Polinomios_e_Equacoes_Algebricas_AFA_EN_EFOMM

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1. (Espcex 2021) Se o polinômio tem como uma de suas raízes, então é correto afirmar que 
a) é raiz de multiplicidade 
b) as outras raízes são complexas não reais. 
c) as outras raízes são negativas. 
d) a soma das raízes é igual a zero. 
e) apenas uma raiz não é quadrado perfeito. 
 
2. (Efomm 2020) Considere a inequação
Seja o conjunto dos números inteiros que satisfaz a desigualdade e a quantidade de elementos de Com relação a podemos afirmar que 
a) é um número primo. 
b) é divisível por 
c) não divide 
d) é um quadrado perfeito. 
e) é divisível por 
 
3. (Espcex 2020) Dividindo-se o polinômio por e os restos são iguais. Neste caso, o valor de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. (Afa 2020) Considere os polinômios na variável 
sendo e
Os gráficos de e possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abscissas.
É correto afirmar que 
a) o produto e a soma das raízes imaginárias de são números conjugados. 
b) os afixos das raízes de formam um triângulo equilátero. 
c) as raízes de possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética. 
d) todas as raízes de possuem o mesmo módulo. 
 
5. (Esc. Naval 2020) Considere a equação onde representa os valores para os quais a equação admita um raiz dupla. Assinale a opção que apresenta a soma dos valores de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. (Espcex 2020) Se a equação polinomial tem raízes e e a equação tem raízes e então é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Espcex 2020) Sabe-se que as raízes da equação estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8. (Afa2019) Considere e os polinômios e tais que seus gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula.
Sabendo também que, graficamente, tangencia o eixo analise as afirmativas abaixo e escreva V para verdadeira e F para falsa.
( ) O gráfico de corta o eixo em dois pontos.
( ) Os afixos das raízes de que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro mede unidades de comprimento.
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a 
A sequência correta é 
a) V – V – V 
b) V – F – F 
c) F – V – F 
d) F – V – V 
 
9. (Espcex 2019) Sabendo que o número complexo (sendo a unidade imaginária) é raiz do polinômio podemos afirmar que tem 
a) duas raízes iguais a uma raiz racional e duas raízes irracionais. 
b) e como raízes complexas e três raízes irracionais. 
c) uma raiz complexa e quatro raízes reais. 
d) e como raízes complexas e três raízes inteiras. 
e) três raízes simples e uma raiz dupla. 
 
10. (Espcex 2018) Determine o valor numérico do polinômio para 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. (Esc. Naval 2017) Seja um polinômio de coeficientes inteiros e que O polinômio é o resto da divisão de por Determine a soma dos coeficientes de e assinale a opção correta. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. (Afa 2017) O polinômio é tal que admite as raízes e 
Se e então é correto afirmar que 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
13. (Efomm 2017) Considere a equação Sabendo que é raiz dupla dessa equação e não é nulo, determine o valor de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (Espcex 2017) As três raízes da equação são e Sabendo que e são complexas e que é uma raiz racional, o valor de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. (Efomm 2017) Sobre uma equação linear de grau é INCORRETO afirmar que 
a) terá raízes complexas. 
b) se for ímpar, sempre terá, ao menos, uma raiz real. 
c) se um número complexo for raiz, então seu conjugado também o será. 
d) a equação não pode ter raízes repetidas. 
e) uma equação acima de grau pode ter todas as raízes reais. 
 
16. (Espcex 2017) O número real pertence ao conjunto 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
17. (Afa 2016) Considere os polinômios e sendo e números reais tais que 
Se os gráficos de e têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de que 
a) podem formar uma progressão aritmética. 
b) são todas números naturais. 
c) duas são os números e 
d) duas são números simétricos. 
 
18. (Espcex 2016) Considere os polinômios e Sendo o resto da divisão de por o valor de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
19. (Esc. Naval 2016) Sejam e as raízes do polinômio Sabendo-se que as funções e com são tais que e onde é a menor raiz positiva do polinômio é correto afirmar que os números e são raízes da equação: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
20. (Efomm 2016) Seja o polinômio 
A respeito das raízes da equação podemos afirmar que 
a) todas as raízes são reais. 
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas. 
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais. 
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas. 
e) nenhuma raiz é real. 
 
21. (Espcex 2016) Sendo a maior das raízes da equação então o valor de é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
22. (Efomm 2016) Sabendo que é uma raiz do polinômio a soma das outras raízes é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
23. (Espcex 2016) Considere o polinômio Sobre as raízes de podemos afirmar que 
a) quatro raízes são reais distintas. 
b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais. 
c) apenas uma raiz é real. 
d) apenas duas raízes são reais e iguais. 
e) apenas duas raízes são reais distintas. 
 
