2_a_Resposta_Circuitos_PrimeiraOrdem

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Análise de Circuitos Elétricos II
Circuitos de Primeira Ordem
Michel Bessani
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
2º Semestre - 2020
Ementa
22º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
● Indutância e capacitância;
● Circuitos de primeira ordem;
● Circuitos de segunda ordem;
● Circuitos com Amplificadores Operacionais;
● Excitação senoidal e fasores;
● Análise em Regime permanente senoidal;
● Potência em regime permanente senoidal;
● Circuitos Trifásicos.
Introdução
32º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Circuitos de primeira ordem: caracterizados por um equação diferencial de
primeira ordem.
Iremos estudar:
● Circuitos com um resistor e um capacitor (RC);
● Circuitos com um resistor e um indutor (RL);
Introdução
42º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
● Resposta Natural:
É a resposta de um sistema quando este possui apenas uma condição
inicial.
No nosso caso:
Quando o elemento armazenador de energia é desconectado
abruptamente de uma fonte cc.
52º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta Natural - Circuito RC
Resposta Natural - Circuito RC
62º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta natural do circuito - Ocorre quando uma fonte cc é desconectada
abruptamente do circuito.
● Estamos interessados em determinar a resposta do circuito: v(t) no capacitor
para t ≥ 0 (após a abertura da chave).
● Como o capacitor estava carregado em t=0 ele não permite a passagem de
corrente (iC=Cdv/dt), temos que v(0)=Vg=V0.
Resposta Natural - Circuito RC
72º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos aplicar a Lei dos nós (LCK) no circuito.
Equação Diferencial de primeira ordem:
Resposta Natural - Circuito RC
82º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
A resposta desse circuito após a mudança da chave (t=0) é um decaimento
exponencial da tensão inicial V0.
A energia armazenada no capacitor vai sendo dissipada no resistor conectado ao
mesmo.
Resposta Natural - Circuito RC
92º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
A tensão no capacitor decresce com o tempo, e a velocidade de decaimento é
expressa em termos de uma constante de tempo (𝜏).
Por convenção a constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta
decaia até um fator igual a 1/e (36,8%) do valor inicial.
Para t = 𝜏 :
Resposta Natural - Circuito RC
102º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos escrever a equação de v(t) para a resposta natural do circuito RC como:
t v(t)/V0
𝜏 0,36788
2𝜏 0,13564
3𝜏 0,04979
4𝜏 0,01832
5𝜏 0,00674
e observamos o seguinte decaimento de v(t):
Resposta Natural - Circuito RC
112º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Uma vez que sabemos v(t), podemos determinar outras grandezas elétricas:
Resposta Natural - Circuito RC
122º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Uma vez que sabemos v(t), podemos determinar outras grandezas elétricas:
Resposta Natural - Circuito RC
132º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 1: Após um longo período de tempo na posição x, a chave no circuito é
colocada na posição y em t=0 (tensão V(0) = V0 = 100 V, i.e., capacitor totalmente
carregado). Determine para t≥0:
a) A tensão no capacitor - vC(t);
b) A tensão no resistor de 240 kΩ - vo(t);
c) A corrente no resistor de 60 kΩ - i0(t);
d) A energia total dissipada no resistor de 60 kΩ - w60 kΩ.
Resposta Natural - Circuito RC
142º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 1: Após um longo período de tempo na posição x, a chave no circuito é
colocada na posição y em t=0 (tensão V(0) = V0 = 100 V, i.e., capacitor totalmente
carregado). Determine para t≥0:
a) A tensão no capacitor - vC(t)
τ = RC
RC = (32 kΩ + 240 kΩ//60 kΩ)x0,5x10-6
τ = 80x103x0,5x10-6 = 40x10-3
vC(t) = 100xe
-t/(40x10-3)=100e-25t V, t≥0
Resposta Natural - Circuito RC
152º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 1: Após um longo período de tempo na posição x, a chave no circuito é
colocada na posição y em t=0 (tensão V(0) = V0 = 100 V, i.e., capacitor totalmente
carregado). Determine para t≥0:
b) A tensão no resistor de 240 kΩ - vo(t)
Podemos utilizar um divisor de tensão:
vo(t) = vC(t)x(240 kΩ//60 kΩ)/(32 kΩ + 240 kΩ//60 kΩ)
vo(t) = 100e
-25tx48x103/(80x103) = 60e-25t V, t≥0
Resposta Natural - Circuito RC
162º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 1: Após um longo período de tempo na posição x, a chave no circuito é
colocada na posição y em t=0 (tensão V(0) = V0 = 100 V, i.e., capacitor totalmente
carregado). Determine para t≥0:
c) a corrente no resistor de 60 kΩ - i0(t)
Temos a resistência e a tensão no resistor:
i0(t) = vo(t)/R 
i0(t) = 60e
-25t/(60x103)
i0(t) = e
-25t10-3
i0(t) = e
-25t mA, t≥0
Resposta Natural - Circuito RC
172º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 1: Após um longo período de tempo na posição x, a chave no circuito é
colocada na posição y em t=0 (tensão V(0) = V0 = 100 V, i.e., capacitor totalmente
carregado). Determine para t≥0:
d) a energia total dissipada no resistor de 60 kΩ - w60 kΩ.
