2022-01-27-18-54-59-51421770-analise-de-investimentos-e1643320498

Prévia do material em texto

SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Análise de Investimentos
Livro Eletrônico
2 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Análise de Investimentos .............................................................................................................. 4
1. Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 4
1.1. Custo-Oportunidade................................................................................................................. 4
1.2. Taxa Mínima de Atratividade (TMA) ..................................................................................... 5
1.3. Métodos de Avaliação de Investimentos ............................................................................ 7
2. Payback ......................................................................................................................................... 8
2.1. Payback Simples ...................................................................................................................... 8
2.2. Payback Descontado .............................................................................................................12
3. Valor Presente Líquido ............................................................................................................. 14
3.1. Gráfico .......................................................................................................................................15
3.2. Taxa Interna de Retorno ........................................................................................................ 17
3.3. Índice de Lucratividade (ILL) ............................................................................................... 23
3.4. Escolha de Investimentos ................................................................................................... 26
Questões Comentadas em Aula ..................................................................................................31
Questões de Concurso ................................................................................................................. 37
Gabarito ...........................................................................................................................................89
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
3 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
ApresentAção
Olá, amigo(a), tudo bem? Chegamos à nossa última aula de Matemática Financeira do 
nosso curso.
Falaremos sobre o assunto de Investimentos, que também merece muita atenção, pois há 
excelentes questões sobre esse tópico.
Como de costume, trazemos um bom número de questões comentadas de alto nível para 
que você possa extrair o máximo desta aula e estar preparado(a) para o que der e vier na 
sua prova.
Siga-me no Instagram (@math.gran), que é onde eu sempre posto dicas importantíssimas 
para quem está estudando para concursos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
4 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
1. ConCeitos BásiCos
Investir é, em linhas gerais, comprar um fluxo de renda futuro.
Quando investimos, nós estamos renunciando a dinheiro no presente para obter dinheiro 
no futuro.
Como já estudamos pelo conceito de preferência temporal, o ser humano prefere ter 
R$1.000 hoje a ter os mesmos R$1.000 no futuro. Porém, faz sentido renunciar a R$1.000 hoje, 
se esperamos obter mais dinheiro no futuro.
Imagine que você tenha investido na construção de um supermercado. Existem, basica-
mente, duas formas de você ser remunerado(a) por ele:
• valorização do principal: quando outro investidor resolver comprar o seu supermercado 
por um valor superior ao que você pagou por ele;
• distribuição dos lucros: quando o seu supermercado gera lucros, você poderá reter uma 
parte desses lucros para você.
O valor de mercado é o preço pelo qual você pode vender hoje seu patrimônio. Por exem-
plo, se o seu supermercado está sendo avaliado em R$100 mil, isso significa que você pode 
vendê-lo hoje por R$100 mil.
Além disso, é importante citar que o objetivo de um investidor é aumentar o valor de mer-
cado de seus projetos.
Para a matéria de Matemática Financeira, isso é tudo que você precisa saber sobre essa 
importante grandeza.
Agora, vamos a alguns conceitos importantes.
1.1. Custo-oportunidAde
O conceito de custo-oportunidade é mais bem estudado na matéria de Economia. Porém, 
aqui vamos dar uma breve explicação.
Escolher não tem a ver com dizer sim para a oportunidade que você tomou, mas com dizer 
não para todas as outras oportunidades que você poderia ter.
Por exemplo, se você resolveu estudar para concursos da Área Fiscal, provavelmente você 
disse não a concursos da Área de Tribunais. E vice-versa.
O fato de você estar estudando Matemática Financeira agora faz que você não esteja estu-
dando outras matérias, como Direito Constitucional. Se você não estudasse a nossa matéria, 
certamente você poderia dedicar mais horas a Direito Constitucional.
No mundo de investimentos, o conceito mais citado relacionado ao custo de oportunidade 
é o ativo livre de risco.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
5 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
No Brasil, considera-se como livre de risco os títulos públicos que representam a dívida do 
governo. Em tese, o governo tem o poder da tributação e, por isso, ele tem uma garantia muito 
forte dos seus empréstimos.
Caso ele não tenha dinheiro, o governo pode, simplesmente, aumentar os tributos sobre a 
população ou imprimir dinheiro para pagar suas dívidas.
A Taxa Selic é um dos principais indicadores utilizados na precificação de títulos públicos 
e pode ser acompanhada no link (http://www.bcb.gov.br/pt-br/#!/n/SELICTAXA).
No momento em que eu escrevia este material, a Taxa Selic era de 2,75% ao ano. Isso sig-
nifica que você poderia investir seu dinheiro, teoricamente sem correr riscos, a 2% ao ano.
Dessa maneira, um custo importante que você deve avaliar nas suas decisões de investi-
mentos é que você poderia investir, sem correr nenhum risco, ganhando 2% ao ano.
Você há de concordar comigo que abrir uma empresa é bem mais arriscado do que sim-
plesmente investir em títulos públicos.
Então, se, por exemplo, você pensa em abrir um supermercado, você quer ganhar mais do 
que 2% ao ano.
1.2. tAxA MíniMA de AtrAtividAde (tMA)
A taxa mínima de atratividade é o retorno mínimo exigido pelo investidor para considerar 
um investimento atrativo.
É importante entender que a TMA é subjetiva. Assim, cada investidor possui a sua própria 
TMA em relação a cada projeto. Não é possível calcular uma TMA geral que vale para todas 
as pessoas.
A TMA é influenciada por diversosfatores:
• Custo de oportunidade: quanto melhores forem os investimentos à sua disposição, 
maiores serão os retornos que você exigirá para entrar num projeto.
Exemplo: hoje, com a Taxa Selic a 2,75% ao ano, é provável que você considere abrir um super-
mercado com o objetivo de lucrar 10% ao ano.
Porém, se a Taxa Selic passasse a 15% ao ano, você não ia querer mais abrir o supermercado 
para lucrar 10% ao ano. É natural, por exemplo, que você exigisse retornos de 20% ao ano.
O custo de oportunidade é um fator tão importante que muitas pessoas – e, às vezes, até as 
bancas – confundem esse conceito com a TMA.
• Propensão ao risco: algumas pessoas têm maior propensão a arriscar.
Exemplo: quando você é jovem, é normal que você seja mais agressivo. Então, pode fazer sen-
tido abrir o supermercado com o objetivo de lucrar 10% ao ano.
Quando você fica adulto e tem filhos, você diminui bastante a sua propensão ao risco. Por isso, 
não faria mais sentido para você abrir o supermercado lucrando 10% ao ano.
Porém, e se o supermercado lucrasse 20% ao ano? Ou 50% ao ano? Ficou bem mais atrativo, 
não é?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
http://www.bcb.gov.br/pt-br/
6 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
• Liquidez: a liquidez é a facilidade de se livrar de um investimento. Em outras palavras, é 
a facilidade de vender.
Exemplo: no mercado de ações, você pode vender suas ações a qualquer momento em horário 
comercial. Por isso, é muito mais fácil investir em ações do que abrir uma empresa.
Até mesmo entre empresas, é notável a importância da liquidez. O que é mais fácil para você: 
abrir um supermercado ou uma loja de cosméticos?
O supermercado vende produtos comuns. Se seu supermercado falir, será mais fácil vender 
todos os seus produtos para o seu concorrente. Porém, se você tiver uma loja de cosméticos, 
você terá que ter produtos próprios, então nenhum concorrente seu se interessará em comprá-
-los.
Portanto, você só abrirá uma loja de cosméticos se esperar um retorno maior do que você 
poderia obter com um supermercado.
Por vezes, essa parte mais teórica da matéria é cobrada. Por isso, é importante que eu dê 
essa explanação mais demorada. Vamos ver algumas questões?
001. (FGV/ISS CUIABÁ/AFTM/2016) Em relação à taxa mínima de atratividade, em um con-
texto de análise de investimentos, analise as afirmativas a seguir.
I – A taxa mínima de atratividade representa o custo de oportunidade do capital, podendo ser 
maior ou menor do que a taxa interna de retorno do investimento avaliado.
II – A taxa mínima de atratividade é a taxa que iguala o fluxo líquido presente no projeto anali-
sado a zero.
III – Se a taxa mínima de atratividade for menor do que o payback descontado bruto, o projeto 
deve ser executado.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente a afirmativa II estiver correta.
c) se somente a afirmativa III estiver correta.
d) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
Uma questão teórica de Matemática Financeira. Elas são raras, mas existem.
I – Esse item descreve o conceito de custo de oportunidade. Como vimos, esse conceito não 
se confunde com a taxa mínima de atratividade. Podemos dizer que o custo de oportunida-
de influencia a TMA, mas não é a mesma coisa. Apesar disso, a banca deu essa questão 
como certa.
É bem verdade que a afirmativa I é a menos ruim.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
7 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
II – Não é possível calcular a TMA por nenhum método, pois ela é subjetiva. O método descrito, 
como veremos mais adiante, é usado para calcular a TIR (taxa interna de retorno). Portanto, 
essa alternativa está errada.
III – O payback é uma relação de prazos. Não temos que comparar prazos com taxas. Portanto, 
esse item está errado.
Letra a.
1.3. Métodos de AvAliAção de investiMentos
Normalmente, os investimentos são avaliados por um dos três critérios:
• Prazos: conta-se um prazo para obter um determinado retorno. Os principais exemplos 
são o payback simples e o payback descontado;
• Taxas de retorno: considera-se o cálculo de uma taxa de retorno equivalente ao investi-
mento. O principal exemplo é a taxa interna de retorno (TIR);
• Valores: consideram-se os valores investido e retirado. Os métodos mais conhecidos 
são o importantíssimo valor presente líquido (VPL) e o valor anual uniforme, que, de vez 
em quando, é cobrado em questões de prova.
Além disso, é importante fazer distinção entre duas categorias de métodos de avaliação 
de investimentos:
• Métodos exatos: levam em conta todo o prazo do investimento. São exemplos a TIR e 
o VPL;
Obs.: � é importante destacar que os métodos exatos sempre levam à mesma conclusão de 
investimento. Em outras palavras, na comparação entre os investimentos A e B, não é 
possível que, pelo método da TIR, o investimento A seja melhor, mas, pelo método do 
VPL, o investimento B seja melhor. Necessariamente, a TIR e o VPL levam à mesma 
conclusão.
• Métodos não exatos: não levam em conta todo o prazo do investimento. Os principais 
exemplos são o payback.
Como o payback tem uma natureza diferente da TIR ou do VPL, é possível que eles che-
guem a conclusões diferentes.
Esse assunto pode ser explorado em questões de prova. Portanto, fiquemos de olho.
Figura 1: Métodos Exatos e Não Exatos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
8 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
2. Payback
O payback é o método de avaliação de investimentos mais popular e busca responder a 
seguinte pergunta: “Em quanto tempo esse investimento vai se pagar?”
Estudaremos nas próximas linhas as suas duas versões: o payback simples e o payback 
descontado.
Em ambos os casos, é preciso ter em mente que o payback é um método não exato.
2.1. Payback siMples
Uma programação normal de investimento pressupõe um desembolso inicial e uma série 
de retornos futuros. Em geral, você investe uma certa quantia no presente para obter um fluxo 
de caixa positivo, isto é, lucros no futuro.
�Retornos Futuros
�Desembolso 
Inicial
Figura 2: Programação de Investimentos.
O payback simples corresponde ao tempo necessário para que a soma dos retornos futu-
ros seja igual ao desembolso inicial. Em outras palavras, corresponde ao tempo necessário 
para que a soma do fluxo de caixa do projeto seja igual a zero.
Ficará mais fácil de entender esse conceito com uma questão.
002. (SÉRGIO CARVALHO/2016) Um projeto X e um projeto Y preveem investimentos iniciais 
de R$30.000,00 e R$34.000,00, respectivamente. As receitas previstas ao longo dos anos para 
os dois projetos são mostradas no quadro abaixo. Calcule o payback simples de cada projeto.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.brhttps://www.grancursosonline.com.br
9 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Ano Projeto X Projeto Y
0 –R$ 30.000 – R$ 34.000
1 R$ 10.000 R$ 10.000
2 R$ 9.000 R$ 12.000
3 R$ 11.000 R$ 8.000
4 R$ 8.000 R$ 10.000
5 R$ 10.000 R$ 7.000
Tomemos, como exemplo, o Projeto X. Calcularemos a soma dos retornos à medida que os 
anos forem passando.
Ano Projeto X Soma dos Retornos
0 -R$30.000 0
1 R$10.000 R$10.000
2 R$9.000 R$19.000
3 R$11.000 R$30.000
Observe que, no ano 3, a soma dos retornos é de R$30.000, que é igual ao desembolso inicial. 
Nessa situação, o fluxo de caixa do projeto estará zerado. E, por isso, o Payback será de 3 anos.
Agora, vamos ao Projeto Y.
Ano Projeto Y Soma dos Retornos
0 -R$34.000 0
1 R$10.000 R$10.000
2 R$12.000 R$19.000
3 R$8.000 R$30.000
4 R$10.000 R$40.000
Para o projeto Y, o desembolso inicial foi de R$34.000. A soma dos retornos no ano 3 foi de 
R$30.000 e, no ano 4, foi de R$40.000. Portanto, não se pode dizer que o payback ocorreu nem 
em 3 anos nem em 4 anos. Ocorreu em algum momento intermediário.
Para calcular esse momento intermediário, usaremos o conceito de interpolação linear.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
10 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O método da interpolação linear consiste em dizer que os pedaços correspondentes às duas 
setas são proporcionais.
Para a seta inferior, temos:
Para a seta superior, temos:
Agora, devemos igualar essas razões, porque há uma proporcionalidade entre os comprimen-
tos das setas:
Poderíamos, ainda, dizer que o investimento X é mais vantajoso do ponto de vista do payback, 
porque tem um retorno mais rápido. Se você quer investir, você deseja o retorno mais rápido 
possível, não é verdade?
X – = 3 anos e Y = 3,4 anos.
O payback simples tem como principal vantagem o fato de ser muito simples de calcular 
e entender.
Quando dizemos, “teremos o retorno desse investimento em 4 anos”, é bem fácil de enten-
der e explicar para outras pessoas.
Porém, podemos notar dois problemas no payback simples:
• Não leva em conta os efeitos do tempo sobre o retorno, por exemplo, a inflação.
