenta quando L aumenta
 Para um mesmo nível de L, o produto
aumenta quando K aumenta
PMgL > 0
PMgK > 0
55
56
57
Produção com dois insumos variáveis
Características das isoquantas
1. Têm inclinação negativa, pois os produtos
marginais dos dois fatores são positivos
𝒅𝐊
𝒅𝐋
𝟎
Ao longo de uma isoquanta,
o aumento de L reduz a
quantidade de K necessária
para manter o mesmo nível
de produção
Produção com dois insumos variáveis
2. São convexas em relação à origem, pois os
produtos marginais dos dois fatores são
decrescentes
O aumento no uso de um fator, C.P., faz com
que a produção aumente, porém em ritmos
decrescentes
Taxa de substituição de um fator pelo outro
não é constante
Produção com dois insumos variáveis
Taxa marginal de substituição técnica (TMST)
 A TMST mede a quantidade de um fator que
pode ser substituída pelo outro, mantendo o
mesmo nível de produção
 É a inclinação de uma isoquanta
TMST
K
L
TMST
X
X
58
59
60
1 2 3 4 5
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
Para um mesmo nível de
produção, na medida que
acrescenta L, pode-se reduzir a
quantidade de K a ser substituída
 L   PMgL
 K   PMgK
Produtos marginais 
são decrescentes
A TMST diminui com
o acréscimo de L
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
A
B
-K
L
• Suponha um movimento na
isoquanta de A para B
• O aumento no uso de
trabalho (L) irá aumentar a
produção
• A redução no uso de capital
(-K) irá diminuir a produção
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
A
B
-K
L
• Aumento na produção
devido ao aumento no uso
de L:
Y = L x PMgL
• Redução na produção
devido à redução no uso
de K:
-Y = -K x PMgK
61
62
63
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
A
B
-K
L
Ao longo de uma mesma
isoquanta, a produção não varia,
ou seja:
L x PMgL = –K x PMgK
K
L
PMg
PMg
𝐓𝐌𝐒𝐓 
𝐏𝐌𝐠𝐋
𝐏𝐌𝐠𝐊
Produção com dois insumos variáveis
 Para obter uma isoquanta a partir de uma
função de produção, basta atribuir um valor
constante para um determinado nível de
produção.
 Suponha a seguinte função de produção:
 Q = KL
 Para um nível de produção Q = 10
 10 = KL K = 10/L
1 2 3 4 5
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
K = 10/L
Q = 10
ProduçãoCapital (X2)Trabalho (X1)
10101
1052
103,33
102,54
1025
10
5
3,3
2,5
2
64
65
66
Produção com dois insumos variáveis
Examinado em três etapas:
 Tecnologia de produção: como a
produção pode ser obtida pela
combinação de fatores
 Restrições de custo
 Escolha de insumos
Produção com dois insumos variáveis
 A restrição de custo impõe limites ao
empresário, tendo em vista os preços que
ele tem que pagar pelos insumose a
quantidade de recursos que dispõe para
gastar.
 Uma isocusto mostra todas as combinações
de fatores (capital e trabalho) que podem ser
adquiridas por determinado custo total.
Produção com dois insumos variáveis
 Considere:
CT = custo total
 L = quantidade adquirida de trabalho
 K = quantidade adquirida de capital
 PL = preço do trabalho (salário – w)
 PK = preço do capital (juros – r)
 Logo, (PL x L) é o custo do fator trabalho e
(PK x K) é o custo do capital.
67
68
69
 O custo total será:
 CT = PLL + PKK ou CT = wL + rK
 PKK = CT – PLL
 A linha de isocusto é dada por:
𝐊
𝐂𝐓
𝐏𝐊
𝐏𝐋
𝐏𝐊
𝐋
Intercepto Inclinação
Produção com dois insumos variáveis
𝐂𝐓
𝐏𝐊
𝐂𝐓
𝐏𝐋
𝐏𝐋
𝐏𝐊
A relação de preços mede a
taxa imposta pelo mercado, isto
é, a taxa que o empresário
pode substituir um fator pelo
outro, mantendo o mesmo CT
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
K
CT
P
P
P
L
𝐂𝐓
𝐏𝐊
𝐂𝐓
𝐏𝐋
𝐏𝐋
𝐏𝐊
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
• O intercepto vertical (CT/PK) indica a
quantidade máxima de K que pode ser
adquirida.
• O intercepto horizontal (CT/PL) indica a
quantidade máxima de L que pode ser
adquirida.