w60 kΩ= ∫0
∞p(t)dt = ∫0
∞v(t)i(t)dt
w60 kΩ=∫0
∞60e-25te-25t10-3dt
w60 kΩ=60x10
-3∫0
∞e-50tdt
w60 kΩ=1.2x10
-3 J = 1,2 mJ
182º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta Natural - Circuito RL
Resposta Natural - Circuito RL
192º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta natural do circuito - Ocorre quando uma fonte cc é desconectada
abruptamente do circuito.
t<0 - o indutor está carregado e se comporta como um curto-circuito (Ldi/dt=0).
Então VL= Ldi/dt = 0 e as correntes (e tensões) em R0 e R são nulas.
Resposta Natural - Circuito RL
202º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta natural do circuito - Ocorre quando uma fonte cc é desconectada
abruptamente do circuito.
Uma vez que o indutor ficou completamente carregado (IL = IS = I0), então a
energia armazenada pelo mesmo é:
Queremos a resposta natural do circuito, i(t), para t ≥ 0 (após a abertura da chave).
Resposta Natural - Circuito RL
212º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) no circuito.
Equação Diferencial de primeira ordem:
Resposta Natural - Circuito RL
222º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
A resposta desse circuito após a mudança da chave (t=0) é um decaimento
exponencial da corrente inicial no capacitor.
A energia armazenada no indutor vai sendo dissipada pelo resistor conectado ao
mesmo.
Resposta Natural - Circuito RL
232º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
A corrente no indutor decresce com o tempo, sendo a velocidade de decaimento
expressa em termos da constante de tempo (𝜏).
Por convenção a constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta
decaia até um fator igual a 1/e (36,8%) do valor inicial.
Fazendo t = 𝜏 :
Resposta Natural - Circuito RL
242º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Sabendo que a corrente i(t) é:
Podemos calcular a tensão no resistor:
E também a potência dissipada no resistor:
Resposta Natural - Circuito RL
252º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 2: A chave no indutor esteve fechada por um longo período até ser
aberta em t=0 (I0 = IS = 20 A). Determine as seguintes grandezas elétricas do
circuito para t ≥ 0:
a) iL(t);
b) i0(t);
c) v0(t);
d) A % da energia armazenada no indutor que é dissipada no resistor de 10 Ω.
Resposta Natural - Circuito RL
262º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 2: A chave no indutor esteve fechada por um longo período até ser
aberta em t=0 (I0 = IS = 20 A). Determine asseguintes grandezas elétricas do
circuito para t ≥ 0:
a) iL(t);
τ = L/R = 2/(2+10//40) = 2/10 = 0,2
iL(t) = I0e
-t/τ
iL(t) = 20e
-t/0,2 = 20e-5t A, t ≥ 0
Resposta Natural - Circuito RL
272º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 2: A chave no indutor esteve fechada por um longo período até ser
aberta em t=0 (I0 = IS = 20 A). Determine as seguintes grandezas elétricas do
circuito para t ≥ 0:
b) i0(t);
i0(t) é a corrente no resistor de 40 Ω
vamos utilizar um divisor de corrente
i0(t) = -iL(t)x10/(40+10) = -20e
-5tx10/50 = -4e-5t A, t ≥ 0
Resposta Natural - Circuito RL
282º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 2: A chave no indutor esteve fechada por um longo período até ser
aberta em t=0 (I0 = IS = 20 A). Determine as seguintes grandezas elétricas do
circuito para t ≥ 0:
c) v0(t);
v0(t) = R x i0(t)
v0(t) = 40x-4e
-5t = -160e-5t V, t ≥ 0
Resposta Natural - Circuito RL
292º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exercício 2: A chave no indutor esteve fechada por um longo período até ser
aberta em t=0 (I0 = IS = 20 A). Determine as seguintes grandezas elétricas do
circuito para t ≥ 0:
d) A % da energia armazenada no indutor que é
dissipada no resistor de 10 Ω;
sabemos que a w é proporcional à p=v(t)i(t)
De toda a energia do indutor, 20% será dissipada no resistor de 2 Ω e os 80% 
restante nos 8 Ω (10||40).
