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FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias 
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha 
Profª Taniele Loss Nesi 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Iniciaremos esta aula conversando sobre os quadriláteros notáveis. 
Estudaremos também polígonos regulares, circunferência, perímetro e área de 
figuras planas. 
TEMA 1 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
Já sabemos que um polígono com quatro lados é denominado 
quadrilátero. Todo quadrilátero tem duas diagonais e a soma dos seus ângulos 
internos é igual a 360°. Os quadriláteros notáveis são convexos e têm pelo 
menos dois lados paralelos, são eles: 
1.1 Trapézios 
Os trapézios são considerados quadriláteros convexos e podem ser 
divididos em escaleno, isósceles e retângulo. 
 1.1.1 Trapézio escaleno 
O trapézio escaleno tem um par de lados paralelos (denominados base) 
e o outro par de lados diferentes um do outro. 
 
 
1.1.2 Trapézio isósceles 
O trapézio isósceles também tem um par de lados paralelos (bases) e o 
outro par tem lados congruentes entre si. Nele, os ângulos de cada base são 
congruentes entre si e suas diagonais também são congruentes. 
 
 
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1.1.3 Trapézio retângulo 
O trapézio retângulo também tem um par de lados paralelos (bases) e um 
dos outros lados é perpendicular a essa base. 
 
1.2 Paralelogramo 
O paralelogramo é um quadrilátero convexo com dois pares de lados 
opostos que são paralelos e congruentes. Os ângulos internos dele, que são 
opostos, são congruentes. A soma dos ângulos adjacentes do paralelogramo é 
igual a 180°, ou seja, são suplementares. As diagonais do paralelogramo se 
interceptam no ponto denominado ponto médio. 
 
1.3 Retângulo 
O retângulo também é um quadrilátero convexo que tem dois pares de 
lados paralelos, assim como o paralelogramo e, todos os ângulos internos de um 
retângulo medem 90º. As diagonais do retângulo são congruentes. 
 
 
 
 
 α β α ≡ β e θ ≡ φ 
 
 θ φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A ≡ B e C ≡ D 
 Θ ≡ β e α ≡ φ 
 α + β = 180° e α + θ = 180° 
 β + φ = 180° e φ + θ = 180° 
 
 
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1.4 Losango 
O losango também é um quadrilátero convexo. Ele tem todos os lados 
com o mesmo comprimento e dois pares de lados paralelos. Por este, motivo ele 
também pode ser considerado um paralelogramo. As diagonais do 
paralelogramo são perpendiculares e dividem a figura em quatro triângulos 
retângulos congruentes. 
 
1.5 Quadrado 
O quadrado, além de ser um quadrilátero convexo, tem dois pares de 
lados paralelos, todos os lados com comprimentos iguais e todos os seus 
ângulos internos medem 90º. 
 
 
 
 
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TEMA 2 – POLÍGONOS REGULARES 
O polígono que tem todos os seus lados com a mesma medida é um 
polígono equilátero. E todo polígono que apresenta todos os seus ângulos 
congruentes é denominado equiângulo. 
Um polígono convexo equilátero e equiângulo é denominado polígono 
regular. Veja alguns exemplos: 
 
Cada polígono regular tem o número de lados igual ao número de vértices 
e ao número de ângulos. Para calcular o valor dos ângulos internos de um 
polígono regular, é preciso observar o número de lados que ele tem e utilizar a 
seguinte fórmula: 
 =
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏° . (𝒏𝒏 − 𝟐𝟐)
𝒏𝒏
 
Consideramos 𝒏𝒏 o número de lados do polígono e â o valor do ângulo 
interno. Para calcular o ângulo externo de um polígono regular, utilizamos outra 
fórmula: 
Ê =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏°
𝒏𝒏
 
Consideramos ê o valor do ângulo externo desse ângulo. 
 
A soma de cada ângulo interno com o seu adjacente externo é igual a 
180°, ou seja, eles são ângulos suplementares. Podemos escrever essa soma 
da seguinte maneira: 
 
 
6 
 + Ê = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏° 
Ao traçar as diagonais de um polígono regular que tem um número ímpar 
de lados, nenhuma delas passará pelo centro deste polígono. 
Quando um polígono regular tem um número par de lados, o número de 
diagonais que passa pelo centro é dada pela fração 𝒏𝒏
𝟐𝟐
 , para a qual 𝒏𝒏 é o número 
de lados deste polígono. 
TEMA 3 – CIRCUNFERÊNCIA – CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA E CIRCUNSCRITA 
A POLÍGONOS REGULARES 
Se cada vértice de um polígono regular dado faz parte de uma única 
circunferência, dizemos que este polígono é inscrito a ela ou, ainda, que essa 
circunferência é circunscrita ao polígono dado. 
 
