Probabilidade Total Teorema de Bayes

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Elementos de Matemática e Estatística
Probabilidade Total e Teorema de Bayes
CEDERJ / EME NKOA
A Probabilidade Total tem como princípio calcular a probabilidade de certo 
acontecimento/evento, tomando como base informações parciais sobre o evento 
de interesse e também sobre outros eventos associados a ele.
CEDERJ / EME NKOA
Não tenho a menor ideia do 
que está se falando. 
Agora complicou!!!
Definição de Probabilidade Total
CEDERJ / EME NKOA
• Considere uma partição do espaço amostral Ω for formado pelos eventos A1, A2,
..., Ak, onde a probabilidade de cada um destes eventos é conhecida. Seja E um
outro evento qualquer de Ω, cuja a probabilidade será obtida por:
P E = P E A1 × P A1 + P E A2 × P A2 + … + P(E|Ak) × P(Ak)
Definição de Probabilidade Total
CEDERJ / EME NKOA
• Considere uma partição do espaço amostral Ω for formado pelos eventos A1, A2,
..., Ak, onde a probabilidade de cada um destes eventos é conhecida. Seja E um
outro evento qualquer de Ω, cuja a probabilidade será obtida por:
P E = P E A1 × P A1 + P E A2 × P A2 + … + P(E|Ak) × P(Ak)
Parece muito difícil.
O que é partição?
Definição de Partição do Espaço Amostral
CEDERJ / EME NKOA
• Um conjunto de eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição do espaço amostral
Ω, se a união de todos os eventos for o próprio espaço amostral e entre os eventos
não houver intercessão.
Definição de Partição do Espaço Amostral
CEDERJ / EME NKOA
• Um conjunto de eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição do espaço amostral
Ω, se a união de todos os eventos for o próprio espaço amostral e entre os eventos
não houver intercessão.
Um exemplo, por favor!!!
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Exemplo: (Partição do Espaço Amostral)
Experimento aleatório: sortear um indivíduo de uma população e verificar a
classificação etária do indivíduo.
CEDERJ / EME NKOA
Exemplo: (Partição do Espaço Amostral)
Experimento aleatório: sortear um indivíduo de uma população e verificar a
classificação etária do indivíduo.
Apesar de não saber qual será o indivíduo sorteado, posso afirmar que o espaço
amostral pode ser formado pela partição dos eventos C, A e I, onde:
C: o indivíduo ser criança
A : o indivíduo ser adulto
I : o indivíduo ser idoso
CEDERJ / EME NKOA
Exemplo: (Partição do Espaço Amostral)
Experimento aleatório: sortear um indivíduo de uma população e verificar a
classificação etária do indivíduo.
Apesar de não saber qual será o indivíduo sorteado, posso afirmar que o espaço
amostral pode ser formado pela partição dos eventos C, A e I, onde:
C: o indivíduo ser criança
A : o indivíduo ser adulto
I : o indivíduo ser idoso
Não há intercessão entre os eventos porque não tem como um indivíduo pertencer
simultaneamente a duas faixas etárias. Já a união dos eventos forma o espaço
amostral todo, uma vez que o indivíduo deve pertencer a uma das três faixas
etárias.
CEDERJ / EME NKOA
Exemplo: (Partição do Espaço Amostral)
Experimento aleatório: sortear um indivíduo de uma população e verificar a
classificação etária do indivíduo.
Apesar de não saber qual será o indivíduo sorteado, posso afirmar que o espaço
amostral pode ser formado pela partição dos eventos C, A e I, onde:
C: o indivíduo ser criança
A : o indivíduo ser adulto
I : o indivíduo ser idoso
Não há intercessão entre os eventos porque não tem como um indivíduo pertencer
simultaneamente a duas faixas etárias. Já a união dos eventos forma o espaço
amostral todo, uma vez que o indivíduo deve pertencer a uma das três faixas
etárias.
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Exemplo: (Teorema da Probabilidade Total)
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
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Exemplo: (Teorema da Probabilidade Total)
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
Temos as seguintes informações:
P C = 0,35 P A = 0,50 e P I = 0,15
P H|C = 0,38 P H|A = 0,59 e P H|I = 0,45
onde C, A e I são os eventos, respectivamente, ser criança, ser adulto, ser idoso e o
evento H ter hábitos de vida compatíveis para a preservação da natureza.
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Tem um jeito mais fácil de 
interpretar estas informações? 
Uma figura talvez?