24. (Efomm 2016) A solução do sistema:
pode ser representada pelas raízes do polinômio: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
25. (Afa 2015) Considere o polinômio e marque a alternativa FALSA. 
a) não é raiz do polinômio 
b) Existem valores distintos para e tais que ou são raízes de 
c) Se e o resto da divisão de por é zero. 
d) Se tem-se que é uma raiz de considerando que 
 
26. (Esc. Naval 2015) Em uma P.G., e onde Para o valor médio de no intervalo onde a P.G. é decrescente, o resto da divisão do polinômio pelo binômio é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
27. (Espcex 2015) O polinômio quando dividido por deixa resto 
Sabendo disso, o valor numérico de é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
28. (Espcex 2015) A função definida por tem como algumas de suas raízes os números e Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função é positiva. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
29. (Esc. Naval 2014) Considere um polinômio na variável real em que e são constantes reais. Quais os valores das constantes e para que não admita raiz real? 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
30. (Espcex 2014) Sabendo que 2 é uma raiz do polinômio então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão está definida é: 
a) 
b) 
c) ou 
d) 
e) e 
 
31. (Espcex 2014) Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação e sabendo que 1 e 2 são raízes da equação determine o intervalo no qual 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
32. (Espcex 2013) A figura a seguir apresenta o gráfico de um polinômio P(x) do 4º grau no intervalo 
O número de raízes reais da equação no intervalo é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
33. (Espcex 2013) Um polinômio q(x), do 2º grau, é definido por com a, b e c reais, Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade para todo x real, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
34. (Esc. Naval 2013) Sejam e dois polinômios na variável real com e números reais. Qual valor de para que a divisão seja exata? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
35. (Esc. Naval 2013) Sabendoque é uma das raízes da equação a soma de todas as raízes desta equação é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
36. (Afa 2013) As raízes da equação algébrica formam uma progressão geométrica.
Se então é igual a 
a) 
b) 3 
c) 
d) 
 
37. (Espcex 2012) As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial Denominando-se r, s e t essas medidas, se for construído um novo bloco retangular, com arestas medindo e ou seja, cada aresta medindo a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
38. (Espcex 2012) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que Sabendo-se que é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
39. (Afa 2012) O polinômio tem uma raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
 
40. (Espcex 2012) Seja a função complexa Sabendo-se que é raiz de P, o intervalo I de números reais que faz para todo é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
41. (Afa 2011) Sobre o polinômio expresso pelo determinante da matriz , é incorreto afirmar que 
a) não possui raízes comuns com . 
b) não possui raízes imaginárias. 
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. 
d) é divisível por . 
Bom dia queridos companheiros de jornada ! Os verdadeiros “guerreiros” do Matriz.
Nesse final de semana teremos encontro marcado com a prova da Escola Naval, espero que vocês se cuidem na alimentação, no emocional, não esqueçam dos documentos ( pelo AMOR DE DEUS ! ) e instrumentos específicos (caneta, lápis, borracha, lapiseira, ... ) necessários e suficientes para a feitura da prova... 
Venho acompanhando de perto o esforço de vários de vocês e nesse domingo ESSE MAR SERÁ NOSSO ! MUITO NOSSO ! Nós (muito mais vocês do que eu, é claro...) merecemos, fizemos a nossa parte...
Se der desespero, respire fundo conte até 4, prenda a respiração contando até 4 e solte o ar contando até 4 ... Com certeza controlando a respiração, vocês vão controlar o emocional...
No mais, uma boa prova, e para vocês meus 4 “S”: Saúde, serenidade, sabedoria e suce$$o....
Abraços e beiJÔs nos corações de cada um...
Você APROVADO, eu ACREDITO !
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [D]
Fazendo obtemos:
Portanto, o polinômio é dado por:
Como o coeficiente de é nulo, concluímos que a soma de suas raízes é igual a zero. Pois, pelas relações de Girard:
 
Resposta da questão 2:
 [D]
Do enunciado, tem-se que:
Como para todo e para todo a inequação dada é equivalente à seguinte inequação:
 e 
De 
Daí,
 e 
Como é inteiro,
As possíveis raízes racionais da equação são:
 e 
Por inspeção, é raiz e não é raiz. Dessa forma, a equação possui somente como raiz inteira.
De 
 ou 
Assim,
Então, é um quadrado perfeito. 
Resposta da questão 3:
 [B]
Sabendo que os restos são iguais, pelo Teorema do Resto, vem
 
Resposta da questão 4:
 [C]
Calculando as raízes de obtemos:
 (raiz dupla)
 também será raiz de portanto:
logo, 
Cujas raízes são e portanto:
[A] Falsa, pois a soma é e o produto é 
[B] Falsa, pois seus argumentos não formam uma P.A. e 
[C] Verdadeira, ver item anterior.
[D] Falsa, os módulos são e 
Resposta da questão 5:
 [A]
Seja A equação admite raiz dupla se, e somente se, e para algum Logo, como temos e, portanto, segue que a única raiz de é 
Ademais, como as raízes de são e podemos concluir que admite raízes duplas para valores convenientes de De fato, o valor de para que seja raiz dupla é
Por outro lado, o valor de para que seja raiz dupla é
A resposta é igual a 
Resposta da questão 6:
 [D]
Tomando a equação pelas Relações de Girard, temos e Por outro lado, da equação vem e 
Em consequência, temos
E
A resposta é 
Resposta da questão 7:
 [B]
Sejam e as raízes da equação. Logo, pelas Relações de Girard, segue que
A resposta é 
Resposta da questão 8:
 [A]
Como tangencia o eixo 
Então,
Fazendo 
Como 
Fazendo 
ou 
As soluções da equação quando colocadas no plano de Argand-Gauss gera o seguinte triângulo equilátero.
As soluções da equação quando colocadas no plano de Argand-Gauss gera o seguinte triângulo equilátero.
Dessa forma, o gráfico de P(x) corta o eixo em dois pontos.
No triângulo FHG,
Então, o perímetro do triângulo é 
A soma das raízes imaginárias de P(x) é:
Logo, as afirmativas são todas verdadeiras, o que indica a sequência V – V – V como a correta. 
Resposta da questão 9:
 [D]
Determinando todas as raízes de obtemos:
Portanto, tem e como raízes complexas e três raízes inteiras. 
Resposta da questão 10:
 [D]
 
