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Eduarda Leal de Carvalho Álgebra Linear Algorítmica 
DRE: 118199369 Marcelo G. Teixeira 
 
Laboratório 3 – Bolinha Refletida 
 
Seja Q um quadrado com os seguintes vértices: (a, b), (c, d), (e, f) e (g, h). Para 
transforma-lo em um paralelogramo, basta aplicar a matriz de cisalhamento nesses 
vértices: 
T(x, y) = (x + 𝜆y, y) ou [
𝑥
𝑦] ↦ [
𝜒 + 𝜆𝑦
𝑦
] 
Obtemos os seguintes vértices: 
v1 = [
a
b
] ↦ [
a + 𝜆b
b
] v2 = [
c
d
] ↦ [
c + 𝜆d
d
] 
v3 = [
e
f
] ↦ [
e + 𝜆f
f
] v4 = [
g
h
] ↦ [
g + 𝜆h
h
] 
Logo a matriz do quadrado Q será: 
Q = [
a + 𝜆b b
c + 𝜆d d
e + 𝜆f f
g + 𝜆g h
] 
Agora, para que a bolinha respeite esse novo domínio, é necessário fazer uma 
verificação. Para verificar se a bolinha encosta nas arestas do paralelogramo, é 
calculado a distancia perpendicular entre a bolinha e cada aresta. Para cada aresta é 
realizado os seguintes passos: 
Observação: Com intuito de apenas exemplificar os cálculos realizados, abaixo só 
consta os cálculos feitos para a aresta dos vértices 1 e 2. Os cálculos foram feitos para 
as demais arestas. 
 
1. Calcular o vetor da aresta (𝒗𝒂) 
 
𝑣1 = [
𝑎 + 𝜆𝑏
𝑏
] 𝑣2 = [
𝑐 + 𝜆𝑑
𝑑
] 
 
𝑣𝑎 = [
𝑥𝑣2 − 𝑥𝑣1
𝑦𝑣2 − 𝑦𝑣1
] 
 
𝑣𝑎 = [
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
𝑑 − 𝑏
] 
 
2. Normalizar o vetor da aresta (𝑢) 
 
𝑣𝑎 = [
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
𝑑 − 𝑏
] 
 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = √𝑥2 + 𝑦2 
𝑑𝑝𝑎 = (𝑥𝑏 − 𝑐 − 𝜆𝑑 + 𝑎 + 𝜆𝑏) ×
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
+ (𝑦𝑏 − 𝑑 + 𝑏) × 
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
 
 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = √(c + 𝜆d - a - 𝜆b)2 + (𝑑 − 𝑏)2 
 
𝑢 =
[
 
 
 
 
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2]
 
 
 
 
 
 
3. Calcular o vetor perpendicular (𝒗𝒑) 
 
𝑣𝑝 =
[
 
 
 
 − 
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2 ]
 
 
 
 
 
 
4. Calcular o vetor da bolinha em relação ao primeiro vértice da aresta (𝒗𝒃) 
 
𝑣𝑎 = [
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
𝑑 − 𝑏
] 𝑐𝑏 = [
𝑥𝑏
𝑦𝑏
] 
 
𝑣𝑏 = [
𝑥𝑏 − (c + 𝜆d - a - 𝜆b)
𝑦𝑏 − (𝑑 − 𝑏)
] 
 
𝑣𝑏 = [
𝑥𝑏 − 𝑐 − 𝜆𝑑 + 𝑎 + 𝜆𝑏
𝑦𝑏 − 𝑑 + 𝑏)
] 
 
5. Calcular a distância perpendicular ( 𝒅𝒑) 
𝑣𝑏 = [
𝑥𝑏 − 𝑐 − 𝜆𝑑 + 𝑎 + 𝜆𝑏
𝑦𝑏 − 𝑑 + 𝑏)
] 𝑣𝑝 =
[
 
 
 
 − 
𝑑 − 𝑏
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑑 − 𝑏)2
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑏 − 𝑑)2 ]
 
 
 
 
 
𝑑𝑝 = (𝑥𝑏 − 𝑐 − 𝜆𝑑 + 𝑎 + 𝜆𝑏) × − 
𝑑 − 𝑏
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑑 − 𝑏)2
) + (𝑦𝑏
− 𝑑 + 𝑏) × 
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑏 − 𝑑)2
 
 
6. Calcular a distância paralela (𝒅𝒑𝒂) 
 
𝑣𝑟 = 2 × (𝑣𝑥 × − 
𝑑 − 𝑏
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑑 − 𝑏)2
) + 𝑣𝑦 × 
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑏 − 𝑑)2
) ×
[
 
 
 
 − 
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2 ]
 
 
 
 
 
𝑣𝑏 = [
𝑥𝑏 − 𝑐 − 𝜆𝑑 + 𝑎 + 𝜆𝑏
𝑦𝑏 − 𝑑 + 𝑏)
] 𝑢 =
[
 
 
 
 
𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2]
 
 
 
 
 
Se a distância paralela for maior que 0 e o comprimento da aresta, e a distância 
perpendicular estiver dentro de uma tolerância, a bolinha está encostando na aresta e 
sua velocidade é refletida. 
Para refletir a bolinha ao colidir com uma aresta, foi feito o seguinte: 
1. Para calcular o vetor de reflexão (𝑣𝑟), foi o produto escalar entre a velocidade 
da bolinha e o vetor perpendicular foi multiplicado por 2 e pelo vetor 
perpendicular. 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) 𝑣𝑝 =
[
 
 
 
 − 
𝑑 − 𝑏
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(𝑐 + 𝜆𝑑 − 𝑎 − 𝜆𝑏)2 + (𝑑 − 𝑏)2 ]
 
 
 
 
 
 
𝑅 = 2 × (𝑣𝑥 × − 
𝑑 − 𝑏
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑑 − 𝑏)2
) + 𝑣𝑦 × 
c + 𝜆d − a − 𝜆b
√(c + 𝜆d − a − 𝜆b)2 + (𝑏 − 𝑑)2
) 
 
𝑣𝑟 = 𝑅 × 𝑣𝑝 
 
 
2. Para achar a velocidade refletida foi subtraído o vetor de reflexão da 
velocidade da bolinha. 
𝑣𝑟 = (𝑣𝑟𝑥 , 𝑣𝑟𝑦) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦) 
 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎 = (𝑣𝑥 − 𝑣𝑟𝑥 , 𝑣𝑦 − 𝑣𝑟𝑦)