2 - Cinemática vetorial vetor, posição, deslocamento e acerelação

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Tópicos de 
cinemática 
vetorial: 
vetor posição, 
deslocamento e aceleração
Algumas grandezas físicas, para que fiquem 
completamente definidas, necessitam, além de um 
número e de uma unidade de medida, informações 
referentes a direção e sentido. Essas grandezas são 
chamadas de vetoriais e são representadas por entes 
matemáticos conhecidos por vetores. Teremos neste 
tópico uma rápida introdução ao estudo dos vetores.
Grandezas escalares 
Certas grandezas físicas como comprimento, 
massa, tempo, temperatura, área, volume e outras, 
ficam perfeitamente definidas por um número (inten-
sidade ou módulo) e uma unidade de medida. Essas 
grandezas são denominadas grandezas escalares. 
Quando, por exemplo, dizemos que o compri-
mento de nossa rua é de 35m, conseguimos transmitir 
uma ideia completa a quem nos ouve; nada mais há 
o que indagar, pois foram fornecidos um número, que
é o módulo ou intensidade da grandeza comprimento
(35) e uma unidade de medida (metro).
Grandezas vetoriais 
Quando alguém se desloca de uma posição para 
outra, não basta dizer que percorreu, por exemplo, 
50m. Para que a ideia fique completa, há necessidade 
de se especificar além do módulo (50) e da unidade 
de comprimento (m) também a direção e o sentido 
em que o deslocamento se realizou. 
Quando um corpo sofre um deslocamento de 
uma posição A para uma posição B, essa mudança 
de posição é definida pelo segmento orientado AB, 
que une a posição inicial A à posição final B, como 
mostra a figura a seguir:
Módulo: AB
— = 50m
Direção: 20° com a horizontal
Sentido: de A para B
As grandezas que, para ficarem completamen-
te caracterizadas, necessitam que especifiquemos 
módulo, direção e sentido são chamadas grandezas 
vetoriais (velocidade, aceleração, força etc.). Para 
representá-las usamos um ente matemático chama-
do vetor.
Vetor: conceito e notação
Dois segmentos orientados que têm módulos, 
direções e sentidos iguais são chamados equipolen-
tes. Ao conjunto dos infinitos segmentos equipolen-
tes a um dado segmento orientado AB chamamos 
vetor AB e representamos por AB, como ilustrado 
na figura:
1
Chamando de 
→
v este conjunto infinito, pode-se 
escrever que o vetor v é o conjunto de todos os seg-
mentos XY, tais que XY seja equipolente ao segmento 
AB; ou seja:
→
v = 
→
AB = {XY/XY e qAB}
Dessa forma, um mesmo 
→
v determina infinitos 
segmentos orientados, chamados representantes de →
v e todos equipolentes entre si. Na prática, no entan-
to, embora lidando em realidade com representantes 
de vetores, usa-se indiscriminadamente o nome vetor 
para cada um desses representantes.
O 
→
v é caracterizado pelos mesmos módulo, di-
reção e sentido dos infinitos segmentos orientados 
equipolentes entre si e por ele representados.
Operações com vetores
Multiplicação 
por um número ou escalar
Ao se multiplicar um vetor 
→
a por um escalar
(número) n, obtém-se um vetor 
→
na de módulo igual 
ao produto dos módulos, de direção igual à de 
→
a e 
de sentido ou igual (se n>0), ou contrário (se n<0) 
ao de 
→
a ; ou seja:
Soma de vetores
Há dois processos gráficos para somarmos 
vetores: a Regra do Paralelogramo e a Regra do 
Polígono.
Regra do Paralelogramo
Seja a soma dos vetores abaixo:
b
1.º passo: Considerar dois outros representantes 
dos vetores dados que tenham origem comum. Pela 
extremidade de cada um traçar uma paralela ao outro, 
de modo a formar um paralelogramo. O vetor soma 
está na diagonal que passa na origem comum, que 
é também a origem do vetor soma, como ilustrado 
na figura abaixo:
2.º passo: Para calcular o módulo S do vetor
soma, basta aplicar a lei dos cossenos ao triângulo 
da direita na figura acima, observando que, nesse 
triângulo, o lado tracejado tem medida igual ao mó-
dulo de 
→
a, que vale a = 3, pois o quadrilátero é um 
paralelogramo e, como tal, são iguais os lados opos-
tos; ainda, por serem os ângulos e suplementares, 
tem-se –cos = cos . Daí:
S2= a2+b2 – 2ab. cos 
S2= a2+b2 + 2ab. cos 
Substituindo os valores dos módulos dos vetores 
da figura acima, e admitindo ainda ser = 120°, vem:
S2=32 + 42 + 2 (3)(4) cos 120°
S2=9 + 16 + 2 (3)(4)(-1/2) = 25 – 12 = 13
S = 13 3,61
Regra do Polígono
A vantagem dessa regra sobre a do paralelogra-
mo é a potencialidade de somar simultaneamente 
vários vetores (Para mais de dois vetores, a regra 
do paralelogramo impõe que sejam somados dois 
primeiramente; o vetor soma obtido deve ser somado 
com um dos demais, e assim sucessivamente).
A regra consiste em desenhar um representante 
do 1.º vetor e, pela extremidade deste, desenhar um 
representante do próximo vetor a somar, e assim por 
diante. O vetor soma (ou vetor resultante) é obtido 
ligando-se a origem do primeiro dos representantes 
com a extremidade do último. O vetor resultante, as-
sim, completará uma poligonal fechada, “fechando” o 
polígono, o que deu nome à regra (regra do polígono). 
Retornando ainda à figura, vê-se que, no caso de dois 
vetores, as duas regras se equivalem (observando 
o triângulo da esquerda, o lado tracejado pode ser
visto como representante de 
→
b.
Veja agora como aplicar a regra a vários veto-
res:
2
Pela extremidade de cada vetor, trace o seguin-
te. Para obter a resultante, ligue a primeira origem 
com a última extremidade.
Não há fórmula para calcular o módulo do vetor 
