Do Aula 01 - Conjuntos Numéricos - EsPCEx 2023

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EsPCEx 2023 
MATEMÁTICA BÁSICA 
Prof. Ismael Santos 
www.estrategiamilitares.com.br 
AULA 01 
Conjuntos Numéricos 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Sumário 
1.0 Introdução 3 
2.0 Conjuntos Numéricos 3 
2.1 Palavras Iniciais 3 
2.2 Conjuntos Numérico Fundamentais 3 
3.0 Lista De Fixação 27 
3.1. Gabarito 34 
4.0 Lista De Fixação - Comentada 35 
5.0 Questões Nível 1 49 
5.1 Gabarito 62 
6.0 Questões Nível 1 - Comentada 63 
7.0 Questões Nível 2 88 
7.1 Gabarito 96 
8.0 Questões Nível 2 - Comentada 97 
9.0 Referências Bibliográficas 116 
10.0 Considerações Finais 116 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.0 Introdução 
 
 O primeiro dos assuntos é: Conjuntos Numéricos. Por mais que esteja de forma explícita em seu 
edital, é um tópico não muito cobrado de forma explícita. No entanto, é importantíssimo sabermos a 
diferença dos conjuntos numéricos fundamentais. 
 Preparado, futuro ALUNO DA PREP?! Sigamos em frente! 
 “O segredo do sucesso é a constância no objetivo” 
2.0 Conjuntos Numéricos 
 
2.1 Palavras Iniciais 
Na aula de hoje, falaremos de conjuntos, no entanto, com uma particularidade: somente os que 
possuem números como elementos. É de suma importância o entendimento de cada conjunto, bem como 
de suas operações e propriedades, pois serão facilitadores para a realização de determinados problemas. 
Conceitualmente, temos que Conjunto Numérico é uma coleção ou reunião de números. Este 
conjunto não fica caracterizado somente por seus elementos, mas também, pelas operações 
fundamentais e suas propriedades. Fique tranquilo! As definições de cada conjunto serão passadas em 
ordem mais conveniente, ou seja, da mais simples para a mais complexa. 
2.2 Conjuntos Numérico Fundamentais 
Podemos dizer que existem 6 conjuntos numéricos fundamentais, quais sejam: 
ℕ - Naturais 
ℤ - Inteiros 
ℚ - Racionais 
 𝕀 – Irracionais 
 ℝ - Reais 
 ℂ - Complexos 
Ressalto que este último (Conjunto dos Complexos) não será tratado nessa aula, pois não cai na 
sua prova! Vamos agora, analisar um a um dos conjuntos fundamentais citados acima! 
 
a) Conjunto dos Naturais (ℕ) 
 
 
 
 
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 Por definição, temos que é todo conjunto formado por números não negativos e que não possuam 
casas decimais. 
𝑵 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; . . . } 
Você pode estar pensando: “números não negativos não seriam a mesma coisa que números 
positivos?!”. Eu respondo: NÃO, meu querido! Você precisa ter em sempre em mente que o 0 (ZERO) é 
um número nulo, ou seja, não é nem positivo, nem negativo. Assim, quando falamos que o conjunto dos 
naturais é formado por números não negativos. Isso implica dizer que, no conjunto dos naturais, estão 
presentes os números positivos e o zero, por ser nulo. 
Uma outra pergunta bem pertinente seria qual a definição de casas decimais! Bom, aproveito para 
explicar que casa decimais são formadas por algarismos situados após a vírgula. Assim, os números abaixo 
não são exemplos de números naturais: 
1,2 ⟹ uma casa decimal 
3,576 ⟹ três casas decimais 
12,45555. . .⟹ infinitas casas decimais 
Não posso me furtar de passar a você algumas conclusões baseadas nos Axiomas de Peano, 
matemática italiano. 
➢ Todo número natural tem um sucessor. 
➢ Dois números com o mesmo sucessor são iguais. 
➢ Existe um número que não é sucessor de outro. 
➢ O zero (0) é um número natural. 
Aproveitando a deixa (rsrsrs), vou mencionar os conceitos de Números sucessores e 
Antecessores. Gostaria de fazer a seguinte pergunta: qual o sucessor de 1,2? Perceba que 1,2 é um 
número Racional, não natural e inteiro. Por este motivo te leva a um processo infinito de considerações, 
como: seria 1,3? Seria 1,21? Seria 1,201? E assim por diante. Perceba que ficamos sem resposta, tudo pelo 
fato de Números sucessores e Antecessores só existirem dentro dos conjuntos dos naturais e inteiros. 
Assim, deixo aqui uma dica que irá ajudar no processo de descoberta de um sucessor ou antecessor 
de um número inteiro ou natural. 
➢ Sucessor é o que “vem depois”. Basta somar uma unidade ao número original. 
−21 + (+1) ⇒ −20 sucessor 
➢ Antecessor é o que “vem antes”. Basta subtrair uma unidade do número original. 
−21 + (−1) ⇒ −22 antecessor 
 
 
 
 
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 a.1) Subconjuntos dos Naturais (ℕ): 
 Definimos o subconjunto dos números naturais não nulos, único subconjunto fundamental dos 
naturais, por: 
ℕ∗ = {1,2,3,4, . . . } 
 
 a.2) Elementos e Ordenação nos ℕ: 
Deixo registrado, apenas a título de conhecimento, alguns axiomas do conjunto dos Naturais: 
➢ O menor elemento é o zero. 
➢ Todo natural possui um sucessor 
➢ Todo subconjunto não vazio dos ℕ possui um menor elemento. (Princípio da Boa 
Ordenação) 
➢ Dados a, b ∈ ℕ quaisquer, vale somente uma das alternativas: 𝒂 > 𝒃 𝒐𝒖 𝒂 =
 𝒃 𝒐𝒖 𝒂 < 𝒃 (Tricotomia dos Números em ℕ) 
 
 a.3) Operações definidas nos ℕ: 
 São operações bem definidas em ∈ ℕ, adição e multiplicação. Ou seja, ao multiplicarmos ou 
somarmos dois números pertencentes aos ℕ, o resultado será um 3º número também pertencente aos 
ℕ. 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS NATURAIS 
 
Soma 
 
 
2 + 3 = 5 
2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
5 é um número natural. 
 
Produto 
 
2 ∙ 3 = 6 2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
6 é um número natural. 
 
Observando o quadro, podemos concluir que, para uma operação ser de fato fechada nos Naturais, 
quaisquer operações, soma ou multiplicação de naturais, deverá resultar, sempre, num elemento também 
natural. 
 
 
 
 
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Caso, em algum momento, o resultado não retorne um elemento natural, podemos afirmar que 
essa operação não é fechada nos naturais. Como exemplos de operações não fechadas nos naturais, 
podemos citar: subtração e divisão. 
Observe o quadro abaixo: 
OPERAÇÕES NÃO DEFINIDAS NOS NATURAIS 
 
Subtração 
 
 
2 − 3 = −1 
2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
-1 não é um número natural. 
 
Divisão 
 
2 ∶ 3 = 0,666. .. 2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
0,666... não é um número natural. 
 
 a.4) Propriedades das Operações Definidas nos ℕ: 
Podemos destacar 4 propriedades das operações, são elas: comutativa, associativa, elemento 
neutro, distributiva. Vamos entender cada uma delas. 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não 
altera o PRODUTO. 
{
𝑆𝑜𝑚𝑎 ⇒ 2 + 3 = 3 + 2
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 ⇒2 . 3 = 6 
 
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que 
esta operação altere o resultado. 
{
𝑆𝑜𝑚𝑎 ⇒ 2 + (3 + 1) = (2 + 3) + 1
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 ⇒2 . (3 . 5) = (2 . 3) . 5 
 
 
➢ Elemento Neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
{
𝑆𝑜𝑚𝑎 ⇒ 2 + 0 = 2
𝑃𝑟 𝑜 𝑑𝑢𝑡𝑜 ⇒ 2 . 1 = 2
 
 
 
 
 
 
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➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência (em 
destaque) com cada elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
{
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 em Relação à 𝑆𝑜𝑚𝑎 ⇒ 2 . (3 + 1) = (2 . 3) + (2 . 1)
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 em Relação à Subtração ⇒ 2 . (3 − 1) = (2 . 3) − (2 . 1) 
 
 
Essas propriedades são definidas somente nas operações ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. 
Ou seja, não são aplicáveis nas operações subtração e divisão. 
 
Lei do Corte: em uma igualdade, se dois números iguais estiverem em lados opostos, 
é possível o cancelamento, porém, se essa igualdade estiver representando 
operações de multiplicação ou divisão, há a necessidade de que esses números sejam 
não nulos. Veja: 
 
 
Lei Anulamento do Produto: em umproduto de dois ou mais números, se o resultado 
for zero, necessariamente, um deles terá que ser igual a zero. 
 
Veja um exemplo de cada Lei que acabara de ser mencionada. 
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒: 
𝐸𝑥. : 2 + 𝑥 = 2 + 7 
𝑥 = 7 
Outro exemplo, agora, com a multiplicação: 
𝐸𝑥. : 𝑎 ∙ 𝑥 = 7𝑎 
𝑥 = 7 , 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0 
Pensando na Lei do Anulamento, temos: 
𝐸𝑥. : 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 0 
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 ⟹ {
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑧 = 0
 
 
 
 
 
 
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b) Conjunto dos Números Inteiros (ℤ): 
São números que foram criados para representar possíveis dúvidas, temperaturas baixas etc. Por 
definição, temos: é todo conjunto formado pelos números ℕ e seus opostos. 
ℤ = {. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . . } 
 Falando em números inteiros Opostos ou Simétricos, podemos destacar duas formas de 
conceituar, são elas: a algébrica e a geométrica. Observe! 
 
 Na algébrica, números são ditos opostos quando sua soma resultar zero. Veja: 
 
𝑎 + 𝑏 = 0 
 
 Já na geométrica, podemos dizer que números opostos ou simétricos são aqueles números que, 
estando em lados opostos da origem, possuem a mesma distância do zero (origem). Veja: 
 
 
 
 
Destaco também que o conjunto dos Naturais está contido no Conjunto dos números 
Inteiros, ou seja, todos os elementos naturais também são inteiros. Podemos 
representar essa relação de inclusão por meio do Diagrama de Venn. 
 
 
 b.1) Subconjunto dos Inteiros (ℤ): 
ℤ∗ Inteiros não nulos {...-3, -2, -1, 1, 2, 3...} 
ℤ+ Inteiros não negativos {0, 1, 2, 3,...} 
ℤ− Inteiros não positivos {..., -2, -1, 0} 
ℤ+
∗ Inteiros positivos {1, 2, 3,...} 
ℤ−
∗ Inteiros negativos {... -3, -2, -1} 
 
 
 
 
 
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 b.2) Elementos e Ordenação nos ℤ: 
Deixo registrado, apenas a título de conhecimento, alguns axiomas do conjunto dos Naturais: 
➢ Todo elemento ℤ possui um sucessor e um antecessor, logo, este conjunto é infinito, não 
possuindo assim, limite superior ou inferior. 
➢ Dados a, b e ℤ quaisquer, vale somente uma das alternativas: 𝒂 > 𝒃 𝒐𝒖 𝒂 =
 𝒃 𝒐𝒖 𝒂 < 𝒃 (Tricotomia dos Números em ℤ) 
 
b.3) Operações Definidas nos ℤ. 
 São operações bem definidas em ℤ: adição, subtração e multiplicação, ou seja, qualquer destas 
operações utilizando dois ou mais inteiros, o resultado será um 3º número também pertencente ao ℤ . 
 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS INTEIROS 
 
Adição 
 
 
𝟐 + 𝟑 = −𝟏 
2 é um número inteiro. 
3 é um número inteiro. 
-1 é um número inteiro. 
 
Multiplicação 
 
𝟐 . 𝟑 = 𝟔 2 é um número inteiro. 
3 é um número inteiro. 
6 é um número inteiro. 
 
Subtração 
 
 
𝟐 − 𝟑 = −𝟏 
2 é um número inteiro. 
3 é um número inteiro. 
-1 é um número inteiro. 
 