Resposta da questão 11:
 [E]
Como é uma raiz de 
De 
Assim,
Dividindo por obtém-se quociente e resto 
Dessa forma, a soma dos coeficientes de é 
Resposta da questão 12:
 [D]
Calculando:
Por Girard:
 
Resposta da questão 13:
 ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
Se a é raiz dupla podemos dividir o polinômio consecutivamente 
por 
Resolvendo a equação, temos:
Resolvendo a equação, temos: ou
Portanto, não há alternativa correta. 
Resposta da questão 14:
 [B]
O número é raiz da equação, pois 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos fatorar o primeiro membro da equação .
A equação produto acima possui uma raiz real e duas raízes imaginárias e obtidas com a resolução da equação 
Sabemos que:
Utilizando as relações de Girard, podemos escrever que:
 
Resposta da questão 15:
 ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
[A] Verdadeira: O teorema fundamental da Álgebra nos garante isso.
[B] Falsa: Seria verdadeira se a equação tivesse apenas coeficientes reais.
[C] Falsa: A equação deverá ter coeficientes reais.
[D] Falsa: Algumas equações apresentam raízes com multiplicidade maior que Ex: o número é raiz quatros vezes desta equação.
[E] Verdadeira: A equação possui as raízes iguais a 
A questão foi anulada, pois há duas opções corretas, [A] e [E]. 
Resposta da questão 16:
 [D]
Considerando que temos:
Sabemos que é raiz da equação acima, pois a soma de seus coeficientes é nula.
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, podemos fatorar a equação.
O fator do segundo grau não possui raiz real, pois seu discriminante é negativo. Portanto, é a única raiz real da equação. Logo:
 
Resposta da questão 17:
 [B]
Se e têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então ao menos uma raiz de é também raiz de Calculando:
Substituindo essa raiz em tem-se:
Substituindo o valor de na equação dada tem-se:
Substituindo novamente o valor de na equação dada tem-se:
Assim, Pode-se perceber daí que, se é raiz da equação, também será raiz. Assim sendo, o conjunto de raízes de é 
Analisando então as afirmativas da questão, temos:
[A] Correto (podem formar uma P.A. de razão 2).
[B] Incorreto (números negativos não são números naturais).
[C] Correto.
[D] Correto. 
Resposta da questão 18:
 [A]
De acordo com a divisão euclidiana, podemos escrever que:
As raízes de são ou 
Fazendo temos:
Fazendo temos:
Resolvendo o sistema temos: e 
Logo, o resto da divisão será dado por: 
Portanto, 
Resposta da questão 19:
 [B]
 
Resposta da questão 20:
 [B]
Pelo Teorema das Raízes Racionais, segue que as possíveis raízes racionais pertencem ao conjunto
Assim, por inspeção, concluímos que e são raízes da equação. Daí, aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem
Em consequência, temos
Sendo e podemos escrever
Logo, vemMas e implicam em
Por inspeção, concluímos que ou resultando em ou respectivamente. Em qualquer caso, encontramos
Portanto, como e não têm raízes reais, segue o resultado. 
Resposta da questão 21:
 [E]
 admitindo 
A partir do Teorema das raízes racionais, podemos notar que as possíveis raízes racionais desta equação são 
Notemos que é raiz desta equação, pois 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos:
Portanto, a equação poderá ser escrita na forma:
Resolvendo a equação produto acima, temos:
Portanto, a maior raiz será e 
Resposta da questão 22:
 [E]
Sejam e as outras raízes de Pelas Relações de Girard, temos:
Portanto, segue o resultado. 
Resposta da questão 23:
 [E]
Portanto, as raízes são e 
Apenas duas raízes são reais e distintas. 
Resposta da questão 24:
 [C]
Seja o polinômio procurado. Pelas Relações de Girard, vem
Logo, supondo temos e O único polinômio que satisfaz essas condições é 
Resposta da questão 25:
 [D]
É claro que não é raiz de pois apresenta um termo independente de 
Se então e se então Logo, só pode ser e 
Se e então o resto da divisão de por é zero, pois 
Se então Em consequência, vem
 
