_ASDL__Lista_de_Exerc_cios___M_todos_de_Fourier

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[ASDL] Séries e Transformadas de Fourier
Fernando O. Souza, Luciano Frezzatto, Vı́ctor C. S. Campos
Instrução: Para a resolução desta lista de exerćıcios utilize, sempre que posśıvel, a Tabela de Propriedades
da Série e da Transformada de Fourier que está dipońıvel no fim desta lista, página 5.
Notação: Para realizar os exerćıcios considere a função GT (t) definida como
GT (t) = u
(
t+
T
2
)
− u
(
t− T
2
)
Exerćıcio 1: Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
a) x[n] = sen(2πn/7 + π/6) + ejπn/5
b) x[n] = cos2(πn/5)
c) x[n] =
∑+∞
k=−∞ p[n− kN ], p[n] = −δ[n+ 1] + 2δ[n]− δ[n− 1], N > 2
d) x[n] =
∑+∞
k=−∞ q[n− k3], q[n] = p[n]− p[−n], p[n] = 2δ[n+ 1]− δ[n] + δ[n− 1]
e) x(t) =
∑+∞
k=−∞ p(t− k5), p(t) = u(t+ 1)− 2u(t) + u(t− 1)
f) x(t) =
∑+∞
k=−∞ p(t− k8), p(t) = (δ(t+ 1) + δ(t− 1))/2
g) x(t) =
∑+∞
k=−∞G2(t− k8)
h) x(t) =
∑+∞
k=−∞ q(t− k8), sendo q(t) o sinal mostrado na Figura 1.
i) x(t) =
∑+∞
k=−∞ p(t− k6), p(t) = −tG1(t+ 0.5) + (t− 1)G1(t− 0.5)
−2 −1 1 2
−2
2
t
q(t)
Figura 1: Onda triangular.
Exerćıcio 2: Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
a) x(t) = e−|t| = e−tu(t) + etu(−t)
b) x(t) = te−|t|
c) x(t) = t2e−|t|
d) x(t) = 1jt
e) x(t) = −(t+ 1)G1(t+ 0.5) + (1− t)G1(t− 0.5)
f) x(t) = te−|t| sen(2t)
g) x(t) =
4t
(1 + t2)2
h) x(t) = cos(ω0t), sendo ω0 uma constante.
i) x(t) = sen(ω0t), sendo ω0 uma constante.
1
Exerćıcio 3: Determine a transformada de Fourier do sinal mostrado na Figura 1.
Exerćıcio 4: Determine |x[0]|2+|x[1]|2+|x[2]|2 para o sinal discreto periódico de peŕıodo N = 3 cujos coeficientes
da série exponencial de Fourier são dados por ck = 1 + cos(k2π/3).
Exerćıcio 5: Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
a) X(jω) = j[2u(ω)− u(ω + 1)− u(ω − 1)]
b) X(jω) = −(ω + 1)G1(ω + 0.5) + (1− ω)G1(ω − 0.5)
c) X(jω) = ωG1(ω − 0.5) + (2− ω)G2(ω − 2) + (ω − 4)G1(ω − 3.5)
d) X(jω) = 2πe−|ω|G2(ω)
e) X(jω) = 2πδ(ω − ω0), sendo ω0 uma constante.
f) X(jω) = − jω(jω)2+3jω+2
g) X(jω) = π (δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0))
Exerćıcio 6: Determine a sáıda y(t) de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t) = 2e−2tu(t) quando a entrada x(t) = 3e−tu(t). Use a propriedade da convolução da transformada de
Fourier x(t) ∗ h(t) FT←→ X(jω)Y (jω)
Exerćıcio 7: Determine a transformada de Fourier X(ejω) dos sinais em tempo discreto
a) x[n] = δ[n]
b) x[n] = δ[n−N ]
c) x[n] = αnu[n], sendo |α| < 1
d) x[n] = α|n|, sendo |α| < 1
e) x[n] =
{
1 |n| ≤M
0 |n| > M , use
N−1∑
n=0
αn =
{
N, α = 1
1−αN
1−α , α 6= 1
e escreva o resultado usando sinc(θ)
f) x[n] = cos
(
2π
5 n
)
g) x[n] =
∑∞
i=−∞ δ[n− iN ], sendo N o peŕıodo fundamental do sinal.
Exerćıcio 8: Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por
a) X(ejω) = 1
b) X(ejω) =
{
1, |ω| ≤W
0, W < |ω| ≤ π , sendo X(e
jω) = X(ej(ω+2π)) e escreva o resultado usando sinc(θ)
c) X(ejω) =
∑∞
`=−∞ 2πδ(ω − ω0 − 2π`)
Exerćıcio 9: Determine y(0) para
a) y(t) = x(t) ∗ x(−t) , x(t) real ,
∫ +∞
−∞
|X(jω)|2dω = 1
b) y(t) = x(t) ∗ x(−t), sendo X(jω) = Gπ(ω)
Exerćıcio 10: Determine
a) y(t) = 1πt ∗ sinc(t)
b)
∫ +∞
−∞ |y(t)|
2dt, com y(t) dado no item anterior.