 
 
 Já a operação divisão não é fechada em ℤ, pois nem toda divisão de naturais resulta um número 
natural. Cabe ressaltar que, para fazer essa análise, a divisão deverá ser possível, ou seja, o divisor 
(denominador) não poderá ser nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
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 b.4) Propriedade das Operações nos ℤ: 
Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, distributiva. 
 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas ou dos fatores não alteram o resultado da SOMA ou 
PRODUTO. 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎 
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que 
esta operação altere o resultado. 
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 
𝑎 . (𝑏 . 𝑐) = (𝑎 . 𝑐) . 𝑐 
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
𝑎 + 0 = 𝑎 
𝑎 . 1 = 𝑎 
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com 
cada elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
𝑎 . (𝑏 ± 𝑐) = 𝑎. 𝑏 ± 𝑎. 𝑐 
 
 
Estas propriedades são definidas somente nas operações ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
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Na operação divisão, alguns nomes novos aparecem, bem como algumas definições. Destaco, abaixo, as 
principais: 
 
𝑫 = 𝒅 ∙ 𝒒 + 𝒓 ⟹ 𝟕 = 𝟑 ∙ 𝟐 + 𝟏 
 
𝟎 ≤ 𝒓 ≤ |𝒅 − 𝟏| ⟹ 𝟎 ≤ 𝟏 ≤ |𝟑 − 𝟏| 
 
𝒓 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔ã𝒐 𝒆𝒙𝒂𝒕𝒂 
 
𝒓 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔ã𝒐 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒕𝒂 
 
c) Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 É o conjunto formado por todos os números que possam ser escritos sob a forma de fração, 
em que cada terno é um número inteiro, com denominador não nulo. Por definição, temos: 
ℚ = {
𝑎
𝑏
/𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ∗} mdc (a;b) = 1 
 
𝐸𝑥.: 
1
2
 ; 
3
11
 ; 0,67 ; 0,9999… ; 2 ; −3 ; 0 
É fácil constatar que o conjunto do Naturais está contido no conjunto dos Inteiros, bem como este 
está contido no conjunto dos Racionais. Ou seja: 
 
 
 
 
 
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Fração: nada mais é que a divisão (quociente) entre duas grandezas. 
 
𝒂
𝒃
{
𝒂 ⇒ 𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 ou A𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂/𝒃 ⇒ 𝑭𝒓𝒂çã𝒐
𝒃 ⇒ 𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 ou Consequente
 
 
 c.1) Classificação das frações 
➢ Fração própria: Numerador menor que o denominador. 
𝑎
𝑏
; a < b Ex.: 
1
2
 
 
➢ Fração imprópria: Numerador maior que o denominador. 
𝑎
𝑏
; a > b Ex.: 
3
2
 
 
➢ Fração decimal: Denominador igual a potências de 10. 
𝑎
10𝑛
; n ∈ ℕ∗ Ex.: 
3
100
 
 
➢ Fração Ordinária: Quando não for fração decimal. 
𝑎
𝑏
; b ≠ 10𝑛 Ex.: 
4
5
 
 
 
 
 
 
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➢ Fração aparente: Quando a fração for redutível a um inteiro qualquer não nulo. 
𝑎
𝑏
; a = b . k sendo k ∈ ℤ Ex.: 
12
3
=
3.4
3
= 4 
 
➢ Frações equivalentes: São frações que possuem o mesmo valor. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 Ex.: 
2
3
 e 
4
6
 
 
➢ Frações homogêneas: São frações com denominadores iguais. 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 Ex.: 
2
5
 e 
7
5
 
 
➢ Frações heterogêneas: São frações com denominadores diferentes. 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 Ex.: 
2
5
 e 
8
9
 
 
➢ Fração mista ou número misto: Quando possui uma parte inteira e outra fracionária, sendo 
esta, fração própria. 
𝑎
𝑏
𝑐
 ; b < c ∧ 𝑎, 𝑐 ∈ ℤ∗ Ex.: 2
1
3
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo com a fração mista: pega-se o denominador, multiplica-se pela parte inteira, soma-se ao 
numerador. Quando estiver diante deste tipo de fração, basta imaginar que entre a parte inteira e a 
fracionária está implícito o sinal de adição! 
2
1
3
⇒ 2 +
1
3
⇒
2.3 + 1
3
⇒
7
3
 
➢ Fração irredutível: São frações em que os números que a compõe são primos entre si, ou 
seja, não possuem fatores em comum, logo seu Máximo Divisor Comum deverá ser igual a 
um (1). 
𝑎
𝑏
 ; mdc (a ; b) = 1 Ex.:
3
7
 
 
 
Lembro que, em todos os exemplos acima, os denominadores precisam ser diferentes de ZERO. 
 
Segue agora um tópico bastante importante no que tange a números racionais: comparação de frações. 
Meu, querido! Pare tudo! A dica que darei de comparação entre frações, há grande chances de cair na 
sua prova, então, não perca nenhum detalhe! 
 
 
1º SITUAÇÃO: Com denominadores iguais (Será maior aquela com MAIOR numerador) 
 
Ex.: 
𝟒
𝟓
 > 
𝟑
𝟓
 
 
2º SITUAÇÃO: Com numeradores iguais (Será maior aquela com MENOR denominador) 
 
Ex.: 
𝟕
𝟑
 > 
𝟕
𝟓
 
 
3º SITUAÇÃO: Com numeradores e denominadores diferentes. Basta igualar os numeradores ou os 
denominadores, e, assim, seguir o caminho da situação 1 ou 2. 
 
Ex.: 
3
2
 e 
5
3
⇒
9
6
 < 
10
6
, assim: 
5
3
 > 
3
2
 
 
 
 
 
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 c.2) Subconjunto dos ℚ:ℚ∗ Racionais não nulos 
ℚ+ Racionais não negativos 
ℚ−Racionais não positivos 
ℚ+
∗ Racionais positivos 
ℚ−
∗ Racionais negativos 
 
 c.3) Operações Definidas nos ℚ: 
 São operações definidas nos Racionais: adição, subtração, multiplicação e divisão (quando 
possível a divisão). Ou seja, qualquer destas operações entre dois ou mais números pertencentes aos ℚ, 
o resultado será um 3º número também pertencente aos ℚ. 
 Como nos conjuntos numéricos anteriores, trago uma tabela para facilitar a compreensão, ok? 
 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS RACIONAIS 
 
Adição 
 
 
1/2 + 3 = 7/2 
1/2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
7/2 é um número racional. 
 
Multiplicação 
 
2 . 3 = 6 2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
6 é um número inteiro. 
 
Subtração 
 
 
2 – 1/2 = 3/2 
2 é um número racional. 
1/2 é um número racional. 
3/2 é um número racional. 
 
Divisão 
 
2 ∶ 3 = 0,666. .. 2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
0,666... é um número racional. 
 
 
 
 
 
 
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Todas as operações fundamentais são definidas no conjunto dos números Racionais. 
 
 c.4) Propriedades das Operações nos ℚ. 
Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, distributiva. 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não 
altera o PRODUTO. 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
 
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
⋅
𝑎
𝑏
 
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que 
esta operação altere o resultado. 
𝑎
𝑏
+ (
𝑐
𝑑
+
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
) +
𝑒
𝑓
 
𝑎
𝑏
⋅ (
𝑐
𝑑
⋅
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
) ⋅
𝑒
𝑓
 
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
𝑎
𝑏
+ 0 =
𝑎
𝑏
 
𝑎
𝑏
⋅ 1 =
𝑎
𝑏
 
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com 
cada elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
𝑎
𝑏
⋅ (
𝑐
𝑑
±
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
) ± (
𝑎
𝑏
⋅
𝑒
𝑓
) 
 
 
 
 
 
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Elemento Inverso, Inverso Multiplicativo ou Oposto Multiplicativo ⟹ 𝒂−𝟏, para 𝒂 ≠ 𝟎 
 
 c.5) Operações com frações (em ℚ) 
 
➢ Adição/Subtração 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
⇒
𝑎. 𝑑 ± 𝑏. 𝑐
𝑏. 𝑑
⇒ Assim ⇒
3
2
+
7
5
⇒
3.5 + 7.2
10
⇒
29
10
= 2,9 
 
➢ Multiplicação 
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
⇒
𝑎. 𝑐
𝑏. 𝑑
⇒ Assim ⇒
2
3
.
4
5
⇒
2.4
3.5
=
8
15
 
 
➢ Divisão 
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
⇒
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
=
𝑎. 𝑑
𝑏. 𝑐
⇒ Assim ⇒
1
2
:
3
5
⇒
1
2
. (
3
5
)
−1
⇒
1
2
.
5
3
=
5
6
 
 
 
Um tema bastante atual em certames militares é a tal da Soma Telescópica. Esse nome 
estranho, nada mais é que a unidade que fica dividida pelo produto de dois números 
naturais consecutivos. Assim, temos que:∀𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 , vale a fórmula: 
 
 
 
 
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1
𝑛(𝑛 + 1)
=
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
 
 
 c.6) Dízimas Periódicas 
A palavra dízima possui um caráter amplo, que pode ser subdividida em: 
 
Existem diversas formas de representação da dízima periódica, segue algumas delas: 
Algumas nomenclaturas importantes: 
 
 
 
 
 
Dízimas
Periódicas
Simples
Compostas
Não 
Periódicas
Irracional
Dízmia Periódica 
Simples
1,666...
1 : parte inteira
6 : período (algarismo que 
se repete)
0,272727...
0,(27)
0,[27]
0,27
 
 
 
 
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 Passaremos agora a analisar algumas especificidades das frações. Vamos nessa?! 
➢ Decimais exatos 
Irá ocorrer somente se o denominador da fração aparecer fatores 2 ou 5. A quantidade de casas 
decimais será igual a quantidade do maior expoente dentre esses fatores. 
27
16
=
27
24
= 1, 6875 ⇒ quatro casas decimais 
23
20
=
23
22. 51
= 1, 15 ⇒ duas casas decimais 
➢ Dízimas periódicas Simples (D.P.S) 
 Irá ocorrer quando no denominador da fração aparecer fatores primos diferentes de 2 e 5. 
11
23
⇒ o denominador não possui em sua fatoração os fatores 2 ou 5 
➢ Dízima periódica composta (D.P.C) 
 Irá ocorrer quando o denominador da fração ordinária possuir ao menos um dos fatores 2 ou 5 
com mais qualquer fator primo diferente destes. A quantidade de casas do ante período será igual ao 
maior expoente de um dos fatores 2 ou 5. 
18
55
=
18
51. 111
= 0, 32727. . .⇒ uma casa no aperíodo 
 
7
12
=
7
22. 3
= 0, 58333. . .⇒ duas casas no aperíodo 
Dízmia Periódica 
Composta
1,76363...
1 : parte inteira
63 : período (algarismos 
que se repetem)
7 : aperído ou parte 
aperiódica
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Cabe ressaltar que toda dízima periódica possui uma fração geratriz, fração que dá origem à 
dízima periódica. Assim, torna-se muito importante sabermos encontrar o número racional que deu 
origem a determinada dízima periódica. Vamos então aprender o Método Algébrico para encontrar a 
fração geratriz (nada mais é que a fração ordinária que gera uma dízima periódica). 
1° Exemplo: 
𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 =
𝒂
𝒃
= 𝒙 ∴
{
 
 
𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . (. 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝒙 = 𝟑, 𝟑𝟑𝟑.
𝟗𝒙 = 𝟑 ∴ 𝒙 =
𝟑
𝟗
∴
𝟏
𝟑
 
2° Exemplo: 
𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝟓. . . =
𝒂
𝒃
= 𝒙 ∴
{
 
 
 
 
𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝟓. . . (. 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝒙 = 𝟏, 𝟓𝟓𝟓. . . (. 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟓𝟓𝟓. . .
𝟗𝟎𝒙 = 𝟏𝟒 ∴ 𝒙 =
𝟏𝟒
𝟗𝟎
∴
𝟕
𝟒𝟓
 
3° Exemplo: 
𝟏, 𝟓𝟐𝟐𝟐. . . =
𝒂
𝒃
= 𝒙 ∴
{
 
 
 
 
𝒙 = 𝟏, 𝟓𝟐𝟐𝟐. . . (. 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟐𝟐𝟐. . . (. 𝟏𝟎)
𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟏𝟓𝟐, 𝟐𝟐𝟐. . .
𝟗𝟎𝒙 = 𝟏𝟑𝟕 ∴ 𝒙 =
𝟏𝟑𝟕
𝟗𝟎
 
 
 
Vamos aprender agora um método alternativo ao algébrico para que possamos encontrar a fração 
algébrica. 
Esse método faz a conta ser bem mais simples e rápida, porém, ressalto a importância de aprender 
o método anterior. 
Assim, vamos a um exemplo de cada espécie das dízimas periódicas. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
➢ Dízima periódica simples (DPS): 
𝐷𝑃𝑆.: 
{
Nº - parte inteira
999…9⏟ 
Tantos alg. 9 quantos forem os alg. do período.
⇒
𝑎
𝑏
(Fração Geratriz) 
 
 
⇒ 0,1111. . . =
01 − 0
9
=
1
9
 
 
⇒ 10,3434. . . =
1034 − 10
99
=
1024
99
 
 
➢ Dízima periódica simples (DPC): 
𝐷𝑃𝐶. :
{
 
 
 
 
Nº - (parte inteira + aperíodo )
999…9000…0⏟ 
Tantos alg. 9 quantos forem os alg. do período e
tantos açg. 0 quantos forem os alg. do aperíodo.
⇒
𝑎
𝑏
(Fração Geratriz) 
⇒ 0, 83636. . . =
0836 − 08
990
=
828
990
 
⇒ 3, 407666. . . =
34076 − 3407
90000
=
30669
9000
 
 
Mais um tema muito importante e recorrente nos cálculos das questões de prova! Saber 
arredondar números decimais, quando solicitado, é de suma importância. Assim, vou passar a você as 
técnicas algébricas de arredondamento. Simbora?! 
 