• A inclinação indica a taxa que pode
substituir um fator pela outro sem alterar
o custo de produção (CT)
70
71
72
• Variações no CT deslocam
paralelamente a isocusto.
• Aumento no CT proporciona aumento
na capacidade de compra da empresa.
• Redução no CT diminui a capacidade
de compra da empresa.
Modificações no CT
Produção com dois insumos variáveis
𝐂𝐓
𝐏𝐊
𝐂𝐓
𝐏𝐋
𝐏𝐋
𝐏𝐊
X1 (L)
X2 (K)
• Variações nos preços alteram a
inclinação da isocusto.
• Redução de PL desloca o intercepto
horizontal para a direita.
• Aumento de PL desloca o intercepto
horizontal para a esquerda.
Modificações nos preços
Produção com dois insumos variáveis
𝐂𝐓
𝐏𝐊
𝐂𝐓
𝐏𝐋
𝐏𝐋
𝐏𝐊
X1 (L)
X2 (K)
Produção com dois insumos variáveis
Examinado em três etapas:
 Tecnologia de produção: como a
produção pode ser obtida pela
combinação de fatores
 Restrições de custo: impõe limites na
produção
 Escolha de insumos
73
74
75
 Empresário faz escolhas de forma racional,
ou seja, busca maximizar sua produção,
dada sua restrição de custos
 As quantidades ótimas de fatores deve
satisfazer duas condições:
1. Utilizar uma tecnologia de produção,
definida pelo mapa de isoquantas
2. Respeitar a quantidade de recursos que
dispõe para gastar, definida pela isocusto
Produção com dois insumos variáveis
 A inclinação da isoquanta é dada por:
 A inclinação da iscocusto é dada por:
TMST
∆K
∆L
PMg
PMg
Inclinação iscocusto
P
P
Produção com dois insumos variáveis
Q1
B
• Nos pontos B e C, a inclinação da
isoquanta é diferente da inclinação da
isocusto:
∆K
∆L
P
P
• O empresário está na linha de isocusto,
mas não maximiza a produção
C
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
76
77
78
• A produção Q3 não pode ser feita, dada
a restrição de custos
Q3
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
A
• No ponto A, a inclinação da isoquanta é
igual à inclinação da isocusto
∆K
∆L
P
P
• O empresário está respeitando a
restrição de custos e está maximizando
a produção da empresa
Q2
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
 No ponto de maximização de lucro, as
inclinações da isoquanta e da isocusto são
iguais:
 Porém, a TMST é dada por:
TMST
∆K
∆L
P
P
TMST
PMg
PMg
Produção com dois insumos variáveis
79
80
81
 No ponto de maximização de lucro:
 A maximização de lucro ocorre quando o
produto marginal por unidade monetária
gasta seja o mesmo para todos os fatores
PMg
PMg
P
P
PMg
P
PMg
P
Remunerar os fatores de acordo
com sua produtividade marginal
Produção com dois insumos variáveis
Q1
B
No pontos B, a inclinação da isoquanta é
maior que a inclinação da isocusto:
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
PMg
PMg
P
P
PMg
P
PMg
P
Empresário deve aumentar o uso de L e
reduzir o uso de K
Q1
No pontos C, a inclinação da isoquanta é
menor que a inclinação da isocusto:
C
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
PMg
PMg
P
P
PMg
P
PMg
P
Empresário deve aumentar o uso de K e
reduzir o uso de L
82
83
84
A
No ponto A, a inclinação da isoquanta é
igual à inclinação da isocusto
U2
Produção com dois insumos variáveis
X1 (L)
X2 (K)
PMg
PMg
P
P
PMg
P
PMg
P
Empresário está utilizando K e L em
quantidades ótimas, maximizando o lucro
 Resumindo, o ponto de lucro máximo ocorre
quando:
CT P L P K
Produção com dois insumos variáveis
PMg
P
PMg
P
Rendimento de escala
 Taxa de crescimento da produção na medida
em que todos os insumos crescem
proporcionalmente
 Se multiplicar todos os fatores por uma
constante “λ”, o que acontecerá com a
produção?