Exemplo: no caso da questão 0, é irrelevante se o retorno do investimento ocorreu no valor 
de R$10.000 nos três primeiros anos ou se ocorreu no valor de R$30.000 no terceiro ano. Em 
ambos os casos, o payback será de 3 anos.
• Ignora o que acontece após o payback.
Exemplo: se o investimento teve um payback em 3 anos, pouco importa o que aconteceu 
depois.
Se ele se tornou improdutivo e não gerou mais receita ou se o fluxo de caixa triplicou, é irrele-
vante para esse método de análise.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
11 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
003. (CESGRANRIO/PETROBRAS/ADMINISTRADOR PLENO/2005) Observe os fluxos de 
caixa de dois projetos de investimento, A e B. Os valores monetários estão em milhares de 
reais. Considere uma empresa cujo custo de capital seja 10% ao ano e que possa investir em 
um dos projetos (mas não em ambos).
Época → 0 1 2 3
Projeto ↓
A – 80 30 40 50
B – 160 60 70 90
Taxas internas de Retorno: TIR (A) = 21,25% a.a.
 TIR (B) = 16,50%
Valores presentes Líquidos (i = 10% a.a.): VPL (A) 17,90
 VPL (B) = 20,02
O tempo de retorno (payback) não descontado do projeto A é:
a) 2 anos.
b) 2,2 anos.
c) 2,5 anos.
d) 2,8 anos.
e) 3 anos.
Vamos somando os retornos associados ao projeto A ao longo do tempo até que eles se 
igualem ao desembolso:
Ano Fluxo de Caixa Soma dos Retornos
0 -80 0
1 30 30
2 40 70
3 50 120
No ano 2, tivemos uma soma de retornos igual a 70 e, no ano 3, igual a 120. Portanto, o payba-
ck ocorrerá em um momento intermediário. Calcularemos esse momento usando a interpola-
ção linear:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
12 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Agora, faremos a proporção entre a seta inferior e a seta superior:
Letra b.
004. (INÉDITA/2021) O payback desconsidera o efeito do dinheiro no tempo e os retornos 
posteriores ao período de 3 anos.
Por fim, realmente o payback ignora todos os retornos ocorridos depois do prazo em que acon-
tece. Desse modo, o que acontece após o ano 3 é irrelevante.
Certo.
2.2. Payback desContAdo
O payback descontado busca considerar o efeito do tempo. Sua técnica é muito semelhan-
te ao payback simples, porém os retornos sofrem o efeito de uma taxa de desconto – normal-
mente, racional composto.
É muito comum que as questões utilizem o conceito de payback descontado, bem mais do 
que fazer contas. Infelizmente, quando essas questões de contas aparecem, elas costumam 
dar muito trabalho braçal ao candidato(a).
Vamos a um exemplo para você entender melhor.
005. (IESES/GASBRASILIANO/ECONOMISTA JR/2017) O Payback Descontado é uma técni-
ca de análise de investimentos que:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
13 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a) Informa o valor líquido de um investimento considerando o valor do dinheiro no tempo.
b) Informa o tempo de retorno de um investimento considerando o valor do dinheiro no tempo.
c) Informa o tempo de retorno de um investimento desconsiderando o valor do dinheiro 
no tempo.
d) Informa a taxa de rentabilidade de um investimento considerando o valor do dinhei-
ro no tempo.
Como visto, o payback descontado se relaciona com o prazo de retorno do investimento, com 
o tempo necessário para que o investimento se pague.
Além disso, ao contrário do payback simples, ele considera o valor do dinheiro no tempo, por 
meio da aplicação de um desconto racional.
Letra b.
006. (INÉDITA/2021) Um projeto X e um projeto Y preveem investimentos iniciais de 
R$30.000,00 e R$34.000,00, respectivamente. As receitas previstas ao longo dos anos para os 
dois projetos são mostradas no quadro abaixo. Calcule o payback descontado do projeto X a 
uma taxa de 10% ao ano. Use uma calculadora.
Ano Projeto X Projeto Y
0 –R$ 30.000 – R$ 34.000
1 R$ 10.000 R$ 10.000
2 R$ 9.000 R$ 12.000
3 R$ 11.000 R$ 8.000
4 R$ 8.000 R$ 10.000
5 R$ 10.000 R$ 7.000
Tomemos, como exemplo, o projeto X. Calcularemos a soma dos retornos à medida que os 
anos forem passando.
Ano Fluxo Fluxo Descontado Soma
0 -R$30.000
1 R$10.000 R$ 9.090,91 R$9.090,91
2 R$9.000 R$ 7.438,02 R$16.528,93
3 R$11.000 R$ 8.264,46 R$24.793,39
4 R$8.000 R$ 5.464,11 R$30.257,50
5 R$10.000 R$ 6.209,21 -
O payback aconteceu, portanto, muito próximo de 4 anos.
4 anos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição,sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
14 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O payback descontado tem como vantagem em relação ao payback simples o fato de levar 
em conta o efeito do tempo sobre o investimento.
Porém, ainda continua sendo um método não exato, não leva em conta o que acontece 
com o projeto após o momento em que ocorre o payback.
Se o payback simples ou descontado de um projeto é de 3 anos, o que acontecerá depois 
desses 3 anos é irrelevante para essa técnica de análise.
Esse problema, com certeza, traz limitações e, por isso, estudaremos nas próximas seções 
os métodos exatos, que levam em consideração todo o prazo de vida útil do projeto.
3. vAlor presente líquido
Trata-se do conceito mais importante neste capítulo sobre investimentos. Com base nele, 
seremos capazes de derivar todos os demais conceitos.
O valor presente líquido corresponde à soma dos valores atuais de todos os fluxos de caixa 
associados ao projeto.
Considere o seguinte fluxo de caixa previsto para um determinado projeto.
Desenharemos os desembolsos como uma seta para baixo e os retornos como uma seta 
para cima.
Retornos 
(+) Positivo
Desembolsos 
(+) PositivoD
R1 R2 R3
1 2 3 n
Rn
Figura 3: Valor Presente Líquido.
Para o cálculo do valor presente líquido, adotaremos o sinal negativo para os desembolsos 
(ou gastos) e o sinal positivo para os retornos.
Além disso, devemos considerar o efeito do tempo. Assim, devemos aplicar um desconto 
racional sobre todos os fluxos de renda futuros.
Sendo assim, o valor presente líquido do projeto, considerando uma taxa de desconto i, será:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
15 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A taxa de desconto deve ser fornecida pela questão.
A expressão do VPL não precisa ser decorada. Basta você lembrar que os futuros retornos 
R1, R2, …, Rn precisam ser descontados.
É importante destacar que o lado positivo do VPL são os retornos. Portanto, quanto maior 
o VPL, mais atrativo será o investimento.
Na comparação entre dois projetos, o mais atrativo será aquele que apresenta o maior VPL.
Além disso, quando a taxa de desconto for a própria TMA (taxa mínima de atratividade), 
poderemos julgar, com base no VPL, se o projeto é atrativo ou não.
• VPL > 0: investimento atrativo;
• VPL < 0: investimento não é atrativo.
3.1. GráfiCo
Vamos estudar o importantíssimo gráfico do VPL ao longo do tempo.
Na seção Erro! Fonte de referência não encontrada., aprendemos a calcular o VPL consi-
derando todo o projeto. Agora, vamos fazer uma pequena generalização.
O VPL no ano 1 será calculado considerando apenas os retornos até o ano 1:
O VPL no ano 2 será calculado considerando apenas os retornos até o ano 2:
E, assim, por diante.
Agora, considere um investimento inicial de R$500 mil ao ano com retornos constantes de 
R$80 mil por ano pelos próximos 20 anos.
O comportamento do VPL ao longo do tempo está mostrado na Figura 4.
Figura 4: Gráfico do Valor Presente Líquido.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
16 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Precisamos notar alguns pontos sobre esse gráfico. Em primeiro lugar, quanto maiores fo-
rem as taxas de desconto, maiores serão os seus efeitos sobre os retornos futuros. Portanto, 
menor será a parte positiva do VPL.
Por isso, quanto maiores forem as taxas de desconto, menor será o VPL. Esse é um ponto 
importantíssimo a se notar.
Para calcular o montante total acumulado, devemos levar cada uma das prestações a valor 
futuro, como ilustrado na Figura 5.
Figura 5: Taxas Crescentes no Gráfico do VPL.
Mais um ponto que precisa ser notado é o momento em que o gráfico do VPL encontra o 
eixo das abscissas. Nessa situação, o VPL se anula.
Observe que, nesse momento, tem-se que a soma dos retornos descontados é igual ao 
desembolso inicial. Essa situação corresponde exatamente ao payback descontado.
Figura 6: Payback Descontado no Gráfico do VPL.
A Figura 6 mostra que o VPL do projeto a uma taxa de 5% é de pouco mais de 8 anos, a 7% 
é de pouco mais de 9 anos e, a 10%, é de cerca de 11 anos.
No caso da taxa TIR, que será estudada mais adiante, tem-se que o payback descontado é 
igual ao prazo do projeto, no caso, 20 anos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
17 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
3.2. tAxA internA de retorno
Considere a expressão do VPL para todo o projeto.
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que anula o VPL.
No caso da Figura 4, tivemos os seguintes fluxos: no ano 0, um desembolso de R$500.000 
e, nos anos 1 a 20, temos retornos de R$80.000.
Nesse caso, podemos calcular a TIR por meio de uma planilha de Excel e encontraremos o 
valor de 15,03%.
Gostaria de dizer que o cálculo da TIR nesse caso é muito complexo, de modo que, na 
maioria das vezes, só é possível calculá-la numericamente com o auxílio de softwares, como o 
Excel, onde você pode usar a função TIR.
A fim de ajudar você a entender como funciona o conceito de TIR, criamos a Tabela 1, que 
mostra o que acontece com esse indicador quando variamos os retornos.
Ano Fluxo Ano Fluxo Ano Fluxo
0 -R$500.000 0 -R$500.000 0 -R$500.000
1 a 20 +R$80.000 1 a 20 +R$100.000 1 a 20 +R$50.000
TIR 15,03% TIR 19,43% TIR 7,75%
Tabela 1: Cálculo da Taxa Interna de Retorno.
Você pode fazer essas simulações ou mesmo outras com o auxílio desta planilha de Excel. 
Sugerimos que você faça o download dela para o seu computador. Acesse o link: https://drive.
google.com/file/d/1weqkay0Ser-d9a1A7FiA1r9D0PHloSXu/view
Aconselhamos que você faça várias simulações aumentando e diminuindo os retornos 
futuros para que você entenda o que acontece com a TIR e com o VPL.
Uma relação importante a se extrair a respeito da TIR e outras taxas de desconto sobre o 
VPL é que:
• quando a taxa de desconto é inferior à TIR, o VPL é positivo;
• quando a taxa de desconto é igual à TIR, o VPL se anula – essa é a definição da TIR;
• quando a taxa de desconto é superior à TIR, o VPL será negativo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
18 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Tabela 2: Taxa de Desconto e VPL.
A respeito da comparação de investimentos, temos que, quanto maior a taxa interna de 
retorno, mais atrativo será o investimento. Afinal, você quer mais retorno, não é?
Além disso, em comparação à taxa mínima de atratividade (TMA):
• TIR > TMA: o investimento é atrativo;
• TIR < TMA: o investimento não é atrativo.
E, agora, vamos fazer alguns exercícios?007. (FCC/TRT-13ª/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2014) Um investimento re-
sulta em três recebimentos parciais: R$ 3.373,40 ao final do primeiro mês, R$ 3.407,14 ao final 
do segundo mês e R$ 3.441,20 ao final do terceiro mês. Dada a taxa de desconto de 1,00% ao 
mês, e considerando o critério do desconto racional composto, o valor presente aproximado 
desse fluxo de caixa é, em reais,
a) 10.222,00.
b) 10.426,00.
c) 9.915,00.
d) 10.020,00.
e) 9.728,00.
Questão bem interessante para entendermos melhor o conceito de fluxo de caixa.
Façamos um diagrama representando os três recebimentos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
19 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
As setas indicam que os três recebimentos parciais devem ser trazidos a valor presente. Dessa 
forma, temos:
Letra d.
008. (CESPE/TCU/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO/2015) Recentemente, a 
empresa Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, conhecido como Hadrian 105, capaz 
de construir casas em tempo recorde. Ele consegue trabalhar algo em torno de 20 vezes mais 
rápido que um ser humano, sendo capaz de construir até 150 casas por ano, segundo informa-
ções da empresa que o fabrica.
Tendo como referência as informações acima, julgue o item a seguir.
Situação hipotética: A empresa Fast Brick Roboties investiu R$ 500.000,00 na fabricação de 
uma máquina Hadrian 105 e, com ela, obteve, um ano depois, uma receita de R$ 250.000,00.
Assertiva: Nesse caso, para garantir uma rentabilidade anual de 20% sobre o capital investido, 
a referida empresa terá de auferir, no mínimo, uma receita igual a R$ 420.000,00 com a máqui-
na ao final do segundo ano.
Desenharemos o fluxo de caixa equivalente a essa transação:
Agora, calculemos o VPL a uma taxa de desconto de 20%:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
20 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A maneira mais fácil de resolver esse problema é multiplicando por 1,22.
Certo.
009. (FGV/ISS CUIABÁ/AFTM/2014) O ponto x, interseção da curva com o eixo horizontal, é 
denominado:
VPL acumulado
Período
X
VPL = Valor Presente Líquido
a) Taxa Interna de Retorno.
b) Tempo mínimo necessário para a TIR ser nula.
c) Payback descontado.
d) Tempo mínimo necessário para o custo de oportunidade do capital ser nulo.
e) Payback bruto.
Como já vimos anteriormente, o momento em que os retornos futuros descontados igualam o 
desembolso inicial é o payback descontado.
Letra c.
010. (FGV/CODEMIG/ANALISTA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS/2016) Um analista de 
projetos avaliou um projeto de investimento com vida útil de 12 (doze) anos, que apresenta 
fluxo de caixa convencional, ou seja, projeções futuras líquidas todas positivas. Ele utilizou 
uma taxa de desconto igual a 20% a.a. para calcular o payback descontado do projeto, que 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
21 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
resultou em 8 anos. Dessa maneira, é correto afirmar que o analista também encontrou para o 
mesmo projeto:
a) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL > 0; TIR > 20% a.a.
b) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL = 0; TIR = 20% a.a.
c) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL < 0; TIR < 20% a.a.
d) Payback simples ou nominal < 8 anos; VPL > 0; TIR > 20% a.a.
e) Payback simples ou nominal < 8 anos; VPL < 0; TIR < 20% a.a.