Exerćıcio 11: Considere o sinal x(t) com transformada de Fourier X(jω). Suponha que os seguintes fatos são
dados:
i. x(t) é real e não negativo;
ii. (1 + jω)X(jω) é a transformada de Fourier de Ae−2tu(t), sendo A uma constante;
iii.
∫ +∞
−∞
|X(jω)|2dω = 2π
Determine a expressão, em forma fechada, para x(t).
2
Exerćıcio 12: Considere o sistema linear invariante no tempo cuja transformada de Fourier da resposta ao
impulso h(t) é
H(jω) =
e−jω
ω2 + 1
Determine o valor das integrais
I0 =
∫ +∞
−∞
h(t)dt , I1 =
∫ +∞
−∞
t h(t)dt
Determine também h(t).
Exerćıcio 13: Determine o valor das integrais
a)
∫ +∞
−∞
sinc(t)dt
b)
∫ +∞
−∞
sinc2(t)dt
c)
∫ +∞
−∞
sinc3(t)dt
d)
∫ +∞
−∞
x(t)dt, x =
d
dt
sinc(t)
e)
∫ +∞
−∞
|y(t)|2dt, y(t) =
∫ +∞
−∞
1
πβ
x(t− β)dβ,
∫ +∞
−∞
|X(jω)|2dω = 2
f)
∫ +∞
−∞
te−|t| sen(2t)dt
Exerćıcio 14: Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada
por
H(jω) = G1(ω + 10) +G1(ω − 10)
a) Determine a sáıda y(t) do sistema para a entrada x(t) = 10 + 20 sen(3t) cos(7t).
b) Determine a potência média dos sinais x(t) e y(t).
Exerćıcio 15: Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada
por
H(jω) = G3(ω)
a) Determine a sáıda y(t) do sistema para a entrada
x(t) =
+∞∑
k=−∞
q(t− k2π) , q(t) = 100π
(
(t+ 1)G1(t+ 0.5) + (1− t)G1(t− 0.5)
)
b) Determine a potência média dos sinais x(t) e y(t).
Exerćıcio 16: Considere um sistema linear invariante no tempo causal com resposta em frequência
H(jω) =
1
jω + 3
Para uma entrada x(t) particular, o sistema apresenta como sáıda
y(t) = e−3tu(t)− e−4tu(t)
Determine x(t).
3
Exerćıcio 17: Quando um trem de impulsos
x[n] =
+∞∑
k=−∞
δ[n− k4]
é a entrada para um sistema linear invariante no tempo cuja resposta em frequência é H(ejω). A sáıda
do sistema para a referida entrada é
y[n] = cos
(
5π
2
n+
π
4
)
Determine os valores de H(ejkπ/2) para k = 0, 1, 2 e 3.
Exerćıcio 18: Determine a sáıda do filtro apresentado na Figura 2 para as seguintes entradas periódicas:
a) x1[n] = (−1)n
b) x2[n] = 1 + sen
(
3π
8
n+
π
4
)
c) x3[n] =
+∞∑
k=−∞
(2)4k−nu[n− 4k]
− 5π3 −
19π
12
−π − 5π12 −
π
3
π
3
5π
12
π 19π
12
5π
3
1
ω
H(ejω)
Figura 2: Filtro discreto ideal.
Exerćıcio 19: Seja a X(jω) a tranformada de Fourier de x(t) e Y (jω) a tranformada de Fourier de y(t). Deter-
mine a resposta em frequência H(jω) = Y (jω)/X(jω) associada a equação diferencial
ẏ(t) + ay(t) = x(t)
sendo a uma constante. Dica: use a propriedade ż(t)
FT←→jωZ(jω).
Exerćıcio 20: Determine a transformada de Fourier do sinal
y(t) = te−atu(t)
use a propriedade:
dX(jω)
dw
FT←→ −jtx(t)
Exerćıcio 21: Seja a X(ejω) a tranformada de Fourier de x[n] e Y (ejω) a tranformada de Fourier de y[n].
Determine a resposta em frequência H(ejω) = Y (ejω)/X(ejω) associada a equação de diferença
y[n]− 3
4
y[n− 1] + 1
8
y[n− 2] = 2x[n]
Dica: use a propriedade x[n− n0]
FT←→ e−jωn0X(ejω).