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Primeiro a população é dividida na partição C (35%), A (50%) e I (15%)
C I
A
População
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Depois o evento H é marcado, de modo que ocupe 38% da 
população de C, 59% da população de A e 45% da população de I
C I
A H
População
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Não é tão complicado perceber que:
C I
A H
População
H = H ∩ C ∪ H ∩ A ∪ (H ∩ I)
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Ou seja, o evento H é formado pela união de 
cada uma das partes “pintadas” na figura acima
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Portanto,
P(H) = P[ H ∩ C ∪ H ∩ A ∪ H ∩ I ]
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Portanto,
P(H) = P[ H ∩ C ∪ H ∩ A ∪ H ∩ I ]
Pela regra da adição,
P H = P H ∩ C + P H ∩ A + P[ H ∩ I ]
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Portanto,
P(H) = P[ H ∩ C ∪ H ∩ A ∪ H ∩ I ]
Pela regra da adição,
P H = P H ∩ C + P H ∩ A + P[ H ∩ I ]
Finalmente, pela regra da multiplicação,
P H = P H C × P C + P H A × P A + P(H|I) × P(I)
P H = 0,38 × 0,35 + 0,59 × 0,50 + 0,45 × 0,15 = 0,4955
ProbabilidadeTotal
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Voltando ao enunciado do exemplo:
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
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Voltando ao enunciado do exemplo:
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
A resposta será: P(H) = 0,4955
CEDERJ / EME NKOA
Voltando ao enunciado do exemplo:
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
A resposta será: P(H) = 0,4955
Só foi possível obter P(H) porque havia informações parciais do evento H, que
foram P(H|C), P(H|A) e P(H|I) e também dos eventos C, A e I, que influenciam
o evento H.
CEDERJ / EME NKOA
Voltando ao enunciado do exemplo:
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ter hábitos de vida compatíveis
com a preservação ambiental?
A resposta será: P(H) = 0,4955
Só foi possível obter P(H) porque havia informações parciais do evento H, que
foram P(H|C), P(H|A) e P(H|I) e também dos eventos C, A e I, que influenciam
o evento H.
O Teorema de Bayes deseja calcular a probabilidade de um dos eventos que 
formam a partição do espaço amostral, condicionado a um outro evento qualquer
que tem alguma relação com ele.
CEDERJ / EME NKOA
Puxa vida! Quando acabo de 
entender a probabilidade total, 
lá vem esse teorema. Aff!
Definição de Teorema de Bayes
CEDERJ / EME NKOA
• Considere uma partição do espaço amostral Ω for formado pelos eventos A1, A2,
..., Ak, onde a probabilidade de cada um destes eventos é conhecida. Seja E um
outro evento qualquer de Ω. Então:
P Ai|E =
P E Ai × P Ai
P E A1 × P A1 + P E A2 × P A2 + … + P(E|Ak) × P(Ak)
onde i = 1, 2 , … , k
Definição de Teorema de Bayes
CEDERJ / EME NKOA
• Considere uma partição do espaço amostral Ω for formado pelos eventos A1, A2,
..., Ak, onde a probabilidade de cada um destes eventos é conhecida. Seja E um
outro evento qualquer de Ω. Então:
P Ai|E =
P E Ai × P Ai
P E A1 × P A1 + P E A2 × P A2 + … + P(E|Ak) × P(Ak)
Socorro!!!
Acho que vou pirar!
onde i = 1, 2 , … , k
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Exemplo:: (Teorema de Bayes)
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ser uma criança, dado que tem
hábitos de vida compatíveis com a preservação ambiental?
CEDERJ / EME NKOA
Exemplo:: (Teorema de Bayes)
Uma população é formada por 35% de crianças, 50% de adultos e os demais
idosos. Pesquisas afirmam que a probabilidade de um indivíduo ter hábitos de vida
compatíveis para a preservação do meio ambiente é de 0,38; 0,59 e 0,45,
respectivamente, se o indivíduo for criança, adulto e idoso. Se sortearmos alguém
desta população, qual a probabilidade do indivíduo ser uma criança, dado que tem
hábitos de vida compatíveis com a preservação ambiental?
Novamente:
P C = 0,35 P A = 0,50 e P I = 0,15
P H|C = 0,38 P H|A = 0,59 e P H|I = 0,45
onde C, A e I são os eventos, respectivamente, ser criança, ser adulto, ser idoso e o
evento H ter hábitos de vida compatíveis para a preservação da natureza.
CEDERJ / EME NKOA
P C|H =
P H C × P C
P H C × P C + P H A × P A + P(H|I) × P(I)
Pelo Teorema de Bayes, temos:
P C|H =
0,38 × 0,35
0,38 × 0,35 + 0,59 × 0,50 + 0,45 × 0,15
P C|H =
0,133
0,4955
≅ 0,2684
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Ufa! O nome do teorema é 
esquisito, mas é só eu prestar 
atenção que conseguirei fazer!
Pelo Teorema de Bayes, temos:
P C|H =
0,38 × 0,35
0,38 × 0,35 + 0,59 × 0,50 + 0,45 × 0,15
P C|H =
0,1330
0,4955
≅ 0,2684
P C|H =
P H C × P C
P H C × P C + P H A × P A + P(H|I) × P(I)
CEDERJ / EME NKOA
Elementos de Matemática e Estatística
Até a próxima, turma!!!