UNIDADE 2 - Calculo numerico AMPLI

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Introdução da Unidade
Objetivos da Unidade
Ao final desta Unidade, você será capaz de:
· calcular polinômios interpoladores; 
· analisar erros na interpolação; 
· algoritmos para determinação da integral definida de uma função de modo aproximado.
Estudante, o que vem à sua cabeça quando escuta o termo métodos numéricos? Aproximações? Se sim, você está em uma linha de pensamento correta! O cálculo numérico é um subtópico dos métodos matemáticos que envolvem aproximações para zeros de funções, aproximações de cálculo de integrais que podem estar relacionadas com a área de uma placa de metal, por exemplo.
Para iniciar o entendimento dessa ferramenta que se faz fundamental nos métodos matemáticos, vamos trabalhar com a ideia de como encontrar o zero de uma função usando o computador e os métodos de aproximação quando essa função for de uma natureza mais complexa. Um dos métodos mais conhecidos para isso é o famoso método de Newton-Rhapson, que estabelece critérios para encontrar uma aproximação da raiz de uma equação. Partindo dessa ideia de zeros de funções, em seguida, vamos trabalhar com o que chamamos de polinômio interpolador, que é um método de aproximação, uma função utilizando um polinômio de natureza simples, a fim de facilitar o entendimento do nosso problema. 
Por fim, vamos estudar os métodos numéricos para aproximar o valor de uma integral, que na prática é fundamental para o cálculo da área, especialmente quando se trabalha com placas de metais em formatos diferentes de figuras planas, por exemplo. Vamos ver cada um desses conceitos devagar no decorrer desta unidade.
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre Zeros de funções.
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· definir o conceito de Aritmética de ponto flutuante;
· demonstrar erros e estimativas para o erro;
· calcular zeros de funções reais por meio de métodos numéricos e seus algoritmos.
Situação-problema
Estudante! Nesta aula, vamos trabalhar inicialmente com os conceitos de sistemas numéricos a fim de entender o que é um sistema numérico, como operamos um sistema numérico e como o computador e a calculadora entende esses sistemas numéricos. Em seguida, vamos entender o conceito de erro e quais tipos de erros podemos cometer quando trabalhamos com aproximações numéricas. Por fim, vamos trabalhar com os tipos de métodos numéricos que temos para lidar com o problema de encontrar o zero (raíz) de uma função, independente da forma dessa função. 
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o problema de encontrar o ponto que maximiza, por exemplo, a temperatura de operação de uma máquina industrial para entender a resistência em casos de acidentes térmicos. Dado a complexidade do problema, muitas vezes, não é possível obter uma solução usando métodos analíticos, fazendo-se assim o uso de métodos numéricos importantes.
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso dos métodos numéricos no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas com a Engenharia.
Imagine que você foi convocado para implementar um método numérico para resolver o problema de maximização de lucro de uma dada empresa de software no ano de 2020. O método que a empresa definiu para a implementação no software matemático Maple foi o método do ponto fixo descrito pelos passos:
Como você faria para implementar esse algoritmo computacionalmente de forma que ele fosse útil para a empresa? Além disso, a partir dessa implementação, calcule o valor do lucro máximo quando a função que determina o lucro é dada por f(x)​=ex−2 assumindo uma aproximação inicial de 0.1 e uma precisão de 1%. 
Viu como os métodos numéricos são fundamentais? Que tal começar a entender como funcionam agora? Você será acompanhado em todo o processo no decorrer da aula! Vamos iniciar então com algo mais simples, mas que é base para todo o resto dos métodos numéricos: os sistemas numéricos.
Sistema de ponto flutuante
Você já parou para pensar no que são métodos numéricos? Como utilizamos um sistema numérico? Nesta unidade, nosso foco será trabalhar com métodos numéricos e é importante destacar que, quando falamos de uma solução numérica, não estamos falando de uma solução exata, e sim de uma solução aproximada. E como estamos falando de aproximações, estamos falando necessariamente de precisão numérica, que é sujeita a erros. Assim, vamos começar nossos estudos definindo o que é um sistema de ponto flutuante.