 
➢ Se o algarismo a ser abandonado for > 5, soma-se 1 ao algarismo à esquerda dele. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
7,13𝟖 ≅ 7,14 
 
➢ Se o algarismo a ser abandonado for < 5, mantém-se o algarismo à esquerda dele. 
4,17𝟑 ≅ 4,17 
 
➢ Caso seja igual a 5; 
1ª situação: se o algarismo à esquerda do 5 for par, então este algarismo se mantém. 
7,1𝟔5 ≅ 7,16 
 
2ª situação: se o algarismo à esquerda do 5 for ímpar, então a este algarismo soma-se uma 
unidade. 
7,1𝟕5 ≅ 7,18 
 
É importante destacar o resultado do Produto de Fatores Racionais entre 0 e 1. 
 
Imaginemos dois números racionais a e b entre 0 e 1: 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 e 𝟎 < 𝒃 < 𝟏. A partir 
destes dados, podemos afirmar que: 
 
⇒ {
𝑎 < 𝑏 < 1
0 < 𝑎 < 𝑏
𝑎 < 𝑏
𝑎 . b < a
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
0,2 . 0,3 = 0,06 < 0,2 ∧ 0,06 < 0,3 
 
d) Conjunto dos Números Irracionais(𝕀) 
 São números que não podem ser expressos por meio de fração racional, ou seja, por divisão 
de dois números inteiros, sendo o denominador diferente de zero. Cabe ressaltar que os números 
irracionais são representados por dízimas aperiódicas (ou seja, não possuem geratriz). 
{
√2 = 1,4142. . . ⇒ raiz quadrada de 2
𝜋 = 3,1415... ⇒ razão entre comprimento e diâmetro de uma circunferêmcia
√3 = 1,7320... ⇒ raiz quadrada de 3
 
 
 
Simbologia Equivalente: existem algumas simbologias que representam o mesmo conjunto irracional. 
Veja! 
𝑄 ≡ 𝑄′ ≡ 𝑄𝑐 ≡~𝑄 ≡ 𝛪 ≡ ¬𝑄 
 
Qualquer raiz de um número inteiro, que retorne num valor inexato (não complexo, 
claro), será classificada como número irracional. 
 
 d.1) Subconjunto dos 𝕀 
𝕀 - Irracionais Negativos 
𝕀 + Irracionais Positivos 
 
 d.2) Operações definidas nos 𝕀 
 No universo dos Irracionais, nenhuma operação é fechada, pois, qualquer uma delas, ainda 
que operada por números Irracionais, o resultado poderá ser um número Racional. Vejamos alguns 
exemplos: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
Adição ⇒ √2 + (−√2) = 0 
Subtração ⇒ 2√2 − 2√2 = 0 
Multiplicação ⇒ √2. √2 = 2 
Divisão ⇒
√2
√2
= 1 
 
e) Conjunto dos Números Reais (ℝ) 
 É a reunião entre os ℚ ∪ �̅� = ℝ, ou seja, reúne os racionais e os irracionais 
 
{
ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ
ℝ ⊃ 𝛪
 
 e.1) Reta Real 
 Cada número real pode ser representado por um ponto na reta, que é um eixo orientado 
onde os números mais à direita são maiores que os números mais à esquerda. 
 
 
 
 e.2) Subconjunto dos ℝ 
ℝ * Reais não nulos 
ℝ + Reais não negativos 
ℝ - Reais não positivos 
ℝ+
∗ Reais positivos 
ℝ−
∗ Reais negativos 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 e.3) Propriedades nos ℝ: 
Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, distributiva. 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não altera 
o PRODUTO. 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
 
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
⋅
𝑎
𝑏
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que esta 
operação altere o resultado. 
𝑎
𝑏
+ (
𝑐
𝑑
+
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
) +
𝑒
𝑓
 
𝑎
𝑏
⋅ (
𝑐
𝑑
⋅
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
) ⋅
𝑒
𝑓
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado original. 
𝑎
𝑏
+ 0 =
𝑎
𝑏
 
𝑎
𝑏
⋅ 1 =
𝑎
𝑏
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com cada 
elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
𝑎
𝑏
⋅ (
𝑐
𝑑
±
𝑒
𝑓
) = (
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
) ± (
𝑎
𝑏
⋅
𝑒
𝑓
) 
 
 e.4) Operações definidas nos ℝ 
 Todas as operações são definidas nos ℝ. É claro que, para uma fração existir, há a necessidade 
de a divisão 
𝑎
𝑏
 deve ser possível, ou seja, b ≠ 0. 
Vejamos exemplos destas operações definidas nos reais. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
{
 
 
 
 Adição ⇒ √2 + (3 − 2√2) = 3 − √2
Subtração ⇒ √2 − 2√2 = −√2
Multiplicação ⇒ 3√3 ⋅
1
3
= √3
Divisão ⇒
2
√2 − 1
=
2
√2 − 1
⋅
√2 + 1
√2 + 1
=
2(√2 + 1)
2 − 1
= 2(√2 + 1)
 
 
 
Oposto aditivo ou Inverso Aditivo são conceitos sinônimos de Simétrico. Assim, temos 
como exemplo: 2 e -2 são números opostos aditivos. 
Podemos dizer ainda que Números Opostos são, sob o conceito algébrico, números 
que ao serem somados resultam ZERO. 
 
 e.5) Módulo de um Número Real 
- Definição Geométrica: Para∀ x ∈ ℜ, o módulo de x - |𝑥|- representa a distância de x até a origem 
da reta real. Assim: 
 
⇒ |3| = 3 
⇒ |−3| = 3 
⇒ |0| = 0 
- Definição Algébrica: o módulo de um número será igual a ele mesmo, se esse número for positivo 
ou nulo. No entanto, será igual ao seu simétrico se for negativo. Segue um esquema abaixo para facilitar 
o entendimento. 
|𝑥| {
𝑥; 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0; 𝑝/𝑥 = 0
−𝑥; 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
⇒ |7| = 7 
⇒ |−8| = 8 
⇒ |3,12| = 3,12 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Bom! Chegamos ao fim da nossa aula. Guarde cada informação passada neste livro eletrônico. 
Toda teoria vista até aqui será de grande valia em momento posterior. 
Sem mais, vamos observar como este tema cai em prova? Vamos nessa! 
 
3.0 Lista De Fixação 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação ao conjunto dos números 
naturais, assinale a alternativa correta acerca do número 10: 
a) É um número ímpar 
b) Seu antecessor é um número ímpar 
c) Seu sucessor é o número 12 
d) Seu sucessor é um número par 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
assinale a alternativa correta 
a) No conjunto dos naturais, é sempre possível efetuar adição, subtração e multiplicação 
b) O conjunto dos naturais está contido no conjunto dos reais 
c) 𝟎, 𝟑𝟑𝟑… pertence ao conjunto dos números irracionais 
d) 𝟎, 𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐… é uma dízima periódica composta 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Calcule o valor da função geratriz de 
𝟎, 𝟑𝟒𝟕𝟒𝟕𝟒𝟕…: 
a) 
𝟑𝟒𝟕
𝟏𝟎𝟎
 
b) 
𝟑𝟒𝟕
𝟗𝟗𝟗
 
c) 
𝟑𝟒𝟕
𝟗𝟗𝟎
 
d) 
𝟏𝟕𝟐
𝟒𝟗𝟓
 
 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
assinale a alternativa correta 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos números irracionais 
e dos números inteiros 
b) No conjunto dos números inteiros, é sempre possível efetuar adição, subtração, 
multiplicação e divisão. 
c) Temos que |𝒓| = 𝒓 para todo r positivo. 
d) Na reta real orientada, a distância entre A e B pode ser escrita como a diferença entre a 
coordenada do ponto A e a coordenada do ponto B 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa que corresponde 
ao conjunto 𝑺 = {𝒙 ∈ ℕ| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐}: 
a) {−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏} 
b) {−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} 
c) {−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} 
d) {𝟎, 𝟏} 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sobre intervalo dos números reais, 
assinale a alternativa correta: 
a) 𝟐 ∈]𝟐, 𝟒] 
b) 𝟐𝟒 ∈ [𝟎, 𝟑𝟎] 
c) {𝟐, 𝟓} ⊂ (𝟏, 𝟓) 
d) {√𝟐,√𝟔} ⊂ [𝟐, 𝟏𝟎] 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa que indica a 
notação para o seguinte intervalo representado na reta real: 
 
a) ]𝟏, 𝟕] 
b) [𝟏, 𝟕[ 
c) [𝟏, 𝟕] 
d) ]𝟏, 𝟕[ 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado dois conjuntos, 𝑨 = {𝒙 ∈ ℤ| −
𝟏𝟎 < 𝒙 < 𝟔} e 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ|𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐𝟒}. Dessa forma, assinale a alternativa que corresponde a 𝑨 ∩
𝑩: 
a) { } 
b) {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
c) {𝟑, 𝟒, 𝟓} 
d) {𝟒, 𝟓, 𝟔} 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado que 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 e 𝟐𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟔, 
marque a alternativa que corresponde ao valor máximo de 
𝒚
𝒙
: 
a) 21 
b) 28 
c) 36 
d) 42 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado que 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 e 𝟐𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟔, 
marque a alternativa que corresponde ao valor mínimo de 
𝒚
𝒙
: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
marque a alternativa correta: 
a) −
𝟔
𝟐
 ∉ ℤ 
b) Como o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, 
então o conjunto dos números naturais é finito. 
c) (𝟐𝟑 − 𝟏𝟓) ∈ ℕ 
d) √𝟏𝟔 ∉ ℤ 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos)- Sabendo que a soma de 5 sucessores 
de um número natural é igual a 135. Assinale a alternativa que indica corretamente esse número: 
a) 23 
b) 24 
c) 25 
d) 26 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa correta: 
a) Todo número natural é inteiro, assim como todo número real é inteiro. 
b) Toda raiz quadrada pertence ao conjunto dos números irracionais. 
c) Toda dizima periódica pertence ao conjunto dos números racionais. 
d) Toda divisão entre números inteiros pertence ao conjunto dos inteiros. 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sobre o conjunto dos números 
irracionais, assinale a alternativa correta: 
a) A soma entre dois números irracionais sempre estará contida no conjunto dos números 
irracionais. 
b) O produto entre dois números irracionais sempre estará contido no conjunto dos números 
irracionais. 
c) O conjunto dos números inteiros está contida no conjunto dos números irracionais. 
d) Ao elevar um número irracional a um expoente natural, nem sempre estará contido no 
conjunto dos números irracionais. 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Indique a alternativa correta: 
a) −𝟗 ∈ 𝒁+ 
b) 𝟎 ∈ 𝒁∗ 
c) (𝟏𝟏 − 𝟏𝟕) ∈ 𝒁− 
d) 𝒁+
∗ ∪ 𝒁−
∗ = 𝒁 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja √𝟐, 𝟐, 𝝅,
𝟏𝟓
𝟗
, marque a alternativa 
que indica corretamente a ordem crescente dos números: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) √𝟐 < 𝟐 < 𝝅 <
𝟏𝟓
𝟗
 