 
Por conseguinte, se tem-se que não é uma raiz de 
Resposta da questão 26:
 ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
Seja a razão da progressão geométrica. Logo, temos
Se então a razão da progressão geométrica é positiva para todo Além disso, a progressão geométrica será decrescente para os valores de que satisfazem isto é,
Em consequência, vem
Portanto, como a raiz do binômio é pelo Teorema do Resto, obtemos
 
Resposta da questão 27:
 [A]
Portanto, e 
Resposta da questão 28:
 [E]
Dividindo por temos:
Portanto, As outras duas raízes serão dadas pela equação 
Fazendo agora um estudo do sinal da função, temos:
Resposta: 
Resposta da questão 29:
 [A]
Em polinômios de grau ímpar admite-se pelo menos uma raiz real. Assim, para que não admita raiz real o coeficiente de deve ser nulo. Logo, pode-se escrever:
Logo, o novo será:
Para que um polinômio do segundo grau não admita raízes reais seu (delta ou discriminante) deve ser negativo. Assim, pode-se escrever:
 
Logo, para que não admita raiz real tem-se e 
Resposta da questão 30:
 [C]
Já que 2 é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial.
Logo, fazendo temos x = 1 ou x = -1/2, que são as outras duas raízes.
Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos: 
A expressão estará definida para ou seja,
 
Resposta da questão 31:
 [C]
Sejam 1, 2 e r as três raízes do polinômio, utilizando as relações de Girard podemos escrever:
Então,
Logo, P(x) = x3 – 2x2 – x + 2
Dividindo P(x) por (x–1), obtemos:
P(x) = (x–1).(x2 –x – 2)
Logo, q(x) = x2 – x – 2, resolvendo a equação 
 
Resposta da questão 32:
 [C] 
O gráfico de é igual ao gráfico de deslocado de uma unidade para cima. Portanto, a equação tem duas raízes no intervalo 
Resposta da questão 33:
 Questão anulada no gabarito oficial.
Se então
 
Assim, obtemos o sistema
Dado que segue que e Portanto, Por outro lado, como vem que as alternativas [B] e [C] estão corretas. 
Resposta da questão 34:
 [B]
De acordo com a divisão efetuada acima, temos:
Logo, 
Resposta da questão 35:
 [D]
A soma de todas as raízes desta equação será dada pela relação de soma de Girard.
Deste modo não precisaremos utilizar a raiz sugerida pelo exercício.
Considerando que é o coeficiente do termo de e a o coeficiente do termo de temos:
 
Resposta da questão 36:
 [D] 
Raízes em progressão geométrica. 
Multiplicando as raízes e utilizando a relação do produto de Girard, temos:
Substituindo na equação, temos:
 
Resposta da questão 37:
 [B]
Pelas Relações de Girard, as medidas e do bloco são tais que 
		
e
Portanto, o volume do novo bloco é dado por
 
Resposta da questão 38:
 [C]
Como é raiz de e é raiz de segue que e Logo,
e
Portanto, 
		
 
Resposta da questão 39:
 [A]
 
Como o produto das raízes da equação x3 – 75x + 250 = 0 não é nulo, concluímos que 0 não é a raiz dupla.
Já que a soma dessas raízes é zero e que duas são iguais, temos as seguintes raízes:
–2r, r, e r. Fazendo o produto dessas raízes, temos:
 
Resposta da questão 40:
 [A]
Se é raiz de então também é raiz de Logo, é divisível por 
Aplicando o método da chave, vem
Desse modo,
Portanto, como para todo real, segue que para todo real tal que 
Resposta da questão 41:
 [A]
Desenvolvendo o determinante, temos:
 
A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns com B(x), já que possui o fator x2 – 1. 
 