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🔁 Assimile
Todo sistema computacional utiliza algum sistema de aritmética de ponto flutuante para trabalhar com números em que os resultados, em geral, são apresentados em base 10. Esses sistemas são conhecidos como sistemas numéricos de base 10.
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Agora, vamos entender como funciona esse sistema. Começamos com a mantissa, ela deve ser fracionária nessa representação, isto é, deve ser menor do que 1 para que possamos trabalhar com a unicidade para a representação para cada y ∈ F . Mas como fazemos isso? Ora, devemos trabalhar com o que chamamos de normalização. Essa normalização deve ser feita de forma que d1≠0 para y≠0 para garantir a representação do sistema de ponto flutuante.
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🔁 Assimile
É importante notar que a escolha de uma representação para o zero como sendo o menor expoente que simboliza a mantissa nula não é a melhor forma, pois isso traz perdas de dígitos significativos em operações.
Arredondamento simétrico ou truncamento
Uma vez definido o que é um sistema de aritmética de ponto flutuante, resta saber se é um conjunto finito. De acordo com a definição do sistema de ponto flutuante (ANDRADE, 2012), podemos notar que a quantidade de números normalizados é definida pela expressão:
Essa questão de o sistema de ponto flutuante ser finito deriva, principalmente, da questão em que o computador e a calculadora trabalham com seus cálculos utilizando uma quantidade finita de dígitos. Por exemplo, na calculadora normal temos 8 dígitos, na científica 14, e assim por diante; porém nenhum dos dois trabalha com uma quantidade infinita de dígitos. Nesse aspecto, o uso dos métodos numéricos traz a necessidade de trabalharmos com o roll finito de dígitos.
Então, sabemos que precisamos trabalhar com uma quantidade finita de dígitos, mas sabemos também que os números irracionais, por exemplo, têm quantidades infinitas de dígitos. Como procedemos para descartar os dígitos a fim de deixar esse número “finito”? Ora, existem duas maneiras de se fazer isso: arredondamento simétrico ou truncamento. Mas antes de definir o que são ambos, vamos ressaltar que tanto o computador quanto a calculadora trabalham com representação numérica discreta, isto é, dado um número x≠0 no sistema de aritmética de ponto flutuante de base 10, então x é escrito como:
Ou ainda, 
Em que
Com essas representações em mente, podemos, então, definir os tipos de arredondamentos. Assim, no que se refere ao arredondamento simétrico, ele pode ser definido como: se o primeiro dígito a ser desprezado é menor que cinco, descartamos todos os dígitos restantes; porém, se esse dígito for maior do que 5, então somamos 1 ao dígito que antecede esse dígito. Por exemplo, considere o número 5.2131412... e suponha que queremos esse número com apenas três casas decimais. Nesse caso, o dígito na quarta casa decimal é igual a 1, que é menor do que 5, então descartamos todos os dígitos a partir da quarta casa decimal e ficamos com o número 5.213. Agora, no que tange ao conceito de arredondamento por truncamento, ele é definido como: após decidir até qual casa decimal vamos utilizar, simplesmente descartamos o restante dos dígitos.