b) 𝟐 < √𝟐 < 𝝅 <
𝟏𝟓
𝟗
 
c) 𝝅 < √𝟐 <
𝟏𝟓
𝟗
< 𝟐 
d) √𝟐 <
𝟏𝟓
𝟗
< 𝟐 < 𝝅 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Analisando as opções, assinale a que 
corresponde ao conjunto ℤ: 
a) ℤ ∪ (ℚ ∩ ℝ) 
b) (ℝ\ℚ) ∩ ℕ 
c) (ℝ ∪ ℤ) ∩ (ℕ ∩ ℚ) 
d) (ℝ ∪ ℚ) ∩ (ℕ ∪ ℤ) 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Seja x e y números reais tais que 𝒙 =
(𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓)𝟎,𝟕𝟓 e 𝒚 = (𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕… )𝟎,𝟑𝟑𝟑…. Com isso, temos que 
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚
 é igual a: 
a) Um número natural 
b) Um número inteiro negativo 
c) Um número irracional 
d) Uma dízima periódica 
 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado dois conjuntos 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ| −
𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒} e 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ∗| − 𝟐 < 𝒙 < 𝟔}. Com isso, temos que 𝑨 ∩ 𝑩 é: 
a) {−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
b) {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
c) {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
d) {−𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo −𝟓 ≤ 𝒙 < −𝟏 e 𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒, 
então assinale a alternativa que possui o intervalo no qual 𝒙 × 𝒚 sempre estará contido: 
a) ] − 𝟏𝟎,−𝟒[ 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) [−𝟏𝟎,−𝟐[ 
c) [−𝟐𝟎,−𝟐[ 
d) ] − 𝟐𝟎,−𝟐[ 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dados os conjuntos 𝑨 = [𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ e 
𝑩 =]𝟏, 𝟏𝟑], então assinale a alternativa que corresponde ao intervalo formado por 𝑨 − 𝑩: 
a) [𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ 
b) [𝟏𝟑, 𝟐𝟒[ 
c) ]𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ 
d) ]𝟏𝟑, 𝟐𝟒[ 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo 𝒏 um número natural, 𝒛 um 
número inteiro, 𝒒 um número racional e 𝒓 um número irracional. Então, podemos afirmar que: 
a) 𝒏 × 𝒛 é um número natural 
b) 𝒒 + 𝒓 é um número irracional 
c) 𝒏 × 𝒓 é um número irracional 
d) 𝒓𝟐 é um número irracional 
 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dados os conjuntos 𝑨 =
{𝒙 ∈ ℝ|𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕}, 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟓 < 𝒙 < 𝟒}. Com isso, assinale a 
alternativa que contém a afirmativa correta: 
a) (𝑨 ∪ 𝑪) ∩ 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 < 𝟒} 
b) 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟑 < 𝒙 < 𝟒} 
c) (𝑨 ∩ 𝑩) − 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕} 
d) (𝑩 − 𝑨) ∩ 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟑} 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo 𝒏 um número natural, 𝒂 o 
antecessor de 𝒏 e 𝒔 o sucessor de 𝒏. Assinale a opção que corresponde ao valor da equação: 
𝒔 + 𝟐𝒏 + 𝒂
𝒔 + 𝒂
 
a) 1 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) 2 
c) 𝒏 
d) 𝒏 + 𝟏 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja 𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟎𝟒𝟏𝟎𝟒𝟏… e 𝒚 =
𝟎, 𝟏𝟐𝟗𝟏𝟐𝟗𝟏𝟐𝟗…, determine o valor da expressão 
−𝒙−𝒚+𝟏
𝒙+𝒚
: 
a) 
𝟖𝟐𝟗
𝟏𝟕𝟎
 
b) 
𝟏𝟕𝟎
𝟖𝟐𝟗
 
c) 𝟏 
d) 
𝟖𝟐𝟗
𝟗𝟗𝟗
 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja 𝒂 =
𝟏+√𝟓
𝟐
, 𝒃 =
𝟐√𝟓−𝟏
𝟐
 e 𝒄 =
√𝟏𝟐𝟓
𝟓
, 
assinale a alternativa correta: 
a) 𝒃 > 𝒄 > 𝒂 
b) 𝒂 > 𝒃 > 𝒄 
c) 𝒄 > 𝒃 > 𝒂 
d) 𝒃 > 𝒂 > 𝒄 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Assinale a opção que corresponde a um número irracional: 
a) √𝟒𝟎𝟖𝟎𝟒𝟎𝟎 
b) √𝟒𝟎𝟕𝟓𝟖𝟗𝟎 
c) √𝟗𝟖𝟓𝟗𝟔 
d) √𝟓𝟐𝟗𝟎𝟎 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Sobre 𝒏, marque a alternativa correta: 
𝒏 = √𝟏𝟓 − 𝟔√𝟔 + √𝟕 − 𝟐√𝟔 
a) um número primo 
b) um número natural maior que 24 
c) um número irracional 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
d) um quadrado perfeito 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Sendo 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒}, 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟔} e 
𝑪 = {𝒙 ∈ ℤ| − 𝟔 < 𝒙 ≤ 𝟐}, assinale a alternativa correta: 
a) 𝑨 ∪ 𝑪 é um conjunto infinito 
b) 𝑨 ∩ 𝑩 é um conjunto finito 
c) 𝑩 ∩ 𝑪 não é vazio 
d) 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 é um conjunto infinito 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Prove que √𝟐 pertence ao conjunto dos 
números irracionais. 
 
 
3.1. Gabarito 
 
1. B 
2. B 
3. D 
4. C 
5. D 
6. B 
7. A 
8. A 
9. C 
10. B 
11. C 
12. B 
13. C 
14. D 
15. C 
16. D 
17. D 
18. A 
19. B 
20. C 
21. D 
22. B 
23. C 
24. B 
25. A 
26. C 
27. B 
28. C 
29. B 
30. Demonstração 
 
 
 
 
 
 
35 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
4.0 Lista De Fixação - Comentada 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação ao conjunto dos números 
naturais, assinale a alternativa correta acerca do número 10: 
a) um número ímpar 
b) Seu antecessor é um número ímpar 
c) Seu sucessor é o número 12 
d) Seu sucessor é um número par 
Comentário: 
 Do número 10, temos que ele é um número ímpar, sendo seu sucessor 11 e antecessor 9. 
Com isso, temos que seu sucessor e antecessor são número ímpares. 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
assinale a alternativa correta 
a) No conjunto dos naturais, é sempre possível efetuar adição, subtração e multiplicação 
b) O conjunto dos naturais está contido no conjunto dos reais 
c) 𝟎, 𝟑𝟑𝟑… pertence ao conjunto dos números irracionais 
d) 𝟎, 𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐… é uma dízima periódica composta 
Comentário: 
 Analisando as alternativas: 
a) Falso, pois 3 − 4 não pertence ao conjunto dos números naturais 
b) Verdadeiro 
c) Falso, 0,333… =
1
3
 e, portanto, pertence ao conjunto dos números racionais 
d) Falso, pois essa dizima periódica é simples 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Calcule o valor da função geratriz de 
𝟎, 𝟑𝟒𝟕𝟒𝟕𝟒𝟕…: 
a) 
𝟑𝟒𝟕
𝟏𝟎𝟎
 
b) 
𝟑𝟒𝟕
𝟗𝟗𝟗
 
 
 
 
 
36 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) 
𝟑𝟒𝟕
𝟗𝟗𝟎
 
d) 
𝟏𝟕𝟐
𝟒𝟗𝟓
 
Comentário: 
 Para calcular o valor da função geratriz, precisamos: 
𝑥 = 0,3474747… ⇒ 10𝑥 = 3,474747… = 3 + 0,474747… = 3 +
47
99
=
297 + 47
99
=
344
99
 
𝑥 =
344
990
=
172
495
 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
assinale a alternativa correta 
a) O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos números irracionais 
e dos números inteiros 
b) No conjunto dos números inteiros,é sempre possível efetuar adição, subtração, 
multiplicação e divisão. 
c) Temos que |𝒓| = 𝒓 para todo r positivo. 
d) Na reta real orientada, a distância entre A e B pode ser escrita como a diferença entre a 
coordenada do ponto A e a coordenada do ponto B 
Comentário: 
a) Analisando as alternativas: 
b) Falsa, pois o conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos 
números irracionais e dos números inteiros. 
c) Falsa, pois a divisão nem sempre pertence ao conjunto. 
d) Verdadeiro 
e) Falsa, pois a distância entre A e B pode ser escrita como o módulo da diferença entre a 
coordenada do ponto A e a coordenada do ponto B. 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa que corresponde 
ao conjunto 𝑺 = {𝒙 ∈ ℕ| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐}: 
a) {−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏} 
b) {−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} 
 
 
 
 
37 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) {−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} 
d) {𝟎, 𝟏} 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que os valores de x pertencem ao conjunto dos números naturais e, 
portanto, x não pode ser um número negativo. Dessa forma, temos que o conjunto é dado por: 
{0, 1} 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sobre intervalo dos números reais, 
assinale a alternativa correta: 
a) 𝟐 ∈]𝟐, 𝟒] 
b) 𝟐𝟒 ∈ [𝟎, 𝟑𝟎] 
c) {𝟐, 𝟓} ⊂ (𝟏, 𝟓) 
d) {√𝟐,√𝟔} ⊂ [𝟐, 𝟏𝟎] 
Comentário: 
 Analisando as alternativas: 
a) Falsa, pois 2 não pertence ao conjunto intervalo aberto em 2 e fechado em 4. 
b) Verdadeiro 
c) Falso, pois 2 pertence ao conjunto, contudo 5 não pertence ao conjunto aberto em 1 e 
em 5. 
d) Falsa, pois √2 é menor que 2 e, portanto, não pertence ao conjunto. 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa que indica a 
notação para o seguinte intervalo representado na reta real: 
 
a) ]𝟏, 𝟕] 
b) [𝟏, 𝟕[ 
c) [𝟏, 𝟕] 
d) ]𝟏, 𝟕[ 
Comentário: 
1 7 
 
 
 
 
38 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Analisando a representação, temos que o intervalo é aberto em 1 e fechado em 7, logo a 
representação correta é: 
]1, 7] 
Gabarito: A 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado dois conjuntos, 𝑨 = {𝒙 ∈ ℤ| −
𝟏𝟎 < 𝒙 < 𝟔} e 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ|𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐𝟒}. Dessa forma, assinale a alternativa que corresponde a 𝑨 ∩
𝑩: 
a) { } 
b) {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} 
c) {𝟑, 𝟒, 𝟓} 
d) {𝟒, 𝟓, 𝟔} 
Comentário: 
 Analisando a representação, temos que o intervalo é aberto em 1 e fechado em 7, logo a 
representação correta é: 
]𝟏, 𝟕] 
Gabarito: A 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado que 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 e 𝟐𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟔, 
marque a alternativa que corresponde ao valor máximo de 
𝒚
𝒙
: 
a) 21 
b) 28 
c) 36 
d) 42 
Comentário: 
 Do enunciado, queremos o valor da razão máxima. Logo, devemos pegar o menor valor de x 
com o maior valor de y. Dessa forma, temos que: 
𝟑𝟔
𝟏
= 𝟑𝟔 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado que 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 e 𝟐𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟔, 
marque a alternativa que corresponde ao valor mínimo de 
𝒚
𝒙
: 
a) 1 
 
 
 
 
39 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
Comentário: 
 Do enunciado, queremos o valor da razão mínima. Logo, devemos pegar o maior valor de x 
com o menor valor de y. Dessa forma, temos que: 
𝟐𝟏
𝟕
= 𝟑 
Gabarito: B 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Com relação aos conjuntos numéricos, 
marque a alternativa correta: 
a) −
𝟔
𝟐
 ∉ ℤ 
b) Como o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, 
então o conjunto dos números naturais é finito. 
c) (𝟐𝟑 − 𝟏𝟓) ∈ ℕ 
d) √𝟏𝟔 ∉ ℤ 
Comentário: 
 Analisando as alternativas: 
a) Falsa, pois −3 ∈ ℤ. 
b) Falsa, pois embora o conjunto dos números naturais esteja contido no conjunto dos 
números inteiros, o conjunto dos números naturais é infinito. 
c) Verdadeira. 
d) Falsa, pois 4 ∈ ℤ 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sabendo que a soma de 5 sucessores 
de um número natural é igual a 135. Assinale a alternativa que indica corretamente esse número: 
a) 23 
b) 24 
c) 25 
d) 26 
 