Crer é tornar possível o impossível !
x1
=
2
xmxn0
++=
Q(x)
P(x).
2
12
x2x10
xx1
-+=
==
P(x),
32
x3xaxb0
13ab0
ab20
b2a
--+=
--+=
-+-=
=+
b
22
ab8,
-=-
(
)
(
)
22
2
2
22
22
ab8
a2a8
a44aa8
a44aa8
4a84
a1
-=-
-+=-
-++=-
---=-
-=-+
=
a
22
ab8,
-=-
(a1)
+
22
2
2
ab8
1b8
b9
b3
-=-
-=-
-=-
=
32
P(x)x3xx3.
=--+
1
1
-
P(x)
{
}
1,1,3.
-
807922
x3xxx1(x2x3)Q(x)axb
+---=+-×++
2
x2x30
+-=
x1
=
x3.
=-
(b1),
+
x1,
=
13111abab1
+---=+Þ+=
x3,
=-
80792
(3)3(3)(3)(3)3ab3ab7
-+×-----=-+Þ-+=-
ab1
,
3ab7
+=
ì
í
-+=-
î
a2
=
b1.
=-
r(x)2x1
=-
11
r210.
22
æöæö
=×-=
ç÷ç÷
èøèø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3222
1
2
3
1
22
22
2
P(x)xx4x4P(x)xx14x1x4x1
r1
P(x)x2x2x1r2
r2
f(1)0log(4k1)0log(5k)05k1k4
f(2)f(2)427arcsen(w28)44w80w2
wk6
sãoraízesdaeq.x4x120
wk2
=--+®=×--×-=-×-
=
ì
ï
=-×+×-®=
í
ï
=-
î
=®-+=®-=®+=®=
=-=®--=®-=®=
+=
--=
-=-
mn
+
{1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,6
0,90,180}.
±±±±±±±±±±±±±±±±±±
x5
=-
x6
=
510263214796180
61512712360
115360
------
-----
6432432
x26x32x147x96x180(x5)(x6)(xx5x3x6).
-----=+-++++
A,B,C
D,
Î
¢
43222
432
xx5x3x6(xAxB)(xCxD)
x(AC)x(BDAC)x(ADBC)xBD.
++++=++++
=++++++++
AC1
BDAC5
ADBC3
BD6
+=
ì
ï
++=
ï
×
í
+=
ï
ï
=
î
BD6
=
2.
-
B,D
Î
¢
(B,D){(6,1),(3,2),(2,3),(1,6),(1,6),(2,3
),(3,2),(6,1)}.
Î--------
(B,D)(2,3)
=
(B,D)(3,2),
=
(A,C)(1,0)
=
(A,C)(0,1),
=
43222
xx5x3x6(x3)(xx2).
++++=+++
2
x30
+=
2
xx20
++=
2
11x6
x,
x4
+
=
-
1.
-
x4,
¹
32
32
11x6x4x
x4x11x60
-
--
+=
-=
1,2,3,6,1,2,3e6.
----
1
-
32
(1)4(1)11(1)60.
--×--×--=
32
x4x11x60
--
-=
2
(x1)(x5x6)0.
+--=
x10x1
+=Þ=-
2
x5x60x6oux1
--=Þ==-
4.
R6
=
2R210.
-=
a
b
P(x).
53
abab1.
22
-
++=-Û+=-
6543
42
42
2
2
5432
2
p(x)x2x2x4xx2x
x2x2x4xx2
p(x)x(
xx(x2)2xx2)(x 2)
p(x)x(x2)(x2x1)
p(x)x(x2
)
p(x)((
)(x
)
1)
=×
××-+-+-
=×-×++
=×-×
=-+-+-
-+
=×
+
-+-
0,2,i,i,i
-
i.
-
(0e2)
7.
432
p(x)axbxcxdxe
=++++
b
xyzw7
a
c
xyxzxwyzywwz4
a
d
xyzxywxzwyzw6
a
e
xyzw1
a
ì
+++=-=
ï
ï
ï
+++++==
ï
ï
í
ï
+++=-=
ï
ï
ï
==
ï
î
a0,
>
b0,
<
c0,
>
d0
<
e0.
>
432
2x14x8x12x2.
-+-+
x0
=
p,
8.
p
x.
p(1)0,
=
ab3,
+=-
p(1)0,
-=
ab3.
-=-
a0
=
b3.
=
a0
=
b3,
=
32
x3x6xk0
--+=
p(x)
2
3xx1
-+
2
p(x)(x1)(3xx1).
=+-+
ab0,
==
2
p(x)2x1.
=+
2
ii11
p211.
2222
æöæö
-=×-+=-+=
ç÷ç÷
èøèø
ab0
==
i
x
2
=-
p.
q
2.
k
2
222
33
41
2
2
2(k1)25k
aaqq
5k
4(k1)
2k2
q.
5k
+
=×Û=×
+
+
Û=
k.
k
0q1,
<<
22
2k22k5k2
0101
5k5k
1
k2.
2
+-+
<<Û<<
Û<<
1
2
5
2
M.
24
+
==
515
d(x)x
48
=-
3
x,
2
=
542
353533
P2510
242222
1215405225
10
128324
5515
.
128
æöæöæöæö
=×-×+×-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
=-+-
=
543232
54322
x0xxx0x1x0x3x2
x0x3x2xx2
+-++++-+
-++-+
32
32
2xx0x1
2x0x6x4
+-++
-++-
2
x6x3
-+-
