Matemática Ciências e Aplicações V2-052-054

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Podemos observar que os triângulos OCP e OPP2 são semelhantes:
AOCP ~ AOPP, => - ^ L = -Q£- => cossec x = --- ]—
OP OP> 1 sen x
=> cossec x = ---------sen x
Generalizando essa expressão para os demais quadrantes, temos a relação funda­
mental V:
cossec x = --------, válida para V x * k n , k e Zsen x
Dado sen x = 1/3, com n/2 < x < j i, para achar as outras funções trigonométricas 
de x fazemos:
RF I: sen2 x + cos2 x = 1 =*• í — ] + cos2 x = 1 => cos2 x = J L => cos x = ±
v 3 J 9 3
Sendo x do 2°quadrante, cos x = -2-/2
3
RF II: tg x = sen x 
cos x
tg x = 1/3
RF III: cotg x =_ cos X
sen x
cotg x =
-2^2/3 
-2 /2 /3
» tg x = -
1/3 cotg x = - 2J2
RF IV: sec x = — 3— 
cos x
sec x = ----- ——
—2 / 2 /3
sec x = 3 ^
RF V: cossec x = 1
sen x
cossec x = 1/3 cossec x = 3
Sendo sec x = 9/4,3n/2 < x < 2n, para calcular as demais funções circulares de x 
fazemos:
RF IV: sec x = ---- -—cos x
RF I: sen2 x + cos2 x =
9_ = ____] _
4 COS X
4
CO S X = — 
9
81
Como x é arco do 4?quadrante, temos sen x =
•JôT
9
MATEMÁTICA: CIÊNCIA E APLICAÇÕES
RF V: cossec x = 1
sen x
cossec x = . 1
-V65/9 
—/65 /9
cossec x = 9^65
65
RF II: tg x = sen x => tg x = — ' " => tg x = 
cos x 4/9 a
-■Jê5
RF ///: cotg x =_ cos x
sen x
cotg x = 4/9
-V ô 5 /9
cotg x =
cotg x =
65
B B B B B O B O G B
1 Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2? quadrante cujo 
cosseno vale -0,6 .
2 Seja tg x = 2, com 0 < x < Jt/2. Calcule as demais razões trigonométricas 
de x.
3 Sendo cossec x = -5 / 3 , com 7t < x < 3JC/2, calcule tg x.
4 Sendo cotg 0 = 8/5, 7t < 0 < 3rc/2, obtenha as demais funções trigonomé­
tricas de 0.
5 Calcule o valor da expressão y = 
e x G 1? quadrante.
3 cossec x - sec x 
tg x + 3 cotg x
sendo sen x =
- ,.r. , sec x —cossec x6 Simplifique a expressão y = ------j-------- -— ------ .
7 Dado cos x = a, com x * krc e k G 2 , encontre cossec x.
8 Considere a um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo e defina 
como razão trigonométrica:
a) cotg a b) sec a c) cossec a
R H A t GE S ÍN ÍR t FUNÇGES
9 Quais os valores de m para os quais podemos ter simultaneamente
sen x = m + e cos x = m —
m (UFF— RJ) Determine a relação entre os números reais a e b, de modo que as 
igualdades 1 + cos x = a sen x e 1 - cos x — b sen x, com x * kit, k £ Z. 
sejam satisfeitas simultaneamente.
I lji Simplifique a expressão (tg2 x + l)(cotg2 x + 1).
12 i É possível que tenhamos tg x = sec x? E tg x = cossec x?
■ 13 . Encontre os valores de x para os quais temos tg x = cotg x.
c . ,.f. - sec x + sen x0 4 1 Simplifique a expressão ------------------------ .
cossec x + cos x
15 Sabendo que cos a = 2 sen a, calcule tg a e sen a.
16Í a) Calcule sen 0, cos 0 e cotg 0, sabendo que tg 0 =
b) Suponha o caso particular em que a = 0 e, fazendo as adaptações neces­
sárias na resposta do item a, verifique a coerência de tal resposta.
O Relações decorrentes
A partir das cinco relações fundamentais, podemos deduzir outras relações, que serão 
úteis para simplificar a resolução de alguns problemas.
Suponhamos, por exemplo, que seja dado o valor da secante de um arco x do 
1? quadrante: sec x = a, a > 1. Para calcularmos tg x somente por meio das relações 
fundamentais, teríamos que cumprir o seguinte percurso:
V IVsec x = a => 1 flr Icos x = — => sen x - a
+^a2 - 1 
a
tf; a
=> tg x = sen x 
cos x
\ja2 - 1
É possível buscar, por outro lado, uma relação direta entre sec x e tg x.Tomemos a RFI: 
sen2x + cos2x = 1, e dividamos ambos os membros por cos2x:
sen2 x + cos2 x = 1 sen x + cos x = ----1— ==► tg2 x + 1 = sec2 xcos2 x cos2 x COS' x
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