Excelente questão. A melhor forma de entendê-la é traçando o gráfico do VPL.
Se existe um payback descontado à taxa de 20% ao ano, podemos garantir que o VPL final do 
projeto será positivo. Em cinza (curva superior), desenhamos a curva do VPL a essa taxa, mos-
trando o payback descontado de 8 anos.
Na curva amarela (inferior), mostramos a taxa interna de retorno (TIR), que é a taxa que 
anula o VPL.
Teremos que TIR > 20%, porque, no gráfico do VPL, as taxas crescem para baixo.
Dessa maneira, nossas conclusões são: VPL > 9, TIR > 20%.
Por outro lado, sabemos que o payback simples é sempre mais rápido que o payback descontado.
Letra d.
011. (INÉDITA/2021) A taxa interna de retorno é inerente a fatores pessoais e subjetivos, sen-
do, portanto, impossível calcular um valor único que se aplique a todos os investidores.
A questão apresentou o conceito de taxa mínima de atratividade (TMA) e buscou confundi-lo 
com a taxa interna de retorno (TIR). Não confunda.
Errado.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
22 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
012. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) A escolha de um projeto envolve a comparação 
das alternativas de investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um projeto 
será financeiramente recomendável em relação a outros investimentos se a taxa mínima de 
atratividade for superior à taxa interna de retorno.
Vimos que um projeto é atrativo quando a taxa interna de retorno é superior à taxa mínima de 
atratividade.
Errado.
013. (CESPE/FUNPRESP/EXE/2016) Na avaliação de projetos pelo método do valor presente 
líquido (VPL), o fluxo de caixa do projeto é sempre descontado a valor presente pela taxa inter-
na de retorno (TIR) associada ao projeto.
Na verdade, qualquer taxa de desconto pode ser utilizada no VPL. Quando essa taxa é a TIR, 
o VPL se anulará. Quando for a TMA, o investimento será atrativo se, e somente se, o VPL for 
maior que zero.
Errado.
014. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2010) Considere que uma empresa tenha feito um inves-
timento de R$ 20.000,00, para obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectiva-
mente, ao final de cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de mercado 
for inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável.
Façamos um esquema referente aos fluxos de caixa do investimento citado:
Calculemos, agora, o VPL a uma taxa de desconto 9% ao ano:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
23 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para facilitar as contas, podemos multiplicar a equação por (1,09)²:
Portanto, considerando a taxa de 9% ao ano, o investimento é economicamente viável.
Certo.
3.2.1. Projetos Replicáveis
Um projeto replicável é aquele que pode ser realizado várias vezes ao mesmo tempo, sem 
comprometer os seus retornos futuros. Pense, por exemplo, que você deseja comprar apar-
tamentos para alugar e que você disponha de dinheiro suficiente para comprar vários em um 
mesmo prédio.
Suponha que o apartamentocuste R$100 mil e que o aluguel recebido seja igual a R$1 mil.
Se você comprar dois apartamentos, você vai precisar investir R$200 mil, porém receberá 
R$2 mil de aluguel.
Se você comprar três apartamentos, você vai precisar investir R$300 mil, porém receberá 
R$3 mil de aluguel.
Quando é possível replicar n vezes um projeto, podemos dizer que:
• o seu valor presente líquido fica multiplicado por n;
• a sua taxa interna de retorno permanece igual.
3.3. índiCe de luCrAtividAde (ill)
Como ilustrado na Figura 4, o valor presente líquido (VPL) possui duas partes:
• parte negativa: corresponde ao desembolso inicial;
• parte positiva: corresponde aos retornos descontados.
Podemos simplificar da seguinte forma:
O índice de lucratividade é dado pela razão entre a parte positiva (os retornos) e a parte 
negativa (o desembolso) do VPL:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
24 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Em relação à atratividade de investimentos, precisamos que:
• ILL – > 1: investimento é atrativo;
• ILL – < 1: investimento não é atrativo.
A razão para essa relação é simples: quando o índice de lucratividade é maior que 1, os re-
tornos descontados serão maiores que o desembolso. Por isso, o VPL será positivo. Portanto, 
o investimento será atrativo.
015. (FGV/CODEMIG/ANALISTA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS/2015) Um projeto de 
investimento de vida útil estimada de 12 (doze) anos e que apresenta um único fluxo de cai-
xa negativo, referente ao seu investimento inicial, passou por uma avaliação intensiva de um 
grupo de três analistas. Cada um deles ficou responsável por uma das seguintes técnicas de 
análise: Valor Presente Líquido – VPL; Taxa Interna de Retorno – TIR; Índice de Lucratividade 
Líquida - ILL. Um dos analistas encontrou VPL negativo, outro encontrou ILL maior que 1 (um), 
e o terceiro encontrou TIR maior que a taxa de desconto utilizada no cálculo do VPL. Conside-
rando que, de fato, o VPL do projeto é negativo, os cálculos da TIR e do ILL:
a) estão certos e coerentes com o resultado do VPL;
b) estão certos, mas não coerentes com o resultado do VPL;
c) podem estar certos; não estando coerentes com o resultado do VPL;
d) estão errados, mas coerentes com o resultado do VPL;
e) estão errados e não coerentes com o resultado do VPL.
A TIR e o ILL são métodos exatos, são diretamente derivados do VPL. Dessa maneira, os três 
métodos devem apresentar sempre o mesmo resultado.
Sendo assim, se o VPL negativo está correto, a TIR e o ILL foram calculados erradamente, pois 
não estão coerentes com o VPL negativo. O VPL negativo implica necessariamente em TIR < 
taxa de desconto e ILL < 1.
Letra e.
016. (FCC/SEFIN-RO/2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que 
o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice 
de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
25 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
�R$ 21.600,00
�R$ 25.000,00
�2 anos
�X
�1�0
O valor de X é igual a:
a) R$12.000.
b) R$13.200.
c) R$14.400.
d) R$15.000.
e) R$17.280.
O índice de lucratividade é calculado pela razão entre a parte positiva e a parte negativa do 
VPL, portanto:
Os retornos descontados são calculados por:
Em geral, a forma mais fácil de resolver esses problemas é multiplicar por 1,2². Porém, a FCC 
foi bem gentil, de modo que é possível simplificar.
Letra e.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
26 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
3.4. esColhA de investiMentos
Quando uma empresa se reúne para definir se vai realizar um projeto ou não, o primeiro 
passo é determinar se o projeto é possível ou não, isto é, se a empresa dispõe de capital sufi-
ciente para realizá-lo.
Por capital, não devemos entender exclusivamente o capital financeiro, mas, em muitos 
casos, o capital humano é o principal obstáculo à execução de um projeto.
Pense, por exemplo, que você atua na fabricação de medicamentos genéricos baseados 
em proteínas, mas você não dispõe de nenhum engenheiro químico especializado em síntese 
de proteínas. Esse seria um problema grave, não é? Como seria possível realizar o projeto sem 
o capital humano disponível?
Em questões de prova, é mais comum aparecer o capital financeiro. Se uma empresa dis-
põe de R$1 milhão para investir, ela não pode realizar um projeto que exija mais que esse valor 
como investimento inicial.
Se o projeto for possível, é necessário determinar se ele é economicamente viável. Para 
isso, podem-se utilizar as métricas aprendidas neste material, principalmente, o valor presente 
líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR).
Lembre-se de que um projeto jamais será economicamente viável, se ele não for possível 
de ser realizado. Se um projeto requer um investimento inicial de R$3 milhões, mas a empresa 
só dispõe de R$1 milhão, isso significa que a empresa não tem condições de arcá-lo.
Na matemática, não há espaço para “se ou talvez”. “Se a empresa tivesse R$3 milhões, o 
projeto seria viável” é equivalente a dizer que “o projeto não é viável”.
É bastante comum que uma empresa tenha a opção de escolher entre duas opções de 
investimento, por exemplo, dois projetos A e B. Se os dois projetos forem economicamente 
viáveis, eles podem ser:
• Independentes: nessa situação, a empresa pode optar por fazer ambos os projetos ou 
apenas um deles;
Exemplo: você está construindo uma casa. O projeto A seria construir o terceiro quarto e o pro-
jeto B seria construir uma piscina, supondo que haja espaço e dinheiro suficiente para os dois. 
Você pode fazer o terceiro quarto sem fazer a piscina, e vice-versa. Então, são dois projetos 
independentes.
• Interdependentes: quando a empresa necessita fazer A antes de fazer B. Ela pode até 
fazer o projeto A sozinho, mas não pode fazer o projeto B;
Exemplo: da casa, pense que o projeto A seria levantar uma parede e o projeto B seria aplicar 
cerâmicas nas paredes. Note que, para realizar o projeto B, você precisa antes do projeto A. 
Não é possível aplicar uma cerâmica sem construir as paredes, não é?
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
27 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
• Mutuamente excludentes: quando a empresa não pode realizar os dois projetos simul-
taneamente, por falta de capital, seja ele financeiro ou de outra ordem.
Para decidir entre dois projetos mutuamente excludentes, vamos utilizar o seguinte 
princípio:
Obs.: � quando uma empresa tem dois projetos mutuamente excludentes, ela deve optar por 
aquele que gera o maior valor presente líquido.
Para entender esse princípio, suponha queuma empresa dispõe de R$4 mil para investir, 
que sua taxa mínima de atratividade seja igual a 10% ao ano e que ela tem duas opções de 
investimentos, representados na tabela a seguir:
Ano Projeto A Projeto B
0 – R$1.000 – R$4.000
1 R$400 R$1.000
2 R$300 R$1.200
3 R$300 R$1.300
4 R$200 R$1.200
5 R$300 R$1.000
VPL R$159,84 R$318,07
TIR 17% 13%
Os dois projetos são mutuamente excludentes, porque a empresa não dispõe de capital 
suficiente para os dois.
Essa é uma situação interessante, porque o projeto B oferece um maior valor presente líqui-
do, mas o projeto A tem uma maior taxa interna de retorno.
Nessa situação, embora ambos os projetos sejam economicamente viáveis, os dois indica-
dores se contradizem em relação a qual deles é o mais adequado para investir.
Mas pense que o objetivo de uma empresa é maximizar o seu lucro. Para uma empresa, faz 
mais sentido entrar no projeto que gera o maior valor presente líquido.
Ao optar pelo projeto B, a empresa conseguirá rentabilizar todo o seu capital, lucrando a 
valor presente R$318,07.
Por outro lado, ao optar pelo projeto A, a empresa teria uma boa rentabilidade para o capital 
de R$1.000, com uma TIR de 17% ao ano. Porém, o restante do seu capital (R$3.000) ficaria 
sem nenhuma aplicação e dinheiro parado não rende.
Outra forma de analisar essa situação é usando a TIR incremental, que consiste em avaliar 
o projeto B – A, baseado na diferença dos fluxos de caixa entre os dois projetos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
28 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Ano Projeto A Projeto B Projeto B – A
0 – R$1.000 – R$4.000 – R$3.000
1 R$400 R$1.000 R$600
2 R$300 R$1.200 R$900
3 R$300 R$1.300 R$1000
4 R$200 R$1.200 R$1000
5 R$300 R$1.000 R$700
VPL R$159,84 R$318,07 R$158,23
TIR 17% 13% 12%
Observe que o projeto incremental (B – A) é economicamente viável, porque a sua taxa in-
terna de retorno é superior à taxa mínima de atratividade, ou, ainda, porque seu valor presente 
líquido é positivo.
Desse modo, a empresa deve optar por realizar o projeto A e também o projeto B – A. So-
mando os dois projetos, teremos:
Então, a empresa deve optar por realizar o projeto B.
Sobre o projeto incremental B – A, podemos ainda fazer algumas observações:
• o seu valor presente líquido é sempre igual à diferença entre os valores presentes líqui-
dos dos projetos B e A;
• a taxa interna de retorno (TIR) do projeto B é sempre intermediária entre as TIRs dos 
projetos A e B – A.
Embora a TIR de B – A esteja relacionada com as TIRs dos projetos A e B, não há uma 
relação direta entre elas que permita calcular a TIR de B – A diretamente a partir da TIR dos 
projetos A e B.
017. (CESGRANRIO/PETROBRAS/ADMINISTRADOR PLENO/2005) Observe os fluxos de 
caixa de dois projetos de investimento, A e B. Os valores monetários estão em milhares de 
reais. Considere uma empresa cujo custo de capital seja 10% ao ano e que possa investir em 
um dos projetos (mas não em ambos).
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
29 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Época → 0 1 2 3
Projeto ↓
A – 80 30 40 50
B – 160 60 70 90
Taxas internas de Retorno: TIR (A) = 21,25% a.a.
 TIR (B) = 16,50%
Valores presentes Líquidos (i = 10% a.a.): VPL (A) 17,90
 VPL (B) = 20,02
Para a empresa é:
a) melhor investir em B porque VPL(B) > VPL(A).
b) melhor investir em A porque TIR(A) > TIR(B).
c) melhor investir em A porque A necessita de um volume menor de investimento.
d) melhor não investir nem em A nem em B.
e) indiferente investir em A ou em B.
Considerando que a empresa só pode investir em um dos dois projetos e que ela deseja ma-
ximizar o seu lucro total, a empresa deve preferir o projeto que tenha o maior valor presente 
líquido. Nesse caso, ela deve investir no projeto B.
Embora o projeto A tenha uma taxa interna de retorno superior, essa taxa é aplicada a um 
capital menor de 80 milhões. Investir em A significaria ter um bom rendimento para esses 80 
milhões, porém abandonar a possibilidade de ter um retorno sobre os outros 80 milhões.
O projeto B, por sua vez, tem uma taxa interna de retorno inferior, porém rentabiliza todo o ca-
pital de 160 milhões, trazendo um lucro absoluto total melhor para a companhia.
Letra a.
018. (INÉDITA/2021) O investimento A é mais vantajoso que o investimento B do ponto de 
vista da taxa interna de retorno, mas o investimento B é mais vantajoso que o investimento A 
do ponto de vista do payback.