Rendimento de escala
85
86
87
Produção cresce na
mesma proporção que os
aumentos nos insumos
Rendimento de escala
X1 (L)
X2 (K)
10
20
30
155 10
2
4
0
6
Rendimentos constantes 
de escala
Tamanho da empresa
não afeta a produtividade
dos fatores
Rendimento de escala
X1 (L)
X2 (K)
0
10
20
30
5 10
2
4
3
7,5
Produção cresce em
proporções maiores que
os aumentos nos
insumos
Rendimentos crescentes 
de escala
Crescimento da empresa
aumenta a produtividade
dos fatores
Rendimento de escala
X1 (L)
X2 (K)
10
15
20
5 10
2
4
0 20
8
Produção cresce em
proporções menores que
os aumentos nos
insumos
Rendimentos 
decrescentes de escala
Crescimento da empresa
diminui a produtividade
dos fatores
88
89
90
Considere a função de produção Q = f(L,K).
Para uma constante λ > 0:
 Se f(λL,λK) = λf(L,K)  retornos constantes de
escala
 Se f(λL,λK) > λf(L,K)  retornos crescentes de
escala
 Se f(λL,λK) < λf(L,K)  retornos decrescentes
de escala
Rendimento de escala
Exemplo 1: Q = LK2
Multiplicando L e K por uma constante λ:
(λL)(λK)2
λLλ2K2
λ3(LK2)
Multiplicando todos fatores por λ, a produção
cresce λ3
Rendimento de escala
Q
Rendimentos crescentes 
de escala
Exemplo 2: Q = 5L+10K
Multiplicando L e K por uma constante λ:
5(λL)+10(λK)
5λL+10λK
λ (5L+10K)
Multiplicando todos fatores por λ, a produção
cresce λ
Rendimento de escala
Q
Rendimentos constantes 
de escala
91
92
93
Exemplo 3: Q = 10L0,2K0,6
Multiplicando L e K por uma constante λ:
10(λL)0,2(λK)0,6
10λ0,2L0,2 λ0,6K0,6
λ0,8(10L0,2K0,6)
Multiplicando todos fatores por λ, a produção
cresce λ0,8
Rendimento de escala
Q
Rendimentos 
decrescentes de escala
Exemplo 4: Q = 10L0,6K0,6
Multiplicando L e K por uma constante λ:
10(λL)0,6(λK)0,6
10λ0,6L0,6 λ0,6K0,6
λ1,2(10L0,6K0,6)
Multiplicando todos fatores por λ, a produção
cresce λ1,2
Rendimento de escala
Q
Rendimentos crescentes 
de escala
Exemplo 5: Q = 10L0,4K0,6
Multiplicando L e K por uma constante λ:
10(λL)0,4(λK)0,6
10λ0,4L0,4 λ0,6K0,6
λ(10L0,4K0,6)
Multiplicando todos fatores por λ, a produção
cresce λ
Rendimento de escala
Q
Rendimentos constantes 
de escala
94
95
96
Q = 10L0,2K0,6  Rendimentos decrescentes
Q = 10L0,6K0,6  Rendimentos crescentes
Q = 10L0,4K0,6  Rendimentos constantes
O que se pode dizer sobre o rendimento de
escala em uma função do tipo:
Q = αLβ1Kβ2
Rendimento de escala
Cobb-Douglas
Na função Cobb-Douglas
Q = αLβ1Kβ2
Se ∑ βi = 1 Retornos constantes
Se ∑ βi > 1 Retornos crescentes
Se ∑ βi < 1 Retornos decrescentes
Rendimento de escala
Elasticidade de substituição (EK,L)
 A elasticidade de substituição mede a
possibilidade de substituir um fator por outro,
sem alterar a quantidade produzida
 Mede a variação percentual (%) na
quantidade de um fator (K) que pode ser
substituída em função de uma % no outro
fator (L), mantendo a produção constante
 Movimento que ocorre ao longo de uma
mesma isoquanta
97
98
99
Elasticidade de substituição (EK,L)
 A elasticidade de substituição é dada por:
E ,
%K
%L
K
K
L
L
K
L
L
K
Elasticidade de substituição (EK,L)
 Pode-se calcular a elasticidade no ponto,
utilizando-se oconceito de derivada
E ,
%K
%L
𝑑K
𝑑L
L
K
- TMST
TMST
𝑑K
𝑑L
PMg
PMg
Elasticidade de substituição (EK,L)
 A elasticidade de substituição será:
E ,
%K
%L
𝑑K
𝑑L
L
K
E ,
PMg
PMg
L
K
𝐓𝐌𝐒𝐓
𝐏𝐌𝐠𝐋
𝐏𝐌𝐠𝐊
𝒅𝐊
𝒅𝐋
100
101
102
Elasticidade de substituição (EK,L)
Na função Cobb-Douglas Q = αLβ1Kβ2
E ,
PMg
PMg
L
K
PMg
𝑑Q
𝑑L
β1αL K
PMg
𝑑Q
𝑑K
β2αL K
Elasticidade de substituição (EK,L)
Na função Cobb-Douglas Q = αLβ1Kβ2
E ,
PMg
PMg
L
K
PMg β1αL K e PMg β2αL K
E ,
β1αL K
β2αL K
L
K
β1αK K
β2αL L
L
K
Elasticidade de substituição (EK,L)
E ,
PMg
PMg
L
K
E ,
β1αK K
β2αL L
L
K
E ,
β1
β2
K
L
103
104
105
Elasticidade da produção (EY)
 A elasticidade de produção é dada por
E
%Y
%𝑋
𝑑Y
𝑑X
X
Y
PMg
E
%Y
%X
PMg
PMe
1/PMe
Elasticidade da produção (EY)
Na função Cobb-Douglas Q = αLβ1Kβ2
E ;
PMg
PMe
 e E ;
PMg
PMe
PMg
𝑑Q
𝑑L
β1αL K
PMe
Q
L
αL K
E ; β1
Elasticidade da produção (EY)
Na função Cobb-Douglas Q = αLβ1Kβ2
E ;
PMg
PMe
 e E ;
PMg
PMe
PMg
𝑑Q
𝑑K
β2αL K
PMe
Q
K
αL K
E ; β2
106
107
108
Função Cobb-Douglas
Para estimar uma função Cobb-Douglas, é
preciso “linearizar” a função, utilizando-se
logaritmos:
Q = αLβ1Kβ2
Log(Q) = log(α) + β1 log(L) + β2 log(K)
A estimativa pode ser feita por Mínimos
Quadrados Ordinários (MQO) e fornecerá os
valores dos parâmetros α, β1 e β2
Função Cobb-Douglas
Resumindo:
Q = αLβ1Kβ2
1. Rendimento de escala
Se ∑ βi = 1 Retornos constantes
Se ∑ βi > 1 Retornos crescentes
Se ∑ βi < 1 Retornos decrescentes
Função Cobb-Douglas
Q = αLβ1Kβ2
2. Elasticidade de substituição (EK,L)
E ,
β1
β2
3. Elasticidade de produção (EY)
E ; β1 e E ; β2
109
110
111
Função Cobb-Douglas
Exemplo com dados de produção de leite:
Q = 3L0,3K0,8
1. Rendimento de escala
∑ βi = 0,3 + 0,8 = 1,1 Retornos crescentes
Se aumentar L e K em 10%, isto é, λ = 1,1, a
produção vai aumentar 101,1% (12,6%)
Função Cobb-Douglas
Exemplo com dados de produção de leite:
Q = 3L0,3K0,8
2. Elasticidade de substituição (EK,L)
E ,
β1
β2
0,3
0,8
0,375
O aumento de 10% no uso de trabalho pode
ser acompanhado pela redução de 3,75% de
capital, mantendo a produção constante
Função Cobb-Douglas
Exemplo com dados de produção de leite:
Q = 3L0,3K0,8
3. Elasticidade de produção (EY)
E ; β1 0,3 e E ; β2 0,8
O aumento de 10% no trabalho, CP, aumenta
a produção em 3%
O aumento de 10% no capital, CP, aumenta a
produção em 8%
112
113
114
Maximização da produção
Considere:
Função de produção: Q = f(L, K)
Q é a quantidade produzida
L e K são fatores de produção
PL e PK são os preços dos fatores
CT é o custo total CT = PLL + PKK
Maximização da produção
O problema de maximização da produção:
Max Q = f(L, K)
Sujeito a CT* = PLL + PKK
Problema PRIMAL
*Neste problema, o CT é dado (restrição)
A função de Lagrange será:
L = Q + λ(CT – PLL – PKK)
Maximização da produção
LA = Q + λ(CT – PLL – PKK)
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐿
𝑑𝑄
𝑑𝐿
𝜆𝑃 0 ⇒ 𝜆
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐾
𝑑𝑄
𝑑𝐾
𝜆𝑃 0 ⇒ 𝜆
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝜆
𝐶𝑇 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 0
PMgL
PMgK
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝐶𝑇 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾
115
116
117
Minimização do gasto
O problema de minimização do gasto será:
Min CT = PLL + PKK
Sujeito a Q* = f(L, K)
Problema DUAL
*Neste problema, produção é dada (restrição)
A função de Lagrange será:
L = PLL + PKK + µ[Q* – f(L, K)]
Minimização do gasto
LA = PKK + PLL + µ[Q* – f(L, K)]
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐿
𝑃 𝜇
𝑑𝑄
𝑑𝐿
0 ⇒ 𝜇
𝑃
𝑃𝑀𝑔
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐾
𝑃 𝜇
𝑑𝑄
𝑑𝐾
0 ⇒ 𝜇
𝑃
𝑃𝑀𝑔
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝜇
𝑄 𝑓 𝐿, 𝐾 0
PMgL
PMgK
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝑃𝑀𝑔
𝑃
𝑄 𝑓 𝐾, 𝐿
Exemplo: maximizar a produção
Considere os seguintes dados:
Função de produção: Q = 500L0,8K0,6
Preços: PL = 20 e PK = 60
Gasto máximo possível: CT = 70.000
Quais as quantidades de L e K que o
empresário irá adquirir, respeitando a
quantidade de recurso que tem para gastar?