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📝 Exemplificando
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Conseguiu perceber a diferença entre os arredondamentos? Veja que, em ambos os casos, obtemos um resultado diferente do valor original, uma vez que descartamos casas decimais. Essa diferença é o que chamamos de erro, e é importante conhecermos a magnitude desses erros. Assim, vamos trabalhar com dois tipos de erros: o absoluto e o relativo. Suponha que x seja uma aproximaçãopara x. O erro absoluto é definido por:
Em geral, o valor exato de não é sempre conhecido. Nesse caso, o cálculo do erro relativo não seria possível, no entanto, podemos utilizar a seguinte expressão do erro relativo quando o valor exato não é conhecido:
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📝 Exemplificando
Vamos considerar um exemplo em que x = 1234.9 é uma aproximação para x, tal que o erro absoluto seja menor do que 0.1. Assim, podemos dizer que o valor exato x está no intervalo (1234.8, 1235.0). Por outro lado, suponha que y = 7.2 seja uma aproximação para y, tal que o erro absoluto seja menor do que 0.1, então y pertence ao intervalo (7.1,7.3). Será que a interpretação desses erros é igual tanto para x quanto para y? Considerando o erro absoluto, observe que os majorantes são necessariamente iguais, sendo assim o erro absoluto por si só não é suficiente para diferenciar as interpretações dos erros de x e y, pois geram a mesma interpretação. Então trabalhamos com o erro relativo. Note que:
Nesse caso, os erros relativos são diferentes. E essa diferença traz o impacto na precisão da estimativa. No caso do x, vemos que a precisão da estimativa dele é maior que a de y, visto que o erro relativo para x é muito menor que o erro relativo para y.
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💭 Reflita
E se você quisesse uma precisão maior adicionando uma nova casa decimal, poderíamos incluir qual dígito: 4,471 ou 4,476? Seria possível incluir o dígito 4,479?
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Portanto, para encerrar a primeira parte do nosso conteúdo da seção, iremos finalizar com os conceitos de estabilidade numérica. Em poucas palavras, podemos definir a estabilidade numérica como sendo uma propriedade do algoritmo, uma vez que algoritmos podem ser bem sensíveis conforme a variação de dados, independentemente do método numérico utilizado. Isto é, de acordo com os dados que temos, um algoritmo pode se tornar instável. E são esses conceitos que nos dão a ideia da segunda parte do nosso conteúdo!
Métodos bissecção, de ponto fixo e de Newton-Rhapson
Suponha agora que estamos interessados em encontrar, numericamente, uma solução aproximada para a equação f(x)=0, onde f é uma função qualquer. Nesta aula, vamos apresentar os métodos mais comumente utilizados, entre eles o método da bissecção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Rhapson.
Ou seja, o método da bissecção trabalha com uma sequência convergente com base em intervalos encaixados. Esse método em particular é extremamente lento, mas a convergência é garantida se f for uma função contínua.
Com isso, encerramos a nossa primeira aula sobre os conceitos básicos e fundamentais de sistemas numéricos, além dos métodos para encontrar zero de funções! Tais conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no trabalho e também para resolver problemas relativos à modelagem que envolva métodos numéricos.
Conclusão
Nosso problema aqui é implementar o método do ponto fixo utilizando o software Maple. Note que uma implementação computacional pode ser feita de várias formas diferentes e ainda assim gerar o mesmo resultado. O que vai mudar entre uma e outra é somente a eficiência e visualização do algoritmo. Então, como sugestão dessa implementação, podemos fazer:
Assim, utilizando o código acima, encontramos que o valor de x que maximiza o lucro da empresa é x = 0.158593439, que implica então que o lucro da empresa, em bilhões de reais, é de 0.1585942.
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre Interpolação. 
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· definir o conceito de interpolação polinomial e forma de Lagrange; 
· identificar erro na erro na interpolação polinomial; 
· aplicar a fórmula interpoladora de Newton.
Situação-problema
Estudante, nesta aula iremos entender o conceito de interpolação polinomial, que consiste em aproximar uma função usando polinômios. Para isso, dois métodos serão considerados: o método de Lagrange e o método de Newton. A vantagem do uso da interpolação polinomial, por exemplo, é que se uma dada função com forma complexa puder ser aproximada por um polinômio, então o nosso trabalho na modelagem facilita bastante, pois os polinômios são mais flexíveis para se trabalhar.
Como exemplo do uso do polinômio interpolador, considere a situação em que você precisa modelar o lucro trimestral de sua empresa. Como, em geral, a curva do lucro é complexa, você pode utilizar o polinômio de Lagrange para aproximá-la e fazer a previsão do lucro. Uma alternativa a isso são os métodos estatísticos que serão trabalhados posteriormente em outras aulas.