Já calculamos na questão 0 o payback do investimento A. Agora, façamos a mesma conta 
para o investimento B.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
30 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Ano Projeto B Soma dos Retornos
0 -160 0
1 60 60
2 70 130
3 90 220
Precisaremos calcular o payback por meio de uma interpolação linear. Montemos o esquema:
Agora, façamos a proporcionalidade entre a seta inferior e a superior:
Portanto, o investimento B possui um payback mais lento que o investimento A. Assim, do pon-
to de vista do payback simples, o investimento A é mais vantajoso.
Do ponto de vista da TIR, o investimento A tem uma TIR maior, desse modo é mais vantajoso.
Sendo assim, o investimento A é mais vantajoso que o B do ponto de vista de ambos os 
indicadores.
No entanto, é importante salientar que é possível que um investimento seja mais vantajoso do 
ponto de vista do payback, mas menos vantajoso do ponto de vista da TIR, porque o payback 
não é um método exato.
Errado.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
31 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
QUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. (FGV/ISS CUIABÁ/AFTM/2016) Em relação à taxa mínima de atratividade, em um con-
texto de análise de investimentos, analise as afirmativas a seguir.
I – A taxa mínima de atratividade representa o custo de oportunidade do capital, podendo ser 
maior ou menor do que a taxa interna de retorno do investimento avaliado.
II – A taxa mínima de atratividade é a taxa que iguala o fluxo líquido presente no projeto anali-
sado a zero.
III – Se a taxa mínima de atratividade for menor do que o payback descontado bruto, o projeto 
deve ser executado.
Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente a afirmativa II estiver correta.
c) se somente a afirmativa III estiver correta.
d) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
002. (SÉRGIO CARVALHO/2016) Um projeto X e um projeto Y preveem investimentos iniciais 
de R$30.000,00 e R$34.000,00, respectivamente. As receitas previstas ao longo dos anos para 
os dois projetos são mostradas no quadro abaixo. Calcule o payback simples de cada projeto.Ano Projeto X Projeto Y
0 –R$ 30.000 – R$ 34.000
1 R$ 10.000 R$ 10.000
2 R$ 9.000 R$ 12.000
3 R$ 11.000 R$ 8.000
4 R$ 8.000 R$ 10.000
5 R$ 10.000 R$ 7.000
003. (CESGRANRIO/PETROBRAS/ADMINISTRADOR PLENO/2005) Observe os fluxos de 
caixa de dois projetos de investimento, A e B. Os valores monetários estão em milhares de 
reais. Considere uma empresa cujo custo de capital seja 10% ao ano e que possa investir em 
um dos projetos (mas não em ambos).
Época → 0 1 2 3
Projeto ↓
A – 80 30 40 50
B – 160 60 70 90
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
32 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Taxas internas de Retorno: TIR (A) = 21,25% a.a.
 TIR (B) = 16,50%
Valores presentes Líquidos (i = 10% a.a.): VPL (A) 17,90
 VPL (B) = 20,02
O tempo de retorno (payback) não descontado do projeto A é:
a) 2 anos.
b) 2,2 anos.
c) 2,5 anos.
d) 2,8 anos.
e) 3 anos.
004. (INÉDITA/2021) O payback desconsidera o efeito do dinheiro no tempo e os retornos 
posteriores ao período de 3 anos.
005. (IESES/GASBRASILIANO/ECONOMISTA JR/2017) O Payback Descontado é uma técni-
ca de análise de investimentos que:
a) Informa o valor líquido de um investimento considerando o valor do dinheiro no tempo.
b) Informa o tempo de retorno de um investimento considerando o valor do dinheiro no tempo.
c) Informa o tempo de retorno de um investimento desconsiderando o valor do dinhei-
ro no tempo.
d) Informa a taxa de rentabilidade de um investimento considerando o valor do dinhei-
ro no tempo.
006. (INÉDITA/2021) Um projeto X e um projeto Y preveem investimentos iniciais de 
R$30.000,00 e R$34.000,00, respectivamente. As receitas previstas ao longo dos anos para os 
dois projetos são mostradas no quadro abaixo. Calcule o payback descontado do projeto X a 
uma taxa de 10% ao ano. Use uma calculadora.
Ano Projeto X Projeto Y
0 –R$ 30.000 – R$ 34.000
1 R$ 10.000 R$ 10.000
2 R$ 9.000 R$ 12.000
3 R$ 11.000 R$ 8.000
4 R$ 8.000 R$ 10.000
5 R$ 10.000 R$ 7.000
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
33 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
007. (FCC/TRT-13ª/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2014) Um investimento re-
sulta em três recebimentos parciais: R$ 3.373,40 ao final do primeiro mês, R$ 3.407,14 ao final 
do segundo mês e R$ 3.441,20 ao final do terceiro mês. Dada a taxa de desconto de 1,00% ao 
mês, e considerando o critério do desconto racional composto, o valor presente aproximado 
desse fluxo de caixa é, em reais,
a) 10.222,00.
b) 10.426,00.
c) 9.915,00.
d) 10.020,00.
e) 9.728,00.
008. (CESPE/TCU/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO/2015) Recentemente, a 
empresa Fast Brick Robotics mostrou ao mundo um robô, conhecido como Hadrian 105, capaz 
de construir casas em tempo recorde. Ele consegue trabalhar algo em torno de 20 vezes mais 
rápido que um ser humano, sendo capaz de construir até 150 casas por ano, segundo informa-
ções da empresa que o fabrica.
Tendo como referência as informações acima, julgue o item a seguir.
Situação hipotética: A empresa Fast Brick Roboties investiu R$ 500.000,00 na fabricação de 
uma máquina Hadrian 105 e, com ela, obteve, um ano depois, uma receita de R$ 250.000,00.
Assertiva: Nesse caso, para garantir uma rentabilidade anual de 20% sobre o capital investido, 
a referida empresa terá de auferir, no mínimo, uma receita igual a R$ 420.000,00 com a máqui-
na ao final do segundo ano.
009. (FGV/ISS CUIABÁ/AFTM/2014) O ponto x, interseção da curva com o eixo horizontal, é 
denominado:
VPL acumulado
Período
X
VPL = Valor Presente Líquido
a) Taxa Interna de Retorno.
b) Tempo mínimo necessário para a TIR ser nula.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
34 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
c) Payback descontado.
d) Tempo mínimo necessário para o custo de oportunidade do capital ser nulo.
e) Payback bruto.
010. (FGV/CODEMIG/ANALISTA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS/2016) Um analista de 
projetos avaliou um projeto de investimento com vida útil de 12 (doze) anos, que apresenta 
fluxo de caixa convencional, ou seja, projeções futuras líquidas todas positivas. Ele utilizou 
uma taxa de desconto igual a 20% a.a. para calcular o payback descontado do projeto, que 
resultou em 8 anos. Dessa maneira, é correto afirmar que o analista também encontrou para o 
mesmo projeto:
a) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL > 0; TIR > 20% a.a.
b) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL = 0; TIR = 20% a.a.
c) Payback simples ou nominal > 8 anos; VPL < 0; TIR < 20% a.a.
d) Payback simples ou nominal < 8 anos; VPL > 0; TIR > 20% a.a.
e) Payback simples ou nominal < 8 anos; VPL < 0; TIR < 20% a.a.
011. (INÉDITA/2021) A taxa interna de retorno é inerente a fatores pessoais e subjetivos, sen-
do, portanto, impossível calcular um valor único que se aplique a todos os investidores.
012. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) A escolha de um projeto envolve a comparação 
das alternativas de investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um projeto 
será financeiramente recomendável em relação a outros investimentos se a taxa mínima de 
atratividade for superior à taxa interna de retorno.
013. (CESPE/FUNPRESP/EXE/2016) Na avaliação de projetos pelo método do valor presente 
líquido (VPL), o fluxo de caixa do projeto é sempre descontado a valor presente pela taxa inter-
na de retorno (TIR) associada ao projeto.
014. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2010) Considere que uma empresa tenha feito um inves-
timento de R$ 20.000,00, para obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectiva-
mente, ao final de cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de mercado 
for inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável.
015. (FGV/CODEMIG/ANALISTA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS/2015) Um projeto de 
investimento de vida útil estimada de 12 (doze) anos e que apresenta um único fluxo de cai-
xa negativo, referente ao seu investimento inicial, passou por uma avaliação intensiva de um 
grupo de três analistas. Cada um deles ficou responsável por uma das seguintes técnicas de 
análise: Valor Presente Líquido – VPL; Taxa Interna de Retorno – TIR; Índice de Lucratividade 
Líquida - ILL. Um dos analistas encontrou VPL negativo, outro encontrou ILL maior que 1 (um), 
e o terceiro encontrou TIR maior que a taxa de desconto utilizada no cálculo do VPL. Conside-
rando que, de fato, o VPL do projeto é negativo, os cálculos da TIR e do ILL:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
35 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a) estão certos e coerentes com o resultado do VPL;
b) estão certos, mas não coerentes com o resultado do VPL;
c) podem estar certos; não estando coerentes com o resultado do VPL;
d) estãoerrados, mas coerentes com o resultado do VPL;
e) estão errados e não coerentes com o resultado do VPL.
016. (FCC/SEFIN-RO/2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que 
o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice 
de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176.
�R$ 21.600,00
�R$ 25.000,00
�2 anos
�X
�1�0
O valor de X é igual a:
a) R$12.000.
b) R$13.200.
c) R$14.400.
d) R$15.000.
e) R$17.280.
017. (CESGRANRIO/PETROBRAS/ADMINISTRADOR PLENO/2005) Observe os fluxos de 
caixa de dois projetos de investimento, A e B. Os valores monetários estão em milhares de 
reais. Considere uma empresa cujo custo de capital seja 10% ao ano e que possa investir em 
um dos projetos (mas não em ambos).
Época → 0 1 2 3
Projeto ↓
A – 80 30 40 50
B – 160 60 70 90
Taxas internas de Retorno: TIR (A) = 21,25% a.a.
 TIR (B) = 16,50%
Valores presentes Líquidos (i = 10% a.a.): VPL (A) 17,90
 VPL (B) = 20,02
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
36 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para a empresa é:
a) melhor investir em B porque VPL(B) > VPL(A).
b) melhor investir em A porque TIR(A) > TIR(B).
c) melhor investir em A porque A necessita de um volume menor de investimento.
d) melhor não investir nem em A nem em B.
e) indiferente investir em A ou em B.
018. (INÉDITA/2021) O investimento A é mais vantajoso que o investimento B do ponto de 
vista da taxa interna de retorno, mas o investimento B é mais vantajoso que o investimento A 
do ponto de vista do payback.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
37 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
QUESTÕES DE CONCURSO
Certo produto foi anunciado por um preço P, valor que o vendedor aceita dividir em até três 
parcelas iguais, mensais e sucessivas, com ou sem estrada, conforme o desejo do cliente. No 
caso de pagamento à vista, o vendedor aceita entregar o produto por 0,9P.
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.
019. (CESPE/TC-DF/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2021) Se, ao adquirir o produto, o 
cliente optar por dar uma entrada e pagar o restante do valor do produto no mês seguinte, ele 
pagará uma taxa de juros efetiva superior a 10% a.m.
Nessa comparação, o cliente pode pagar 0,90P à vista ou P depois de um mês. Dessa forma, o 
fluxo de caixa correspondente à situação seria:
Para o fluxo de caixa correspondente ao pagamento depois de 1 mês, devemos considerar 
uma taxa de desconto.
A taxa efetiva de desconto é aquela que iguala os dois fluxos de caixa:
Resolvendo a proporção, teremos:
Portanto, a taxa de juros efetiva é realmente superior a 10%.
Certo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
38 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
020. (CESPE/TC-DF/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2021) Se, no momento da compra 
do produto, um cliente optar pelo parcelamento em três vezes com entrada e outro cliente 
optar pelo pagamento em duas parcelas sem entrada, ambos pagarão a mesma taxa de ju-
ros efetiva.
Ambos pagarão o mesmo valor total (P), porém, os desembolsos ocorrem de forma diferente. 
O cliente que paga em três vezes desembolsará uma entrada, portanto ele pagará mais rapida-
mente. Já o outro cliente começará a desembolsar no mês seguinte, de modo que a sua taxa 
efetiva de desconto será superior.
Errado.
021. (CESPE/TC-DF/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2021) Se i indica a taxa de juros 
efetiva paga por um cliente que opta pelo parcelamento em três vezes sem entrada, fazendo-se 
x = 1 + i, tem-se que x deve satisfazer a equação 2,7x³ – x² – x – 1 = 0.
Nessa situação, o fluxo de pagamentos à vista corresponde a 0,90P. Já o fluxo de caixa parce-
lado corresponde a três parcelas de P/3, sendo a primeira paga um mês após comprar o bem.
Aplicando uma taxa de desconto ief como a taxa de desconto efetiva, temos que essa taxa 
igualará o fluxo de pagamentos parcelado ao fluxo de pagamento à vista.
Fazendo a substituição x = 1 + i, teremos:
Simplificando tudo por P, teremos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
39 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Em seguida, vamos multiplicar tudo por x³:
Multiplicando tudo por 3, teremos:
Passando tudo para o lado esquerdo da equação, teremos:
Certo.
022. (CESPE/TC-DF/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO/2021) Se, ao adquirir o produto, o 
cliente optar por pagar o valor P com um cheque para o mês seguinte, ele pagará uma taxa de 
juros efetiva de 10% a.m.
Nessa comparação, o cliente pode pagar 0,90P à vista ou P depois de um mês. Dessa forma, o 
fluxo de caixa correspondente à situação seria:
Para o fluxo de caixa correspondente ao pagamento depois de 1 mês, devemos considerar 
uma taxa de desconto.
A taxa efetiva de desconto é aquela que iguala os dois fluxos de caixa:
Simplificando tudo por P, teremos:
Portanto, a taxa de desconto é maior que 10%, e não igual a 10% ao mês.
Errado.
023. (FGV/AL-RO/ASSISTENTE LEGISLATIVO/TÉCNICO EM LOGÍSTICA/2018) Uma em-
presa, com custo de capital para investimento de 15% ao ano, precisa escolher entre os cinco 
projetos de expansão listados a seguir, que terão retorno ao longo de 7 anos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
40 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Segundo a metodologia do Valor Presente Líquido (VPL), o projeto que deve ser selecionado 
por apresentar a melhor expectativa de retorno, é o:
a) Projeto I.
b) Projeto II.
c) Projeto III.
d) Projeto IV.
e) Projeto V.
