AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (56)

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MA22 - Unidade 16 - Parte 2
Regra de L’Hôpital - continuação
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
21 de maio de 2013
Indeterminações da forma ∞∞
Se limx→a f (x) = ±∞ e limx→a g(x) = ±∞, dizemos que o
limite lim
x→a
f (x)
g(x)
é uma forma indeterminada do tipo ∞∞ .
Há uma versão da Regra de L’Hôpital que vale para
indeterminações do tipo ∞∞ .
O teorema também vale para limites laterais e para limites no
infinito.
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Regra de L’Hôpital para ∞∞
Teorema
Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I ,
exceto possivelmente em um ponto a ∈ I . Se
limx→a |f (x)| =∞, limx→a |g(x)| =∞, g ′(x) 6= 0 para
x ∈ I \ {a} e limx→a f
′(x)
g ′(x) existe então
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
.
O mesmo vale para os limites laterais, para limites no infinito
e no caso em que limx→a
f ′(x)
g ′(x) = ±∞.
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Exemplo 1
Calcule lim
x→∞
2x2 + 3x − 1
3x2 − 2x + 2
.
Trata-se de uma forma indeterminada ∞∞ .
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→∞
2x2 + 3x − 1
3x2 − 2x + 2
= lim
x→∞
4x + 3
6x − 2
= lim
x→∞
4
6
=
2
3
.
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Outras formas indeterminadas
Podemos utilizar a Regra de L’Hôpital para resolver outras
indeterminações se transformando-as em indeterminações da
forma 00 e
∞
∞ .
Se limx→a f (x) = 0 e limx→a g(x) =∞ então
limx→a f (x) · g(x) é uma indeterminação da forma 0 · ∞.
Fazendo
lim
x→a
f (x) · g(x) = lim
x→a
f (x)
1
g(x)
= lim
x→a
g(x)
1
f (x)
reduzimos aos casos 00 e
∞
∞ , o que for mais conveniente para a
solução do exerćıcio.
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Exemplo 2
Calcule o limite lim
x→∞
x tan
1
x
.
Pela continuidade da função tangente,
limx→∞ tan
1
x = tan limx→∞
1
x = tan 0 = 0. Portanto,
limx→∞ x tan
1
x é uma forma indeterminada do tipo 0 · ∞.
Uma solução é a seguinte:
lim
x→∞
x tan
1
x
= lim
x→∞
tan 1x
1
x
= lim
x→∞
− 1
x2
sec2 1x
− 1
x2
= lim
x→∞
sec2
1
x
= sec2 0 = 1 .
Em que transformamos o limite dado em uma forma
indeterminada 00 e aplicamos a Regra de L’Hôpital.
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Indeterminação ∞−∞
Se limx→a f (x) =∞ e limx→a g(x) =∞ então limx→a f (x)− g(x)
é uma indeterminação da forma ∞−∞.
Fazendo
lim
x→a
f (x)− g(x) = lim
x→a
1
g(x) −
1
f (x)
1
f (x)g(x)
reduzimos ao caso 00 .
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Exemplo 3
Calcule o limite lim
x→0+
(
1
sen x
− 1
x
)
.
Como limx→0+
1
sen x =∞ e limx→0+
1
x =∞, temos uma
forma indeterminada do tipo ∞−∞.
Mas
lim
x→0+
(
1
sen x
− 1
x
)
= lim
x→0+
x − sen x
x sen x
que é uma forma indeterminada 00 .
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0+
x − sen x
x sen x
= lim
x→0+
1− cos x
sen x + x cos x
= lim
x→0+
sen x
cos x + cos x − x sen x
= lim
x→0+
sen x
2 cos x − x sen x
=
0
2
= 0 .
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