FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA AULA 2

Prévia do material em texto

10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias
Profª Denise Terezinha Marques Wolski
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/12
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Profª Taniele Loss Nesi
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
CONVERSA INICIAL
Nesta aula vamos conversar sobre potenciação e propriedades, equações e inequações
exponenciais. Estudaremos também logaritmos, suas propriedades e equações logarítmicas.
TEMA 1 – POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES
A potenciação também pode ser chamada de exponenciação, e é a representação da
multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo, ou seja, é a multiplicação de fatores iguais.
É possível escrever a definição de potenciação da seguinte maneira: Seja o número 
 pertencente ao conjunto dos números reais e o número  pertencente ao conjunto dos números
naturais, tal que  elevado a  é igual ao número  multiplicado por ele mesmo  vezes:
Chamamos o número , que é o número multiplicado por ele mesmo, de base. Chamamos o
número , que é o número de vezes que a base é multiplicada,   de expoente. O resultado da
multiplicação será a potência.
1.1 PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO
Produto de potências de bases iguais:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/12
Essa propriedade indica que quando temos a multiplicação de potências com a mesma base,
deve-se manter a base e somar os expoentes.
Potência de uma potência:
Essa propriedade indica que, quando temos a potência de uma potência, a base permanece e os
expoentes são multiplicados.
Potência de um produto:
A terceira propriedade indica que podemos transformar a potência do produto em um produto
de potências.
Quociente de potência de bases iguais:
Quando temos o quociente de potência de bases iguais, devemos manter a base e subtrair os
expoentes.
Potência com expoente negativo:
Essa propriedade indica que, quando o expoente da potência é negativo, trocamos o lugar entre
o numerador e o denominador da base e o expoente torna-se positivo.
Potência de um quociente:
A última propriedade apresentada indica que, para a potência de um quociente, deve-se
transformá-la em um quociente de potências.
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/12
TEMA 2 – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
2.1 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Toda equação que apresenta a incógnita no expoente é denominada de equação exponencial.
Ela deve ter a base maior do que zero e esta base deve ser diferente de 1. Veja os exemplos abaixo:
          
Para resolver uma equação exponencial podemos transformar a igualdade dada em potências de
bases iguais, e assim trabalhamos apenas com os expoentes, “simplificando” as bases dos dois lados
da igualdade:
Veja o exemplo:
2.2 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
  Toda inequação que apresenta a incógnita no expoente é denominada de inequação
exponencial. Vale lembrar que as inequações são desigualdades, e auxiliam a determinar um
intervalo, de maneira que uma desigualdade dada seja válida, como no exemplo abaixo:
A inequação apresentada acima não é exponencial porque não apresentou incógnita no
expoente. Vejamos outro exemplo, agora de uma inequação exponencial:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/12
Ao analisarmos a reta dos números reais, a resolução desta inequação fica à direita do número
-1:
Para resolver uma inequação exponencial é preciso levar em consideração sua base. São duas
situações:
i. 
Quando a base for maior do que 1, o sinal se mantém ao simplificar as bases, como no exemplo
dado anteriormente.
ii. 
Quando as bases iguais estiverem entre zero e 1, ao simplificar essas bases, o sinal inverte. Veja o
exemplo abaixo:
Perceba que  ou seja, está entre zero e 1. Sendo assim, o sinal precisa ser invertido ao
simplificarmos as bases:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/12
TEMA 3 – LOGARITMO
A operação inversa à potenciação é denominada logaritmo. Podemos escrever a definição de
logaritmo da seguinte maneira:
   para  e  positivos e para 
Temos que:  é a base do logaritmo,  é o logaritmando, e  é o logaritmo. O uso de logaritmo
auxilia a resolver equações ou inequações exponenciais cujas bases são diferentes, e quando não
conseguimos transformá-las de maneira que fiquem iguais. Como a seguinte equação:
Para uma maior compreensão em relação ao conteúdo de logaritmo, vejamos um exemplo
abaixo:
TEMA 4 – PROPRIEDADES DE LOGARITMOS
4.1 LOGARITMO DO PRODUTO
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos será igual a soma do
logaritmo de cada um destes números. Ou seja:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/12
Para      e         e   para      e   .
4.2 LOGARITMO DO QUOCIENTE
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos será igual a diferença
entre o logaritmo de cada um destes números. Ou seja:
Para      e      e   para      e   
4.3 LOGARITMO DE POTÊNCIA
Um logaritmo para o qual o seu logaritmando é uma potência, pode ser reescrito de maneira
que o expoente do logaritmando passe a multiplicar o logaritmo dado, sem o expoente. Ou seja:
Para       e     e   para   
 