Fazer o VPL de cada um dos projetos daria um trabalho inviável. Porém, podemos resolver 
mais rapidamente a questão, se nós refletirmos sobre o significado do VPL.
Vejamos a sua expressão:
Em uma análise mais a fundo, vemos que quanto mais longe a parcela está do dia de hoje, 
menos ela vale. E isso é verdade, pois sabemos que é muito melhor receber um capital à vista 
do que parcelado, devido à sua depreciação.
Agora, de acordo com o quadro do enunciado, o projeto que acumula lucros mais próximos da 
data 0 é o I.
Letra a.
024. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR/ECONOMIA OU 
GESTÃO FINANCEIRA/2017) Considere o seguinte fluxo de caixa:
Ano 0: -100
Ano 1: 100
Ano 2: 10
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
41 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A TIR e o payback simples são, respectivamente,
a) iguais a 10% e 2 anos.
b) maior do que 10% e igual a 1 ano.
c) maior do que 10% e igual a 2 anos.
d) menor do que 10% e igual a 1 ano.
e) menor do que 10% e igual a 2 anos.
Construindo o fluxo de caixa de maneira a facilitar a visualização, temos:
Para encontrarmos a TIR, consideramos VPL=0 na expressão:
Multiplicando ambos os lados da equação acima por (1+i)2 para facilitar nossos cálculos:
Temos, acima, uma equação de segundo grau que pode ser resolvida com a mudança de 
variáveis:
Substituindo a mudança acima em (I), temos:
Dividindo ambos os lados por 10, a nova equação será:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
42 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Podemos resolver por Bhaskara, como se segue:
De volta a (II):
Não faz sentido considerar uma taxa de desconto negativa. Portanto, vamos para a outra opção:
O payback é definido pelo tempo necessário para que o investimento seja retornado. Para o flu-
xo de caixa do exercício, os R$ 100,00 investidos retornam no ano seguinte quando há receita 
de R$ 100,00.
Por fim, a alternativa que descreve corretamente payback e TIR é a “d”, TIR menor que 10% e 
payback igual a 1 ano.
Letra d.
025. (FCC/SEGEP-MA/ANALISTA PREVIDENCIÁRIO/ATUARIAL E CONTÁBIL/2018) A Cia. 
Devedora adquiriu um imóvel para ser pago em 4 prestações iguais de R$ 30.000,00, vencíveis 
em 30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 3% ao 
mês. Se a Cia. Devedora desejasse comprar o imóvel à vista, a equação que permite identificar 
o valor que a Cia. desembolsaria, identificado pela variável x, é
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
43 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O fluxo de caixa que representa esse problema é:
Pois 30, 60, 120 e 180 dias representam 1, 2, 4 e 6 meses, respectivamente.
Para trazer todas as 4 parcelas para a data de hoje, podemos utilizar a fórmula:
Em que:
Substituindo valores em (I), temos:
Letra c.
026. (FCC/TJ-MA/TÉCNICO JUDICIÁRIO/2019) Pedro obteve um empréstimo em um banco 
e hoje ainda deve as seguintes duas parcelas:
− Uma parcela no valor de R$ 5.100,00 que vencerá daqui 30 dias;
− Outra parcela no valor de R$ 10.404,00 que vencerá daqui 60 dias.
Sabendo que a taxa de juros compostos contratada com o banco foi de 2% ao mês, o valor que 
Pedro deveria pagar hoje para liquidar integralmente a sua dívida, em reais, é de:
a) 15.000,00.
b) 15.504,00.
c) 14.985,84.
d) 15.003,85.
e) 14.573,76.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
44 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A partir do enunciado, é possível montar o seguinte fluxo de caixa:
O valor de x é encontrado trazendo cada uma das parcelas para a data de hoje, como se segue:
Do enunciado, ainda, sabemos que a taxa vale:
Substituindo em (I):
Observe que o enunciado forneceu termos que podem ser simplificados. 5100 é divisível por 
1,02 e 10404 é divisível por (1,02)².
Letra a.
027. (FCC/SEGEP-MA/ANALISTA PREVIDENCIÁRIO/ATUARIAL E CONTÁBIL/2018) Uma 
empresa obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 2% ao mês e ainda restam 
duas parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$ 
30.000,00 e a primeira das duas parcelas vencerá em 90 dias. A empresa pretende alterar a 
forma de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à instituição financeira a 
liquidação da seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 25.000,00, na data de hoje.
− Uma parcela complementar, daqui a 60 dias.
A equação que permite calcular corretamente o valor da parcela complementar identificada 
pela incógnita x, é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
45 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
A dívida da empresa antes da proposta feita à instituição financeira é dada pelo fluxo de caixa:
A proposta de pagamento da dívida dada pela empresa é representada pela figura:
De modo que o valor total a pagar seja o mesmo, devemos igualar os dois fluxos de caixa, tra-
zendo-os para a data de hoje por meio da fórmula:
Para a expressão acima, temos os parâmetros:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
46 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Substituindo-os em (I), ficamos com:
Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os membros por 1,022, então temos:
Letra a.
028. (FCC/SANASA CAMPINAS/ANALISTA ADMINISTRATIVO/CONTABILIDADE/2019) 
Um fabricante de tintas está avaliando um gasto com novos maquinários que exige investi-
mento inicial de R$ 32.000 e deverá gerar entradas anuais de caixa de R$ 10.000 durante qua-
tro anos. Considerando-se três cenários distintos, com custos anuais de capital variando entre 
8%, 9% e 10% a.a., a empresa:
a) deve aceitar o projeto apenas ao custo de 10% a.a., pois nesse caso, o valor presente líquido 
é positivo.
b) não deve aceitar o projeto a nenhum custo de capital, pois, em nenhum dos cenários o valor 
presente líquido (VPL) é positivo.
c) pode aceitar o projeto ao custo de 8% a.a. e de 9% a.a., pois nesses dois cenários, o valor 
presente líquido é positivo.
d) deve aceitar o projeto ao custo de 8% a.a., pois nesse caso, o valor presente líquido é negativo.
e) não deve aceitar o projeto ao custo de 10%, pois nesse caso, o valor presente líquido é positivo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
47 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O fluxo de caixa, independentemente da taxa, é dado por:
Devemos calcular o VPL para cada uma das opções de taxa, como se segue:
Para i=8%=0,08:
Para i=9%=0,09:
Para i=10%=0,1:
A alternativa com a afirmação correta é a “c”: pode aceitar o projetoao custo de 8% a.a. e de 
9% a.a., pois nesses dois cenários, o valor presente líquido é positivo.
Letra c.
029. (CESPE/SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL/2018) Para inves-
timentos em títulos negociados no mercado, uma corretora oferece as opções I e II, ambas de 
fluxos contínuos e positivos, com as seguintes características:
• opção I: livre de risco, com fluxo positivo de cinco anos e taxa anual de juros de 8%;
• opção II: com certo grau de risco, com remuneração à taxa de juros de 8,8% ao ano.
opção I opção II
valor investido valor investido
1.º ano R$ 10.000 R$ 20.000
2.º ano R$ 10.000 R$ 5.000
3.º ano R$ 10.000 R$ 5.000
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
48 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
4.º ano R$ 10.000 R$ 5.000
5.º ano R$ 10.000 R$ 15.000
total R$ 50.000 R$ 55.000
A tabela a seguir mostra dois investimentos em títulos negociados no mercado, o primeiro 
seguindo a opção I e o segundo, a opção II.
Considerando que 3,9927 seja valor aproximado para (1–1,08–5)/0,08 e que posteriormente ha-
verá registro contábil, infere-se do texto 2A1-I que, na opção I, o valor presente do investimento é:
a) inferior a R$ 39.000.
b) superior a R$ 39.000 e inferior a R$ 39.500.
c) superior a R$ 39.500 e inferior a R$ 40.000.
d) superior a R$ 40.000 e inferior a R$ 40.500.
e) superior a R$ 40.500.
O fluxo de caixa para o investimento (I) é:
Podemos obter o valor presente do fluxo de pagamentos constantes utilizando o fator A de 
amortização:
Para a expressão acima, são conhecidos os parâmetros:
Substituindo em (I):
Para calcular o valor presente (x), usamos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
49 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O fator de amortização foi calculado anteriormente e P vale:
Substituindo valores em (II):
Letra c.
030. (FGV/AL-RO/CONSULTOR LEGISLATIVO/ASSESSORAMENTO EM ORÇAMEN-
TOS/2018) Existem diversos critérios para avaliar se uma alternativa de investimento é eco-
nomicamente viável ou não. Um desses critérios é o método do VPL (Valor Presente Líquido). 
Nesse método, calcula-se o valor presente dos fluxos de caixa líquidos estimados para esse 
projeto. Se o projeto completar seu prazo e as projeções dos fluxos de caixa estiverem corre-
tas, o projeto será considerado economicamente viável se o VPL for positivo.
O quadro a seguir apresenta as projeções para os fluxos de caixa líquidos de um projeto de 
investimento.
Ano 0 1 2
Fluxos 
em Reais (27.000) 7.200 31.680
Considere que essas projeções são válidas e que o custo do capital ao ano é de 20%.
Nessas condições, o projeto é economicamente:
a) inviável porque o VPL é igual a - 2.000 reais.
b) inviável porque o VPL é igual a - 1.000 reais.
c) inviável porque o VPL é igual a - 500 reais.
d) viável porque o VPL é igual a 500 reais.
e) viável porque o VPL é igual a 1.000 reais.
O fluxo de caixa do projeto descrito é dado por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
50 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Com base na figura, o VPL para o projeto é:
A taxa de desconto foi fornecida no enunciado.
Substituindo esse valor na expressão do VPL, temos:
Letra e.
031. (CESPE/TCE-PR/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO/2016) Um investidor possui as 
propostas A e B de investimentos, com prazo de resgate de um ano, e ambas exigem um apor-
te inicial de R$ 10.000. Com relação ao investimento A, está previsto o rendimento de 14,4% de 
juros anuais (nominal), capitalizados mensalmente. No que se refere ao investimento B, está 
previsto o rendimento de 15% de juros ao ano (nominal), capitalizados bimestralmente.
Com base nessas informações, assinale a opção correta, considerando as aproximações 
seguintes:
1,01212 ≈ 1,1538; 1,0126 ≈ 1,0741; 1,02512 ≈ 1,3448; 1,0256 ≈ 1,1596
a) O investimento B pagará um retorno de R$ 1.596.
b) O investimento A pagará um retorno de R$ 741.
c) A taxa de juros equivalente semestral do investimento B é de 15,96%.
d) A taxa de juros nominal bimestral do investimento A é de 2,5%.
e) A taxa de juros efetiva para o investimento A é superior à do investimento B.
Devemos realizar os cálculos referentes às alternativas e verificar qual delas é válida.
Vamos transformar cada uma das taxas de acordo com o requisitado. A taxa do investimento 
A para mensal e bimestral e a taxa do investimento B para bimestral e semestral.
De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados fornecidos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
51 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
As seguintes proporções diretas são válidas:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
52 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Agora, devemos calcular o retorno (montante) para os investimentos A e B. Lembrando que A 
é resgatado mensalmente e B, bimestralmente com as seguintes taxas:
Além dessas taxas, temos também os parâmetros:
Os montantes de ambos os investimentos são dados pela fórmula:
Para A:
Substituindo valores:
Os juros são:
Para B:
Substituindo valores em (I):
Os juros são:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
53 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A alternativa que contém uma informação válida é a letra “a”: o investimento B pagará um re-
torno de R$ 1.596.
Letra a.
032. (FCC/SEGEP-MA/ANALISTA PREVIDENCIÁRIO/ATUARIAL E CONTÁBIL/2018) Para 
comprar um caminhão, o Sr. Luiz realizou uma pesquisa em 3 concessionárias e obteve as 
seguintes propostas de financiamento:
− Concessionária Alfa: Entrada de R$ 48.000,00 + 1 prestação de R$ 106.090,00 após 30 dias 
da entrada.
− Concessionária Beta: Entrada de R$ 49.000,00 + 1 prestação de R$ 106.090,00 após 60 dias 
da entrada.
− Concessionária Gama: Entrada de R$ 49.000,00 + 2 prestações de R$ 53.045,00 para 30 e 60 
dias após a entrada, respectivamente.
Sabendo que a taxa de juros compostos era de 3% ao mês, a melhor proposta para a aquisição 
do caminhão foi a da concessionária.
a) Alfa, apenas.
b) Beta, apenas.
c) Gama, apenas
d) Beta e Gama, apenas.
e)Alfa, Beta e Gama.
Os fluxos de caixa para cada uma das concessionárias estão representados abaixo:
Para seguirmos, devemos lembrar que a taxa é dada por:
Para comparar as ofertas, devemos trazer todos os valores, de todas as concessionárias, para 
a data atual. Vamos calcular os valores presentes para as três concessionárias.
Valores atuais para α (Alfa):
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
54 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Valores atuais para β (Beta):
Valores atuais para γ (Gama):
A concessionária que possui a melhor proposta é a Beta.
Letra b.
033. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO-SP/AUDITOR-FISCAL TRIBUTÁRIO 
MUNICIPAL/2019) Considere os 2 fluxos de caixa (I e II) abaixo. Sabe-se que a taxa interna de 
retorno positiva do fluxo I é igual a 10% ao ano e D é o desembolso inicial do fluxo II.
Ano Fluxo I (R$) Fluxo II (R$)
0
1
2
– 5.250,00
P
P
– D
0,00
2P
Se a taxa interna de retorno positivo do Fluxo II também é igual a 10% ao ano, então D é igual a:
Dado: 1,10² = 1,21.
a) R$ 4.500,00.
b) R$ 5.250,00.
c) R$ 5.000,00.
d) R$ 5.500,00.
e) R$ 6.000,00.
Primeiro, devemos construir o fluxo de caixa para (I):
Devemos igualar as retas que representam os fluxos numa mesma data de modo a encontrar 
o VPL e, por consequência, a TIR:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
55 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Sabemos que a taxa i é:
Substituindo em (I):
Sabemos que a TIR é encontrada quando VPL=0. Igualando a expressão acima ao valor 
nulo, temos:
Isolando P multiplicando ambos os lados da equação por 1,12:
Com o valor de P em mãos, podemos, agora, construir o fluxo (II):
Do mesmo modo, encontramos o VPL e igualamos a zero:
Temos P anteriormente calculado:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
56 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Substituindo valores em (II):
Letra c.