resultante.
Diferença de vetores
Para subtrair dois vetores, soma-se o vetor 
minuendo ao vetor subtraendo multiplicado por –1. 
Note o exemplo, em que se deseja encontrar o vetor →
D = 
→
a – 
→
b :
Somando os vetores 
→
a e –
→
b pela regra do pa-
ralelogramo, obtém-se o representante em preto do 
vetor 
→
D. Ocorre, entretanto, que em vermelho tem-se 
outro representante do mesmo vetor, em consequ-
ência da congruência dos triângulos retângulos da 
figura. Isso nos permite enunciar a seguinte regra 
prática para subtrair dois vetores: 
Considerar dois outros representantes dos •
vetores dados que tenham origem comum.
O vetor diferença é obtido ligando as extremi- •
dades desses representantes, e aponta para
o representante do vetor minuendo.
O cálculo do módulo D do vetor diferença é 
aplicação direta da lei dos cossenos. Na figura, con-
siderando o triângulo retângulo de hipotenusa na cor 
vermelha, essa lei nos permite escrever:
D2=a2+b2 – 2ab cos 
Na fórmula acima, se = 90°, vem cos = 0 e a 
fórmula da diferença recai no teorema de Pitágoras. 
Na figura, sendo =90°, vem:
D2=32+42 – 2(3)(4)(0) = 25 e D = 5
Teorema de Lammy
Relembrando: quando somamos vetores pela 
regra do polígono, desenhamos o representante de 
um deles e, por sua extremidade, o representante 
de outro, e assim sucessivamente até o último vetor 
a ser somado. O representante do vetor resultante 
é aquele obtido ligando a primeira origem à última 
extremidade. Se a extremidade do último coincidir 
com a origem do primeiro, o módulo do vetor resul-
tante valerá zero. Nesse caso, o vetor resultante 
→
R é 
o vetor nulo (módulo zero e direção indeterminada)
e podemos escrever 
→
R =
→
O.
Na situação considerada de ser nulo o vetor re-
sultante e se forem somente três os vetores a somar, 
a regra do polígono nos conduzirá a um triângulo, 
como mostrado na figura.
Pela lei dos senos, os lados de um triângulo são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Daí 
vem o teorema de Lammy:
→
R =
→
a +
→
b +
→
c =
→
O a
sen 
= b
sen 
= c
sen 
Trajetória
Trajetória é o caminho descrito por um corpo 
móvel. É importante sabermos determinar a qualquer 
instante a posição do corpo em sua trajetória, para o 
quê se impõe nela estipularmos um ponto fixo para 
origem de contagem das distâncias, adotarmos uma 
unidade decomprimento e convencionarmos um 
sentido como sendo positivo. O ponto fixo é chamado 
origem da trajetória e o sentido positivo é indicado 
por uma seta; o sentido oposto ao indicado pela seta 
é negativo. Ainda, as trajetórias podem ser retilíneas 
ou curvilíneas.
A posição do corpo, em certo instante, fica de-
terminada por sua distância s, à origem da trajetória 
e medida sobre esta.
Como visto no estudo da cinemática escalar, a 
forma da trajetória depende do referencial. Por exem-
plo, se você está viajando num trem e olha uma lâm-
pada no teto do mesmo, para você ela está em repouso 
3
mas para um observador que a avista da plataforma 
ela se move com a mesma velocidade do trem.
Vetor posição 
do corpo móvel
Um vetor iniciando na origem de um sistema 
de referência e com extremidade no corpo móvel 
determina univocamente a trajetória e as sucessi-
vas posições do corpo. A esse vetor dá-se o nome 
de posição.
: Vetor posição
Vetor deslocamento 
Também chamado vetor variação de posição, 
o vetor deslocamento referente a um intervalo de
tempo t= t2 – t1 é obtido ligando a posição inicial s1 
à posição final s2, como ilustrado na figura:
r : Vetor deslocamento
r = r2 – r1
O vetor • r independe da origem do sistema
de referência, como mostrado na figura.
A origem do sistema de referência mudou de O1 
para O2 e o vetor r não se alterou.
Sendo | • s| o módulo da variação de posição
escalar, aquela medida sobre a trajetória, e
| r | o módulo do vetor deslocamento, tem-
se que | r | | s|, prevalecendo o sinal de
igualdade quando a trajetória é retilínea,
como esclarece a figura a seguir:
Velocidade vetorial média
A velocidade vetorial média, que representare-
mos por Vm , é conceituada como
Vm = 
r
t
Considerando que t é positivo, resulta que 
a velocidade vetorial média é colinear com o vetor 
variação de posição, tendo o mesmo sentido, como 
mostrado na figura a seguir:
∆
v rv
s
m
É importante não confundir velocidade escalar 
média com velocidade vetorial média. Na figura ao 
lado, a velocidade escalar média é o quociente entre 
a variação de posição escalar s e o intervalo de 
tempo necessário para que o corpo móvel a realize 
sobre o arco da curva.
Velocidade 
vetorial instantânea
A velocidade vetorial instantânea v , ou simples-
mente velocidade vetorial, é o limite da velocidade 
4
vetorial média quando o intervalo de tempo t tende 
a zero, conforme ilustrado na figura a seguir:
vm
∆
v
r
Note que o vetor velocidade é sempre tangen-
te à trajetória e é voltado para o sentido em que se 
desloca o corpo móvel na trajetória.
Vetor aceleração média (am)
O vetor aceleração média é a variação do vetor 
velocidade na unidade de tempo; ou seja,
am = 
v
t
conforme mostra a figura a seguir: = V2 – V1
v1
v2 v2
∆v
am
v1-
O vetor aceleração média tem a direção e o sen-
tido do vetor variação de velocidade e seu módulo 
vale o módulo deste dividido por t.
Vetor 
aceleração instantânea (a )
O vetor aceleração instantânea é o limite para o 
qual tende o vetor aceleração média quando o interva-
lo de tempo tende a zero: a =lim
 
v
tt 0
. Esse vetor não 
tem direção fixa; sua direção depende do particular 
movimento do corpo móvel. Normalmente, costuma-
mos decompô-lo em duas componentes ortogonais: 
uma tangente à trajetória e outra normal a esta e 
voltada para o centro de curvatura da trajetória. 
A componente tangencial descreve as varia-
ções da velocidade em módulo. Tem o sentido do 
movimento se este é acelerado e sentido oposto se 
é retardado. Seu módulo é igual ao módulo da ace-
leração escalar.
A componente normal, também chamada acele-
ração centrípeta, descreve as variações da velocidade 
em direção.
at
a
a
N
t
N
a = at+ aN
at = |a|escalar
aN = 
v2
R
(*)
(Unifesp-adap.) Sendo u a unidade de medida do1.
módulo desses vetores, calcule o módulo do vetor
a – w + v .
Solução: `
Quando operamos vetores, um método para determi-
narmos o vetor resultante R consiste em calcularmos 
as componentes deste segundo, os eixos coordenados. 
Determinadas tais componentes (Rx, Ry) basta fazer 
R = Rx + Ry. O teorema de Pitágoras nos permite então 
calcular o módulo do vetor resultante: R
2
= Rx
2
 + Ry
2
.
Este método das componentes é uma aplicação do co-
nhecido teorema de Carnot: “A projeção da resultante 
sobre um eixo é a soma algébrica das projeções das 
componentes sobre o mesmo eixo”.
Na figura, note que a + b + c = R . As projeções 
sobre o eixo x estão nas mesmas cores e se tem 
ax + bx + cx = Rx
Indo agora à resolução de nosso exercício, por observa-
ção da figura do enunciado, tem-se: 
5
cos = V
v
e v1= 
v
cos 
(UNESP - adap.) Um caminhoneiro efetuou duas en-3.
tregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário
indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados
na figura.
Para a primeira entrega, ele se deslocou 10km e para 
a segunda entrega, percorreu uma distância de 6km: 
Calcule a distância a que o caminhoneiro se encontra 
do ponto de partida ao final da segunda entrega.
Solução: `
A distância requerida é o módulo do vetor deslocamento, 
aquele ligando a posição inicial à posição final. Esse vetor, 
pela regra do polígono, é a soma vetorial R dos vetores 
da figura. 
Usaremos o método da decomposição, aplicando o 
teorema de Carnot e chamando o primeiro vetor de A 
e o segundo de B .
A • X = 0 ; AY = –10
B • X = 6 cos 30° = 3 3 ; BY = 6 sen 30° = 3
R • X = AX + BX = 0 + 3 3 = 3 3
R • Y = AY + BY = –10 + 3 = –7
R2 = Rx
2+ Ry
2
R2 = (3 3 )2 + (– 7)2
R2 = 27 + 49 =76
R = 2 19
Após a segunda entrega, a distância ao ponto inicial é 
de 2 19 km
–2
Rx= ax+ (– wx) + vx = +2 – 2 + 0 = 0
Ry = ay + (– wy) + vy = + 2 – 2 – 2 = –2
O vetor resultante é vertical para baixo e tem módulo 2.
(UERJ-adap.) No Código de Trânsito Brasileiro são2.
considerados os seguintes tipos de vias urbanas: trân-
sito rápido, arteriais, coletoras e locais. Nessas vias, as
velocidades máximas permitidas são, respectivamente,
80km/h, 60km/h, 40km/h e 30km/h.
Para coibir transgressões ao dispositivo legal,
são utilizados equipamentos ópticos-eletrônicos,
popularmente conhecidos como pardais, para fotografar
veículos que superam um determinado limite estabelecido
V de velocidade.
Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é
colocado formando um ângulo com a direção da
velocidade do carro, como indica a figura a seguir.
Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar 
velocidades superiores a V, quando o ângulo = 0°.
A velocidade v do veículo que acarretará o registro da 
infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão 
V, será de:
V sena)
V cosb)
V/ senc)
V/ cosd)
Solução: ` D
Sendo V1 a nova velocidade máxima, acima da qual ha-
verá registro de infração, deverá ter intensidade suficiente 
para projetar no eixo do equipamento o valor limite V que 
corresponde a = 0, como mostrado na figura.
No triângulo retângulo da figura, tem-se que: 
6
OBS: Cabe aqui a observação de que as conclusões 
apressadas devem ser sempre descartadas e, mesmo 
quando há necessidade de rapidez, alguma análise deve 
ser feita. O aluno mais afoito logo veria um triângulo 
retângulo pitagórico quando traçasse o vetor resultante 
R e erraria a questão, atribuindo a R o valor 8. Em 
realidade, não se trata de um triângulo retângulo, como 
abaixo se vê:
Se os vetores R e B fossem perpendiculares, viria que o 
ângulo entre os vetores A e R seria 30°, o que implicaria 
B = A . sen 30° = 10/2 = 5km; isso é absurdo, pois 
contraria a hipótese do enunciado de ser B = 6km. Daí, 
o triângulo não é retângulo.
(UFAL) Num estacionamento, um coelho se desloca, em 4. 
sequência, 12mpara o oeste, 8m para o norte e 6m para 
o leste. O deslocamento resultante tem módulo:
26ma)
14mb)
12mc)
10md)
2me)
Solução: ` D
Considerando o Norte ao alto desta página, o Sul na parte 
de baixo, o Leste à direita e o Oeste à esquerda, temos 
a seguinte trajetória para o coelho:
Na figura ao lado, determinando o vetor deslocamento 
pela regra do polígono, o triângulo retângulo mostrado é 
pitagórico e tem catetos 6m e 8m; daí, sua hipotenusa vale 
10m, que é o módulo do vetor deslocamento r .
(UFC) M e N são vetores de módulos iguais (|M| = |N|5.
= M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar em torno
do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N.
Sendo R = M + N , indique, entre os gráficos a seguir,
aquele que pode representar a variação de |R| como
função do ângulo entre M e N.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Solução: ` B
R2 = M 2 + M 2 – 2 . M . M . cos θ 
R2 = 2M 2 (1 + cos θ) = 4M2 cos2 (θ12)
R = 2M |cos (θ12)|. Vejamos a correspondência entre 
os valores de R e θθ:
 • θ = 0 rad θ R = 2M
 • θ = ( /2) rad θ R = M √2
 • θ = radθ R = 0
 • θ = (3 /2)radθ R = M √2
 • θ = 2 radθ R = 2M
(Unicamp-adap.) Satélites de comunicações são retrans-6.
missores de ondas eletromagnéticas. Eles são operados
normalmente em órbitas cuja velocidade angular é
igual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em
relação às antenas transmissoras e receptoras.
7
Essas órbitas são chamadas de órbitas geoestacionárias.
Dada a distância R entre o centro da Terra e o satélite, 
determine o módulo de seu vetor deslocamento entre 
9h e 15h.
Solução: `
t = 15 – 9 = 6,0h
Em 24h a Terra dá uma volta completa ao redor do pró-
prio eixo, o que corresponde a um ângulo central de 2 
radianos. Em 6,0h, portanto, é subentendido um ângulo 
central = /2 rad = 90°
Sendo r o raio da Terra (6400 km), a situação pode ser 
vista como na figura abaixo, para um observador situado 
em certa posição do espaço).
1 500h
Na figura, tem-se AC = r, AE = R.
BC é o lado do quadrado inscrito na circunferência de 
círculo de raio r; assim, tem-se: BC = r 2 .
DE é o lado do quadrado inscrito na circunferência de 
círculo de raio R; assim, tem-se: DE = R 2 . 
A medida de DE é o módulo solicitado do vetor deslo-
camento.
(Fatec) Num certo instante, estão representadas a7.
aceleração e a velocidade vetoriais de uma partícula.
Os módulos dessas grandezas estão também indicados
na figura.
Dados: sen 60° = 0,87
 cos 60° = 0,50
10m/s
4,0m/s2
60o
No instante considerado, o módulo da aceleração 
escalar, em m/s2, e o raio de curvatura, em metros, são, 
respectivamente: 
3,5 e 25a)
2,0 e 2,8b)
4,0 e 36c)
2,0 e 29d)
4,0 e 58e)
Solução: ` D
Como visto, o módulo da aceleração escalar iguala1.
o módulo da aceleração tangencial. Como o vetor
velocidade é tangente à trajetória, para encontrar o
módulo da aceleração tangencial, basta projetar o
vetor aceleração sobre o vetor velocidade. Daí:
at = 4 cos 60° = 4 .1/2 = 2,0m/s
2.
O módulo da aceleração centrípeta vale v2. 2/R e,
portanto, R = v2/acp. Para encontrar o módulo da ace-
leração normal ou centrípeta, basta projetar o vetor
aceleração na direção perpendicular à do vetor v:
acp = a sen 60° = 4 . 
3
2
 = 2 3
Daí: R = 
v2
acp
 = 10
2
2 3
 = 50 3
3
 29m
(FEI) Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m8.
com velocidade constante de 72km/h. Qual é a sua
aceleração, em m/s2, durante a curva?
0a)
5b)
10c)
20d)
3,6e)
Solução: ` D
Sendo v = 72km/h = 20m/s constante, então é nula 
a componente tangencial da aceleração, que indica a 
variação em módulo da velocidade. Assim, só existe 
aceleração centrípeta, que caracteriza as alterações da 
velocidade em direção. Daí, tem-se:
a = acp= v
2/R = 202/20 = 20m/s2.
(Ufscar) Nos esquemas estão representados os veto-9.
res da velocidade e da aceleração do ponto material P.
Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade
desse ponto material permanece constante.
a) 
P
a
v
b) 
P
a
v
c) 
P
a
v 8
d) 
P
a
v
e) P
a
v
Solução: ` C
Se o módulo da velocidade permanece constante, então 
é nula a aceleração tangencial e, para que isso ocorra, o 
vetor aceleração tem de ser perpendicular à tangente e à 
trajetória no ponto considerado e, portanto, perpendicular 
também ao vetor velocidade. 
Aproveitando a oportunidade, classifique os movimen-10.
tos correspondentes às alternativas apresentadas no
exercício anterior.
Solução: `
Para resolver esse exercício, você deve proceder da 
seguinte forma:
Imagine dois eixos perpendiculares entre si no ponto•
considerado: um tangente à trajetória no ponto con-
siderado, o outro perpendicular a este.
Sobre esses eixos, projete o vetor aceleração, ob-•
tendo as componentes tangencial e normal desta,
respectivamente.
O vetor aceleração aponta sempre para a parte côn-•
cava da trajetória, pois a direção dele passa pelo
centro de curvatura.
Se o vetor aceleração está voltado para o sentido do•
movimento, a componente tangencial tem o mesmo
sentido da velocidade e o movimento é acelerado.
Se o vetor aceleração está voltado para o sentido•
contrário ao do movimento, a componente tangen-
cial tem sentido oposto ao da velocidade e o movi-
mento é retardado.
Se o vetor aceleração é colinear com o vetor veloci-•
dade, trata-se de movimento retilíneo.
Movimento curvilíneo acelerado, concavidade paraa)
cima.
Movimento curvilíneo retardado, concavidade parab)
cima.
Movimento circular uniforme, concavidade para cima.c)
Movimento retilíneo retardado.d)
Movimento retilíneo acelerado.e)
(UFSC-adap.) Um satélite artificial, de massa m, descre-11.
ve uma órbita circular de raio R em torno da Terra, com
velocidade orbital v de módulo constante, conforme re-
presentado esquematicamente na figura. (Desprezam-se
interações da Terra e do satélite com outros corpos)
M
R
m
v
Considerando a Terra como referencial na situação 
descrita, assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
(01) O satélite sofre a ação da força gravitacional
exercida pela Terra, de módulo igual a Fg = G Mm/
R2, onde G é a constante de gravitação universal, M
é a massa da Terra e R o raio da órbita do satélite.
(02) Para um observador na Terra, o satélite não
possui aceleração.
(04) A força centrípeta sobre o satélite é igual à
força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
(08) A força exercida pelo satélite sobre a Terra tem
intensidade menor do que aquela que a Terra exer-
ce sobre o satélite; tanto que é o satélite que orbita
em torno da Terra e não o contrário.
(16) A aceleração resultante sobre o satélite indepen-
de da sua massa e é igual a G M/R2, onde G é a cons-
tante de gravitação universal e M é a massa da Terra.
(32) A aceleração resultante sobre o satélite tem a
mesma direção e sentido da força gravitacional que
atua sobre ele.
Solução: ` Soma: 53
(01) De acordo com a Lei da Atração Gravitacio-
nal, de Newton, da qual trataremos em aula futura,
a matéria atrai a matéria na razão direta das massas
e na razão inversa do quadrado das distâncias. As-
sim, dois corpos de massas M e m, separados por
uma distância R, sofrem a ação de uma força de
atração mútua de módulo Fg=GMm/R
2, onde G é
a constante de gravitação universal. A proposição,
portanto, está correta.
(02) O satélite executa movimento circular unifor-
me; assim, possui aceleração centrípeta acp=v
2/R. A
proposição, portanto, está errada.
(04) A proposição está correta. O único agente capaz
de exercer uma força sobre o satélite é a Terra e essa
força é a de atração gravitacional, de acordo com o que
se viu no item (01). Essa força, sempre voltada para o
centro de curvatura da trajetória, impede que o satélite
saia pela tangente, devido à inércia de sua massa; essa
é, pois,a força centrípeta, que é igual ao produto da
massa do satélite pela aceleração centrípeta.
9
Obs.: Por oportunas, cabem aqui algumas conside-
rações:
Pelo exposto, tem-se F • g = Fcp ou GMm/R
2 = macp,
donde se vê que a aceleração centrípeta tem a
expressão GM/R2.
E mais: a força de atração gravitacional é também •
a força com que o satélite é atraído para o centro
da Terra; representa, portanto, também o peso
do satélite em órbita. Daí, vem que Fg = Peso =
m . g’, onde g’ é a aceleração da gravidade na
altura da órbita. Em consequência disso, vem que
g’=GM/R2=acp .
(08) Pela 3.ª Lei de Newton (Princípio da Ação e
da Reação), que será visto em aula futura, quando
um corpo exerce sobre outro uma força, este rea-
ge, exercendo sobre o primeiro uma força igual e
em sentido contrário. Daí, a força com que a Terra
atrai o satélite tem módulo igual ao daquela com
que o satélite atrai a Terra. A proposição, portanto,
está errada.
(16) Já se viu no item (04) que acp= g’= GM/R
2.
Assim, independe da massa do satélite. A proposi-
ção, portanto, está correta.
(32) Correto. Já se viu no item (04) que Fg=macp.
As proposições corretas, portanto, são as de nume-
rações 01, 04, 16 e 32, que totalizam 53.
Uma grandeza física vetorial fica perfeitamente definida1.
quando dela se conhece:
valor numérico, direção e unidade.a)
valor numérico, unidade e direção.b)
direção, unidade e sentido.c)
valor numérico, unidade, direção e sentido.d)
(Cesgranrio) Das grandezas físicas apresentadas nas2.
opções abaixo, assinale aquela de natureza vetorial.
Pressão.a)
Força eletromotriz.b)
Corrente elétrica.c)
Campo elétrico.d)
Trabalho.e)
(Cesgranrio) Na figura OP = 18, as coordenadas (x,y)3.
do ponto P, indicado, são:
(Cesgranrio) Decompomos um vetor de módulo 13 em4.
dois outros ortogonais, sendo que um deles tem módulo
12. O módulo do outro será:
5a)
1b)
25c)
4d)
8e)
Desejamos decompor um vetor de módulo 50 em dois5.
outros ortogonais de módulos iguais. Determine o mó-
dulo desses vetores.
(Mackenzie) A resultante de dois vetores perpendicu-6.
lares entre si tem módulo igual 20 . Sabendo que o
módulo de um dos vetores é o dobro do outro, calcule
os módulos dos dois vetores.
(UFPI) A resultante dos vetore 7. 21 v e v

é mais bem re-
presentada por:
(Feso) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela8.
em que todas as grandezas físicas relacionadas são de
natureza vetorial:
velocidade, aceleração e energia potencial.a)
posição, impulso e potência.b)
aceleração, força e trabalho.c)
velocidade, quantidade de movimento e energiad)
cinética.
força, quantidade de movimento e impulso.e)
Uma bola é arremessada com velocidade de 20m/s,9.
segundo um ângulo de 37O com a horizontal. Determinar
as componentes da velocidade na horizontal (vx) e na
vertical (vy).
Dados: cos 37° = 0,8 sen 37° = 0,6
10
Dados os vetores, determinar a expressão cartesiana de:10.
2 a

 + b

- c

a) 
a

- 3 b

+ 2 c

b) 
Uma partícula descreve a trajetória da figura abaixo.11.
O vetor que pode representar o deslocamento entre os 
pontos A e B:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Um veículo se desloca 190km para o Norte, depois 50km12.
para o leste e finalmente 70km para o Sul.
Determinar o módulo do deslocamento vetorial.
Dado o gráfico cartesiano abaixo, represente:13.
o vetor posição a) Ar
 → (2,5);
o vetor posição b) Br
 → (5,8);
o vetor deslocamento c) ABr

∆ .
(PUC-Rio) Um carro se desloca 200m para o nordeste e14.
200m para noroeste. Determine a distância final em que
se encontra o carro em relação ao ponto de partida.
400ma)
200mb)
200c) 2m
100d) 2m
400e) 2m
Quando um atleta percorre metade de uma pista de15.
corrida circular de raio igual a 400m, sofre um desloca-
mento vetorial de:
800a) πm
400b) πm
200c) πm
400md)
800me)
O comprimento do ponteiro dos segundos de um16.
relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em sua
extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se
do número 12 ao 6 do relógio, determine:
O deslocamento escalara)
O módulo do deslocamento vetorial.b)
(Osec) Um móvel percorre uma trajetória circular de17.
1,00m de raio com velocidade escalar constante. Após
1/4 de volta, o vetor deslocamento do móvel tem módulo
aproximadamente igual a:
1,00ma)
1,41mb)
6,28mc)
3,14md)
0,252me)
Um corpo é lançado verticalmente para cima com velo-18.
cidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistência
do ar e sendo g = 10m/s2, determinar:
O deslocamento escalar entre os instantes em quea)
ele é lançado e que ele volta a passar pelo mesmo
ponto.
O deslocamento vetorial.b)
(PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material19.
é constante e não-nula, sua trajetória:
é uma parábola.a)
pode ser retilínea, mas não necessariamente.b)
deve ser retilínea.c)
11
é uma circunferência.d)
pode ser uma curva qualquer.e)
(FEI-SP) Sabendo-se que a aceleração total (resultante)20.
de um móvel é nula, pode-se afirmar que:
sua velocidade é nula.a)
seu movimento é circular e uniforme.b)
seu movimento é uniforme, qualquer que seja suac)
trajetória.
seu movimento só pode ser retilíneo e uniforme.d)
nenhuma das anteriores é correta.e)
(PUC-RS) As informações a seguir referem-se a um21.
movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer:
A velocidade vetorial pode mudar de sentido.I.
A velocidade vetorial tem sempre módulo constante.II.
A velocidade vetorial tem direção constante.III.
A alternativa que representa corretamente o movimento 
retilíneo é:
I, II e IIIa)
somente IIIb)
somente IIc)
II e IIId)
somente I e IIIe)
(USS) Um corpo está com movimento uniforme, com22.
sentido de (1) para (2). Quando ele passa pelo ponto A,
o par de vetores, velocidade e aceleração representativo
do movimento será:
a) v
a
b) v
a
c) v
a = 0
d) v
a
e) v
a
(FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência23.
com movimento uniforme. Pode-se concluir que:
sua velocidade vetorial é constante.a)
sua aceleração tangencial é não-nula.b)
sua aceleração centrípeta tem módulo constante.c)
sua aceleração vetorial resultante é nula.d)
suas acelerações tangencial e resultante são iguaise)
em módulo.
(UFMG) Um ventilador (veja figura) acaba de ser desli-24.
gado e está parando vagarosamente no sentido horário.
A direção e o sentido da aceleração da pá do ventilador
no ponto P é:
(USS) Uma pista de corridas de 25. kart é vista de cima, e
no ponto P há um carro em movimento uniforme.
Qual das opções abaixo melhor representa a velocidade 
e a aceleração do carro no ponto P?
Velocidade Aceleração
I IIa)
V IIb)
I IIIc)
V IIId)
III IVe)
12
(Uerj) Dado o esquema responda as questões 26 e 27.
Suponha constante a desaceleração de um dos carros26.
no trecho retilíneo entre as curvas Laranja e Laranjinha,
nas quais ele atinge, respectivamente, as velocidades de
180km/h e 150km/h. O tempo decorrido entre as duas
medidas de velocidade foi de 3 segundos.
O módulo da desaceleração, em m/s2, equivale,
aproximadamente, a:
0a)
1,4b)
2,8c)
10,0d)
A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1,27.
em uma volta completa do circuito, corresponde a:
0a)
24b)
191c)
240d)
O comprimento do ponteiro dos segundos de um28.
relógio é igual a 10cm. Considere um ponto M em sua
extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se
do número 12 ao 6 do relógio, determinar:
a velocidade escalar média, em cm/s;a)
o módulo da velocidade vetorial média, em cm/s.b)
(Cesgranrio) No gráfico anexo estão representados três1.
vetores a

, b

 e c

. Os vetores i

 e j

 são unitários. Analise
as expressões:
a

 = 2 i

 + 3 j

I. 
b
= 2 j

II. 
b

+ c

= i

III. 
Podemos afirmar que:
I e II estão corretas.a)
II e III estão corretas.b)
I e III estão corretas.c)
estão todas corretas.d)
há apenas uma correta.e)
(Mackenzie) Na figura abaixo estão representados cinco2.
vetores de mesma origem e cujas extremidades estão
sobre os vértices de um hexágono regular cujos lados
medem k unidades. Calcule o módulo da resultante
desses vetores.
2ka)
3kb)
4kc)
5kd)
6ke)
(PUC-SP) A soma de dois vetores, de módulos respec-3.
tivamente iguais a 12u e 16u, é igual a s

.
Podemos afirmar que:
a) s = 20u
b) s > 20u
c) s = 28u
4u d) ≤ s ≤ 28u
e) s < 20u
Que ângulo devem fazer dois vetores, de mesmo módulo,4.
para que a intensidade do vetor soma seja igual a de
cada componente?
Dado: cos
θ
2
 = 
1 + cosθ
2
(Cesgranrio) Na figura abaixo estão representados os5.
vetores a

, b

 e c

 e os versores i

 e j

. 
Assinale a sentença errada:
13
b

 = 2 j

a) 
a

 = 3 i

b) 
c

 = 2 ( i

 + j

 )c)
c

 = a

 + b

d) 
c

 = 2 2e) 
(FOA) Para o sistema de vetores representado abaixo,6.
a única igualdade correta é:
a) 
a + b + c = db)
a + b + c = -dc)
a + b + c + d = 0d)
a - b + c - d = 0e)
(UFLA) Os vetores 7. a

, b

 e c

, representados abaixo, têm
resultante nula. Sabendo que:
b

 = 6 , podemos afirmar que os módulos de a

 e c

 valem
respectivamente:
3 ea)
2
623 +
2
6b) e 2 3
3c) 2 e 3
6 e 3d)
3 e 3e) 2
Consideremos quatro vetores de módulos iguais a 6,8.
tais que, ao se determinar a sua resultante pelo método
do polígono, obteve-se um quadrado, dando resultante
nula. Se trocarmos os sentidos de dois deles, consecu-
tivos, a resultante terá módulo de:
3a)
6b)
12c)
6d) 2
12e) 2
No diagrama abaixo temos 9. b = 20u. Determine o
módulo do vetor a .
(Olimpíada Brasileira de Física) A figura mostra seis10.
vetores a, b, c, d, e e f, que formam um hexágono.
De acordo com a figura, podemos afirmar que:
a + b + c + d + e + f = 6aa)
a + b + c = - d – e – fb)
a + b + c + d + e + f = 3ac)
a + b + c = – d + e - fd)
a + b + c = 0e)
(UFCE) 11. M e N são vetores de módulos iguais (M =
N  = M). O vetor M é fixo e o vetor N pode girar em
torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M
e N . Sendo R = M + N , indique, entre os gráficos a
seguir, aquele que pode representar a variação de |R|
como função do ângulo θ entre M e N.
a) 
14
b) 
c) 
d) 
e) 
(UFRN) A figura abaixo representa os deslocamentos de 12. 
um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual 
a 20m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do 
vetor deslocamento são, respectivamente:
20a) 5 m e 20 5 m
20b) 5 m e 40m
100m e 20c) 5 m
40m e 40d) 5 m
100m e 40e) 5 m
Na figura abaixo estão representados os vetores cor-13.
respondentes à posição de uma partícula nos instantes
t1 = 2,0s e t2 = 5,0s.
Qual dos vetores abaixo pode representar o vetor 
deslocamento, entre os instantes considerados.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Uma partícula executa um movimento circular, no sentido14.
indicado na figura. Sendo o raio da trajetória 7m, deter-
minar o módulo de deslocamento vetorial entre:
A e C.a)
A e B.b)
(UFRS) Um automóvel percorre uma estrada contida no15.
plano XY, conforme a figura. Às 10 horas, esse automóvel
encontra-se nas coordenadas (x1 , y1) = (2,2) e, às 10
horas e 30 minutos, nas coordenadas (x2 , y2) = (6,5).
O módulo do vetor deslocamento, nesse intervalo de 
tempo, é:
(2 + a) 3 )km
15,0kmb)
7,0kmc)
5,0kmd)
2,5kme)
O vetor posição inicial de uma partícula é igual a16.
0r

= 6 i
 – 8 j

 e o vetor posição final r

= i

+ 2 10 j

.
Determinar o vetor deslocamento.
(Fatec) Um ponto material movimenta-se a partir do ponto17. 
A sobre o diagrama anexo, da seguinte forma: 6 unidades
(u) para o Sul; 4 u para o Leste e 3 u para o Norte.
15
O módulo do deslocamento vetorial desse móvel foi de:
13ua)
5ub)
7uc)
3ud)
1ue)
Um carro percorre um arco de 60º de uma circunferência18.
de raio igual a 1 000m. Calcular o módulo do desloca-
mento vetorial.
Em uma cidade os quarteirões são retângulos de19.
800m × 600m.
Uma pessoa caminhando vai da esquina A até a esquina 
B, conforme a figura acima, com velocidade de 2m/s.
Determinar:
O tempo que levou no percurso.a)
O deslocamento vetorial.b)
(FCMSC) Uma partícula se move em um plano, em20.
relação a um sistema de eixos cartesianos fixos, sendo x
e y as coordenadas de sua posição; os gráficos a seguir
nos dão x e y em função do tempo t.
Dentre os valores a seguir o que mais se aproxima 
do módulo do vetor deslocamento do móvel entre os 
instantes t = 2,0s e t = 9,0s é:
10cma)
20cmb)
30cmc)
40cmd)
50cme)
Uma partícula em movimento tem uma trajetória que21.
descreve um hexágono regular (ABCDEF) de lado
igual a 12m. Partindo do ponto A, determinar quando
ela passa no ponto D:
A distância percorrida.a)
O deslocamento vetorial.b)
Duas partículas A e B descrevem uma trajetória sobre22.
os lados de um pentágono regular de lado igual a
50cm, partindo do mesmo vértice. A partícula A per-
corre 3 lados com aceleração de módulo constante,
em sentido horário, e a partícula B percorre 2 lados
no sentido anti-horário com velocidade constante, no
mesmo intervalo de tempo. Sendo o deslocamento ve-
torial da partícula A ∆rA e o da partícula B ∆rB, comparar
∆rA com ∆rB; isto é, se ∆rA > ∆rB, ∆rA = ∆rB ou ∆rA < ∆rB.
Justifique sua resposta.
(EN) O inglês Robin Johnston ganhou a primeira regata23.
volta ao mundo, retornando ao porto de partida, percor-
rendo 3,00 . 104 milhas em 313 dias.
Sabendo que 1 milha tem aproximadamente 1,85km, a
velocidade escalar média e a velocidade vetorial média
são, respectivamente, em km/h:
zero e 7,39a)
7,39 e zerob)
7,39 e 427c)
427 e 7,39d)
(UFRRJ) Um motorista percorre, num movimento24.
retilíneo, 32km em 30min. Para 1 hora para almoçar e
retorna, fazendo 70km em 30min. Nessas duas horas, a
velocidade vetorial média do motorista é de:
20km/ha)
19km/hb)
44km/hc)
56km/hd)
60km/he)
(FOA-RJ) Um móvel parte do repouso com uma acele-25.
ração escalar constante de 2,0m/s2 e percorre uma tra-
jetória circular de raio igual a 100m. Após 10 segundos,
as componentes tangencial e centrípeta da aceleração
valem, respectivamente, em m/s2:
2,0 e 2,0a)
2,0 e 4,0b)
4,0 e 2,0c)
16
4,0 e 4,0d)
10 e 10e)
(UFRRJ) Um corpo é abandonado a uma altura H (em26.
relação ao solo) em queda livre. Ao passar por um ponto
A da trajetória retilínea, possui uma velocidade escalar
de 10m/s. Um observador fixo na terra poderá afirmar,
quanto ao módulo do vetor velocidade, em um ponto B
situado a 2,2m de A, que o módulo do vetor:
depende da massa do corpo.a)
é de 12m/s.b)
é proporcional ao quadrado do tempo.c)
é um vetor cujo módulo é constante.d)
vale 15m/s.e)
(Uerj) Pardal é a denominação popular do dispositivo27.
óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículos
que superam um determinado limite estabelecido de
velocidade v.
Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é
colocado formando um ângulo θ com a direção da
velocidade do carro, como indica a figura a seguir.
Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar 
velocidades superiores a v, quando o ângulo θ = 0o.
A velocidade v do veículo, que acarretará o registro da 
infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão 
v, será:
v sen a) θ
v cos b) θ
v/ sen c) θ
v/ cos d) θ
(PUC-Rio) Um objeto em movimento circular uni-28.
forme passa pelo ponto A e, 1 segundo após, passa
peloponto B.
A aceleração vetorial média nesse intervalo de tempo 
é, em m/s2:
2a)
2b)
4c)
0d)
0,5e)
Um carro faz uma curva de raio igual a 100m, com velo-29.
cidade constante em módulo igual a 20m/s, descrevendo
um ângulo reto em 10s. Determinar:
O módulo da variação da velocidade.a)
O módulo do vetor aceleração.b)
(FEI-SP) A velocidade 30. v