Sabemos também que a tensão em 10 Ω e 40 Ω é igual (paralelos), então a potência 
dissipada por eles será proporcional às correntes.
A corrente em 10 Ω será 40/(10+40) de iL(t) e em 40 Ω será 10/(10+40) de iL(t), ⅘ e ⅕ 
respectivamente. 
Dessa forma, a % da energia dissipada em 10 Ω será 4/5 x 8/10 = 64%
Resposta Natural - Circuito RL e RC
302º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Vamos comparar as equações para a resposta natural dos circuitos RL e RC:
Podemos escrever uma equação que diz que o valor em t será dependente do
valor inicial e de uma constante de tempo 𝜏 que define como ocorre o decaimento
exponencial do valor inicial.
312º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta Forçada de Primeira Ordem
Resposta Forçada
322º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
● Resposta Natural:
Quando o elemento armazenador de energia é
desconectado abruptamente de uma fonte cc.
● Resposta Forçada:
Quando o elemento armazenador de energia é
conectado abruptamente a uma fonte cc.
Resposta Forçada
332º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta Forçada: Quando o elemento armazenador de energia é conectado
abruptamente a uma fonte cc.
Também conhecida como resposta ao degrau.
Resposta Forçada - Circuito RL
342º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
O que sabemos sobre o circuito:
Dado o circuito RL, podemos escrever a LTK para o circuito RL
Resposta Forçada - Circuito RL
352º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Dado o circuito RL, podemos escrever a LTK para o circuito RL
Resposta Forçada - Circuito RL
362º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos também obter a expressão para a tensão no indutor - v(t):
Resposta Forçada - Circuito RL
37
Temos as expressões de i(t) e v(t) para o circuito RL:
2º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos observar que, independentemente da energia armazenada inicialmente
pelo indutor, após um certo instante de tempo que a chave foi fechada (t≫R/L) o
mesmo se comporta como um curto para a fonte de tensão constante.
i(t)= Vs/R, se t≫R/L
v(t) = 0, se t≫R/L
Resposta Forçada - Circuito RC
382º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
O que sabemos sobre o circuito:
Podemos escrever a LCK para o circuito:
Resposta Forçada - Circuito RC
392º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Dado o circuito RC, podemos escrever a LCK para o circuito:
Resposta Forçada - Circuito RC
402º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos também obter a expressão para a corrente no capacitor - ic(t):
Resposta Forçada - Circuito RC
41
Temos as expressões de i(t) e v(t) para o circuito RC:
2º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos observar que, independentemente da energia armazenada inicialmente
pelo capacitor, após um certo instante de tempo que a chave foi fechada (t≫RC) o
mesmo se comporta como um circuito aberto para a fonte de corrente constante.
i(t)= 0, se t≫RC
v(t) = IsR, se t≫RC
Resposta Forçada - Circuitos RL e RC
42
Vamos comparar as expressões para as respostas forçadas dos circuitos RL e RC:
2º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Podemos escrever uma equação genérica assim como fizemos para a resposta
natural?
Resposta Forçada - Circuitos RL e RC
43
Expressões específicas
RL:
RC:
2º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Resposta Completa = Resposta Natural + Resposta Forçada
Energia Armazenada Fonte Independente
Forma genérica
Como interpretar essa expressão genérica?