034. (FGV/COMPESA/ANALISTA DE GESTÃO/ADMINISTRADOR/2018) Um investidor, ao 
decidir sobre a realização de um investimento, deve comparar as diferentes possibilidades, 
para eleger a melhor opção.
Para que o investimento seja considerado atrativo, segundo os métodos de análise de investi-
mentos, assinale a afirmativa correta.
a) O valor presente líquido deverá ser superior a zero.
b) O payback descontado deve exceder a vida útil do investimento.
c) A taxa interna de retorno (TIR) deverá ser inferior aos juros pagos pela poupança.
d) O fluxo de caixa projetado deverá ser inferior à demonstração de resultado.
e) Os gastos incrementais deverão ser equivalentes ao valor inicial.
�b) Errada. A definição de payback se baseia no tempo necessário para ter o investimento de 
volta. Se o payback é maior que a vida útil do projeto, não houve tempo suficiente para o retor-
no. Um bom payback é dado por valores baixos de tempo.
�c) Errada. Para projetos atrativos, a TIR deve ser maior que a TMA, muitas vezes, dada pelos 
juros da poupança.
�d) Errada. Não há relação lógica entre o fluxo de caixa projetado, a demonstração de resultados 
e a viabilidade de projetos.
�e) Errada. Os custos incrementais são definidos pelos custos gerados para a obtenção de um 
contrato que não existiriam sem a obtenção deste último. São dados também pelos encargos 
financeiros. Ou seja, igualar os custos incrementais ao investimento inicial é extremamente 
inviável.
�a) Certa. Relata uma hipótese de VPL>0. Para esses casos a viabilidade é sempre válida.
Letra a.
035. (CESPE/EBSERH/TÉCNICO EM CONTABILIDADE/2018) No que se refere a matemática 
financeira e finanças, julgue o item seguinte.
A taxa interna de retorno é utilizada no cálculo do valor presente líquido para determinar se o 
projeto deve ser aceito.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
57 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
A taxa a ser utilizada no cálculo do valor presente líquido é a taxa mínima de atratividade.
A taxa interna de retorno (TIR), por definição, é a taxa que anularia o valor presente líquido.
Por sua vez, a TIR poderia ser utilizada isoladamente para a avaliação de um investimento, mas 
não como taxa a ser utilizada para o cálculo do VPL.
Errado.
036. (CESPE/SEFAZ-RS/AUDITOR DO ESTADO/BLOCO II/2018) A respeito de avaliação de in-
vestimentos, valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR), julgue os itens a seguir.
I – No caso de dois projetos com o mesmo investimento inicial e o mesmo prazo, sob uma mes-
ma taxa de desconto, o maior VPL será daquele que tiver menores recebimentos a cada período.
II – Para um fluxo que consiste de um único investimento inicial na data 0 e recebimentos 
periódicos, com TIR igual a 5% ao período, se a taxa de desconto for de 6%, então o VPL 
será negativo.
III – Dado um investimento inicial seguido de um fluxo de 20 recebimentos periódicos iguais, 
caso se amplie o prazo dos recebimentos para 25 recebimentos iguais, para que a TIR não 
mude, o valor de cada recebimento deverá ser menor.
Assinale a opção correta.
a) Apenas o item I está certo.
b) Apenas o item II está certo.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
I – Para dois projetos com mesmo investimento inicial, mesmo prazo e mesma taxa de des-
conto, a maior VPL será aquela com MAIORES recebimentos a cada período, pois, quando 
transformados para valor presente, terão resultado superior. Conclusão: Errada.
II – Quando a TIR é maior que a TMA, o investimento é atrativo. Por outro lado, quando a TIR é 
menor que a TMA, o investimento passa a ser inviável. A hipótese contida nesse item trata uma 
TIR inferior à TMA. Portanto, VPL<0, logo o investimento é inviável. Conclusão: Certa.
III – Se a TIR não muda e o prazo aumenta, as parcelas diminuem. Conclusão: Certa.
II – e III estão certas.
Letra d.
037. (FGV/AL-RO/ASSISTENTE LEGISLATIVO/TÉCNICO EM LOGÍSTICA/2018) A análise de 
viabilidade se realiza em diversos campos e deve considerar vários cenários. A informação 
utilizada na análise de viabilidade financeira, que leva em consideração o valor do dinheiro no 
tempo e ainda o volume de investimento em valores absolutos, é denominada:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
58 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a) Fluxo de Caixa.
b) Custo de Oportunidade.
c) Inflação.
d) Valor Presente Líquido.
e) Risco.
Dentreas opções, aquela que condiz com a decisão de viabilidade é o valor presente líquido 
(VPL). O VPL leva em consideração a alteração de um capital no tempo e compara os lucros 
(entradas) com as saídas (investimento/empréstimo), de modo que seu sinal indica se o proje-
to vale a pena ser realizado. Quando VPL for positivo, o projeto é viável.
Letra d.
038. (FCC/AFAP/ANALISTA DE FOMENTO/2019) Considere os projetos mutuamente exclu-
dentes A e B, com as seguintes características:
Projeto A Projeto B Projeto B-A
Investimento inicial $ 400 $ 700 $ 300
Valor Presente Líquido $ 60 $ 70 $ 10
Taxa interna de Retorno 26% 23% 21%
Tendo presente que a taxa mínima de atratividade é de 20%,
a) não há informação suficiente para decisão sobre qual projeto investir.
b) o Projeto A deve ser escolhido, pois necessita de menor investimento.
c) o Projeto B não pode ser escolhido, pois oferece retorno incremental menor que a taxa inter-
na de retorno do Projeto A.
d) a análise do investimento incremental não contribui para o processo decisório.
e) o Projeto B deve ser escolhido, uma vez que o retorno incremental é superior à taxa mínima 
de atratividade.
Observe que o projeto B gera um valor presente líquido superior ao projeto A. Porém, o projeto 
A tem uma melhor taxa interna de retorno (TIR).
Se A e B fossem mutuamente excludentes, deveríamos optar pelo projeto B a fim de maximizar 
os lucros da empresa.
Mas, nessa situação, é possível realizar o projeto A e ainda um projeto incremental B – A, que 
corresponde às diferenças de fluxos de caixa entre os dois projetos.
Se o projeto incremental tivesse uma TIR inferior à taxa mínima de atratividade (TMA), isso 
significa que o projeto A vale a pena, mas que o incremento B – A não é interessante para o 
investidor. Nessa situação, o projeto A deveria ser escolhido.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
59 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Na situação em apreço, o projeto B – A gerou uma TIR superior à TMA. Isso significa que tanto 
o projeto A como o projeto B – A valem a pena para o investidor. Nessa situação, ele deve, en-
tão, optar por ambos. Logo, ele deve realizar o projeto B integralmente.
Letra e.
039. (FCC/SEGEP-MA/ANALISTA PREVIDENCIÁRIO/FINANCEIRA E CONTÁBIL/2018) 
Uma empresa está analisando dois projetos mutuamente excludentes para definir qual deles 
deve ser implementado. O investimento inicial necessário para projeto A é R$ 700.000,00 e 
para o projeto B é R$ 1.200.000,00. Ao analisar os fluxos de caixa das duas opções, a em-
presa identificou que o Valor Presente Líquido do projeto A é R$ 193.540,93 e o do projeto 
B é R$ 211.201,59. A taxa interna de retorno do projeto A é 15,67% ao ano e a do projeto B é 
14,41% ao ano.
Se a taxa de oportunidade da empresa é 10% ao ano e a empresa pretende maximizar seu lucro 
a longo prazo,
a) a empresa deve escolher o projeto A porque apresenta maior taxa interna de retorno que o 
projeto B.
b) a empresa pode escolher qualquer um dos dois projetos porque ambos apresentam taxa 
interna de retorno superior à taxa de oportunidade da empresa e, portanto, qualquer um vai 
maximizar seu lucro a longo prazo.
c) a empresa pode escolher qualquer um dos dois projetos porque ambos apresentam Valor 
Presente Líquido positivo.
d) o problema não tem solução porque as conclusões obtidas pelo método do Valor Presente 
Líquido são contrárias às conclusões do Método da Taxa Interna de Retorno.
e) independente de quais sejam os valores das taxas internas de retorno, a empresa deve es-
colher o projeto B.
Considerando que os dois projetos sejam mutuamente excludentes, se a empresa deseja ma-
ximizar seu lucro, ela deve escolher o projeto que traga o melhor retorno absoluto, e não neces-
sariamente a melhor margem, nem a melhor taxa interna de retorno.
O objetivo da empresa é maximizar seu lucro total, não suas margens. Por esse motivo, o 
projeto B deve ser o escolhido, seu VPL é maior que o gerado pelo projeto A, independente-
mente da TIR.
Letra e.
040. (FCC/SEGEP-MA/ANALISTA PREVIDENCIÁRIO/ATUARIAL E CONTÁBIL/2018) Abaixo 
são apresentados os valores presentes líquidos − VPL de quatro projetos de investimento, ad-
mitindo-se diferentes taxas de desconto (taxa mínima de atratividade − TMA):
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
60 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Taxa de desconto 
(TMA) Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3 Projeto 4
0% 100,00 100,00 100,00 100,00
5% 70,27 65,84 63,78 61,62
10% 45,27 37,38 33,97 30,21
15% 24,03 13,43 9,14 (4,21)
20% 5,83 (6,91) (11,73) (17,52)
Com base nas informações acima,
a) todos os projetos são viáveis à TMA igual a 20%.
b) a taxa interna de retorno do Projeto 4 é maior do que a do Projeto 1.
c) a taxa interna de retorno do Projeto 2 é maior do que a do Projeto 4.
d) o Projeto 3 é mais rentável que o Projeto 1, para qualquer TMA.
e) a taxa interna de retorno dos Projetos 2, 3 e 4 são iguais.
A TIR (taxa interna de retorno) é definida pela taxa de desconto que torna o VPL igual a zero. 
Por isso, devemos ficar atentos ao momento em que é registrada a inversão de sinal no VPL.
Pelo quadro apresentado no enunciado, tem-se que há inversão de sinal de VPL nos Projetos 
2, 3 e 4, que passam a ser inviáveis, porque apresentam VPL negativo. Com isso, a alternativa 
“a” já pode ser descartada.
Também podemos descartar a letra “d”, porque, para uma TMA igual a 20%, o Projeto 1 é mais 
atrativo que o Projeto 3.
Não conseguimos definir a TIR do Projeto 1, mas sabemos que esta é maior que 20%, porque, 
considerando essa taxa de desconto, o VPL do Projeto 1 ainda é positivo.
Pelas informações da tabela, a TIR dos Projetos 2 e 3 está entre 15% e 20%; já a TIR do Projeto 
4 está entre 10% e 20%. Portanto, elas não são iguais, logo a letra “e” está falsa.
Com as informações acima, temos que a única alternativa verdadeira é a “c”: a taxa interna de 
retorno do Projeto 2 é maior do que a do Projeto 4.
Letra c.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
61 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
041. (FCC/SEFAZ-BA/AUDITOR-FISCAL/2019) Uma empresa tem uma dívida para cumprir 
que é composta das seguintes parcelas:
- Parcela de R$ 5.000,00 que vence na data de hoje;
- Parcela de R$ 8.000,00 que vence de hoje a um mês.
A empresa está com problemas no seu fluxo de caixa e deseja renegociar o pagamento da 
dívida, propondo ao credor a seguinte forma de pagamento:
- Pagar uma parcela de R$ 2.000,00 na data de hoje;
- Liquidar o saldo remanescente da dívida em uma única parcela que será paga de hoje a 
três meses.
Se a taxa de juros compostos cobrada pelo credor é 3% ao mês, o valor da parcela a ser paga 
no final de três meses, desprezando-se os centavos, será, em reais,
a) 12.020.
b) 11.990.
c) 11.736.
d) 11.000.
e) 11.765.
Devemos fazer com que cada uma das parcelas de cada uma das obrigações seja trazida para 
uma data focal, definida como o dia de hoje.
Para trazer um valor futuro para o presente, utilizamos a equação:
Onde VP representa o valorpresente, VF o valor futuro, i a taxa e t o tempo.
Sobre a 1ª obrigação:
5.000 – hoje, sem necessidade de transformação;
8.000 – daqui 1 mês, com necessidade de transformação.
Sobre a 2ª obrigação:
2.000 – hoje, sem necessidade de transformação;
x – daqui 3 meses, com necessidade de transformação.
Temos a soma referente à primeira obrigação, dada por:
A soma referente à segunda obrigação é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
62 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para encontrar o resultado de x, o valor da parcela a ser paga no fim dos 3 meses, deve-se 
igualar o somatório da 1ª e da 2ª obrigações:
Isolando o valor de x:
O valor da terceira parcela é de R$ 11.765,38.
Letra e.
042. (CESPE/TJ-RR/CONTADOR/2012) Considerando que, quando adquire um automóvel por 
meio de financiamento bancário, o cliente pague, ao longo do tempo, o valor do veículo, uma 
taxa de abertura de crédito, uma taxa de emplacamento do veículo e uma taxa de emissão de 
carnê e que o banco, na avaliação da rentabilidade de cada contrato de financiamento, tenha 
de levar em conta, entre outros aspectos, o valor financiado, as despesas com pessoal e os 
custos com a emissão de carnês,
Julgue os itens seguintes, com base nos conceitos de custo efetivo total e de taxa interna 
de retorno.
A taxa interna de retorno do banco em determinado contrato de financiamento de veículo é 
igual ao custo efetivo total pago pelo cliente na contratação desse financiamento.
Questão interessante essa. O custo efetivo total pago pelo cliente é calculado de maneira mui-
to semelhante à taxa interna de retorno (TIR).
Porém, os valores a serem colocados lá são diferentes.
Isso acontece porque o CET do ponto de vista do cliente é calculado pelo valor pago a título de 
prestação. Já a TIR do ponto de vista do banco é calculada pelo seu lucro na operação.
Porém, os lucros do banco não são iguais às prestações pagas pelo cliente, tendo em vista que 
o banco tem várias despesas.
Errado.
