AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (69)

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MA22 - Unidade 22 - Parte 1
Aplicações da integral – Volumes
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
21 de junho de 2013
Volumes de sólidos de revolução
Seja f : [a, b] −→ R uma função cont́ınua tal que f (x) ≥ 0, para
todo x ∈ [a, b]. Consideraremos o sólido de revolução obtido pela
rotação da região limitada pelo eixo Ox e pelo gráfico de f , em
torno do eixo Ox .
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Considere a partição a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
do intervalo [a, b] e escolha um ponto ξi ∈ [xi−1, xi ].
O volume do cilindro de raio f (ξi ) e altura ∆xi = xi − xi−1 é
∆Vi = π
[
f (ξi )
]2
∆xi .
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A soma desses volumes,
n∑
i=1
∆Vi =
n∑
i=1
π
[
f (ξi )
]2
∆xi ,
é uma soma de Riemann.
Tomando partições mais e mais finas, os cilindros empilhados
formam um sólido que aproxima cada vez mais com o sólido
de revolução original.
Como a função f é cont́ınua, a função g(x) = π
[
f (x)
]2
também é cont́ınua. Podemos então estabelecer a definição a
seguir.
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Definição
Definição
O volume V do sólido obtido pela revolução da região sob o gráfico
da função cont́ınua, positiva, f : [a, b] −→ R em torno do eixo Ox é
V = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
π
[
f (ξi )
]2
∆xi =
∫ b
a
π
[
f (x)
]2
dx .
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Exemplo 1 - Volume de uma esfera
Para obter o volume da esfera, basta considerar
f (x) =
√
r2 − x2 ≥ 0
definida no intervalo [−r , r ].
Nesse caso,
V =
∫ r
−r
π
(√
r2 − x2
)2
dx = π
∫ (
r2 − x2
)2
dx
= π
(
r2x − x
3
3
)∣∣∣∣∣
r
−r
= π
(
r3 − r
3
3
+ r3 − r
3
3
)
=
4πr3
3
.
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Volume de um toro
Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox
do conjunto
R = { (x , y) ∈ R | x2 + (y − 2)2 ≤ 1 , }.
Ao girarmos esse disco de raio 1 e centro em (0, 2) em torno do
eixo Ox obteremos um sólido cuja superf́ıcie é chamada de toro e
que lembra uma câmara de ar de um pneu.
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Dividiremos a curva x2 + (y − 1)2 = 1 em duas funções,
ambas sobre o mesmo intervalo, [−1, 1]. A função
f1(x) = 2 +
√
1− x2 tem por gráfico o semićırculo superior,
enquanto a função f2(x) = 2−
√
1− x2 tem por gráfico o
semićırculo inferior.
A integral V1 =
∫ 1
−1
π
[
f1(x)
]2
dx determina o volume do
toro cheio, inclúıdo o buraco.
Já a integral V2 =
∫ 1
−1
π
[
f2(x)
]2
dx determina, precisamente,
o volume do buraco.
V = V1 − V2 é o volume do toro:
V = π
∫ 1
−1
(2 +
√
1− x2)2 dx − π
∫ 1
−1
(2−
√
1− x2)2 dx
= 8π
∫ 1
−1
√
1− x2 dx = 8π π
2
= 4π2.
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