Questão resolvida - Encontre o volume dos sólidos de revolução em torno do eixo y, gerado pelas curvas abaixo, nos seus respectivos intervalos_ a) - Cálculo I - IF_Piauí

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• Encontre o volume dos sólidos de revolução em torno do eixo , gerado pelas curvas y
abaixo, nos seus respectivos intervalos:
 
a) , no intervalo .f x = senx( ) 0,
π
2
 
Resolução:
 
Usando o método das cascas cilíndricas, temos que o volume em torno do eixo é dado y
pela expressão;
V = 2𝜋 xf x dx
b
a
∫ ( )
a)
 
Primeiro, vamos fazer um esboço da área a ser girada para obtermos o volume, vamos 
substituir alguns valores no intervalo para observar o comportamento da curva;0,
π
2
 
x = 0 f 0 = sen 0 f 0 = 0→ ( ) ( ) → ( )
 
x = f = sen f = da tabela de ângulos notáveis!
𝜋
6
→
𝜋
6
𝜋
6
→
𝜋
6
1
2
→
 
x = f = sen f = da tabela de ângulos notáveis!
𝜋
4
→
𝜋
4
𝜋
4
→
𝜋
4 2
2
→
 
x = f = sen f = da tabela de ângulos notáveis!
𝜋
3
→
𝜋
3
𝜋
3
→
𝜋
3 2
3
→
 
x = f = sen f = 1
π
2
→
𝜋
2
𝜋
2
→
𝜋
2
 
 
(1)
 
Tabela de ângulos notáveis
Relação 
trigonométrica/ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Com isso, temos que a região a ser integrada para encontrarmos o volume desejado é;
 
 
 
 
Gira
Dessa forma, a equação do volume da região desejada é:
V = 2𝜋 xsen x dx
0
∫
π
2
( )
Vamos, primeiro, resolver a integral em sua forma indefinida, sem a constante ;2𝜋
 
V = xsen x dx∫ ( )
 
Essa integral é resolvida usando integração por partes, devemos decompor o integrando em 
duas funções, e , e aplicar a fórmula da integração por partes que é dada por:u v
 
udv = u ⋅ v − vdu∫ ∫
 
Em nossa integral, e Então, precisamos calcular e , fazendo a u = x dv = sin x dx.( ) du v
derivada de e e integrando , como na sequência;u dv
 
dv = dx derivada de u e v = − cos x integral de dv( ) ( ) ( )
 
Agora, podemos aplicar a fórmula da integração por partes:
 
x ⋅ sin x dx = −x ⋅ cos x − −cos x dx∫ ( ) ( ( )) ∫( ( ))
 
Fazendo o jogo de sinais , fica;− −cos x dx∫( ( ))
 
x ⋅ sin x dx = − x ⋅ cos x + cos x dx∫ ( ) ( ) ∫ ( )
 
Calculando a integral que restou, ficamos com;
 
x ⋅ sin x dx = − x ⋅ cos x + sin x + c∫ ( ) ( ) ( )
 
 
(2)
Agora, voltamos para a integral definida;
 
V = 2𝜋 xsen x dx = 2𝜋 −x ⋅ cos x + sin x
0
∫
π
2
( ) [( ( ) ( )]
0
π
2
Resolvendo;
 
V = 2π − 2π ⋅ cos 2π + sen 2π − − 0 ⋅ cos 0 + sin 0 = 2π − 2π ⋅ 0 + 1 − 0 + 0[( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ))] [( ) ( )]
 
V = 2π 1 − 0[ ]
 
V = 2π u. v.
 
 
(Resposta)