O centro de polígono regular inscrito em uma circunferência é também o 
centro da circunferência dada. Ao traçar o ângulo central, podemos calcular a 
sua medida pela mesma fórmula utilizada para calcular o ângulo externo deste 
polígono regular, ou seja: 
Â𝒄𝒄 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏°
𝒏𝒏
 
 
 
 
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Ao traçar um segmento de reta com origem no centro do polígono regular 
de maneira que ela forme um ângulo de 90° a um dos lados deste polígono, 
estamos traçando seu apótema. 
 
3.1 Polígono circunscrito e circunferência inscrita 
Existe uma circunferência inscrita em cada polígono regular, ou seja, cada 
polígono regular é circunscrito a uma única circunferência. 
 
O centro do polígono regular circunscrito a uma circunferência é também 
o centro da circunferência dada. Sendo assim, as circunferências inscritas e 
circunscritas a um polígono regular dado são concêntricas. 
Os lados do polígono regular são tangentes à circunferência inscrita a ele. 
O apótema coincide com o raio da circunferência inscrita em um polígono 
regular, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
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TEMA 4 – PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS 
O perímetro é a medida do comprimento das somas dos lados de um 
polígono, ou seja, é a medida do comprimento do contorno de uma figura plana. 
TEMA 5 – ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
As figuras planas têm lados que podemos chamar de limites. Sendo 
assim, podemos pontuar que a área de uma figura plana é o tamanho da região 
interna dessa figura, sou seja, o tamanho limitado pelos seus lados. 
A área de uma região limitada é sempre um número real positivo. 
Vamos, abaixo, indicar a fórmula para calcular a área de algumas figuras 
planas: 
5.1 Área do quadrado 
𝑨𝑨𝒒𝒒 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 . 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 
 
5.2 Área do retângulo 
 
𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝒄𝒄𝒍𝒍𝒄𝒄𝒄𝒄𝒓𝒓𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒏𝒏𝒄𝒄𝒍𝒍 .𝒍𝒍𝒍𝒍𝒄𝒄𝒂𝒂𝒓𝒓𝒍𝒍 
 
 
 
 
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5.3 Área do paralelogramo 
𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝒃𝒃𝒍𝒍𝒃𝒃𝒄𝒄 .𝒍𝒍𝒍𝒍𝒄𝒄𝒂𝒂𝒓𝒓𝒍𝒍 
 
5.4 Área do triângulo 
 𝑨𝑨𝒄𝒄 =
𝒃𝒃𝒍𝒍𝒃𝒃𝒄𝒄 .𝒍𝒍𝒍𝒍𝒄𝒄𝒂𝒂𝒓𝒓𝒍𝒍
𝟐𝟐
 
 
5.5 Área do trapézio 
 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄 =
(𝒃𝒃𝒍𝒍𝒃𝒃𝒄𝒄 𝒍𝒍 + 𝒃𝒃𝒍𝒍𝒃𝒃𝒄𝒄 𝒃𝒃).𝒉𝒉
𝟐𝟐
 
 
 
 
 
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5.6 Área do losango 
 𝑨𝑨𝒍𝒍 =
𝒍𝒍𝟏𝟏+𝒍𝒍𝟐𝟐
𝟐𝟐
 
 
5.7 Área do círculo 
𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 . 𝒓𝒓𝟐𝟐 
Com π valendo aproximadamente 3,14. 
 
Observação: o perímetro do círculo é compreendido como o comprimento 
da circunferência e é representado pela seguinte fórmula: 
 
𝑪𝑪 = 𝟐𝟐 .𝝅𝝅 . 𝒓𝒓 
 
Sendo c o comprimento da circunferência e r, o raio. 
 
 
 
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NA PRÁTICA 
Uma lata de leite condensado tem 8 cm de altura e 6 cm de diâmetro, 
conforme a figura a seguir. Como a base dessa lata corresponde a um círculo, 
calcule a área dele. Considere 𝝅𝝅 = 3,14. 
 
 
 
Solução: 
Como o diâmetro do círculo vale 6 cm, logo, seu raio mede 3 cm. 
Aplicando a fórmula da área do círculo, temos: 
𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 . 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 .𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 .𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄² 
Portanto, a área do círculo da base dalata de leite condensado mede 
28,26 cm². 
FINALIZANDO 
Nesta aula, você se aprofundou nos quadriláteros notáveis. Também 
estudou polígonos regulares, circunferência, perímetro e área de figuras planas. 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. 
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Geometria Plana – Volume 9. São Paulo: Atual 
Editora, 1993. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar) 
_____. Geometria Espacial – Volume 10. São Paulo: Atual Editora, 1993. 
(Coleção Fundamentos de Matemática Elementar) 
IEZZI, G. Trigonometria – Volume 3. São Paulo: Atual Editora, 1993. (Coleção 
Fundamentos de Matemática Elementar) 
_____; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Logaritmos – Volume 2. São Paulo: Atual 
Editora, 1993. (Coleção Fundamentos de Matemática Elementar) 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e Trigonometria. 
Curitiba: Editora InterSaberes, 2014. 
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: Editora InterSaberes, 2015. 
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
Aplicada. Curitiba: Editora InterSaberes, 2013. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016.