Exercício de Algebra Linear (60)

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d) Em�] o polinômio x2−2 pode ser fatorado na forma x2−2 = (x+
√
2)(x−
√
2)
e x2 − 5 como x2 − 5 = (x +
√
5)(x −
√
5). Logo, em �, a fatoração de f (x)
como produto de irredutı́veis é f (x) = (x +
√
2)(x −
√
2)(x +
√
5)(x −
√
5) .
B1) Dados n ∈ �, n ≥ 2 e um inteiro primo p > 0, mostre que n√p é irracional.
Solução: Se a = n√p, então an = p ⇒ an − p = 0 ⇒ a é raiz da equação
f (x) = xn − p = 0. As possı́veis raı́zes racionais dessa equação são os divisores de
p: 1,−1, p,−p. Como f (1) = 1− p , 0, f (−1) = (−1)n − p , 0, f (p) = pn − p , 0 e
f (−p) = (−p)n − p , 0 temos que a equação não possui raiz racional. Concluı́mos,
então, que a é irracional.
B2) Seja P(x) = (2x2 + x + 1)(−3 + 7x − x2) + (x3 − 2)(−13 + 2x) ∈ �[x]
a) Mostre que P(x) é um polinômio constante;
b) Racionalize o denominador de
1
1 + 3
√
2 + 2 3
√
4
. (Sugestão: calcule P( 3
√
2) ).
Solução:
a) Efetuando-se todas as operações que estão indicadas em P(x), obtemos: P(x) =
−6x2 − 3x − 3 + 14x3 + 7x2 + 7x − 2x4 − x3 − x2 − 13x3 + 26 + 2x4 − 4x = 23.
Logo, P(x) é constante e é igual a 23.
b) Sabemos que P( 3
√
2) = 23. Substituindo-se x = 3
√
2 na expressão de P(x)
dada no enunciado, obtemos: (2( 3
√
2)2 + 3
√
2 + 1) · (−3 + 7 3
√
2 − ( 3
√
2)2)) +
((
3√
2)3 − 2)︸ ︷︷ ︸
=0
·(−13 + 2 3
√
2) = 23 ⇒ −3 + 7 3
√
2 − 3
√
4 = 23
2 3
√
4+ 3
√
2+1
de onde ob-
temos finalmente que
1
1 + 3
√
2 + 2 3
√
4
=
−3 + 7 3
√
2 − 3
√
4
23
B3) Seja pq ∈ �, mdc(p, q) = 1, uma raiz da equação polinomial de coeficientes
inteiros
f (x) = anxn + · · · + a1x + a0 = 0.
Mostre que p é um divisor de a0 e que q é um divisor de an.
Solução: Supondo pq uma raiz e substituindo-a na equação, obtemos:
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