Qual a máxima produção que consegue obter?
118
119
120
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e CT = 70.000
Quanto será utilizado de L e K? Qual a produção máxima?
A restrição de custos será:
CT = PLL + PKK  70000 = 20L + 60K
O Problema de maximização será:
MAX 500L0,8K0,6
Sujeito a: 70000 = 20L + 60K
A função de Lagrange será:
LA = 500L0,8K0,6 + λ(70000 – 20L – 60K)
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e CT = 70.000
Quanto será utilizado de L e K? Qual a produção máxima?
LA = 500L0,8K0,6 + λ(70000 – 20L – 60K)
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐿
400𝐿 , 𝐾 , 20𝜆 0 ⇒ 𝜆
400𝐿 , 𝐾 ,
20
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐾
300𝐿 , 𝐾 , 60𝜆 0 ⇒ 𝜆
300𝐿 , 𝐾 ,
60
400𝐿 , 𝐾 ,
20
300𝐿 , 𝐾 ,
60
 ⇒ 4𝐾 𝐿 1
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e CT = 70.000
Quanto será utilizado de L e K? Qual a produção máxima?
LA = 500L0,8K0,6 + λ(70000 – 20L – 60K)
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝜆
70000 20𝐿 60𝐾 0 
70000 20𝐿 60𝐾 2
Substituindo (1) em (2)
70000 = 20(4K) + 60K  K = 500
L = 4(500)  L = 2000
Q = 500 x 20000,8 x 5000,6  Y = 9.102.821
121
122
123
Exemplo: minimizar o gasto
Considere os seguintes dados:
Função de produção: Q = 500L0,8K0,6
Preços: PL = 20 e PK = 60
Produção necessária: Q = 9.102.821
Quais as quantidades de L e K que o
empresário irá adquirir para alcançar a
produção necessária?
Qual o gasto mínimo para obter essa
produção?
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e Q = 9.102.821
Quanto será utilizado de L e K? Qual o gasto mínimo?
A função de produção será:
9.102.821 = 500L0,8K0,6
O Problema de minimização será:
MIN 20L + 60K
Sujeito a: 9.102.821 = 500L0,8K0,6
A função de Lagrange será:
LA = 20L + 60K + µ(9.102.821 – 500L0,8K0,6)
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e Q = 9.102.821
Quanto será utilizado de L e K? Qual o gasto mínimo?
LA = 20L + 60K + µ(9.102.821 – 500L0,8K0,6)
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐿
20 400𝜇𝐿 , 𝐾 , 0 ⇒ 𝜇
20
400𝐿 , 𝐾 ,
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝐾
60 300𝜇𝐿 , 𝐾 , 0 ⇒ 𝜇
60
300𝐿 , 𝐾 ,
20
400𝐿 , 𝐾 ,
60
300𝐿 , 𝐾 ,
 ⇒ 4𝐾 𝐿 1
124
125
126
Q = 500L0,8K0,6
PL = 20, PK = 60 e Q = 9.102.821
Quanto será utilizado de L e K? Qual o gasto mínimo?
LA = 20L + 60K + µ(9.102.821 – 500L0,8K0,6)
𝑑𝐿𝐴
𝑑𝜇
9.102.821 500𝐿 , 𝐾 , 0 
9.102.821 500𝐿 , 𝐾 , 2
Substituindo (1) em (2)
9.102.821 500 4𝐾 , 𝐾 ,  K = 500
L = 4(500)  L = 2000
CT = (2000 x 20) + (500 x 60)  CT = 70.000
127