Em determinada empresa de solventes químicos, deseja-se achar uma forma mais eficiente de trabalhar com a demanda dos produtos. Pensando nisso, a empresa resolveu ajustar o modelo que descrevia a demanda usando um polinômio interpolador a partir do método de Lagrange. No entanto, nenhum dos funcionários tinha conhecimento sobre como fazer isso. Devido a essa carência, a empresa então lhe contratou para resolver o problema. Sabendo que os pontos de demanda eram baseados nos pontos , foi lhe requisitado a equação do polinômio interpolar que passava por esses pontos a fim de entender como estava funcionando a demanda da empresa. Dessa forma, você deveria apresentar a solução passo a passo de como foi encontrado tal polinômio sem o uso de métodos computacionais.
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo! Iniciaremos com os conceitos fundamentais de interpolação polinomial. Em seguida, trabalharemos com métodos de interpolação, especialmente o mais popular, que é o de Newton!
Polinômio interpolador
Anteriormente, exploramos os conceitos relativos a erros e encontrar soluções de f(x)=0 a partir de métodos iterativos. Agora, o nosso foco será encontrar um polinômio que aproxima a função f(x), chamado de polinômio interpolador. Para começar nossos trabalhos neste tópico, vamos supor que que temos (n + 1) pontos distintos x0, x1, . . . , xn, que iremos chamar de “nós”, e que os pontos y0, y1, . . . , yn foram obtidos por meio de alguma função f desconhecida, isto é, yi = f(xi), i = 0, 1, . . . , n. Queremos, então, conhecer ou estimar f(xr) para algum valor xr que não seja necessariamente tabelado. Um modo de fazer isso é interpolar f por uma função polinomial, uma vez que, em geral, temos conhecimento apenas dos pares de pontos (xi, (fxi)) e não da expressão de f em si.
Com base nos conceitos de Álgebra Linear, podemos reescrever o sistema anterior em forma de matriz como:
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🔁 Assimile 
Matematicamente, uma matriz é dita matriz de Vandermonde se todos os termos de cada uma de suas linhas formam uma progressão geométrica.
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Assim, podemos enunciar o seguinte resultado (ANDRADE, 2012):
Teorema: Dados x0, x1, . . . , xn pontos distintos, existe um único polinômio pn(x), de grau máximo n, que interpola f nos pontos (xi, f(xi)), i = 0, . . . , n.
Método de Lagrange e Método de Newton
Existem diversos métodos para encontrar o polinômio interpolador, no entanto, nesta aula, iremos trabalhar com dois desses métodos: (i) o método de Lagrange e (ii) o método de Newton.
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📝 Exemplificando
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Dessa forma, encerramos as questões teóricas do método de Lagrange. Mas, para encerrar o conteúdo do método de Lagrange, vamos escrever um código que pode ser utilizado no software Maple para encontrarmos o polinômio interpolador de Lagrange (ANDRADE, 2012).
Esse código transcreve exatamente o método de Lagrange aplicado no Exemplificando dado anteriormente. Mas note que o método de Lagrange ainda apresenta uma problemática grande quando adicionamos um ponto (xn+1, yn+1) no sistema. Por quê? Note que ao usar esse método, adicionar um novo ponto implica que devemos recalcular todos os polinômios Lk(x), i =0, 1, . . . , n + 1. Como resolver essa questão? Bem, trabalhamos com o método de Newton (ou método das diferenças divididas).