 
 
 
40 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
𝒏 + 𝟏 + 𝒏 + 𝟐 + 𝒏 + 𝟑 + 𝒏 + 𝟒 + 𝒏 + 𝟓 = 𝟏𝟑𝟓 ⇒ 𝟓𝒏 + 𝟏𝟓 = 𝟏𝟑𝟓 
𝟓𝒏 = 𝟏𝟐𝟎 
𝒏 = 𝟐𝟒 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Assinale a alternativa correta: 
a) Todo número natural é inteiro, assim como todo número real é inteiro. 
b) Toda raiz quadrada pertence ao conjunto dos números irracionais. 
c) Toda dizima periódica pertence ao conjunto dos números racionais. 
d) Toda divisão entre números inteiros pertence ao conjunto dos inteiros. 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) Falsa, pois embora todo número natural seja inteiro, nem todo número natural é inteiro. 
b) Falsa, pois √4 = 2 ∈ ℕ. 
c) Verdadeira, pois qualquer dízima pode ser escrita como a razão de número inteiros. 
d) Falsa, pois 
1
3
∈ ℚ. 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sobre o conjunto dos números 
irracionais, assinale a alternativa correta: 
a) A soma entre dois números irracionais sempre estará contida no conjunto dos números 
irracionais. 
b) O produto entre dois números irracionais sempre estará contido no conjunto dos números 
irracionais. 
c) O conjunto dos números inteiros está contida no conjunto dos números irracionais. 
d) Ao elevar um número irracional a um expoente natural, nem sempre estará contido no 
conjunto dos números irracionais. 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
 
 
 
 
41 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Falsa, pois √2 − √2 = 0 ∈ ℕ. 
Falsa, pois √2. √2 = 2 ∈ ℕ. 
Falsa, pois o conjunto dos números inteiros não está contida no conjunto dos números 
irracionais. 
Verdadeira, pois (√2)
2
= 2 ∈ ℕ. 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Indique a alternativa correta: 
a) −𝟗 ∈ 𝒁+ 
b) 𝟎 ∈ 𝒁∗ 
c) (𝟏𝟏 − 𝟏𝟕) ∈ 𝒁− 
d) 𝒁+
∗ ∪ 𝒁−
∗ = 𝒁 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) Falsa, pois ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4… }. 
b) Falsa, pois ℤ∗ = {…− 4, −3,−2,−1, 1, 2, 3, 4… }. 
c) Verdadeira, pois ℤ− = {…− 4,−3,−2,−1} e 11 − 17 = −6. 
d) Falsa, pois ℤ+
∗ ∪ ℤ−
∗ = {…− 4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4… }. 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja √𝟐, 𝟐, 𝝅,
𝟏𝟓
𝟗
, marque a alternativa 
que indica corretamente a ordem crescente dos números: 
a) √𝟐 < 𝟐 < 𝝅 <
𝟏𝟓
𝟗
 
b) 𝟐 < √𝟐 < 𝝅 <
𝟏𝟓
𝟗
 
c) 𝝅 < √𝟐 <
𝟏𝟓
𝟗
< 𝟐 
d) √𝟐 <
𝟏𝟓
𝟗
< 𝟐 < 𝝅 
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
2 > 4 ⇒ √2 > 2 
 
 
 
 
42 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
15
9
<
18
9
= 2 
162
81
<
225
81
⇒ 2 <
225
81
⇒ √2 <
15
9
 
 Contudo, deveríamos saber que: 
𝜋 = 3,14… 
 Logo, concluímos que: 
√𝟐 <
𝟏𝟓
𝟗
< 𝟐 < 𝝅 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Analisando as opções, assinale a que 
corresponde ao conjunto ℤ: 
a) ℤ ∪ (ℚ ∩ ℝ) 
b) (ℝ\ℚ) ∩ ℕ 
c) (ℝ ∪ ℤ) ∩ (ℕ ∩ ℚ) 
d) (ℝ ∪ ℚ) ∩ (ℕ ∪ ℤ) 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) ℤ ∪ (ℚ ∩ ℝ) = ℤ ∪ ℚ = ℚ Falsa! 
b) (ℝ\ℚ) ∩ ℕ = 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 ∩ ℕ = 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 Falsa! 
c) (ℝ ∪ ℤ) ∩ (ℕ ∩ ℚ) = ℝ ∩ ℕ = ℕ Falsa! 
d) (ℝ ∪ ℚ) ∩ (ℕ ∪ ℤ) = ℝ ∩ ℤ = ℤ Verdadeira! 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Seja x e y números reais tais que 𝒙 =
(𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓)𝟎,𝟕𝟓 e 𝒚 = (𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕𝟎𝟑𝟕… )𝟎,𝟑𝟑𝟑…. Com isso, temos que 
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚é igual a: 
a) Um número natural 
b) Um número inteiro negativo 
c) Um número irracional 
d) Uma dízima periódica 
Comentário: 
 
 
 
 
43 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Do enunciado, temos que: 
𝑥 = (0,0625)0,75 = (
1
16
)
3
4
= (
1
24
)
3
4
=
1
23
=
1
8
 
𝑦 = (0,037037037… )0,333… = (
37
999
)
1
3
= (
1
27
)
1
3
= (
1
33
)
1
3
=
1
3
 
 Logo, 
1
𝑥
+
1
𝑦
= 8 + 3 = 11 
 Dessa forma, temos que é igual a um número natural 
Gabarito: A 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dado dois conjuntos 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ| −
𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒} e 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ∗| − 𝟐 < 𝒙 < 𝟔}. Com isso, temos que 𝑨 ∩ 𝑩 é: 
a) {−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
b) {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
c) {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
d) {−𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4}, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
𝐵 = {−1, 1, 2, 3, 4, 5}, 𝑝𝑜𝑖𝑠 0 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 
 Logo, a interseção é dada por: 
𝑨 ∩ 𝑩 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo −𝟓 ≤ 𝒙 < −𝟏 e 𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒, 
então assinale a alternativa que possui o intervalo no qual 𝒙 × 𝒚 sempre estará contido: 
a) ] − 𝟏𝟎,−𝟒[ 
b) [−𝟏𝟎,−𝟐[ 
c) [−𝟐𝟎,−𝟐[ 
d) ] − 𝟐𝟎,−𝟐[ 
Comentário: 
 
 
 
 
44 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Com isso, para encontrar o conjunto que abrange todos os valores do produto, devemos: 
−5 . 4 = −20 𝑒 − 1 . 2 = −2 
 Logo: 
[−𝟐𝟎,−𝟐[ 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dados os conjuntos 𝑨 = [𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ e 
𝑩 =]𝟏, 𝟏𝟑], então assinale a alternativa que corresponde ao intervalo formado por 𝑨 − 𝑩: 
a) [𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ 
b) [𝟏𝟑, 𝟐𝟒[ 
c) ]𝟏𝟏, 𝟐𝟒[ 
d) ]𝟏𝟑, 𝟐𝟒[ 
Comentário: 
 Analisando o intervalo B, podemos observar que o número 13 pertence ao intervalo B e, 
portanto, ao tirar o intervalo B do intervalo A, temos que: 
𝑨 −𝑩 =]𝟏𝟑, 𝟐𝟒[ 
Gabarito: D 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo 𝒏 um número natural, 𝒛 um 
número inteiro, 𝒒 um número racional e 𝒓 um número irracional. Então, podemos afirmar que: 
a) 𝒏 × 𝒛 é um número natural 
b) 𝒒 + 𝒓 é um número irracional 
c) 𝒏 × 𝒓 é um número irracional 
d) 𝒓𝟐 é um número irracional 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) Falsa, pois seja 𝑛 = 1 e 𝑧 = −1. Com isso, 𝑛 × 𝑧 = −1 ∈ ℤ 
b) Verdadeira. 
c) Falsa, pois, seja 𝑛 = 0. Com isso, 𝑛 × 𝑟 = 0 ∈ ℕ 
d) Falsa, pois, seja 𝑟 = √2. Com isso, 𝑟2 = 2 ∈ ℕ 
Gabarito: B 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Dados os conjuntos 𝑨 =
{𝒙 ∈ ℝ|𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕}, 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟓 < 𝒙 < 𝟒}. Com isso, assinale a 
alternativa que contém a afirmativa correta: 
(𝑨 ∪ 𝑪) ∩ 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 < 𝟒} 
𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟑 < 𝒙 < 𝟒} 
(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕} 
(𝑩 − 𝑨) ∩ 𝑪 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟑} 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) Dos dados, temos que: 
𝐴 ∪ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ| − 5 < 𝑥 ≤ 7} 
 Além disso, temos que: 
(𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|2 < 𝑥 ≤ 7} 
 Logo, a alternativa está incorreta. 
b) Dos dados, temos que: 
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 < 4} 
 Logo, a alternativa está incorreta. 
c) Dos dados, temos que: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 Além disso, temos que: 
(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ|4 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 Logo, a alternativa está correta. 
d) Dos dados, temos que: 
𝐵 − 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|2 < 𝑥 < 3 𝑜𝑢 7 < 𝑥 < 8} 
 Além disso, temos que: 
(𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ|2 < 𝑥 < 3} 
 Logo, a alternativa está incorreta. 
Gabarito: C 
 
 
 
 
46 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) - Sendo 𝒏 um número natural, 𝒂 o 
antecessor de 𝒏 e 𝒔 o sucessor de 𝒏. Assinale a opção que corresponde ao valor da equação: 
𝒔 + 𝟐𝒏 + 𝒂
𝒔 + 𝒂
 
a) 1 
b) 2 
c) 𝒏 
d) 𝒏 + 𝟏 
Comentário: 
 Sabendo que: 
𝑎 = 𝑛 − 1 𝑒 𝑠 = 𝑛 + 1 
 Portanto, do enunciado: 
𝒏 + 𝟏 + 𝟐𝒏 + 𝒏 − 𝟏
𝒏 + 𝟏 + 𝒏 − 𝟏
=
𝟒𝒏
𝟐𝒏
= 𝟐 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja 𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟎𝟒𝟏𝟎𝟒𝟏… e 𝒚 =
𝟎, 𝟏𝟐𝟗𝟏𝟐𝟗𝟏𝟐𝟗…, determine o valor da expressão 
−𝒙−𝒚+𝟏
𝒙+𝒚
: 
a) 
𝟖𝟐𝟗
𝟏𝟕𝟎
 
b) 
𝟏𝟕𝟎
𝟖𝟐𝟗
 
c) 𝟏 
d) 
𝟖𝟐𝟗
𝟗𝟗𝟗
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
𝑥 =
41
999
 𝑒 𝑦 =
129
999
 
 Com isso, substituindo os valores na expressão: 
−𝒙 − 𝒚 + 𝟏
𝒙 + 𝒚
=
𝟏 −
𝟒𝟏
𝟗𝟗𝟗 −
𝟏𝟐𝟗
𝟗𝟗𝟗
𝟒𝟏
𝟗𝟗𝟗 +
𝟏𝟐𝟗
𝟗𝟗𝟗
=
𝟗𝟗𝟗 − 𝟏𝟕𝟎
𝟏𝟕𝟎
=
𝟖𝟐𝟗
𝟏𝟕𝟎
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
47 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Seja 𝒂 =
𝟏+√𝟓
𝟐
, 𝒃 =
𝟐√𝟓−𝟏
𝟐
 e 𝒄 =
√𝟏𝟐𝟓
𝟓
, 
assinale a alternativa correta: 
a) 𝒃 > 𝒄 > 𝒂 
b) 𝒂 > 𝒃 > 𝒄 
c) 𝒄 > 𝒃 > 𝒂 
d) 𝒃 > 𝒂 > 𝒄 
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
𝑐 =
5√5
5
= √5 
 Sabendo que: 
5 > 1 ⇒ √5 > 1 ⇒ 2√5 > √5 + 1 ⇒ √5 >
√5 + 1
2
⇒ 𝑐 > 𝑎 
5 > 4 ⇒ √5 > 2 ⇒ 2√5 > 2 + √5 ⇒ 2√5 − 1 > 1 + √5 ⇒
2√5 − 1
2
>
1 + √5
2
⇒ 𝑏 > 𝑎 
−
1
2
< 0 ⇒ √5 −
1
2
< √5 ⇒
2√5 − 1
2
< √5 ⇒ 𝑏 < 𝑐 
 Logo: 
𝒄 > 𝒃 > 𝒂 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Assinale a opção que corresponde a um número irracional: 
a) √𝟒𝟎𝟖𝟎𝟒𝟎𝟎 
b) √𝟒𝟎𝟕𝟓𝟖𝟗𝟎 
c) √𝟗𝟖𝟓𝟗𝟔 
d) √𝟓𝟐𝟗𝟎𝟎 
 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
√4080400 = √20202 = 2020 ∈ ℕ 
 
