Questão resolvida - As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 78 cm, 65 cm e 43cm, e - Aplicação de derivadas parciais - Cálculo II

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• As dimensões de uma caixa retangular são medidas como , e , e 78 cm 65 cm 43 cm
cada medida foi feita com precisão . Use diferenciais para estimar o maior erro 0, 3 cm
possível, em litros, quando calcularmos o volume da caixa usando essas medidas.
 
Resolução:
 
Essa caixa retangular é um paralelepípedo, como esboçado abaixo;
A expressão que fornece o volume de um paralelepípedo é dada por;
 
V = A ⋅ hb P
 
A base do paralelepípedo é um retângulo,a área do retângulo é;
 
A = b ⋅ hb R
Com isso, a equação 1 fica;
 
V = b ⋅ h ⋅ hR P
 
 
78 cm
65 cm
43 cm
(1)
(2)
(3)
Vamos considerar a base do retângulo como sendo , a altura do retângulo como b x hR
sendo e a altura do paralelepípedo como sendo , dessa forma, a equação 3 fica;y hP z
 
V = xyz
 
 
Agora, temos que a derivada total da função do volume é;V
 
dV = dx + dy + dz
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
 
Vamos, então, fazer as derivadas parciais de em relação a cada eixo;V
 
= yz, = xz e = xy
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
 
Dessa forma, a expressão 5 fica;
 
dV = yzdx + xzdy + xydz
 
Os valores de foram dados, as variações e serão iguais a , x, y e z dx, dy dz 0, 3 cm
considerando que desejamos encontrar o erro máximo, assim;
 
dV = 65 ⋅ 43 ⋅ 0, 3 + 78 ⋅ 43 ⋅ 0, 3 + 65 ⋅ 43 ⋅ 0, 3máx
 
dV ≅ 2683, 2 cm ≅ 2, 68 Lmáx
3
 
 
(4)
(5)
(Resposta)