Aula IV(SÍNCRONO)

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AULA 4 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
(INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
TRIGONOMÉTRICA)
Profª.Adna Queiroz Sales
queirozadna@gmail.com
DCME – CCEN
Bacharelado em Ciência e Tecnologia | Calculo II – 2020.1 (Remoto)
2
5. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
TRIGONOMÉTRICA
Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de uma
integral. Se o integrando contém funções envolvendo as expressões
𝑎2 − 𝑢2, 𝑎2 + 𝑢2 ou 𝑢2 − 𝑎2
onde, 𝑎 é uma constante positiva.
É possível fazermos uma substituição trigonométrica adequada.
3
CASOS
i) A função integrando envolve 𝑎2 − 𝑢2
Neste caso, usamos 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃. Então 𝑑𝑢 = 𝑎 cos𝜃 𝑑𝜃. 
Supondo que −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, temos:
𝑎2 − 𝑢2 = 𝑎2 − 𝑎²𝑠𝑒𝑛²𝜃
= 𝑎² 1 − 𝑠𝑒𝑛²𝜃
= 𝑎²𝑐𝑜𝑠²𝜃 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
ii) A função integrando envolve 𝑢2 + 𝑎²
Neste caso, usamos 𝑢 = 𝑎 𝑡𝑔 𝜃. Então 𝑑𝑢 = 𝑎 sec² 𝜃 𝑑𝜃. 
Supondo que −
𝜋
2
< 𝜃 <
𝜋
2
, temos:
𝑎2 + 𝑢2 = 𝑎2 + 𝑎2𝑡𝑔²𝜃
= 𝑎2 1 + 𝑡𝑔²𝜃
= 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 𝑎 sec 𝜃
4
iii) A função integrando envolve 𝑢2 − 𝑎²
Neste caso, usamos 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃. Então 𝑑𝑢 = 𝑎 sec 𝜃. 𝑡𝑔 𝜃 𝑑𝜃.
Supondo 𝜃 tal que 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
ou 𝜋 ≤ 𝜃 <
3𝜋
2
, temos:
𝑢2 − 𝑎2 = 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 𝑎2
= 𝑎2(𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)
= 𝑎²𝑡𝑔²𝜃 = 𝑎 𝑡𝑔 𝜃
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5. 1EXEMPLOS
6
1) Calcular as integrais
a) ׬
9−𝑥2
2𝑥2
𝑑𝑥
Solução:
9 − 𝑥2 = 32 − 𝑥2 .: Caso i
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃, assim, 9 − 𝑥2 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃,
para −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
Logo,
׬
9−𝑥2
2𝑥2
𝑑𝑥 = ׬
3𝑐𝑜𝑠𝜃
2 3𝑠𝑒𝑛𝜃 2
3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 =
1
2
׬
9𝑐𝑜𝑠𝜃
9𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
=
1
2
׬
𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑑𝜃
=
1
2
׬ 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜃 𝑑𝜃
=
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝜃)׬ − 1) 𝑑𝜃
=
1
2
׬ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 −
1
2
𝑑𝜃׬
= −
1
2
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 − 𝜃 + 𝐶
Reescrevendo o resultado em função de 𝑥
Como 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
. Também é possível
substituir a 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃, se olharmos a imagem do CASO i,
percebemos que 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
=
32−𝑥2
𝑥
.Assim, temos
׬
9−𝑥2
2𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
2
9−𝑥2
𝑥
−
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
+ 𝐶
7
b) ׬
1
𝑥2 9+𝑥2
𝑑𝑥
Solução:
9 + 𝑥2 = 𝑥2 + 32 .: Caso ii
𝑥 = 3𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃, assim, 9 + 𝑥2 = 3𝑠𝑒𝑐𝜃, 
para−
𝜋
2
< 𝜃 <
𝜋
2
Logo, 
׬
1
𝑥2 9+𝑥2
𝑑𝑥 = ׬
1
9𝑡𝑔2𝜃∙3𝑠𝑒𝑐𝜃
3𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
=
1
9
׬
𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑡𝑔2𝜃
𝑑𝜃
=
1
9
׬
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
∙
𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑑𝜃
=
1
9
׬
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑑𝜃
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
1
9
׬
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑑𝜃 =
1
9
׬
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑢2
∙
𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
1
9
׬
𝑑𝜃
𝑢2
=
1
9
𝑢−1
−1
+ 𝐶
= −
1
9
1
𝑢
+ 𝐶 = −
1
9
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
+ 𝐶
Reescrevendo o resultado em função de 𝑥
Se olharmos a imagem do CASO ii, 
percebemos que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
32+𝑥2
. Assim, 
temos
׬
1
𝑥2 9+𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
9
9+𝑥2
𝑥
+ 𝐶
8
c) ׬
𝑑𝑥
𝑥3 𝑥2−16
Solução:
𝑥2 − 16 = 𝑥2 − 42 .: Caso iii
𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃, assim, 𝑥2 − 16 = 4𝑡𝑔𝜃, 
para 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
ou 𝜋 ≤ 𝜃 <
3𝜋
2
Logo, 
׬
𝑑𝑥
𝑥3 𝑥2−16
= ׬
1
43𝑠𝑒𝑐3𝜃∙4𝑡𝑔𝜃
4𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
=
1
64
׬
1
𝑠𝑒𝑐2𝜃
𝑑𝜃
=
1
64
׬ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
=
1
64
׬
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃
=
1
64
׬
1
2
+
𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃
=
1
64
׬
1
2
𝑑𝜃 +
1
64
׬
𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑑𝜃
=
1
128
𝜃 +
1
256
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶
onde, 
1
128
׬ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃
𝑢 = 2𝜃 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝜃
1
128
׬ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 =
1
128
׬ 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
256
׬ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢
=
1
256
𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝐶
=
1
256
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶
9
Reescrevendo o resultado em função de 𝑥
Como 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑐𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
4
. Também é possível substituir a 𝑠𝑒𝑛2𝜃.
Sabendo que 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑏, fazemos 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
Se olharmos a imagem no CASO iii, percebemos que
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑥2−42
𝑥
e 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
4
𝑥
, logo 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2
𝑥2−42
𝑥
∙
4
𝑥
= 8
𝑥2−16
𝑥2
Assim, temos 
׬
𝑑𝑥
𝑥3 𝑥2−16
=
1
128
𝜃 +
1
256
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶
=
1
128
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
4
+
1
256
∙ 8 ∙
𝑥2−16
𝑥2
+ 𝐶
=
1
128
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐
𝑥
4
+
1
32
∙
𝑥2−16
𝑥2
+ 𝐶