 
 
 
48 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
20192 < √4075890 < 20202 ⇒ √4075890 ∈ ℝ\ℚ 
√98596 = √3142 = 314 ∈ ℕ 
√52900 = √2302 = 230 ∈ ℕ 
 Logo, a alternativa correta é a letra B. 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Sobre 𝒏, marque a alternativa correta: 
𝒏 = √𝟏𝟓 − 𝟔√𝟔 + √𝟕 − 𝟐√𝟔 
a) um número primo 
b) um número natural maior que 24 
c) um número irracional 
d) um quadrado perfeito 
Comentário: 
 Analisando a expressão dada, temos que: 
15 − 6√6 = (3 − √6)
2
 𝑒 7 − 2√6 = (√6 − 1)
2
 
 Com isso, temos que: 
𝒏 = √(𝟑 − √𝟔)
𝟐
+√(√𝟔 − 𝟏)
𝟐
= 𝟑 − √𝟔 + √𝟔 − 𝟏 = 𝟐 
Gabarito: C 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita) Sendo 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒}, 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ|𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟔} e 
𝑪 = {𝒙 ∈ ℤ| − 𝟔 < 𝒙 ≤ 𝟐}, assinale a alternativa correta: 
e) 𝑨 ∪ 𝑪 é um conjunto infinito 
f) 𝑨 ∩ 𝑩 é um conjunto finito 
g) 𝑩 ∩ 𝑪 não é vazio 
h) 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 é um conjunto infinito 
Comentário: 
 Analisando as alternativas, temos que: 
a) 𝐴 ∪ 𝐶 = {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Logo, é um conjunto finito. Sendo assim, a 
alternativa está incorreta. 
b) 𝐴 ∩ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4}. Logo, é um conjunto finito. Sendo assim, a alternativa está correta. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅. Portanto, o conjunto é vazio. Sendo assim, a alternativa está incorreta. 
d) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0, 1, 2}. Logo, o conjunto é finito. Sendo assim, a alternativa está incorreta. 
Gabarito: B 
 (Estratégias Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Prove que √𝟐 pertence ao conjunto dos 
números irracionais. 
Comentário: 
 Para provar que √2 é um número irracional, devemos supor que ele é um número racional e, 
portanto, pode ser escrito na forma de uma fração irredutível 
𝑝
𝑞
, onde 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, ou seja, 
𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) = 1. 
 Com isso, elevando a igualdade ao quadrado: 
(√2)
2
= (
𝑝
𝑞
)
2
⇒
𝑝2
𝑞2
= 2 ⇒ 𝑝2 = 2𝑞2 
 Analisando a equação, observamos que 𝑝2 é um número par e, consequentemente, 𝑝 é par, 
podendo ser escrito como: 𝑝 = 2𝑚, onde 𝑚 ∈ ℤ. 
 Sendo assim: 
𝑝2 = 2𝑞2 ⇒ (2𝑚)2= 2𝑞2 ⇒ 𝑞2 = 2𝑚2 
 Analogamente, temos que 𝑞2 é par e, consequentemente, 𝑞 é par. 
 Contudo, temos que 𝑝 é par e 𝑞 também é par e, portanto, chegamos a uma contradição, 
tendo em visto que desse modo, 𝑚𝑑𝑐(𝑝, 𝑞) ≠ 1. Logo, chegamos a um absurdo e, por isso, não 
podemos supor que √2 é racional. Sendo assim, √2 é irracional. 
Gabarito: Demonstração 
 
5.0 Questões Nível 1 
 
 (Exercício Modelo) - Assinalando V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas 
( ) 𝑵  𝑸 
( ) 𝑸  𝑹 = 𝑸 
( ) 𝑵  𝒁 = 𝑵 
( ) 𝑸  𝑹  𝑸 
 obtemos: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) FVFV 
b) VVVV 
c) FVVF 
d) FVVV 
e) VVVF 
 
 
 (Exercício Modelo) - Se A = {4, 9, 16, 25, 36}, então A é equivalente a: 
a) {𝐱𝟐; 𝐱  𝒁∗} 
b) {𝐱²; 𝐱  𝐍} 
c) {𝐱²; 𝐱  𝐍 𝐞 𝟏 < 𝐱 < 𝟕} 
d) {𝐱²; 𝐱  𝐍 𝐞 𝟐 < 𝐱 < 𝟔} 
e) {𝐱 / 𝐱 é 𝐪𝐮𝐚𝐝𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐞𝐫𝐟𝐞𝐢𝐭𝐨} 
 
 
 (Exercício Modelo) - Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número 
racional. Um exemplo é: 
a) 363.12 = 
b) 69.4 = 
c) 31.3 = 
 d) 2 ∙ 82= 
 e) √𝟐. √𝟑 = √𝟔 
 
 
 (Exercício Modelo) - Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Qual a posição do número 𝒙 ∙ 𝒚? 
 
 
0 x y 1 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) À esquerda de 0. 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
 d) Entre y e 1. 
 e) À direita de 1 
 
 
 (Exercício Modelo) - Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes: 
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos 
os outros. 
b) O número real √𝟐 pode ser representado sob a forma P/q, onde p e q são inteiros, q  0. 
c) O número real representado por 𝟎, 𝟑𝟕𝟐𝟐𝟐. .. é um número racional. 
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 20 grau é um número real. 
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional 
 
 
 
 (Exercício Modelo) - Os números x e y são tais que 𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎 e 𝟐𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟎. O maior valor 
possível de x/y é: 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 1 
 
 
 (Exercício Modelo) - Considere os conjuntos N, Z, Q e R e as afirmativas: 
I. 𝒁𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ( ) 
II. 𝟏/𝟐 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑵 𝒆 𝒁 ( ) 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
III. −𝟏 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂 𝑵 ( ) 
IV. 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝑸 ( ) 
V. 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝑹 ( ) 
 
Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, na ordem certa, a resposta é: 
a) F, F, V, V, F 
b) F, V, V, F, F 
c) V, V, V, V, F 
 d) V, V, V, F, V 
 e) F, F, F, V, V 
 
 
 (Exercício Modelo) - Classificando-se as afirmativas abaixo em V (Verdadeira) ou F (Falsa), 
I. Todo número natural é inteiro. 
II. Todo número racional é inteiro 
III. Todo número racional é real. 
IV. Todo número irracional é real. 
V. Todo número real é racional. 
 
Qual sequência abaixo é correta? 
a) V,V,F,V,F 
b) V,F,V,F,F 
c) V,V,V,F,F 
 d) V,F,F,V,V 
 e) V,F,V,V,F 
 
 
 (Exercício Modelo) - Sejam p e q números reais. A esse respeito, assinale a opção correta. 
2
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) 𝒑 < 𝟎 ⟶ √𝒑𝟐 = 𝒑 
b) 𝒑 𝒆 𝒒 𝒔ã𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔 ⟶ 𝒑 . 𝒒 é í𝒎𝒑𝒂𝒓 
c) 𝒑 . 𝒒 = 𝟎 > 𝒑  𝟎 𝒆 𝒒  𝟎 
d) 𝒑 . 𝒒 > 𝟎 ⟶ 𝒑 𝒆 𝒒 𝒕ê𝒎 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐𝒔 
e) 𝒑² = 𝒒² ⟶ 𝒑 = 𝒒 𝒐𝒖 𝒑 = −𝒒 
 
 
 (EsPCEx) - É correto afirmar que: 
a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
 
 (Exercício Modelo) - Marque a alternativa INCORRETA: 
a) se x e y são números racionais, então 𝒙 + 𝒚 é um número racional; 
b) se x e y são números irracionais, então 𝒙 + 𝒚 é um número irracional; 
c) se x e y são números racionais, então 𝒙 ⋅ 𝒚 é um número racional; 
d) se x é um número racional e y é um número irracional, então 𝒙 + 𝒚 é um número irracional. 
 
 
 (Exercício Modelo) - Na reta numérica abaixo, estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
Representando o produto 𝒂 ⋅ 𝒃 nesta reta numérica, ele ficará: 
a) à direita de 𝟏. 
b) entre 𝒃 e 𝟏. 
c) entre 𝒂 e 𝒃. 
d) entre 𝟎 e 𝒂. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) à esquerda de 𝟎. 
 
 
 (Exercício Modelo) - Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos 
I) ( ) Todo número irracional é um número decimal ilimitado. 
II) ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado. 
III) ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real. 
IV) ( ) Todo número decimal limitado é um número racional. 
V) ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional. 
 
Conclui-se que: 
a) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso. 
b) os três últimos são verdadeiros. 
c) somente o quinto é verdadeiro. 
d) o segundo e o terceiro são verdadeiros. 
 
 
 (CMRJ – 2011) - Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA. 
a) Seja 𝒂 um número real não nulo. Então, 𝒂−𝟏 ∈ ℝ. 
b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual 
ao próprio número. 
c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número. 
d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro 
negativo. 
e) Todo número real negativo possui inverso. 
 
 
 (CN – 1999) - Dos números: 
I) 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟑. .. 
II) 𝟎, 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎. .. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
III) √𝟐 
IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
 
 
 (Exercício Modelo) - Assinale a afirmativa verdadeira. 
a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
c) O quadrado de um número irracional é um número racional. 
d) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
e) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
 
 
 (Exercício Modelo) - Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: 
a) 𝒙 ⋅ 𝒚 é irracional 
b) 𝒚 ⋅ 𝒚 é irracional 
c) 𝒙 + 𝒚 é racional 
d) 𝒙 − 𝒚 + √𝟐 é irracional 
e) 𝒙 + 𝟐𝒚 é irracional 
 
 
 (CMRJ – 2010) - Se x, y e z são números racionais e 𝒛 =
𝟐+𝒙√𝟑
𝒚−√𝟑
, então 
a) 𝒙 = 𝒚𝟐 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) 𝒙 + 𝒚 = 𝟑 
c) 
𝒙
𝒚
= 𝟐 
d) 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 
e) 𝒙𝒚 = −𝟐 
 
 
 (EPCAr – 1999) - Seja x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. Analise as 
proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
I) (√𝟐 ⋅ 𝒙) pode ser racional. 
II) 𝒚𝟐 é sempre irracional. 
III) 𝒚𝟑 nem sempre é irracional. 
IV) √𝒙 é sempre um número real. 
 
São verdadeiras somente as proposições 
a) I e IV 
b) II e III 
c) I e III 
d) II e IV 
 
 
 (AFA – 2002) - Assinale a alternativa que contém a afirmação correta. 
a) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℝ, √(𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙 + 𝒚 
b) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ∗, se 
𝒙
𝒚
 é inteiro, então 
𝒚
𝒙
 é inteiro 
c) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ, 
𝒙+𝒚𝟏+𝒙
 é um número racional 
d) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ, 
𝒙+𝒚
𝟏+𝒙𝟐
 é um número racional 
 
 
 (FN 2003) – Se trocarmos o dígito 3 pelo dígito 8 no número 1.345, qual será o aumento desse 
número? 
a) 5 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) 500 
c) 545 
d) 800 
 
 
 (FN 2003) – Em uma escola 5/8 dos estudantes são meninas e 360 meninos. Qual é o número total 
de estudantes dessa escola? 
a) 1300 
b) 960 
c) 860 
d) 720 
 
 
 (FN 2003) – O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numerada da figura 
abaixo é: 
 
a) 2,3 
b) – 1,7 
c) – 2,03 
d) – 2,3 
 
 
 (FN 2005) – 
 
Se C é um número diferente de zero, então: 
a) C = R 
b) R = 10 
c) C = 10 
d) C = 10 R 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) R = 10 C 
 
 
 (FN 2005) – 
 
Observe as sentenças acima e responda quantas são verdadeiras. 
a) Somente uma. 
b) Somente duas. 
c) Somente três. 
d) As quatro. 
e) Nenhuma. 
 