Resposta Forçada - Circuitos RL e RC
442º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Chamamos xf de resposta em regime permanente (t≫𝜏), e
[x(t0 ) - xf ]e
-(t-t0)/𝜏 de resposta transitória (anterior à xf).
x(t) é igual a sua resposta em regime permanente (o seu valor final) mais a sua
resposta transitória (diferença entre o seu valor inicial e o valor final vezes uma
exponencial negativa da razão entre o tempo desde o chaveamento (t-t0) e a
constante de tempo do circuito 𝜏).
Podemos escrever um algoritmo para resolução dos circuitos de 1a Ordem:
1. Identificar a variável de interesse que seja mais conveniente para resolver o
circuito, se RC será vC(t) e se RL será iL(t);
2. Determinar o valor inicial da variável de interesse x(t0), I0 para L e V0 para C;
3. Determinar o valor final da variável de interesse xf = x(t→∞);
4. Determinar a constante de tempo do circuito 𝜏 , se RC o 𝜏 =RC e se RL 𝜏 =L/R.
Resposta Forçada - Circuitos RL e RC
452º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
462º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
a) Qual o valor inicial de vC?
b) Qual o valor final de vC?
c) Qual a constante de tempo do circuito quando a chave estiver na posição b?
d) Qual a expressão para vC(t) para t≥ 0?
e) Qual a expressão para i C(t) para t≥ 0?
f) Quanto tempo é necessário para vC=0?
g) Faça um gráfico de vC(t) e iC(t).
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
472º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Em t=0 o capacitor de 0.5 μF estava carregado, e sua tensão é a mesma que a
observada no resistor de 60 Ω, mas com polaridade invertida.
Podemos obter a tensão no resistor de 60 Ω calculando a corrente que flui
sobre ele ou ainda utilizando um divisor de tensão:
V60 Ω = 40x60/(60+40) = 30 V, logo a tensão no capacitor em t=0 é -30 V.
a) Qual o valor inicial de vC?
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
482º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
Após a mudança da chave para a posição b, o capacitor irá ser carregado até o
seu novo valor de tensão final.
O capacitar terá uma tensão final de +90 V igual a fonte em série com o
mesmo.
b) Qual o valor final de vC?
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
492º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
c) Qual a constante de tempo do circuito quando a chave estiver na posição b?
Na posiçãob temos um resistor de 400 kΩ em série com o capacitor de 0.5 μF.
A constante de tempo será então 𝜏 = RC = 400x103x0.5x10-6 = 0,2 s = 200 ms
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
502º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
d) Qual a expressão para vC(t) para t≥ 0?
Usando a expressão geral
vC(t) = 90 + [-30 - 90]exp(-(t-0)/0.2)
vC(t) = 90 -120exp(-5t) V, t≥0
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
Resposta Forçada - Circuito RC
512º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
e) Qual a expressão para i C(t) para t≥ 0?
Sabemos vC(t) = 90 -120exp(-5t) V, t≥0 e que iC=Cdv/dt
iC(t) = 0.5x10
-6x(-120exp(-5t)x-5) = 300exp(-5t)x10-6 A
iC(t) = 300exp(-5t) μA, t≥0
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
f) Quanto tempo é necessário para vC=0?
Resposta Forçada - Circuito RC
522º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
vC(t) = 90 -120exp(-5t) V
90 -120exp(-5t) = 0
-120exp(-5t) = -90
exp(-5t) = 90/120 = 3/4
-5t = ln(3/4) = -0.2877 -> t = 57.5 ms
Exemplo: A chave ficou na posição a por um longo período de tempo, e em t=0 ela
muda para a posição b.
g) Faça um gráfico de vC(t) e iC(t)
Resposta Forçada - Circuito RC
532º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
vC(t) = 90 -120exp(-5t) V
iC(t) = 300exp(-5t) μA, t≥0
Referências
542º Semestre - 2020ELE 065 - Análise de Circuitos Elétricos II
● NILSSON, James William; RIEDEL, Susan A. Circuitos elétricos. 8. ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009;
● JOHNSON, David E; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny R.
Fundamentos de análise de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro:
Prentice/Hall do Brasil, 1994;
● DORF, Richard C. Introdução aos circuitos elétricos. Rio de Janeiro: LTC,
2008;
● SADIKU, Matthew N. O., ALEXANDER, Charles. Fundamentos de Circuitos
Elétricos, Mcgraw-hill, 2008.