AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (19)

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MA22 - Unidade 17
Exerćıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
3 de junho de 2013
O conceito de integral e suas propriedades básicas
1. Calcule
∫ 1
0
x dx , a área do triângulo retângulo de base [0, 1]
determinado pelo eixo Ox e pelas retas y = x e x = 1 usando
partições homogêneas.
2. Calcule a área da região compreendida pelo eixo Ox , pela reta
definida pela equação x = 1 e pelo trecho da parábola
determinada pela equação y = x2 usando os pontos extremos
inferiores dos subintervalos.
3. Mostre que, dada f : [a, b] −→ R, as correspondentes funções
f+ e f−, definidas por f+(x) = f (x), se f (x) ≥ 0 e f+(x) = 0,
se f (x) < 0, assim como f−(x) = f (x), se f (x) ≤ 0 e
f−(x) = 0, se f (x) > 0, são obtidas diretamente das fórmulas
f+(x) =
1
2
(f (x) + |f (x)|) e f−(x) =
1
2
(f (x)− |f (x)|).
Conclua que, se f for cont́ınua, então f+ e f− são cont́ınuas.
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O conceito de integral e suas propriedades básicas
4. Use partições homogêneas para mostra que o processo
ilustrado no exemplo introdutório, aplicado a função
f : [a, b] −→ R, definida por f (x) = x + 1, na qual a ≥ 0,
resulta na área A =
b2 − a2
2
+ b − a, do respectivo trapézio.
5. Sejam f , g : [−a, a] −→ R, funções tais que f (x) = f (−x) e
g(x) = −g(−x), para todo x ∈ [−a, a], f uma função par e g
uma função ı́mpar. Mostre que∫ a
−a
f (x) dx = 2
∫ a
0
f (x) dx e
∫ a
−a
g(x) dx = 0.
6. Mostre que, se f : [a, b] −→ R é uma função cont́ınua,
positiva e m e M são, respectivamente, seus valores ḿınimo e
máximo em [a, b], então
m (b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ M (b − a).
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O conceito de integral e suas propriedades básicas
7. Mostre que, se f , g : [a, b] −→ R são funções cont́ınuas tais
que f (x) ≥ g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], então∫ b
a
f (x) dx ≥
∫ b
a
g(x) dx .
8. Mostre que, se f : [a, b] −→ R é uma função cont́ınua,
positiva e existe c ∈ [a, b] tal que f (c) > 0, então∫ b
a
f (x) dx > 0.
9. Calcule
∫ b
a
x dx usando partições homogêneas.
10. Calcule
∫ a
−a
(x2 + x + sen x) dx .
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