 
 (FN 2008) – Sabendo que 𝒙 = 𝟏𝟎 − (−𝟖): (+𝟒) e 𝒚 = 𝟐𝟓: (−𝟐𝟓) − 𝟒: (+𝟒), qual é o valor de 𝒙 −
𝒚? 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 (FN 2008) – Sabe-se que a e b são dois números naturais diferentes de zero, tais que a = b. Nessas 
condições a igualdade correta é: 
a) 𝒂: 𝒃 = 𝟏 
b) 𝒂 × 𝒃 = 𝟎 
c) 𝒂: 𝒃 = 𝟎 
d) 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 
e) 𝒂–𝒃 = 𝟏 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 (FN 2011) – Ordenando os números racionais 𝒑 =
𝟏𝟑
𝟐𝟒
, 𝒒 =
𝟐
𝟑
 e 𝒓 =
𝟓
𝟖
, conclui-se que: 
a) 𝐩 < 𝐫 < 𝐪 
b) 𝐪 < 𝐩 < 𝐫 
c) 𝐫 < 𝐩 < 𝐪 
d) 𝐪 < 𝐫 < 𝐩 
e) 𝐫 < 𝐪 < 𝐩 
 
 
 (FN 2011) – O conjunto 𝑨 = {−𝟒, −𝟑, −𝟐,−𝟏,  𝟎,  𝟏} pode ser representado por: 
a) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 < 𝒙 < 𝟏} 
b) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 < 𝒙 ≤ 𝟏} 
c) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏} 
d) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟏} 
e) {𝒙 ∈ 𝒁| + 𝟒 < 𝒙 < 𝟏} 
 
 
 (FN 2012) – Determine quais das opções abaixo são números irracionais. 
(I) 9,3215321532... 
(II) −√𝟑 
(III) 0,1717717711... 
(IV) 𝟓𝝅 
 
a) I 
b) II e IV 
c) III e IV 
d) I, II e III 
e) II, III e IV 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 (FN 2012) – Os números 𝟑
𝟏
𝟐
 e 
𝟒
𝟗
 são representados por x e y, isto é, 𝒙 = 𝟑
𝟏
𝟐
 e 𝒚 =
𝟒
𝟗
. Determine o 
valor de 𝒙 ⋅ 𝒚: 
a) 
𝟏𝟒
𝟗
 
b) 
𝟏𝟐
𝟏𝟖
 
c) 6 
d) 
𝟕
𝟑
 
e) 
𝟕
𝟖
 
 
 
 (FN 2012) – Determine a fração que deu origem à dízima periódica 0,232323... 
a) 
𝟐𝟑
𝟗
 
b) 
𝟐𝟑
𝟗𝟗
 
c) 
𝟐𝟑𝟎
𝟗𝟗𝟗
 
d) 
𝟐,𝟑
𝟏𝟎
 
e) 
𝟐𝟑
𝟏𝟎
 
 
 
 (FN 2013) – Assinale o número irracional. 
a) √𝟏𝟒𝟒 
b) √𝟑𝟕 
c) √𝟏
𝟖
 
d) √𝟐𝟕
𝟑
 
e) −√𝟖𝟏 
 
 
 (FN 2019) – O número𝝅, representado pela dízima não periódica 3,141592…, é um número que: 
a) 𝝅 ∈ ℕ 
b) 𝝅 ∉ ℝ 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) 𝝅 ∈ ℚ 
d) 𝝅 ∈ 𝑰 
e) 𝝅 ∈ ℤ 
 
 
 (FN 2019) – Qual o valor da expressão 𝟐𝟓 − {𝟑 × 𝟏𝟕 − [𝟏𝟎 + 𝟔 × (𝟖 − 𝟒 × 𝟐) + 𝟐 + 𝟑] −
𝟒 × 𝟒}: 𝟓? 
a) 42 
b) 23 
c) 21 
d) 13 
e) 10 
 
 
 (EEAr) - Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
 
 
É falso afirmar que: 
a) 𝟏/𝐚 > 𝟏/𝐛 
b) 𝐚 . 𝐛 < 𝐚 
c) 𝐛/𝐚 < 𝟏 
d) 𝐚 – 𝐛 < 𝟎 
 
37. (EAM 2017) Sabendo-se que A e B são subconjuntos finitos de U, que A é a notação para a operação 
complementar de A em relação a U, que 𝑨 = {q,r, s, t, 𝒖}, 𝑨 ∩ 𝑩 = {o, 𝒑} e 𝑨 ∪ 𝑩 =
{𝒎,  𝒏, 𝒐,   𝒑,   𝒒,   𝒓}, é correto afirmar que: 
a) A tem dois elementos e B tem quatro elementos. 
b) A tem quatro elementos e B tem dois elementos. 
c) A tem três elementos e B tem três elementos. 
d) A tem quatro elementos e B tem quatro elementos. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) A tem um elemento e B tem cinco elementos. 
 
38. (EAM 2019) 
Considerando os conjuntos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo, 
assinalando a seguir a opção correta. 
( ) (ℕ∗ ∩ ℚ) = ℕ∗ 
( ) (ℤ − ℤ−) = ℤ+ 
( ) (ℝ ∪ ℤ) = ℚ 
 
a) (V)(V)(V) 
b) (V)(V)(F) 
c) (V)(F)(F) 
d) (F)(V)(F) 
e) (F)(F)(V) 
 
5.1 Gabarito 
 
1. A 
2. C 
3. A 
4. B 
5. C 
6. A 
7. D 
8. E 
9. E 
10. C 
11. B 
12. D 
13. B 
14. B 
15. C 
16. E 
17. E 
18. E 
19. C 
20. D 
21. B 
22. B 
23. B 
24. E 
25. B 
26. E 
27. A 
28. A 
29. C 
30. E 
31. A 
32. B 
33. B 
34. D 
35. C 
36. C 
37. D 
38. C 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
6.0 Questões Nível 1 - Comentada 
 
 (Exercício Modelo) - Assinalando V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas 
( ) 𝑵  𝑸 
( ) 𝑸  𝑰𝑹 = 𝑸 
( ) 𝑵  𝒁 = 𝑵 
( ) 𝑸  𝑹  𝑸 
 obtemos: 
a) FVFV 
b) VVVV 
c) FVVF 
d) FVVV 
e) VVVF 
Comentário: 
Como a questão aborda relação de inclusão de Conjuntos Numéricos, nada melhor que analisar 
cada afirmativa tendo por base um Diagrama geral destes conjuntos. 
 
Podemos extrair algumas conclusões a partir deste modelo de diagrama: 
• O conjunto dos Naturais está dentro (está contido) no conjunto dos Racionais. Ou seja, a 
primeira afirmativa (N  Q) está errada, tendo em vista que diz: o conjunto dos Naturais 
CONTÉM o conjunto dos Racionais. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
• O conjunto dos Racionais está dentro (está contido) no conjunto dos Reais, desta forma, 
a interseção entre eles será o menor conjunto: RACIONAIS. Logo, afirmativa certa 
 
• O conjunto dos Naturais está dentro (está contido) no conjunto dos Inteiros, desta forma, 
a união entre eles será o maior conjunto: INTEIROS. Logo, afirmativa errada. 
 
• O conjunto dos Racionais está dentro (está contido) no conjunto dos Reais, desta forma, 
a interseção entre eles será o menor conjunto: RACIONAIS, que está contido nele mesmo. 
Logo, afirmativa certa. 
Gabarito: A 
 (Exercício Modelo) - Se A = {4, 9, 16, 25, 36}, então A é equivalente a: 
a) {x²; x  Z*} 
b) {x²; x  N} 
c) {x²; x  N e 1 < x < 7} 
d) {x²; x  N e 2 < x < 6} 
e) {x / x é quadrado perfeito} 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual deles coincide com o conjunto 
A (finito) do enunciado da questão. 
 a) {x2; x  Z*} – este conjunto reflete o seguinte : para x=1, x=2, x=3, x=4,... o conjunto 
formado será: {1, 4, 9, 16, ...}. Perceba que este conjunto além de ser infinito, possui o primeiro 
elemento, por exemplo, diferente do primeiro do conjunto A. Logo, assertiva errada. 
 b) {x2; x  N} – este conjunto reflete o seguinte : para x=0, x=1, x=2, x=3, x=4,... o conjunto 
formado será: {0, 1, 4, 9, ...}. Perceba que este conjunto além de ser infinito, possui o primeiro e 
o segundo elemento, por exemplo, diferentes do primeiro e do segundo elemento do conjunto 
A. Logo, assertiva errada. 
 c) { x2; x  N e 1 < x < 7} – este conjunto reflete o seguinte : para x=2, x=3, x=4, x=5 e x=6, o 
conjunto formado será: {4, 9, 16, 25, 36}. Perceba que este conjunto além de ser finito, possui 
todos os elementos iguais ao conjunto A. Logo, assertiva certa. 
 d) { x2; x  N e 2 < x < 6} – este conjunto reflete o seguinte : para x=3, x=4 e x=5, o conjunto 
formado será: {9, 16, 25}. Perceba que este conjunto apesar de ser finito, não possui todos 
elementos que o conjunto A possui. Logo, assertiva certa. 
 e) {x / x é quadrado perfeito} – percebe que nesta assertiva a banca não especificou a que 
conjunto x pertence, logo, poderá assumir tanto valores inteiros quanto fracionário, o que não 
condiz com o conjunto A do enunciado. Logo, assertiva errada. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: C 
 (Exercício Modelo) - Sabe-seque o produto de dois números irracionais pode ser um número 
racional. Um exemplo é: 
a) 363.12 = 
b) 69.4 = 
c) 31.3 = 
 d) 2 . 82= 
 e) √𝟐. √𝟑 = √𝟔 
Comentário: 
 Questão maldosa. Muitos candidatos desatentos acabam caindo na pegadinha, qual seja, 
achar que possui duas respostas. Porém, isto não é verdade. Vamos analisar cada uma das 
alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o que o enunciado diz. Blz? 
 a) Raiz quadrado de 12 e raiz quadrada de 3, ambos os números são IRRACIONAIS, e o produto 
deles resulta um número RACIONAL, qual seja, raiz quadrada de 36 que é igual a 6. Logo, esta 
assertiva está correta. 
 b) Raiz quadrado de 4 e raiz quadrada de 9, ambos os números são RACIONAIS, e o produto 
deles resulta um número RACIONAL, qual seja, raiz quadrada de 36 que é igual a 6. Logo, esta 
assertiva está errada. Perceba que a questão te pede um produto de irracionais, e nesta 
alternativa, temos o produto de dois racionais. 
 c) Raiz quadrado de 3 e o número 1. O primeiro deles é irracional, porém o segundo é racional, 
o que faz a assertiva ficar errada. 
 d) Raiz quadrado de 2 e o número 2. O primeiro deles é irracional, porém o segundo é 
racional, o que faz a assertiva ficar errada. 
 e) Raiz quadrado de 2 e raiz quadrada de 3, ambos os números são IRRACIONAIS, e o produto 
deles resulta um número IRRACIONAL, o que contraria o enunciado da questão. Logo esta 
assertiva está errada. 
Gabarito: A 
 (Exercício Modelo) - Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Qual a posição do número xy? 
 
 
0 x y 1 
a) À esquerda de 0. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
 d) Entre y e 1. 
 e) À direita de 1 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
 Pelo simples fato de os números x e y estarem entre os números 0 e 1, já me dá a certeza de 
que x e y são positivos. Isso ajuda sobremaneira, pois o produto de dois números positivos resulta 
sempre um número positivo, o que nos faz excluir a assertiva da letra a. 
 