No método de Newton para o polinômio interpolador, ele é obtido a partir de uma construção recursiva utilizando um operador quechamamos de operador das diferenças divididas. Assim, para encontrar o polinômio interpolador pn(x) que interpola f nos pontos x0, x1, . . . , xn pelo método de Newton, utilizamos (ANDRADE, 2012):
Chamamos f[x0, x1, x2, . . . , xk] de diferença dividida de ordem k entre os k + 1 pontos x0, x1, x2, . . . , xk. Um ponto importante que podemos destacar é que as diferenças divididas f[x0, x1, x2,wx . . . , xk] são funções simétricas nos seus argumentos (ANDRADE, 2012). Com base nesse operador, podemos construir a seguinte tabela de diferenças divididas para o método de Newton:
Ou, no caso geral,
Bom, agora que sabemos como funciona o operador de diferenças divididas, vamos trabalhar com a construção do polinômio pn(x) que interpola f(x) nos pontos x0, x1, x2, . . . , xn segundo o método de Newton. Começando com o polinômio que interpola fx em x = x0 e assim sucessivamente, construiremos pk(x), que interpola f(x) em x0, x1, x2, . . . , xk, k=1, …, n . Assim, seja então p0(x) o polinômio de grau zero, que interpola f(x) em x = x0, tal que p0(x) = f[x0]. Nesse caso, para x≠x0 e x ∈ [a, b], temos que:
tal que:
onde p0(x)=f(x0). Então, chamaremos E0(x)=f(x)−p0(x) de erro ao se aproximar f(x) por p0(x). Agora, seja p1(x) o polinômio de grau menor do que 1 que interpola f(x) em x0 e x1. Temos que:
tal que:
onde p1(x)= f(x0)+(x−x0)f[x1,x0]. Então, chamaremos E1(x)=f(x)−p1(x) de erro cometido ao se aproximar f(x) por p1(x). De modo geral, repetindo o procedimento anterior n vezes, obtemos:
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🔁 Assimile
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📝 Exemplificando
Vamos colocar em prática o método de Newton para encontrar o polinômio interpolador nos pontos (xk, yk) = {(−1,0), (0,1), (1,2), (2,7)}. Assim, pelo método de Newton, obtemos:
Dessa maneira, o polinômio interpolador é dado por:
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💭 Reflita
Pensando no método de Lagrange e no método de Newton, qual dos dois trazem uma aproximação mais concisa de f(x)? Em qual deles o erro cometido é menor? Na prática, qual é mais viável usar? Pense sobre essas questões, especialmente em âmbito de custo computacional de tempo de processamento.
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Por fim, é válido ressaltar que os erros de interpolação são fundamentais, especialmente quando trabalhamos com modelagem. Em qualquer trabalho que envolva aproximação numérica, sempre estamos buscando pelo menor erro possível e a magnitude desse erro nos traz a versatilidade do nosso modelo. Pensando nesse aspecto, em métodos numéricos, existe um conceito chamado fenômeno Runge que consiste em dizer que o erro é menor na zona central do intervalo e maior nos extremos. Para evitar esse fenômeno, podemos considerar pontos não igualmente espaçados juntamente com polinômios ortonormais, splines ou aproximação por mínimos quadrados.
Com isso, finalizamos a nossa aula sobre polinômio interpolador, que é um dos objetos fundamentais quando trabalhamos aproximações numéricas.
Conclusão
Pensando em como resolver o problema usando o método de Lagrange para determinar o polinômio que interpola os pontos (xk, yk) = {(0,0), (1,3), (2,1), (3,3), (4,0)}, você buscou em seus ensinamentos de cálculo numérico, para relembrar, como era feito tal método sem apoio computacional. Assim, depois de muito esforço, você obteve, pelo método de Lagrange, as equações:
Após vários cálculos para simplificação, você concluiu que o polinômio interpolador, segundo o método de Lagrange, é dado por:
Introdução da Aula
Qual é o foco da aula?
Nesta aula, você estudará sobre integração numérica. 
Objetivos gerais de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
· aplicar a Integração através dos métodos numéricos e seus algoritmos.
· calcular a Fórmula de Newton-Cotes;
· diferenciar a regra dos Trapézios e de Simpson. 
Situação-problema
Estudante, nesta aula vamos trabalhar basicamente com dois tópicos: regra dos trapézios e regra de Simpson. Ambos os tópicos são ferramentas para aproximar o valor de uma integral, consequentemente de uma área, usando métodos numéricos. Essas ferramentas são importantes, pois, na prática, raramente temos figuras regulares ou até mesmo funções bem-comportadas. A maioria dos problemas são resolvidos usando métodos numéricos devido à versatilidade desses métodos. Imagine só ter que lidar com a modelagem do crescimento populacional ou até mesmo o aumento dos casos de Covid-19 sem fazer o uso de métodos numéricos. Seria extremamente complexo! 