5
.
2
2
r(x)x6x3
=-+-
2
r(1)(1)6(1)310.
-=--+--=-
f(x)
(x1)(x1),
+-
2
f(x)(x1)(x1)(x5x6)0.
=+×-×-+=
2
x5x60x2oux3.
-+=Þ==
(
)
(
)
(
)
,11,23,
-¥-ÈÈ+¥
5
x
2
)()0m4com
(mm4
m
4
×=®=
-+
Î
¡
4.
2
P(x)xkx1
=++
D
2
0k41102k2
D<®-××<®-<<
2k2.
-<<
2
x2
P(x)
)21
(x
x,
(
)
=×--
-
2
x0,
x
21
--
=
P(x)
7
.
2
P(x)0,
³
1
121r2r
1
3r3
r1
×+×+×=-
×=-
=-
a12(1)
a2
b12(1)
b2
-=++-
=-
-=××-
=
q(x)0:
£
S[1,2]
=-
Q(x)P(x)1
=+
P(x)
P(x)10
+=
]0,5[.
3.
q(x)q(1x),
=-
22
22
axbxca(1x)b(1x)c
ax(2ab)xabc.
++=-+-+
=-++++
22
2
b2abab
abccab
aa0
a0 e b0
 ou
a1 e b1=--=-
ìì
ïï
Û
íí
++==-
ïï
îî
Þ-=
==
ì
ï
Þ
í
ï
==-
î
a0,
¹
a1
=
b1.
=-
22
q(x)xxca(xx)c.
=-+=-+
2
aa1,
==
a40a4
b30b3
+=Þ=-
-=Þ=
ab1.
+=-
9
.
2
b
3
x
4
x,
1234
b1
xxxx1
a1
+++=-=-=-
, e q.
q
α
αα
×
3
54
q273.
q2
α
αααα
××=-Þ=-Þ=-
3
α
=-
(
)
(
)
(
)
32
a1
23a3b35409a3b0.
b3
×--×-+×-+=Þ-+=Þ=-
r,s
t
a
Î
¡
14
rst14,
1
-
++=-=
64
rsrtst64
1
++==
96
rst96.
1
-
=-=
3
V(r1)(s1)(t1)
rst(rsrtst)rst1
9664141
45cm.
=---
=-+++++-
=-+-
=
1
-
A(x)
3
B(x),
A(1)0
-=
B(3)0.
=
63
a
P(x)x26x27
2
=--
32
A(1)B(1)3(1)2(1)(1)1B(1)1
-=-+×-+×-+-+Û-=
32
A(3)B(3)332331A(3)103.
=+×+×++Û=
A(3)B(1)1031102.
--=-=
(
)
(
)
423
Pxx75x250x x x 75x 250 0.
=-+=-+=
3
250
2rrrr125r5.
1
-×××=-Û=Û=
2i
+
P,
2i
-
P.
P
2
A(x)2x4xa,
=++
2
[x(2i)][x(2i)]x4x5.
-+--=-+
322
32
2
2
2x9x14x5x4x5
2x8x10x2x1
x4x5
x4x5
0
-+--+
-+--
-+-
-+
2
1
P(x)2x(x4x5).
2
æö
=--+
ç÷
èø
2
x4x50
-+>
x
P(x)0
<
x
1
x.
2
<
32
32
2
2
A(x)xx2xx2x
A(x)x2xx2
A(x)x(x2)1(x2)
A(x)(x2)(x1)
=+---+
=+--
=+-+
=+×-
A(x)
(
)
7422
xxx1x4x3x7x540.
-+--+--£
Ox,
suur
P(x)
Ox
suur
P(x)
33
2.
-
i
i
54
p(x)x2xx2,
=--+
p(x)
I
i,
i
i
-
i
i
i
-
432
p(x)x4x6x4x2017
=++++
x89.
=
53213009.
57138236.
n
61342008.
65612016.
67302100.
65432
P(x)xbxcxdxexfxg
=++++++
3
P(23)0.
+=
R(x)
P(x)
3
x3x1.
--
R(x)
51
-
I.
52
-
53
-
54
-
55
-
32
P(x)xmxnx12
=+++
P(x)0
=
1
x,
2
x
3
x.
12
xx3
×=-
n,
23
xx5,
+=
P(m)0
=
mn13
-=-
mn20
×=
n2m7
-=-
432
x2ax9ax6ax9a0.
-+-+=
a
a.
a1
=-
a1
=
n
a2
=
a3
=
a4
=
32
x6x21x260
-+-=
m,
n
p.
m
n
p
n
22
mn
+
18
-
10
-
0
4
8
n
n
n
zabi,
=+
7.
b0
¹
4
33
2511225112
8484
++-
[5,3)
--
[3,1)
--
[1,1)
-
[1,3)
[3,5)
2
Q(x)x2x1
=-+
32
P(x)x3xaxb,
=--+
n
a
b
22
ab8.
-=-
Q(x)
P(x)
P(x)
a
b
80792
p(x)x3xxx1
=+---
2
b(x)x2x3.
=+-
53904.
r(x)
p(x)
b(x),
1
r
2
æö
ç÷
èø
0
1
2
1
2
5
2
1
r,
n
2
r
3
r
32
P(x)xx4x4.
=--+
2
1
f(x)log(4xkx1)
=-+
22
2
f(x)x7arcsen(wx8),
=--
k,w,
Î
¡
11
f(r)0
=
2223
f(r)f(r)4,
==
1
r
P(x),
n
(wk)
+
(wk)
-
2
x6x20
--=
2
x4x120
--=
2
x4x210
-+=
2
x6x80
-+=
2
x7x100
--=
6432
p(x)x26x32x147x96x180.
=-----
p(x)0,
=
R
6.
2
11x6
x,
x4
+
=
-
2R2
-
2
4
6
8
10
5
2
32
P(x)2x3x9x10,
=--+
2
-
43
P(x)2x5xkx1
=-+-
0
10
1
1
-
65432
p(x)x2x2x4xx2x.
=-+-+-
p(x)0,
=
xyzw7
xyxzxwyzywzw4
xyzxywxzwyzw6
xyzw1
+++=
ì
ï
+++++=
ï
í
+++=
ï
ï
=
î
32
x6x4x7
+++
32
x6x4x7
++-
432
2x14x8x12x2
-+-+
(x3)
-
432
7x4x6xx
-++
432
x7x4x6x
+++
432
p(x)axbx2x1,
=+++
{a,b}
Ì
¡
x0
=
p(x)
a
b
x1
=
x1
=-
(x2),
+
p(x)
a0
=
b3,
=
p(x)
2
3xx1
-+
ab0
==
1
xi
2
=-
p(x),
2
i1
=-
22
4
2(k1)
a
5k
+
=
k
2
1
2
25k
a,
4(k1)
=
+
M
k,
542
55
P(x)xx25x10
42
=-+-
15
Mx
8
æö
-
ç÷
èø
1039
32
1231
16
1103
32
1487
32
1103
16
10.
532
f(x)xxx1,
=-++
3
q(x)x3x2
=-+
r(x).
r(1)
-
10.
-
4.
-
0.
4.
10.
432
f(x)x5x5x5x6
=-++-
9.
1
-
1.
f(x)
(
)
(
)
,10,1
-¥-È
(
)
(
)
,12,
-¥-È+¥
(
)
[
)
11
,1,2,
22
æö
-¥-È-È+¥
ç÷
èø
(
)
15
,3,2,
22
æöæö
-¥-ÈÈ+¥
ç÷ç÷
èøèø
(
)
(
)
(
)
,11,23,
-¥-ÈÈ+¥
252
P(x)(m4m4xx
()
k
)
x1
=-++++
x,
8.
m
k
P(x)
m4
=
2k2
-<<
m4
=-
k2
>
m2
=-
2k2
-<<
7.
m4
=
|k|2
>
m2
=-
k2
>-
32
P(x)2x5xx2,
=-++
P(x)
x2}
³
x1}
¹
32
xaxxb(x1)q(x)
+-+=-×
32
xaxxb0,
+-+=
6.
q(x)0:
£
[5,4]
--
[3,2]
--
[1,2]
-
[3,5]
[6,7]
]
[
0,5.
(
)
Px10
+=
]
[
0,5
(
)
2
qxaxbxc,
=++
x:
a0.
¹
(
)
(
)
qxq1x,
=-
(
)
(
)
2
qxaxxc
=++
(
)
(
)
2
qxax–xc
=+
(
)
(
)
22
qxax–xc
=+
(
)
(
)
22
qxaxxc
=++
(
)
2
qxaxc
=+
3
F(x)xaxb
=++
2
G(x)2x2x6
=+-
x,
32
p(x)xax13x12
=+-+
332
A(x)x(3m4m)x2,
=+--
a
b
(ab)
+
F(x)
G(x)
2
-
1
-
0
1
2
i3
m;
Î
¤
432
xx2x3x30,
+++-=
2i3
-
4i3
0
1
-
2
-
32
2xaxbx540
-++=
b0,
¹
a
b
2
3
2
B(x)x2x1
=-+
3
2
-
1
3
-
-+-=
32
x14x64x960.
(
)
-
r1,
(
)
-
s1
(
)
-
t1,
1cm
3
36cm
3
45cm
3
54cm
A(x)
3
60cm
3
80cm
(
)
(
)
=++++
32
AxBx3x2xx1.
-
1
(
)
(
)
--
A3B1
(
)
42
Pxx75x250x
=-+
(
)
=-+-
32
Px2x9x14x5.
+
2i
(
)
<
Px0,
Î
xI
B(x)
ùé
-¥
úê
ûë
1
,
2
]
[
0,1
ùé
úê
ûë
1
,2
4
]
[
+¥
0,
ùé
-
úê
ûë
13
,
44
(
)
Ax
x11
1x2
1xx
éù
êú
-
êú
êú
ëû
(
)
2
Bxx1
=-
(
)
Pxx2
=+
(
)
p10,
=
A(x)
32
1a1131120
a0
+×-×+=
=
(
)
3
pxx13x12
=-+
2
x
0
S0
1
=-=
(
)
7422
xxx1x4x3x4x30
-+-×-+×-+£
74
xxx10
-+-³
x
2
x4x30
-+³
x,
274
x4x30,xxx10
-+£-+-=
A(x)
2
x4x30
-+=
2
x7x540,
--£
(
)
(
)
(
)
2
2
2
774154
x7x540x
21
7265
x7x540x
2
--±--××-
--=Û=
×
±
--=Û=
7265
4,6
2
-
@-
7265
11,6
2
+
@
x
x4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
=----
74
xxx10,
-+-=
1
A(x)
1
-
1
1
-
74
xxx10
-+-=
x1
=
2
x4x30,
-+=
x1
=
x3
=
{
}
2
I4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
n16
n4
=----
=
=
n
A(x)
4343
P(3)P(2)2353k312(2)5(2)k(2)1
273k722k
k9.
=-Û×-×+×-=×--×-+×--
Û+=-
Û=
B(x),
2
x2x10x1
-+=Þ=
1
A(x),
3323
A(x)1(3m4m)120(3m4m)1
=+-×-=Þ-=
32
A(x)xx2.
=+-
1,
1i
-+
1i,
--
32
x3x9xk0,
--+=
1
-
2.
0,135
°°
225.
°
1
2.
32
p(x)x3x9xk.
=--+
p()p'()0
αα
==
p''()0
α
¹
.
α
Î
¡
x1
=
k
2
p'(x)3x6x9,
=--
p''(x)6x6
=-
p''(x)
x1.
=
p'(x)
x1
=-
x3,
=
p(x)
k.