Para utilizar as propriedades logarítmicas dadas acima, é preciso que os logaritmos estejam em
uma mesma base; contudo, existem situações nas quais encontramos logaritmos com bases
diferentes. Para trabalhar com estes logaritmos, precisamos primeiramente transformá-los de
maneira que suas bases fiquem iguais. Para isso, fazemos um processo de mudança de base.
4.4 MUDANÇA DE BASE DE LOGARITMO
Sejam os números reais ,  e  positivos e      e      temos:
Exemplos:
i. Expresse na base 5 o logaritmo dado:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/12
ii.
iii. Calcule     sabendo que      e   :
iv.
TEMA 5 – EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Uma equação que tenha a variável no logaritmo, seja na base do logaritmo, seja no
logaritmando, ou nos dois, será chamada de equação logarítmica. Para resolver esse tipo de equação,
podemos utilizar as propriedades apresentadas anteriormente, bem como a definição.
Vejamos algumas formas com que se apresentam essas equações:
i. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for de logaritmos de bases iguais,
podemos simplificá-la, igualando somente o logaritmando. Ou seja:
É preciso verificar se a condição de existência do logaritmo é atendida. Lembramos que a base
deve ser maior do que zero e diferente de 1, e lembrando especialmente que o logaritmando deve
ser maior do que zero.
ii. Se tivermos uma equação na qual a igualdade for entre um logaritmo e um número real,
aplicamos a definição de logaritmo e resolvemos a equação. Ou seja:
iii. Em algumas equações podemos substituir o logaritmo presente por uma variável, para
resolvê-las. Veja o exemplo abaixo:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/12
Por substituição tomamos  e aplicamos na equação acima:
Como , temos que:
Pela definição:
NA PRÁTICA
Como vimos, o logaritmo pode ser utilizado para resolver equações exponenciais que não
podem ser colocadas na mesma base:
Para resolver essa equação, precisamos conhecer o valor de alguns logaritmos e aplicar suas
propriedades:
 
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/12
Nesse caso, utilizaríamos o valor do logaritmo de 3 e do logaritmo de 2 para determinar o valor
de x.
Vejamos outra aplicação do conteúdo da aula. Determinados estudos indicam que a temperatura
de um produto que acabou de sair do forno precisa reduzir para 65ºC para que ele possa ser tocado
pelas mãos humanas, sem que aconteçam queimaduras. A temperatura de um bolo de chocolate, por
exemplo, é dada pela expressão:
Nessa expressão, T representa a temperatura e t o tempo transcorrido, em minutos,após a
retirada do bolo do forno. Dado log 2 = 0,30, qual o tempo necessário para que se possa segurar um
pedaço desse bolo, sem se queimar?
Nesse caso, teremos o valor de T = 65ºC. Logo:
Nesse momento, podemos utilizar logaritmo:
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/12
FINALIZANDO
Nesta aula, você estudou os seguintes conteúdos: potenciação e suas propriedades, equações e
inequações exponenciais, definição de logaritmo, propriedades de logaritmo e equações
logarítmicas.
REFERÊNCIAS
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual,
1993. v. 9; v. 10.
IEZZI, G. Coleção Fundamentos de Matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993. v 3.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção Fundamentos de Matemática elementar. São
Paulo: Atual, 1993. v. 2
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: InterSaberes, 2014.
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015.
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática aplicada. Curitiba:
InterSaberes, 2013.
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.
10/01/23, 11:56 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/12