Em um estudo envolvendo Engenharia Biomédica, um determinado pesquisador realizou um trabalho voltado para modelagem de marca-passo no coração de pessoas idosas. Em sua pesquisa, ele tinha por interesse achar a área abaixo da curva gerada pelos dados do marca-passo. Sabe-se que a função que governa o marca-passo é descrita por:
no intervalo de 0,2 até 0,8 horas. Uma vez que ele tiver a área abaixo dessa curva e sabendo que essa função tem certos padrões de repetição, ele conseguirá estimar a área total para mais do que 0,6 horas, considerada em seu experimento para avaliar a qualidade do marca-passo. Então, baseando-se nos conceitos de integração numérica, como você calcularia a área abaixo da função dada assumindo uma margem de erro de no máximo 1%? 
Conseguiu ver a importância desses conceitos? Que tal começarmos a trabalhar com eles e entender melhor sob o ponto de vista matemático e prático? Não se preocupe, vamos lhe acompanhar em todo o processo e os conceitos serão construídos de forma gradual!
Fórmulas de Newton-Cotes: fórmulas dos trapézios e de Simpson
Já vimos anteriormente como trabalhar com os erros de aproximações e também com formas de resolver a equação f(x) = 0 . Agora, nos interessa saber como resolver numericamente as integrais, uma vez que elas, assim como a equação f(x) = 0 , têm diversas aplicações em Engenharia, como no cálculo aproximado da área de placas de metais em construção civil. Nesse aspecto, a ideia da integração numérica consiste, basicamente, na aproximação da função integranda f por um polinômio em que a escolha desse polinômio e dos pontos usados em sua determinação vai resultar nos diversos métodos numéricos de integração.
Em Cálculo Diferencial e Integral, é visto que as fórmulas de integração numéricas são somatórios, em que suas parcelas são, necessariamente, valores de f(x) calculados em pontos escolhidos e multiplicados por pesos convenientes, isto é,
e o erro:
que é conhecida como fórmula de Newton-Cotes para integrais numéricas. Como caso particular dessa fórmula, obtemos as famosas fórmulas dos trapézios e de Simpson, que são estabelecidas com polinômios de grau 1 e grau 2, respectivamente. Vamos iniciar então com a fórmula dos trapézios, ou regra dos trapézios.
A fórmula dos trapézios corresponde, basicamente, à interpolação da função a ser integrada por um polinômio de grau 1 (ANDRADE, 2012). A interpolação linear, nesse caso, necessita de dois pontos, então, vamos trabalhar com os extremos do intervalo de integração, isto é, a = x0 e b = x1. Logo, o polinômio linear interpolador é dado por:
Para uma melhor visualização dessa ideia, vamos trabalhar com o gráfico exposto na figura abaixo.
Gráfico. Fonte: elaborada pelo autor.
Assim, observando a figura acima e partindo dos pesos, temos que:
onde o erro é descrito pela seguinte equação:
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💭 Reflita
Como você acha que fica a fórmula dos trapézios se for aplicada diversas vezes sobre subintervalos de um intervalo geral [a, b]?
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Regra de Simpson. Fonte: elaborada pelo autor.
Dessa forma, a partir dos polinômios de Lagrange, obtemos os pesos da fórmula de Simpson:
Assim, obtemos a seguinte solução para a integral:
onde o erro é dado pela seguinte expressão:
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💭 Reflita
Como você acha que fica a fórmula de Simpson se for aplicada diversas vezes sobre subintervalos de um intervalo geral [a, b]?
______
🔁 Assimile
Embora as fórmulas dos trapézios e de Simpson usem polinômios de grau baixo, note que, em termos de erros, a regra de Simpson não apresenta termos simples como acontece na regra dos trapézios.