k
k.
x1
=-
32
(1)3(1)9(1)k0k5.
--×--×-+=Û=-
k
x3
=
32
33393k0k27.
-×-×+=Û=
27(5)22.
+-=
2
x2x80,
++=
ab2
+=-
ab8.
×=
2
xmxn0,
++=
22
a1b1m
+++=-
(a1)(b1)n.
++=
m(ab)2
(2)2
0
=-+-
=---
=
nabab1
821
7.
=×+++
=-+
=
mn077.
+=+=
ar,a
-
ar
+
-
-+++=-
=
-
-×+-×++×+=Û=±
=
-××+=-
3
araar
a1
1
6
(ar)a(ar)(ar)a(ar)r3.
1
kk8
(ar)a(ar)
1
==
k8
4.
22
(
)
Ax
27
-
Ox,
suur
2
442a0
a2
-××=
=
(
)
(
)
(
)
2
2
Ax2x4x2
Ax2x1
=++
=×+
(
)
Ax0,
=
(
)
2
2x10
x1
×+=
=-
a2,
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
63
2
33
33
Pxx26x27
Pxx26x27
Pxx27x1
=--
=--
=-×+
(
)
Px0,
=
3
x270
-=
3
x10.
+=
27
3
x270
-=
(
)
B3
A3cos120isen120
333
Ai
22
333
Ci
22
=
=×°+°
=-+
=--
3
x10
+=
(
)
E1
F1cos60isen60
13
Fi
22
13
Gi
22
=-
=×°+°
=+
=-
Ox
suur
222
m11211cos120
m3
=+-×××°
=
EFG
33.
3333331313
iiii2
22222222
æöæöæöæö
-++--+++-=-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
5
-
5
p(x),
5444
22
22
22
x2xx20x(x2)(x2)0(x2)(x1)0
(x2)(x1)(x1)0
x20x2
x10x1x1
x10x1xi
--+=Þ×---=Þ-×-=Þ
-×-×+=
-=Þ=
-=Þ=Þ=±
+=Þ=-Þ=±
p(x)
i
i
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
432
432
4031221304
4
4
4
pxx4x6x4x2017
pxx4x6x4x12016
44444
pxx1x1x1x1x12016
01234
pxx12016
p898912016
p89902016
p89656100002016
p8965612016
=++++
=+++++
æöæöæöæöæö
=×+×+×+×+×+
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
=++
=++
=+
=+
=
(
)
33
P230,x23
+==+
(
)
Px.
3
x23,
=+
32
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
23
32
32
32
32
2
2
32
22
2
22
333222
624342
643
x23
x23
x3x23x223
x32x6x223
x6x332x22
x6x323x2
x6x323x2
x6x32x6xx36x323x23x22
x36x912x6x36x29x12x4
x12x6x
-=
-=
-××+××-=
-+-=
+-=+
+-=×+
+-=×+
æö
++-+××+×-+×-=×+××+
ç÷
èø
+++--=×++
+-+
242
6432
36x36x918x24x8
x6x6x12x36x10
-+=++
--+-+=
(
)
6432
Pxx6x6x12x36x1
=--+-+
(
)
Px
3
x3x1,
--
3
x3x5
--
(
)
2
Rx3x54x4.
=--
(
)
Rx
(
)
(
)
354455.
+-+-=-
32
P(x)xmxnx12
=+++
123
123
232
121
32
xxx12
xx3x4
xx5x1
xx3x3
P(x)(x1)(x3)(x4)x2x11x12
n2m7112(2)7
××=-
×=-®=
+=®=
×=-®=-
=-×+×-=--+
-=-®--×-=-
2
x2x80
++=
432
x2ax9ax6ax9a
-+-+
(xa).
-
232
18a2a6a02a(a9a3)0
--=Þ-×-+=
a0
=
2
a9a30
969
a
2
-+=
±
=
2
32
262212260.
-×+×-=
32
x6x21x260
-+-=
2
(x2)(x4x13)0
-×-+=
a
x2
=
m
n,
2
(x4x13)0.
-+=
222
(mn)mn2mn
+=++××
22222
4mn213mn10.
=++×Þ+=-
1;
4
(x1)0,
-=
1
4
(x1)
-
b
4
1.
33
2511225112
x,
8484
=++-
3223
3
333333
3
3333
3
3
3
3
251122511225112251122511225112
x33
848484848484
5025112251122511225112
x3
884848484
50343
x3x
864
2521
xx
44
4x21x25
æöæöæöæö
ç÷ç÷ç÷ç÷
=++×+×-+×+×-+-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
æö
ç÷
=+×+×-×++-
ç÷
èø
-
=+××
=-×
×+×-
0
=
1
2
(x1)(4x4x25)0
-×+-=
x1
=
[
)
33
2511225112
x11,3.
8484
=++-=Î
Q(x)
P(x)