043. (FCC/TRE-PR/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2017) A Cia. Ted está avalian-
do a alternativa de compra de um novo equipamento por R$ 480.000,00 à vista. Estima-se que 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
63 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a vida útil do equipamento seja de 3 anos, que o valor residual de revenda no final do terceiro 
ano seja R$ 70.000,00 e que os fluxos líquidos de caixa gerados por este equipamento ao final 
de cada ano sejam R$ 120.000,00, R$180.000,00 e R$ 200.000,00, respectivamente. Sabendo 
que a taxa mínima de atratividade é de 10% a.a., a alternativa:
a) apresenta valor presente líquido positivo.
b) apresenta valor presente líquido negativo.
c) apresenta taxa interna de retorno maior que 10% a.a.
d) é economicamente viável à taxa mínima de atratividade de 10% a.a..
e) é economicamente viável à taxa mínima de atratividade de 12% a.a..
O fluxo de caixa para o processo é dado por:
O cálculo do VPL é dado por:
Para a expressão acima, temos que a taxa vale:
Substituindo em (I):
Portanto, o valor presente líquido associado ao equipamento é negativo. Logo, a letra “b” é a 
alternativa correta.
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
64 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
044. (FCC/TRE-PR/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2017) Para comprar um auto-
móvel, Pedro realizou uma pesquisa em 3 concessionárias e obteve as seguintes propostas de 
financiamento:
Concessionária 1: Entrada de R$ 12.000,00 + 1 prestação de R$ 29.120,00 para 30 dias após 
a entrada.
Concessionária 2: Entrada de R$ 13.000,00 + 1 prestação de R$ 29.120,00 para 60 dias após 
a entrada.
Concessionária 3: Entrada de R$ 13.000,00 + 2 prestações R$ 14.560,00 para 30 e 60 dias após 
a entrada, respectivamente.
Sabendo que a taxa de juros compostos era 4% ao mês, para a aquisição do automóvel:
a) a melhor proposta é a 1, apenas.
b) a melhor proposta é a 2, apenas.
c) a melhor proposta é a 3, apenas.
d) as melhores propostas são 2 e 3, por serem equivalentes.
e) as melhores propostas são 1 e 2, por serem equivalentes.
Os fluxos de caixa para as concessionárias 1, 2 e 3 são dados por, respectivamente:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
65 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Devemos trazer cada uma das receitas de cada uma das concessionárias para t=0, sabendo que:
Concessionária I):
Concessionária II):
Concessionária III):
A melhor proposta é aquela com menor valor presente, que ocorre para II.
Letra b.
045. (CESPE/TRE-RJ/ANALISTA JUDICIÁRIO/2012) Um construtor comprou um terreno 
por R$10.000,00 e, três meses depois, construiu, nesse terreno, uma casa popular, gastan-
do R$30.000,00. Três meses após a construção ter sido finalizada, a casa foi vendida por 
R$60.000,00.
Considerando que 1,33 e 1,77 são valores aproximados para 1,13 e 1,16, respectivamente, jul-
gue os itens seguintes, relativos à situação hipotética acima.
A taxa interna de retorno do empreendimento foi superior a 30% ao trimestre.
Um ponto controverso a respeito dessa questão é que a taxa de 30% ao trimestre é nominal, 
porque os investimentos foram fornecidos em meses. Calcularemos a taxa mensal proporcio-
nal a 30% ao mês.
Agora, montemos o fluxo de caixa. Esse fluxo é um pouco diferente do tradicional, pois é for-
mado por dois desembolsos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
66 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Apesar disso, não há nenhuma grande novidade. Podemos calcular o VPL da maneira tradicio-
nal. Considerando a taxa de 10% fornecida no enunciado, temos:
Agora, lembrando-nos de que queremos, na verdade, saber sobre a taxa interna de retorno, isto 
é, queremos saber apenas se esse VPL é positivo ou negativo. Assim, podemos multiplicar por 
(1,1)6 para facilitar nossas contas:
Como o VPL foi positivo, podemos concluir que a taxa de desconto de 10% é inferior à TIR. 
Sendo assim, TIR > 10% ao mês ou 30% ao semestre.
Certo.
046. (FCC/TRE-SP/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2012) Dois projetos de inves-
timento (I e II), mutuamente excludentes, estão representados pelos fluxos de caixa abaixo.
Ano
Fluxo de Caixa (R$)
Projeto I Projeto II
0
1
2
3
– 20.000,00
X
9.680,00
9.317,00
– 20.000,00
8.250,00
9.680,00
10.648,00
Os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais e a taxa mínimade atratividade é 
igual a 10% ao ano. O valor de X é igual a:
a) R$8.800,00.
b) R$8.855,00.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
67 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
c) R$8.965,00.
d) R$9.350,00.
e) R$9.900,00.
Calcularemos o fluxo de caixa referente ao projeto I:
Nesse caso, a questão deu bons números que facilitam a simplificação. Sempre que as provas 
dão esses números quebrados, é bem provável que a intenção seja simplificar.
Agora, calculemos o VPL do projeto II:
Mais uma vez, os números quebrados foram dados para facilitar as simplificações:
Finalmente, basta igualar os VPLs de ambos os projetos:
Letra d.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
68 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
047. (CESPE/TRE-MT/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2010) Considere que um 
veículo que custa R$ 32.000,00 possa ser adquirido à vista com um desconto de 5%, ou em 
três parcelas mensais de valores R$ 10.500,00, R$ 11.025,00 e R$ 11.576,25, respectivamente, 
com a primeira parcela vencendo em um mês após a compra. Nessa situação, supondo que 
a taxa interna de retorno seja de 5% ao mês, é correto afirmar que, se optar pelo pagamento à 
vista, o comprador:
a) perderá R$400,00.
b) ganhará R$400,00.
c) perderá mais de R$1.800,00.
d) ganhará mais de R$1.800,00.
e) não ganhará, nem perderá nada.
Vamos calcular os fluxos de caixa descontados referentes à compra parcelada (FCP) e à com-
pra à vista (FCV).
Considerando a taxa de retorno de 5% ao mês, podemos calcular o valor presente líquido cor-
respondente à compra parcelada. Para isso, devemos trazer à valor presente todas as três 
prestações:
Dessa maneira, o fluxo de caixa equivalente à compra parcelada é equivalente a uma despesa 
de R$30.000.
Por outro lado, se o cliente optar por pagar à vista, ele fará jus a um desconto de 5% sobre o 
valor do bem. Dessa forma, o preço a ser pago seria:
Desse modo, a compra à vista resultará em um desembolso maior de R$30.400, enquanto o 
fluxo de caixa para a compra parcelada é de R$30.000. Portanto, ao optar pelo pagamento à 
vista, o comprador perderá R$400,00.
Letra a.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
69 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
048. (CESPE/CEF/TÉCNICO BANCÁRIO/2010) Uma instituição financeira capta investimen-
tos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada quantia, um 
investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$10.500,00 um mês após a data do depósito, 
e outra, no valor restante de R$11.025,00, dois meses após o depósito, então o valor investido 
foi igual a:
a) R$18.000,00.
b) R$18.500,00.
c) R$19.000,00.
d) R$19.500,00.
e) R$20.000,00.
Desenharemos o fluxo de caixa correspondente à situação apresentada. Houve um investi-
mento inicial, que chamaremos D, e os dois saques apresentados no enunciado.
Letra e.
049. (CESPE/FUNPRESP EXE/ESPECIALISTA EM INVESTIMENTO/2016) Uma empresa 
analisa a viabilidade de um projeto de expansão que apresenta o perfil de valor presente líqui-
do (VPL) listado na tabela a seguir e que tem investimento inicial de R$ 500.000. Os fluxos de 
caixa são de R$ 20.000 no primeiro ano, de R$ 30.000, no segundo ano e de R$ 90.000 em cada 
ano, do terceiro ao décimo segundo ano.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
70 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
taxa de desconto 
(em %) VPL (em R$)
0 450.000
5 177.000
10 0
15 – 118.000
20 – 200.00
Com base nessas informações, julgue o item que se segue.
A taxa interna de retorno do projeto de expansão é de 10%.
Usando os dados fornecidos na tabela, temos que, quando a taxa de desconto é 10%, o VPL se 
anula. Portanto, 10% equivale à própria TIR do projeto.
Certo.
050. (CESPE/FUNPRESP EXE/ESPECIALISTA EM INVESTIMENTO/2016) Adotando-se o 
VPL positivo como critério para a avaliação da viabilidade do projeto de expansão, se a taxa de 
retorno exigida pela empresa for de 7%, então o projeto de expansão será inviável.
Considerando que a taxa interna de retorno é igual a 10%, ela é superior ao retorno exigido pelo 
investidor, portanto o projeto seria economicamente viável.
Errado.
051. (INÉDITA/2021) Um projeto X requereu um desembolso inicial de R$20 mil. A equipe 
responsável pela avaliação do projeto estima que o payback descontado a uma taxa de 10% 
ao ano será de 3 anos. A companhia receberá no ano 2 a quantia de R$10.890,00 e no ano 3 a 
quantia de R$7.986. Qual será o fluxo de caixa no ano 1?
Desenhemos o fluxo de caixa com os valores fornecidos e os respectivos anos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
71 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Como o payback descontado é de 3 anos, temos que a soma dos retornos descontados é igual 
ao desembolso inicial.
Essa questão forneceu números que facilitam a simplificação.
R$5.500.
052. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 
tenha rendido o pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do 
segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para √57 então a taxa interna de retorno des-
se investimento foi superior a 35% ao mês.
Façamos uma representação gráfica dos fluxos de caixa apresentados.
Nesses itens de verdadeiro ou falso, o melhor a se fazer é calcular o VPL para a taxa de 
35% ao ano.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
72 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Como o VPL encontrado é negativo, a TIR é inferior a 35%.
Errado.
053. (CESGRANRIO/BNDES/ADMINISTRAÇÃO/2009) Observe o gráfico abaixo, no qual o 
Valor Presente Líquido (VPL) dos fluxos financeiros de dois projetos, (I) e (II), varia com a taxa 
de desconto adotada.
Considerando o gráfico, conclui-se que:
VPL
(I)
(II)
taxa de desconto 
(% a.a.)
5%0 10%
a) (I) e (II) têm a mesma taxa interna de retorno.
b) (I) e (II) têm o mesmo VPL, com a taxa de desconto de 5% a.a.
c) a taxa interna de retorno de (II) é igual a 10% a.a.
d) o projeto (I) é preferível ao (II).e) o projeto (II) é preferível ao (I).
Como podemos ver pelo gráfico, quando a taxa de desconto é igual a 5% ao ano, os VPLs dos 
dois projetos se igualam. Portanto, a afirmação B está correta.
Quando a taxa de desconto é menor que 5%, o projeto I apresenta maior VPL, portanto será 
mais atrativo. Por outro lado, quando a taxa de desconto é maior que 5%, o projeto II passa a 
apresentar maior VPL, dessa forma será menos atrativo.
Essa situação acontece quando o projeto I apresenta retornos predominantemente de longo 
prazo, enquanto o projeto II apresenta retornos de curto prazo.
Quando a taxa de desconto aumenta, os retornos de curto prazo se tornam mais importantes.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
73 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Por isso, não é possível falar que nenhum dos dois projetos é sempre preferível em relação ao 
outro. Depende da taxa de desconto. Logo, as letras “d” e “e” estão erradas.
Como vemos no gráfico, a TIR do projeto (I) é igual a 10%, que é quando o VPL se anula. No 
caso do projeto (II), a TIR é superior a 10%. Logo, as afirmações “a” e “c” estão erradas.
Por fim, temos que, quando a taxa de desconto é igual a 5%, o VPL dos dois projetos se iguala.
Letra b.
054. (FCC/TRT-6/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2012/ADAPTADA) Uma em-
presa está avaliando a compra de uma nova máquina por R$ 320.000,00 à vista. Estima-se 
que a vida útil da máquina seja de 3 anos, que o valor residual de revenda no final do terceiro 
ano seja de R$ 50.578,00 e que os fluxos líquidos de caixa gerados por esta máquina ao final 
de cada ano sejam de R$ 99.000,00, R$ 150.040,00 e R$ 99.825,00, respectivamente. Sabendo 
que a taxa mínima de atratividade é de 10% a.a., a compra da nova máquina é economica-
mente viável.
a) apresenta valor presente líquido positivo.
b) apresenta valor presente líquido negativo.
c) apresenta valor presente líquido igual a zero.
d) apresenta taxa interna de retorno igual à taxa mínima de atratividade.
e) é economicamente inviável à taxa mínima de atratividade de 10% a.a..
Desenharemos o fluxo de caixa correspondente à situação apresentada, lembrando-nos de que 
o valor residual corresponde a um fluxo de caixa positivo, porque a máquina pode ser vendida 
por R$50.578,00 ao final dos 3 anos.
Agora, precisamos calcular o valor presente líquido correspondente a esse fluxo de caixa, con-
siderando a taxa de desconto de 10% ao ano:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
74 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Como o VPL é positivo, temos que o investimento é atrativo, portanto economicamente viável.
Assim, a única afirmação correta é a que diz que o VPL é positivo.
Letra a.
055. (FGV/AL-RO/ANALISTA LEGISLATIVO/ECONOMIA/2018) Suponha que um projeto exi-
ja um investimento inicial de R$ 10 mil e gere um fluxo de receita de R$ 10 mil e de R$ 1 mil nos 
dois períodos seguintes.
A taxa interna de retorno deste projeto (TIR) se situa no intervalo entre:
a) 8,01% e 9%.
b) 9,01% e 10%.
c) 10,01% e 11%.
d) 11,01% e 12%.
e) 12,01% e 15%.
O fluxo de caixa desse projeto é dado por:
Então, o cálculo do VPL é:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
75 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para encontrar a TIR, devemos igualar a expressão acima a 0.
Multiplicando ambos os lados por (1+i)2 com o objetivo de eliminarmos os denominadores e 
tornar as contas mais fáceis, temos:
Nós nos deparamos com uma equação de segundo grau. Para resolvê-la, podemos efetuar 
uma troca de variáveis:
Agora, trocando variáveis, (I) se torna:
Dividindo ambos os lados por 1000, temos:
Por Bhaskara:
De volta a (II):
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
76 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
056. (CESPE/MPU/ANALISTA ATUARIAL/2015) Considere que um investimento de R$ 10,00 
produza dois pagamentos mensais sucessivos: o primeiro, pago um mês após a data da apli-
cação, de R$ 6,00, e o segundo, de R$ 5,50. Nessa situação, a TIR para essa aplicação é su-
perior a 9%.