 de um móvel em função do 
tempo acha-se representada pelo diagrama vetorial 
da figura. 
A intensidade da velocidade inicial é v0 = 20m/s. 
Determine o módulo da aceleração vetorial média entre 
os instantes t = 0 e t = 8s.
(FEI-SP) Uma partícula descreve uma circunferência31.
de raio de 20cm, percorrendo 1/6 da mesma em 8s.
Qual é, em cm/s o módulo do vetor velocidade média
da partícula no referido intervalo de tempo?
(UFF) A figura representa a fotografia estroboscópica do32.
movimento de um disco que desliza sem atrito sobre uma
mesa. O disco descreve uma trajetória circular, percor-
rendo ângulos iguais em intervalos de tempo iguais.
Sabendo-se que o flash da máquina fotográfica é
disparado a cada 0,50s:
Determine o módulo do vetor velocidade média doa)
disco entre as posições 4 e 12.
Represente graficamente, na figura, os vetores ve-b)
locidade v

 e a aceleração a

 do disco no instante
em que este passa pela posição 8.
17
(Unicamp) A figura abaixo representa um mapa da 33. 
cidade de Vitória a qual indica a direção das mãos do 
tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafe-
gam com a velocidade média de 18km/h. Cada quadra 
desta cidade mede 200m por 200m (do centro de uma 
rua ao centro da outra rua). Uma ambulância localizada 
em A precisa pegar um doente localizado bem no meio 
da quadra em B, sem andar na contramão.
Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percur-a)
so de A para B?
Qual é o módulo do vetor velocidade média (emb)
km/h) entre os pontos A e B?
(EN) Um móvel desloca-se em uma trajetória retilínea na34.
direção do eixo Ox, de tal maneira que sua velocidade v
varia com o tempo t de acordo com a equação:
v =(4t – 8) i onde t é dado em segundos, v em metros
por segundo e i é o versor mostrado na figura.
Sabendo que para t = 1s o vetor posição da partícula 
(cuja origem está em O) é dado por r = 2i (com  r  
em metros) determine:
O vetor posição da partícula no instante t = 0.a)
O vetor posição da partícula no instante t = 6s.b)
O módulo do vetor deslocamento entre os instantesc)
t = 0 e t = 6s.
A distância total percorrida entre os instantes t = 0 ed)
t = 6s.
18
D1.
D2.
(93. 3 ; 9)
A4.
x = 25 5. 2
x = 2 e 2x = 46.
A7.
E8.
Vy = 12m/s
VX = 16m/s



9. 
10. 
9i + 7ja)
– 4 i – 5 jb)
D11.
130km12.
13. 
C14.
E15.
16.
31,4cma)
20cmb)
B17.
Nos dois casos é nulo18.
C19.
D20.
E21.
E22.
C23.
19
D24.
C25.
C26.
A27.
28.
1,05cm/sa)
0,66cm/sb)
D1.
E2.
D3.
1204. o
D5.
D6.
A7.
E8.
IaI =20 2

9. 
B10.
B11.
C12.
B13.
14.
a) 
b) = 2 x 7 = 14m
D15.
416. +10
B17.
1 000m18.
19.
2 100sa)
3 000mb)
C20.
21.
36ma)
24mb)
22. = =
B23.
B24.
B25.
B26.
D27.
B28.
29.
 = 20 2 m/sa) 
Iab) mI = 
20 2
10
= 2 2 m/s2
5m/s30. 2
O arco descrito corresponde a 6031. 0, logo temos um
triângulo eqüilátero cujos lados são dois raios e o des-
locamento vetorial. = 20cm e I I = 2,5cm/s
32. 
2,5cm/sa)
b) v
a
33. 
3min.a)
10km/hb)
34. 
a) 
b) 
I∆ Ic) = 24m
40md)
20
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