AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (42)

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MA22 - Unidade 11 - Parte 3
Aproximação linear
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
10 de maio de 2013
Aproximação linear
Aproximação linear é a aplicação da derivada que consiste em
estimar o valor de uma função f (x) próximo a uma ponto x0
usando a reta tangente ao gráfico de f passando por x0.
Se a função f é derivável em x0 então a reta tangente ao gráfico
de f passando por (x0, f (x0)) é a reta
y = L(x) = f (x0) + f
′(x0)(x − x0)
b
b
b
x0
f (x0)
x0 + h
f (x0 + h)
L(x) = f (x0) + f
′(x0)h
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Aproximação linear
Seja R(h) =
f (x0 + h)− f (x0)
h
− f ′(x0).
Se x = x0 + h então
f (x)− L(x) = f (x0 + h)−
(
f (x0) + f
′(x0)h
)
= R(h)h
Como f é derivável em x0:
lim
h→0
R(h) = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
−f ′(x0) = f ′(x0)−f ′(x0) = 0
Portanto, para h próximo a zero, f (x)− L(x) se aproxima de
zero, isto é
f (x) ≈ L(x) = f (x0) + f ′(x0)h ou seja ∆f ≈ f ′(x0)∆x
Quanto menor ∆x , melhor será a aproximação.
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Exemplo 1
Calcule o valor aproximado de
√
102.
Solução:
Se f (x) =
√
x então sabemos que f ′(x) = 1
2
√
x
.
Tomando x0 = 100 e ∆x = 2, temos
f (100 + ∆x) ≈ f (100) + f ′(100)∆x
√
102 ≈
√
100 +
1
2
√
100
· 2 = 10,1
O valor correto até a 4a casa decimal é 10,0995, o que mostra
que a aproximação está correta até a 3a casa decimal.
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Exemplo 2
Use aproximação linear para estimar o valor de 3
√
65.
Solução:
Como 3
√
64 = 4, faremos a aproximação linear em torno de
x0 = 4.
f (x) = 3
√
x =⇒ f ′(x) = 1
3
x−2/3 .
Assim,
f (65) ≈ f (64)+f ′(64)·1 = 3
√
64+
1
3
64−2/3 = 4+
1
48
= 4.0208
Usando uma calculadora, vemos que o valor correto até a 4a
casa decimal é 4, 0207.
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Exemplo 3
Se y = x3 + x + 1, use a aproximação linear para determinar a
variação de y quando x passa de 3 para 3,05.
Solução:
Temos ∆f ≈ f ′(x0)∆x .
Usando a derivada f ′(x) = 3x2 + 1 e fazendo x0 = 3 e
∆x = 0, 05,obtemos:
∆f ≈ (3 · 32 + 1) · 0,05 = 1,4
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