Intervalos de integração grandes e fórmulas compostas
Agora, vamos avaliaroutros aspectos dessas fórmulas: intervalos de integração grandes. Quando o intervalo de integração é grande, em geral, não é conveniente aumentar o grau do polinômio interpolador para obter fórmulas mais precisas, pois podemos deixar o problema ainda mais complexo. A alternativa mais usada é subdividir o intervalo de integração e aplicar fórmulas simples repetidas vezes, obtendo-se as fórmulas compostas. Vamos começar com a regra dos trapézios composta.
que é chamada de fórmula composta para a regra dos trapézios. Nesse caso, o erro final dessa fórmula tem como base os erros parciais da fórmula simples dos trapézios que são dados por:
Logo, o erro final é dado por:
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🔁 Assimile
Se f é um polinômio no qual seu grau é menor que 3, então o erro
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📝 Exemplificando
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Como exercício prático, você pode escrever a aproximação da integral considerando pela regra de Simpson e pela regra dos trapézios usando 6 intervalos. Para finalizar, deixo a reflexão: qual desses métodos é mais viável quando eu tenho uma integral mais complexa?
Isto é,
que é conhecida como fórmula composta para a regra de Simpson. Da mesma forma que na regra dos trapézios composta, o erro final da regra composta de Simpson pode ser obtido pela soma dos erros parciais. Portanto, o erro final da regra composta de Simpson é dado por:
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🔁 Assimile
Se f é um polinômio no qual seu grau é menor que 3, então o erro
é nulo, isto é, a regra de Simpson é exata para polinômios de grau menor que 3 (ANDRADE, 2012).
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Para finalizar nosso estudo de integração numérica, vamos trabalhar com um exemplo de cálculo de integral com base nas regras de Simpson e dos trapézios com erro menor que 10−4.
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📝 Exemplificando
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Como exercício prático, você pode escrever a aproximação da integral considerando pela regra de Simpson e pela regra dos trapézios usando 6 intervalos. Para finalizar, deixo a reflexão: qual desses métodos é mais viável quando eu tenho uma integral mais complexa?
Conclusão
Pela definição de área sobre a curva, poderíamos calcular a área exata usando a integração comum dada por:
No entanto, foi solicitado o uso de métodos numéricos. Nesse caso, podemos proceder usando a regra dos trapézios com 6 subintervalos. Isto é, para n = 6, temos que h = 0,1 e assim:
Assim, calculando o erro da estimativa, obtemos:
Referências
ANDRADE, D. Cálculo Numérico. In: NOTAS de aula. [S. l.], 2012.
FERNANDES, D. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2015
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006.
GIUSTINA, E. D.; AVELAR, S. F. Aplicação do método de Newton-Rhapson para resolver problema de despacho econômico envolvendo geração térmica de energia elétrica. In: IX SEEMI - Seminário Estadual de Engenharia Mecânica e Industrial. Anais do XV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial. Novo Hamburgo, 2015. Disponível em: http://www.feevale.br/Comum/midias/b5eae6f1-6386-4c4c-9eb5-01418ad7e47b/EDGAR%20DELLA%20GIUSTINA%20-1.pdf. Acesso em: 18 mar. 2022.
HFM. Integração Numérica. CN15. 2010. Disponível em: https://homepages.dcc.ufmg.br/~hfmatos/CN/mirlaine/aula15.pdf. Acesso em: 18 mar. 2022. 
LOPES, Á. P.; COSTA, M. J. S. Comparação entre métodos de aproximação numérica utilizando o programa MATLAB. Revista Margens Interdisciplinar, v. 11, n. 17, p. 14, 2018. Disponível em: https://periodicos.ufpa.br/index.php/revistamargens/article/view/5447. Acesso em: 18 mar. 2022. 
UFRGS. Método de Newton-Raphson. UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. 2020. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdeduv-metodo_de_newton-raphson.html. Acesso em: 18 mar. 2022. 
VALLE, M. E. MS211 - Cálculo Numérico Aula 15 – Interpolação Polinomial. [s. d.]. Campinas: Unicamp. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula15.pdf. Acesso em: 18 mar. 2022.