Questão resolvida - A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal xy é dada por a (3ti 4tj), em que aestá em metros por segundo ao quadrado e t em ... - Halliday 10a. edição, Capítu

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• A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal é dada por xy
, em que a está em metros por segundo ao quadrado e em a = 3ti + 4tj( ) t
segundos. Em , o vetor posição indica a t = 0 r = 20, 0 m + 40, 0 m( ) i ( )j
localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade 
. Em , determine (a) o vetor posição na v = 5, 0 m / s + 2, 0 m / s( ) i ( )j t = 4, 0 s
notação dos vetores unitários e (b) o ângulo entre a direção do movimento e o 
semieixo positivo. (Halliday: 10a. edição, Capítulo 4, Exercício 19)x
 
Resolução:
 
a) 
 
O vetor posição é a integral da vetor velocidade, assim, precisamos integrar a aceleração 
para obter a velocidade e, em seguida, integrar novamente para obter o vetor 
posição.Calculando passo a passo:
 
A aceleração é dada por:
a = 3ti + 4tj
 
Primeiramente, integramos a aceleração para obter a velocidade ;v
 
 
v = 3tdt = t + Cx ∫ 3
2
2
1
 
v = 4tdt = 2t + Cy ∫ 2 2
 
Em , a velocidade é dada por , Usando isso, podemos determinar as t = 0 v = 5i + 2j
constantes de integração C e C :1 2
 
v = t + C ⇒ 5 = 2(0) + C ⇒ C = 5x
3
2
2
1
2
1 1
 
 
(1)
 
v = 2t + C ⇒ 2 = 2(0) + C ⇒ C = 2y
2
2
2
2 2
 
Com isso, a velocidade fica:
 
= t + 5 i + (2t + 2)jv
3
2
2 2
Novamente, integramos, agora a velocidade, para encontrar o vetor posição :r
 
r = vdt = t i + 2t + 2 j dt∫ ∫ 3
2
2 2
Integrando as componentes separadamente:
 
Em i t + 5 dt = t + 5t + C→∫ 3
2
2
1
2
3
3
 
Em j (2t + 2)dt = t + 2t + C→∫ 2 2
3
3
4
A posição é , quando Com isso, podemos determinar as constantes de r = 20i + 40j t = 0.
integração C e C :3 4
 
Com isso, o vetor posição fica;
 
r t = t + 5t + 20 + t + 2t + 40( )
1
2
3 i
2
3
3 j
Em , temos que a posição é;t = 4 s
 
 
 
Em i t = 0 0 + 5 ⋅ 0 + C = 20 C = 20→ →
1
2
( )3 3 → 3
0
Em j t = 0 0 + 2 ⋅ 0 + C = 40 C = 40→ →
2
3
( )3 4 → 4
0 0
0
r 4 = 4 + 5 ⋅ 4 + 20 + 4 + 2 ⋅ 4 + 40 r 4 = ⋅ 64 + 20 + 20 + ⋅ 64 + 8 + 40( )
1
2
( )3 i
2
3
( )3 j → ( )
1
2
i
2
3
j
32
r 4 = 32 + 40 + + 48 r 4 = 72 + r 4 = 72 +( ) ( ) i
128
3
j → ( ) i
128 + 144
3
j → ( ) i
272
3
j
 
r 4 = 72 + 90, 67( ) i j
 
b) 
 
O ângulo representa a orientação do vetor velocidade em relação ao semieixo positivo, 𝛽 x
esse ângulo pode ser encontrada utilizando a função tangente:
 
𝜃 = arctan
v
v
y
x
O vetor velocidade para é;t = 4 s
 
4 = 3 ⋅ 8 + 5 + (32 + 2) 4 = 24 + 5 + (32 + 2) 4 = 29 + 34v( ) ( ) i j → v( ) ( ) i j → v( ) i j
 
Assim, temos que;
𝛽 = arctan
34
29
 
𝛽 ≅ - 49, 54° 
 
 
4 = 4 + 5 i + (2 4 + 2)j 4 = ⋅ 16 + 5 i + (2 ⋅ 16 + 2)jv( )
3
2
( )2 ( )2 → v( )
3
2
8
(Resposta a)
(Resposta d)