4
Tabela de propriedades
Série de Fourier (FS), Série de Fourier em Tempo Discreto (DTFS), Transformada de Fourier (FT), Transformada
de Fourier em Tempo Discreto (DTFT)
• Linearidade
◦ Ax(t) +By(t) FS←→Aak +Bbk
◦ Ax[n] +By[n]DTFS←→ Aak +Bbk
◦ Ax(t) +By(t) FT←→AX(jω) +BY (jω)
◦ Ax[n] +By[n]DTFT←→ AX(ejω) +BY (ejω)
• Deslocamento no tempo
◦ x(t− t0)
FS←→e−jkω0t0ak
◦ x[n− n0]
DTFS←→ e−jkω0n0ak
◦ x(t− t0)
FT←→e−jωt0X(jω)
◦ x[n− n0]
DTFT←→ e−jωn0X(ejω)
• Deslocamento na frequência
◦ ejMω0tx(t) FS←→ak−M
◦ ejMω0nx[n]DTFS←→ ak−M
◦ ejω0tx(t) FT←→X(j(ω − ω0))
◦ ejω0nx[n]DTFT←→ X(ej(ω−ω0))
• Conjugação
◦ x∗(t) FS←→a∗−k
◦ x∗[n]DTFS←→ a∗−k
◦ x∗(t) FT←→X∗(−jω)
◦ x∗[n]DTFT←→ X∗(e−jω)
• Reflexão no tempo
◦ x(−t) FS←→a−k
◦ x[−n]DTFS←→ a−k
◦ x(−t) FT←→X(−jω)
◦ x[−n]DTFT←→ X(e−jω)
• Escalonamento
◦ x(αt) FS←→ak, α > 0 (peŕıodo T/α)
◦ x[m][n]
DTFS←→ 1mak, m > 0, inteiro (peŕıodo Nm)
◦ x(at) FS←→ 1|a|X(
jω
a )
◦ x[m][n]
DTFT←→ X(ejmω)
x[m][n] =
{
x[n/m], se n for múltiplo de m
0, se n não for múltiplo de m
5
• Convolução (~ denota a convolução entre sinais periódicos)
◦ x(t) ~ y(t) FS←→Takbk
◦ x[n] ~ y[n]DTFS←→ Nakbk
◦ x(t) ∗ y(t) FT←→X(jω)Y (jω)
◦ x[n] ∗ y[n]DTFT←→ X(ejω)Y (ejω)
• Multiplicação/Modulação
◦ x(t)y(t) FS←→
∞∑
`=−∞
a`bk−` → ak ∗ bk
◦ x[n]y[n]DTFS←→
∑
`=<N>
a`bk−` → ak ~ bk
◦ x(t)y(t) FT←→ 1
2π
X(jω) ∗ Y (jω)
◦ x[n]y[n]DTFT←→ 1
2π
X(ejω) ~ Y (ejω)
• Diferenciação/Diferença no tempo
◦ dx(t)
dt
FS←→jkω0ak
◦ x[n]− x[n− 1]DTFS←→ (1− e−jkω0)ak
◦ dx(t)
dt
FT←→jωX(jω)
◦ x[n]− x[n− 1]DTFT←→ (1− e−jkω)X(ejω)
• Diferenciação/Diferença na frequência
◦ tmx(t) FT←→jm d
m
dωm
X(jω)
◦ nmx[n]DTFT←→ jm d
m
dωm
X(ejω)
• Integração/Soma
◦
∫ t
−∞
x(t)dt
FS←→ 1
jkω0
ak
◦
n∑
k=−∞
x[k]DTFS←→ 1
(1− e−jkω0)
ak
◦
∫ t
−∞
x(t)dt
FT←→ 1
jω
X(jω) + πX(0)δ(ω)
◦
n∑
k=−∞
x[k]
DTFT←→ X(jω)
(1− e−jω)
+ πX(ej0)
∞∑
k=−∞
δ(ω − 2πk)
• Sinais reais e pares
◦ x(t) real e par FS←→ ak real e par
◦ x[n] real e par DTFS←→ ak real e par
◦ x(t) real e par FT←→ X(jω) real e par
◦ x[n] real e par DTFT←→ X(ejω) real e par
• Sinais reais e ı́mpares
Para x(t) e x[n] reais e ı́mpares
6
◦ x(t) FS←→ ak puramente imaginário e ı́mpar
◦ x[n] DTFS←→ ak puramente imaginário e ı́mpar
◦ x(t) FT←→ X(jω) puramente imaginário e ı́mpar
◦ x[n] DTFT←→ X(ejω) puramente imaginário e ı́mpar
• Relações de Parseval
◦ 1
T
∫
<T>
|x(t)|2dt =
∞∑
k=−∞
|ak|2 −→ FS
◦ 1
N
∑
n=<N>
|x[n]|2 =
∑
k=<N>
|ak|2 −→ DTFS
◦
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt = 1
2π
∫ ∞
−∞
|X(jω)|2dω −→ FT
◦
∞∑
k=−∞
|x[n]|2 = 1
2π
∫
2π
|X(ejω)|2dω −→ DTFT
• Dualidade
x(t)
FT←→ X(jω)
X(jt)
FT←→ 2πx(−ω)
7