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1 Cálculo Aplicado à Administração Prof. Nelson Pereira Castanheira Aula 4 Métodos Quantitativos Introdução Correlação Regressão a) linear simples b) linear múltipla Reta de Regressão Coeficiente de Correlação de Pearson Correlação e Regressão Tema 1 Correlação é o grau de relacionamento existente entre duas variáveis. Pode ser: • simples (uma única variável independente) • múltipla (mais de uma variável independente) • linear – quando o ajustamento é feito por uma função do primeiro grau • não linear – quando o ajustamento é feito por uma função de grau maior que um 2 Regressão é o método de análise da relação existente entre duas variáveis: uma dependente e uma independente Linear porque vamos lidar com uma função do 1º grau (uma reta) Simples porque trata-se de um modelo aplicado a dados cuja dispersão é constante e em que temos apenas uma variável independente Regressão Linear Simples Reta de Regressão Tema 2 Bairro Renda . (R$ 100,00) Pizzas vendidas por mês . 100 A 9 40 B 8 38 C 12 55 D 6 27 E 11 53 F 7 33 G 4 20 H 13 60 I 5 25 J 10 46 Há uma relação linear entre essas grandezas (salário e pizzas)? Diagrama de Dispersão y (pizzas) 55 45 35 25 15 5 0 3 6 9 12 15 x (renda) 3 y = variável dependente (as pizzas) x = variável independente (a renda) y = M . x + B (função linear) M e B são os parâmetros da função 0 y x B M = tg Reta de Regressão y (pizzas) 55 45 35 25 15 5 0 3 6 9 12 15 x (renda) Equação da Reta de Regressão: M = ( X . Y – X . Y ) : [ X2 – ( X )2 ] B = Y – M . X Lembre-se: y = M . x + B X Y X2 X . Y 9 40 81 360 8 38 64 304 12 55 144 660 6 27 36 162 11 53 121 583 7 33 49 231 4 20 16 80 13 60 169 780 5 25 25 125 10 46 100 460 =85 397 805 3.745 Cálculo das médias (dividir os somatórios por 10, neste caso) X = 8,5 Y = 39,7 X2 = 80,5 X . Y = 374,5 4 Cálculo dos parâmetros da função: M = 374,5 – 8,5 . 39,7 = 4,49 80,5 – (8,5)2 B = Y – M . X B = 39,7 – 4,49 . 8,5 B = 1,535 Como y = M . x + B y = 4,49 . X + 1,535 Suponha renda = R$ 1.800,00 (ou seja, x = 18). Quanto vale y? y = 4,49 . 18 + 1,535 y = 82,36 (ou seja, 8.236 pizzas) Coeficiente de Correlação de Pearson Tema 3 Correlação Linear Perfeita (positiva) x y r = 1 y x Forte correlação positiva r > 0 y x Fraca correlação positiva r > 0 5 Correlação Linear Perfeita (negativa) y x r = 1 Forte correlação negativa y x r < 0 Fraca correlação negativa y x r < 0 y x Ausência de Correlação Linear r = 0 n.X.Y X.Y r = [n.X2 (X)2] [n.Y2 (Y)2] Cálculo de “r“ Cidade Número de mortes por câncer de pulmão Número de fumantes entre os mortos por câncer A 12 9 B 27 20 C 14 10 D 18 15 E 31 24 F 24 19 G 35 30 H 10 8 6 X Y X . Y X2 Y2 9 12 108 81 144 20 27 540 400 729 10 14 140 100 196 15 18 270 225 324 24 31 744 576 961 19 24 456 361 576 30 35 1050 900 1225 8 10 80 64 100 135 171 3388 2707 4255 n.X.Y X.Y r = [n.X2 (X)2] [n.Y2 (Y)2] 8 . 3388 135 . 171 r = [8 . 2707 1352].[8 . 4255 1712 r = 0,99 (ou seja: 99%) Importante: r = 0,99 (valor positivo) As duas grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Caso fossem inversamente proporcionais, o valor de r seria negativo Correlação Linear Múltipla Tema 4 Há fenômenos que só são razoavelmente bem explicados por mais de uma variável independente. Nesse caso, a regressão e a correlação são múltiplas Correlação e Regressão Linear Múltipla 7 y = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn + B Em que: y é a variável dependente; M1, 2, ..., n são os coeficientes de regressão; x1, 2, ..., n são as variáveis independentes; B é o múltiplo intercepto Cálculo dos parâmetros da fórmula: B = Y M1 . X1 M2 . X2 Sy2 Sy1 S12 S11 M2 = S22 S12 S12 S11 M1 = Sy2 S22 . M2 S12 S12 r = M1 . Sy1 + M2 . Sy2 Syy Cargos dos empregados de uma empresa, com grau de instrução mínimo exigido Cargo Salário (x 100) Grau de instrução Nível de supervisão a) Ger. Div. 42 4 4 b) Ger. Pro. 28 4 3 c) Op. Torno 9 3 1 d) Ch. Alm. 10 3 1 e) Projetista 18 3 3 f) Of. Boy 8 1 0 g) As. Social 15 4 2 h) Psicol. 18 4 2 i) Dir. Fin. 50 5 4 j) Contador 12 2 0 Cargo Y X1 X2 Y.X Y.X2 X1.X2 X12 X22 A 42 4 4 168 168 16 16 16 B 28 4 3 112 84 12 16 9 C 9 3 1 27 9 3 9 1 D 10 3 1 30 10 3 9 1 E 18 3 3 54 54 9 9 9 F 8 1 0 8 0 0 1 0 G 15 4 2 60 30 8 16 4 H 18 4 2 72 36 8 16 4 I 50 5 4 250 200 20 25 16 J 12 2 0 24 0 0 4 0 210 33 20 805 591 79 121 60 8 y = M1 . x1 + M2 . x2 + B y = 0,2332 . x1 + 8,3982 . x2 + 3,434 Empregado A: y = 0,2332 . 4 + 8,3982 . 4 + 3,434 y = 37,9596 Como o valor encontrado é menor do que 42, esse empregado deve permanecer com o mesmo salário. Síntese Correlação é o grau de relacionamento existente entre duas variáveis Regressão é o método de análise da relação existente entre duas variáveis: uma dependente e uma independente Diagrama de Dispersão Reta de Regressão Coeficiente de Correlação de Pearson Referências de Apoio CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos os níveis. 5. ed. Curitiba: Intersaberes, 2010. CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Métodos quantitativos. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2011.