AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (67)

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MA22 - Unidade 21 - Parte 1
Outras técnicas de integração
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
21 de junho de 2013
Integrais Impróprias
Definição
Seja f uma função cont́ınua tal que [a, +∞) ⊂ Dom(f ). Considere
F : [a, +∞) −→ R a primitiva de f definida por
F (t) =
∫ t
a
f (x) dx. Definimos
∫ +∞
a
f (x) dx := lim
t→+∞
∫ t
a
f (x) dx = lim
t→+∞
F (t)
e chamamos este limite de integral imprópria de f sobre o intervalo
[a, +∞). Se o limite for um número, diremos que a integral
imprópria converge.
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Exemplo 1
A função f : R −→ R, definida por f (x) = 1
1 + x2
admite a
função F (x) = arctan x como uma primitiva.
pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos∫ t
0
1
1 + x2
dx = arctan t
que corresponde à área da figura a seguir.
t
Se tomarmos o limite de F (t) = arctan t, para t → +∞,
obtemos:
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx = lim
t→+∞
arctan t =
π
2
.
Podemos interpretar que a área da região entre f e o eixo Ox ,
sobre todo o intervalo [0, +∞) é π
2
.
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Definição
Definição
Sejam g e h funções cont́ınua tais que (−∞, a] ⊂ Dom(g) e
Dom(h) = R. Analogamente, definimos∫ a
−∞
g(x) dx := lim
t→−∞
∫ a
t
g(x) dx
∫ +∞
−∞
h(x) dx := lim
t→−∞
∫ 0
t
h(x) dx + lim
s→+∞
∫ s
0
h(x) dx
as respectivas integrais impróprias de g sobre o intervalo (−∞, a] e
de h sobre a reta real.
Diremos que as integrais impróprias convergem caso cada um dos
limites envolvidos existir.
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Observação
No caso da integral definida sobre toda a reta real, devemos
analisar cada limite independentemente.
Exemplo: Apesar de
lim
t→+∞
∫ t
−t
sen x dx = lim
t→+∞
(− cos t + cos(−t)) = 0,
a integral imprópria
∫ +∞
−∞
sen (x) dx não converge.
Por exemplo:
lim
s→+∞
∫ s
0
sen x dx = lim
s→+∞
(− cos s + 1),
que não existe.
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Exemplo 2
As integrais impróprias
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx e
∫ −2
−∞
1
(1 + x)2
dx
convergem.
No primeiro caso, já calculamos lim
t→+∞
∫ t
0
1
1 + x2
dx =
π
2
.
Analogamente, lim
s→−∞
∫ 0
s
1
1 + x2
dx =
π
2
. Portanto,
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx =
π
2
+
π
2
= π.
No segundo caso, como
∫
1
(1 + x)2
dx = − 1
1 + x
+ C ,
temos∫ −2
−∞
1
(1 + x)2
dx = lim
t→−∞
∫ −2
t
1
(1 + x)2
dx = lim
t→−∞
(
1+
1
1 + t
)
= 1.
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