Façamos a representação gráfica do fluxo de caixa citado no enunciado:
Podemos simplesmente testar a taxa de 9% para saber se o VPL é positivo ou negativo. Mas, 
dessa vez, vamos utilizar a equação de Bhaskara para que você não se esqueça.
A TIR é calculada como a taxa de desconto quando o VPL é nulo:
É interessante multiplicar toda a equação por (1+i)²:
Aplicando o produto notável e agrupando os termos semelhantes:
Agora, multiplicaremos por (-1), em outras palavras, trocaremos o sinal da equação para faci-
litar as contas:
Aplicando a fórmula de Bhaskara, segue que:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
77 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Certo.
057. (CESPE/TCE-AC/AUXILIAR TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO/2006) Corrigida men-
salmente a determinada taxa de juros compostos, uma obrigação assumida de R$ 2.500,00 
eleva-se para R$ 3.150,00 em 4 meses.
Com base na situação apresentada, julgue os itens seguintes, supondo que 1,261/4 = 1,06.
A obrigação, um mês após ser assumida, teve seu valor elevado para R$ 2.650,00.
Devemos, em primeiro lugar, construir o fluxo de caixa da obrigação descrita no enunciado:
Trata-se de uma transformação de valor presente para valor futuro. Podemos, então, utilizar a 
fórmula para igualar os fluxos de caixa:
Isolando i, a partir da equação acima:
Com o valor de i em mãos, nos resta encontrar a equivalência de R$ 2.500,00 em 1 mês. Isso é 
possível por meio da expressão:
Certo.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
78 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
058. (CESPE/TCE-AC/AUXILIAR TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO/2006) Alberto tem de-
terminada quantia investida em uma instituição financeira que lhe paga 1% de juros compos-
tos mensalmente. Ele deseja comprar uma televisão que custa R$ 6.000,00 e a loja lhe oferece 
as seguintes opções de pagamento:
I – à vista, no valor de R$ 5.930,00;
II – em duas prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeiraem um mês 
após a compra;
III – em três prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Considerando a situação acima, julgue o item subsequente, supondo que 1,01-1 = 0,99 e 
1,01-2 = 0,98.
A opção III é a menos vantajosa para Alberto.
Devemos fazer os fluxos de caixa de cada uma das opções dadas pela loja:
Os fluxos de caixa II e III foram obtidos dividindo o valor da compra por 2 e 3, respectivamente. 
Sabe-se que a taxa é de:
Devemos trazer os valores para a mesma data (hoje), utilizando as fórmulas:
Para (II), temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
79 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para (III), temos:
Para a proposta (I), o valor à vista é o próprio total de hoje:
Assim, concluímos que a proposta (III) é a menos vantajosa para Alberto.
Certo.
059. (CESPE/MPE-PI/ANALISTA DE ORÇAMENTO/2012) Considerando 0,95, 0,91, 0,87 e 
0,76 como valores aproximados para 1,05-1, 1,05-2, 1,15-1 e 1,15-2, respectivamente, julgue o 
item que se segue, com base no quadro acima, que apresenta as alternativas de investimento 
para determinada empresa.
Data 
(anos)
Fluxo de Caixa 
(em milhares de reais)
0 – 100
1 20
2 9
A taxa interna de retorno do investimento é inferior a 8%.
Eu não entendi por que a questão deu os dados para 5% e 15%, mas pediu se a TIR era inferior 
a 8%. Vai entender?
Podemos fazer a questão de duas formas. A primeira é uma forma macaqueada que é muito 
útil para questões V ou F ou que só pedem se a TIR é maior ou menor que alguma coisa.
Vamos calcular o VPL para 8%.
Precisamos saber apenas se o VPL é positivo ou negativo, por isso, podemos multiplicar tudo 
por 1,08²:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
80 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Como o VPL foi negativo, temos que a taxa de 8% é maior que a TIR:
Agora, vamos a um segundo modo de resolver esse problema. No caso de apenas 2 anos de re-
torno, podemos calcular a TIR diretamente. Para o caso da TIR, temos que o VPL é igual a zero:
A melhor forma de resolver essa questão é multiplicar por (1+i)²:
Usando o produto notável , temos que:
Agrupando os termos:
Simplificando por 10:
Agora, basta usar a fórmula de Bhaskara:
Essa taxa calculada é exatamente a TIR.
Certo.
060. (CESPE/INMETRO/ASSISTENTE EXECUTIVO/2010) Um indivíduo, com o objetivo de 
montar seu próprio negócio, cujo investimento ele estimou em 1 milhão de reais, realizou am-
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
81 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
pla pesquisa de mercado, por meio da qual constatou que, caso realize esse investimento, o 
fluxo de caixa do primeiro ano será de 100 mil reais e crescerá 5% ao ano em perpetuidade.
Nessa situação, a taxa interna de retorno (TIR) relativa a essa oportunidade de investimen-
to será de:
a) 5%.
b) 10%.
c) 12%.
d) 15%.
e) 20%.
Para essa questão, em primeiro momento, devemos nos lembrar de que, quando a taxa de des-
conto é igual a TIR, o VPL do projeto se anula:
O desembolso inicial é de R$1 milhão. Os retornos, por sua vez, correspondem a um fluxo de 
rendas perpétuas contínuas.
Já sabemos que o valor presente das rendas futuras é:
Basta aplicar essa equação no VPL:
Letra d.
061. (FGV/ISS CUIABÁ/AUDITOR-FISCAL/2014) Assuma um plano de investimento de uma 
empresa, a qual, no ano zero, deve desembolsar R$ 100 milhões. Nos anos subsequentes, es-
pera-se um fluxo positivo e constante de R$ 50 milhões a cada ano. Se o payback descontado 
for igual a três anos, o custo do capital investido deve ser:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
82 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
a) entre 15% e 20%.
b) entre 20% e 25%.
c) inferior a 15%.
d) igual a 25%.
e) superior a 25%.
Uma questão bem trabalhosa por parte da FGV, mas que já vai ser útil para reforçarmos algu-
mas técnicas para facilitar os cálculos.
Em primeiro lugar, devemos ter em conta que, para calcular o payback descontado igual a 3 
anos, devemos ter, nesse período:
Agora, vamos calcular ambos os lados da expressão:
E, em seguida, vamos simplificar a expressão por 50 milhões:
Para facilitar as contas, podemos multiplicar por (1+i)³:
Agora, tenha em mente que o lado 2(1+i)³ representa o desembolso. Podemos, então, testar os 
valores fornecidos pelo enunciado. Comecemos com a menor taxa sugerida de 15%:
Note que, considerando a taxa de desconto de 15%, os retornos descontados ficaram maiores 
que o desembolso. No entanto, queremos que sejam iguais. Portanto, devemos aplicar uma 
taxa de desconto ainda maior. Assim, i > 15%. Tentemos 20%:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
83 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Mais uma vez, considerando a taxa de desconto de 20%, os retornos descontados ficaram 
maiores que o desembolso. No entanto, queremos que sejam iguais. Portanto, devemos apli-
car uma taxa de desconto ainda maior. Desse modo, i > 20%. Tentemos 25%:
Com a taxa de desconto de 25%, os retornos descontados passam a ser menores que o desem-
bolso. Portanto, essa taxa de desconto foi muito elevada. Sendo assim, devemos ter i < 25%.
Juntando as duas conclusões, temos:
Letra b.
062. (CESPE/TCE-PB/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS/2018) Um aplicador possui duas 
opções para investir R$ 500.000 e, em ambas as opções, ele começará a receber os rendimen-
tos um ano após a aplicação. Na opção A, os rendimentos serão anuais, iguais a R$ 150.000 
e por 5 anos consecutivos. Na opção B, os ganhos serão anuais, iguais a R$ 126.000 e por 6 
anos consecutivos. A taxa de desconto do investidor em ambos os casos será de 10% ao ano.
Nessa situação, considerando-se que 0,62 e 0,56 sejam os valores aproximados, respectiva-
mente, para 1,1-5 e 1,1-6, a análise das opções pelo valor presente líquido (VPL) permite concluir 
que a opção mais vantajosa e a diferença entre os VPLS das duas opções são, respectivamente,
a) A e R$ 14.400.
b) A e R$ 22.440.
c) B e R$ 100.000.
d) A e R$ 15.600.
e) B e R$ 6.000.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
84 de 90www.grancursosonline.com.brAnálise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
O fluxo de caixa para os investimentos A e B são, respectivamente:
Podemos calcular o valor presente de uma série de pagamentos iguais pelo fator A de amorti-
zação, cuja expressão é:
N a opção A, temos:
Substituindo esses valores na expressão (I):
Para descobrir o capital, podemos utilizar a expressão do valor presente:
A parcela é igual a R$150.000. Então, podemos escrever:
O VPL para a opção A é dado por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
85 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para o investimento B, podemos escrever o fator A de amortização:
Para P = R$ 126.000,00, substituindo em (II), temos, para B:
O VPL para B é, então:
Como VPLA > VPLB, o primeiro investimento é o mais viável.
A diferença entre os valores presentes líquidos das duas opções de investimentos é, portanto:
Letra d.
063. (FGV/BANESTES/ANALISTA ECONÔMICO-FINANCEIRO/GESTÃO CONTÁBIL/2018) 
O diagrama a seguir apresenta as projeções dos fluxos de caixa líquidos de um projeto, em 
reais, durante dez meses.
Se a Taxa Interna de Retorno (TIR) é 4% a.m., então o valor de P é:
Dados: 1,049 = 1,42; 1,0410 = 1,48; 1,0411 = 1,54.
a) R$ 1.370,00;
b) R$ 1.427,00;
c) R$ 1.480,00;
d) R$ 1.565,00;
e) R$ 1.623,00.
Para casos como este exercício, em que há diversas parcelas, utilizamos o fator de amortiza-
ção, dado por:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
86 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Para a expressão acima, temos os parâmetros:
Substituindo valores em (I):
Para o cálculo do VPL, que neste caso é 0, usamos:
Isolando P a partir da expressão acima:
Letra c.
064. (FGV/ISS NITERÓI/FISCAL DE TRIBUTOS/2015) Um equipamento agrícola pode ser 
alugado anualmente ou comprado. Esse equipamento custa R$ 40.400,00, tem vida útil de 5 
anos e, ao final desse período, tem valor residual de R$ 16.100. O custo anual com a manuten-
ção é de R$ 2.000,00. Se o equipamento for alugado, o custo com manutenção é do locador. 
Considerando a taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, o valor do aluguel que torna indife-
rente comprar ou alugar o equipamento é, aproximadamente, em reais:
Utilize: 1,10-5 = 0,62 e 1,105 = 1,61
a) R$8.000.
b) R$10.000.
c) R$12.000.
d) R$14.000.
e) R$16.000.
Trata-se de uma questão muito interessante em que a FGV explora o conceito de valor presen-
te líquido para avaliar se é melhor comprar ou alugar um equipamento.
Essa questão é muito boa, porque é um conceito que você pode aplicar na sua vida para tomar 
decisões de investimento semelhantes.
Calcularemos, primeiramente, o fluxo de caixa referente à compra. Nesse caso, temos:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
87 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
• o custo de aquisição propriamente, no valor de R$40.400, a ser pago no ano 0, momento 
de aquisição da máquina;
• o custo de manutenção anual, a ser pago desde o ano 1 até o ano 5, no valor de R$2.000;
• o valor residual da máquina, significando que ela pode ser vendida por R$16.100 – ge-
rando um fluxo de caixa positivo.
Esses três fluxos podem ser representados graficamente:
O VPL associado à compra é dado por – chamaremos de FCC (fluxo de caixa da compra) con-
siderando uma taxa de juros de 10% ao ano:
A parte do meio que chamamos de SAF corresponde à série de capitais iguais a R$2.000 (a 
manutenção). O valor presente a essa série de capitais iguais é calculado pela expressão do 
sistema francês de amortização.
Agora, calcularemos o valor presente da série de capitais:
Somando tudo no fluxo de caixa da compra:
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
88 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Agora, vamos calcular o fluxo de caixa referente ao aluguel. Nesse caso, a única despesa é o 
próprio aluguel pago.
O aluguel deve ser pago a partir do ano 1 – não pagamos aluguel à vista.
O valor presente referente à série de capitais iguais é também dado pela expressão do siste-
ma francês:
Agora, calculemos o fator de amortização. Na verdade, como a taxa de desconto é a mesma e 
como o número de pagamentos também é igual a 5, o fator de amortização será igual ao que 
já foi calculado:
Finalmente, precisamos que o fluxo de caixa referente à compra seja igual ao fluxo de caixa 
referente ao aluguel:
Letra b.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
89 de 90www.grancursosonline.com.br
Análise de Investimentos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
GABARITO
1. a
2. 3 e 3,4 anos.
3. b
4. C
5. b
6. 4 anos
7. d
8. C
9. c
10. d
11. E
12. E
13. E
14. C
15. e
16. e
17. a
18. E
19. C
20. E
21. C
22. E
23. a
24. d
25. c
26. a
27. a
28. c
29. c
30. e
31. a
32. b
33. c
34. a
35. E
36. d
37. d
38. e
39. e
40. c
41. e
42. E
43. b
44. b
45. C
46. d
47. a
48. e
49. C
50. E
51. R$ 5.500
52. E
53. b
54. a
55. b
56. C
57. C
58. C
59. C
60. d
61. b
62. d
63. c
64. b
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.grancursosonline.com.br
https://www.grancursosonline.com.br
Thiago Cardoso
Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-chefe da Múltiplos 
Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor desde os 19 anos e, atualmente, leciona 
todos os ramos da Matemática para concursos públicos.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
	Apresentação
	Análise de Investimentos
	1. Conceitos Básicos
	1.1. Custo-Oportunidade
	1.2. Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
	1.3. Métodos de Avaliação de Investimentos
	2. Payback
	2.1. Payback Simples
	2.2. Payback Descontado
	3. Valor Presente Líquido
	3.1. Gráfico
	3.2. Taxa Interna de Retorno
	3.3. Índice de Lucratividade (ILL)
	3.4. Escolha de Investimentos
	Questões Comentadas em Aula
	Questões de Concurso
	Gabarito
	AVALIAR 5: 
	Página 90: