Avaliação Final (Discursiva) - Individual - Calculo Diferencial e Integral III

Prévia do material em texto

Prova Impressa
GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:745725)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 51359054
Qtd. de Questões 2
Nota 9,00
Pelo Teorema de Fubini podemos inverter a ordem de integração dependendo do formato da região ou 
sólido de integração. No caso de integral dupla, chamamos de integrais do tipo 1 ou tipo 2. O importante é 
que a última integral tenha em seu domínio de integração apenas constantes, ou seja, seja feita num intervalo 
como as integrais simples.
Utilizando o Teorema de Fubini, calcule a área da região apresentada na figura a seguir. Justifique cada etapa 
da sua resolução.
Resposta esperada
Vamos dividir essa região em duas regiões: a que está à esquerda da reta x = 2, e a que está à direita.
Assim a área será a soma dessas duas e para cada uma dessas regiões faremos a integral dupla.
Precisamos determinar os limites de integração.
 Vamos determinar a reta que liga os pontos (- 3, 0) e (4, 4), como:
 VOLTAR
A+
Alterar modo de visualização
1
a equação da reta é A reta que liga os pontos (2, 0) e (4, 4) é y = 2(x - 2), pois 
 Usando as integrais do tipo 1 temos
que a área é:
Minha resposta
Observe que a região apresentada pode ser separada em duas regiões para facilitar o cálculo dos
limites de integração. A primeira região será a que possui valores de x pertencentes ao intervalo [-2, 0]
e os valores de y entre as retas y = 0 e y = -0,5x + 2. Dessa forma, teremos que a integral interna será
calculada em relação a variável y, pois os limites de integração dessa variável depende de x
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar. Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas 
principais características e um exemplo onde podem ser aplicados.
2
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar
o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas
dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja,
relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de
superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por
um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma
integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla
do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três
dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
Minha resposta
O teorema de Green substitui a integral de linha pela integral dupla da diferença das derivadas parciais
de uma dada função vetorial sobre a área delimitada pela curva Podemos usar o teorema de Green
para calcular o trabalho realizado por um campo de força bidimensional sobre uma partícula. O
teorema de Stokes é uma generalização do teorema de Green em três dimensões, que relaciona a
integral de linha de um campo vetorial tridimensional com a integral de superfície do rotacional do
campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de força sobre uma
partícula em três dimensões. O teorema de Gauss é o mais diferente porque estabelece a relação entre
a integral tripla no sólido e a integral de superfície em seu contorno o fluxo de saída usando o teorema
de Gauss
Imprimir