 Agora, vamos analisar as próximas a partir de contraexemplos (que nada mais é que tentar 
encontrar fatos que contrariam a hipótese geral), ok? Para isso, imaginemos x=0,2 e y=0,7. Assim: 
𝑥. 𝑦 = 0,2 . 0,7 = 0,14 
 Agora sim, fica fácil perceber que o produto de dois números compreendidos entre 0 e 1, 
sempre resultará num valor inferior ao menor deles. 
 
 Desta forma, podemos afirmar que o produto x.y estará sempre entre 0 e x. 
Gabarito: B 
 (Exercício Modelo) - Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes: 
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos 
os outros. 
b) O número real √𝟐 pode ser representado sob a forma P/q, onde p e q são inteiros, q  0. 
c) O número real representado por 0,37222... é um número racional. 
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 20 grau é um número real. 
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional 
 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 a) - Alternativa errada, pois esta definição ocorre no conjunto dos números Naturais. 
Podemos destacar que este número no caso é ZERO. 
 b) - Alternativa errada, pois raiz quadrada de 2 é um número irracional, logo não pode ser 
posto na forma de fração. 
 c) - Alternativa certa, pois o número em questão é uma espécie de dízima periódica composta, 
que é um exemplo de número racional. 
 d) - Alternativa errada, pois caso a equação algébrica possua um valor negativo, esta raiz 
quadrada não pertencerá ao conjunto dos reais, mas sim, dos Complexos. 
 e) - Alternativa errada, pois o quadrado da raiz cúbica de dois, é igual a raiz cúbica de quatro, 
não eliminado assim a raiz. 
Gabarito: C 
 (Exercício Modelo) - Os números x e y são tais que 𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎 e 𝟐𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟎. O maior valor 
possível de x/y é: 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 1 
Comentário: 
 Para o maior valor de x/y, o x tem que ter seu valor máximo e o y seu valor mínimo, e de 
acordo com os intervalos, temos: x = 10 e y = 20. Assim, o maior valor de x/y será: 
10/20 = 1/2 = 0,5. 
Gabarito: A 
 (Exercício Modelo) - Considere os conjuntos N, Z, Q e R e as afirmativas: 
I. 𝒁𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 ( ) 
II. 𝟏/𝟐 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑵 𝒆 𝒁 ( ) 
III. −𝟏 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂 𝑵 ( ) 
IV. 𝟎, 𝟑𝟑𝟑. . . 𝒏ã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝑸 ( ) 
V. 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝑹 ( ) 
 
Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, na ordem certa, a resposta é: 
2
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) F, F, V, V, F 
b) F, V, V, F, F 
c) V, V, V, V, F 
 d) V, V, V, V, V 
 e) F, F, F, V, V 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das assertivas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado pede. Ressalto ainda que os conjuntos N, Z, Q e R, são, respectivamente, 
conjunto dos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais. 
 I- Assertiva certa, pois o ZERO é um número natural, logo, também será Inteiro, Racional e 
Real. 
 II- Assertiva certa, pois 1/2 (0,5) é um número racional, não inteiro nem natural, pelo simples 
fato de possuir casas decimais após a vírgula. 
 III- Assertiva certa, pois o número -1, por ser negativo, não pertence ao conjunto dos números 
Naturais, que são elementos não negativos e que não possuam casas decimais. 
 IV- Assertiva certa, pois 0,333... por ser uma dízima periódica, pertence ao conjunto dos 
Racionais e ao conjunto dos REAIS, ou seja, não é SOMENTE dos RACIONAIS. 
 V- Assertiva certa, pois raiz quadrada de dois é um número Irracional, ou seja, pertence 
também ao conjunto do Reais. 
Gabarito: D 
 (Exercício Modelo) - Classificando-se as afirmativas abaixo em V (Verdadeira) ou F (Falsa), 
I. Todo número natural é inteiro. 
II. Todo número racional é inteiro 
III. Todo número racional é real. 
IV. Todo número irracional é real. 
V. Todo número real é racional. 
 
Qual sequência abaixo é correta? 
a) V,V,F,V,F 
b) V,F,V,F,F 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) V,V,V,F,F 
 d) V,F,F,V,V 
 e) V,F,V,V,F 
Comentário: 
 Como a questão aborda relação de inclusão de Conjuntos Numéricos, nada melhor que 
analisar cada afirmativa tendo por base um Diagrama geral destes conjuntos. 
 
 Podemos extrair algumas conclusões a partir deste modelo de diagrama: 
 
• I - Assertiva certa, pois o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros 
• II - Assertiva errada, pois o conjunto dos racionais não está contido no conjunto dos 
inteiros 
• III - Assertiva certa, pois o conjunto dos racionais não está contido no conjunto dos reais. 
• IV - Assertiva certa, pois o conjunto dos irracionais está contido no conjunto dos reais. 
• V - Assertiva errada, pois o conjunto dos reais não está contido no conjunto dos racionais. 
Gabarito: E 
 
 (Exercício Modelo) - Sejam p e q números reais. A esse respeito, assinale a opção correta. 
a) 𝒑 < 𝟎 ⟶ √𝒑𝟐 = 𝒑 
b) 𝒑 𝒆 𝒒 𝒔ã𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔 ⟶ 𝒑 . 𝒒 é í𝒎𝒑𝒂𝒓 
c) 𝒑 . 𝒒 = 𝟎 > 𝒑  𝟎 𝒆 𝒒  𝟎 
d) 𝒑 . 𝒒 > 𝟎 ⟶ 𝒑 𝒆 𝒒 𝒕ê𝒎 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐𝒔 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) 𝒑² = 𝒒² ⟶ 𝒑 = 𝒒 𝒐𝒖 𝒑 = −𝒒 
 
 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidãoo 
que o enunciado diz. 
 a) - Alternativa errada, pois se p for negativo, isso implica o resultado da sua raiz quadrada 
ser em módulo, ou seja, igual ao simétrico de p. Assim, p < 0 = > = - p = I p I. 
 b) - Alternativa errada, pois o produto de pares sempre resulta um número par. 
 c) - Alternativa errada, pois quando o produto de dois números resulta zero, é possível afirmar 
que ao menos um deles será zero. Esta conclusão surge do Princípio da Anulação. 
 d) - Alternativa errada, pois para o produto de dois números resultarem um valor positivo 
isso implica dizer que estes números precisam ter sinais iguais. 
 e) - Alternativa certa, pois quando estivermos diante de uma igualdade, em que os números 
estão elevados a uma potência de índice par, é necessário ter no resultado o valor do próprio 
número e do seu oposto. Isso se explica pelo simples fato de qualquer número positivo ou 
negativo elevados a um expoente par, o resultado será um valor positivo. 
Gabarito: E 
 (EsPCEx) - É correto afirmar que: 
a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. 
 a) - Alternativa errada, pois a diferença não é fechada no conjunto dos números naturais. 
 
 b) - Alternativa errada, pois o quociente não é fechado no conjunto dos naturais. 
 
2p
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 c) - Alternativa certa, pois a soma é fechada no conjunto dos números racionais. 
 
 d) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. 
 
 e) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. 
Gabarito: C 
 (Exercício Modelo) - Marque a alternativa INCORRETA: 
a) se x e y são números racionais, então 𝒙 + 𝒚 é um número racional; 
b) se x e y são números irracionais, então 𝒙 + 𝒚 é um número irracional; 
c) se x e y são números racionais, então 𝒙 ⋅ 𝒚 é um número racional; 
d) se x é um número racional e y é um número irracional, então 𝒙 + 𝒚 é um número irracional. 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. 
 a) - Alternativa certa, pois a soma é fechada no conjunto dos números racionais. 
 b) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. Tendo 
como contraexemplo 𝑥 = √2 + 1 ∈ 𝛪 e 𝑦 = 1 − √2 ∈ 𝛪, porém 𝑥 + 𝑦 = 2 ∈ ℚ. 
 c) - Alternativa certa, pois o produto é fechado no conjunto dos racionais. 
 d) - Alternativa certa, pois a operação soma de racionais com irracionais, resultará sempre 
um número irracional. Vamos a um exemplo: (√2) − (1) = (√2 − 1) ∉ 𝑄. 
Gabarito: B 
 (Exercício Modelo) - Na reta numérica abaixo, estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
Representando o produto 𝒂 ⋅ 𝒃 nesta reta numérica, ele ficará: 
a) direita de 𝟏. 
b) entre 𝒃 e 𝟏. 
c) entre 𝒂 e 𝒃. 
d) entre 𝟎 e 𝒂. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) esquerda de 𝟎. 
Comentário: 
 Ressalto que se trata de mais uma questão sobre números reais compreendidos entre 0 e 1. 
 Segue uma das formas de solução: 
0 < 𝑎 < 1  ∧  0 < 𝑏 < 1 ⇒ 0 ⋅ 𝑎 < 𝑏 ⋅ 𝑎 < 1 ⋅ 𝑎 ⇔ 0 < 𝑎𝑏 < 𝑎 
 Note que como 𝑎 > 0 o sinal da desigualdade não muda ao multiplicarmos todos os termos 
por 𝑎. 
Gabarito: D 
 (Exercício Modelo) - Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos 
I) ( ) Todo número irracional é um número decimal ilimitado. 
II) ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado. 
III) ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real. 
IV) ( ) Todo número decimal limitado é um número racional. 
V) ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional. 
 
Conclui-se que: 
a) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso. 
b) os três últimos são verdadeiros. 
c) somente o quinto é verdadeiro. 
d) o segundo e o terceiro são verdadeiros. 
Comentário: 
I. V – Todo irracional é representado por uma dízima não periódica, logo é um decimal 
ilimitado. 
 
II. F − Há números racionais que possuem representações decimais exatas. 
 
III. V – Os números decimais ilimitados podem ser racionais, quando periódicos, ou 
irracionais, quando não periódicos, em ambos os casos serão sempre reais. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
IV. V − Todo decimal limitado pode ser representado como uma fração cujo denominador é 
uma potência de 10 (fração decimal), logo são números racionais. 
 
V. V − As dízimas não periódicas são números irracionais, como visto em nossa teoria. 
Gabarito: B 
 (CMRJ – 2011) - Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA. 
a) Seja 𝒂 um número real não nulo. Então, 𝒂−𝟏 ∈ ℝ. 
b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual 
ao próprio número. 
c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número. 
d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro 
negativo. 
e) Todo número real negativo possui inverso. 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
a) Alternativa verdadeira, pois: o inverso de um número real não nulo também é um número 
real, pois o conjunto dos reais é fechado em relação à divisão. 
b) Alternativa falsa, pois: utilizando como forma de resolução o contraexemplo, 
temos:(√−2)
2
∉ ℝ ⇒ (√−2)
2
≠ −2. Lembro-vos que a raiz quadrada de qualquer 
número o seu resultado deverá sair em módulo. 
c) Alternativa verdadeira, pois: Seja o número 𝑘, seu antecessor é (𝑘 − 1) e o sucessor 
desse número é (𝑘 − 1) + 1 = 𝑘. 
d) Alternativa verdadeira, pois: 
(−1)+(−2)
2
= −1,5 ∉ ℤ 
e) Alternativa verdadeira, pois: o inverso de um número real negativo (e, por conseguinte, 
não nulo) também é um número real, pois o conjunto dos reais é fechado em relação à 
operação divisão. 
Gabarito: B 
 (CN – 1999) - Dos números: 
I) 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟑. .. 
II) 𝟎, 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎. .. 
III) √𝟐 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das assertivas para descobrir qual delas expressa com exatidão a 
resposta correta dada nas alternativas. 
 I) 0,4333. . . =
43−4
90
=
39
90
∈ ℚ 
 II) 0,101101110. . . ∉ ℚ, pois trata-se de uma dízima não periódica, ou seja, não possui o 
período. 
 III) √2 ∉ ℚ 
 IV) 
2𝜋𝑅
2𝑅
= 𝜋 ∉ ℚ 
Gabarito: C 
 (Exercício Modelo) - Assinale a afirmativa verdadeira. 
a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
c) O quadrado de um número irracional é um número racional. 
d) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
e) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. 
 a) - Alternativa errada,pois a soma não é fechada no conjunto dos números irracionais. 
Temos como contraexemplo: (√2 + 1) + (4 − √2) = 5 ∈ 𝑄 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 b) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. Tendo 
como contraexemplo √8. √8 = √64 = 8 ∈ 𝑄 
 c) - Alternativa errada, pois quadrado de √2
3
 é igual a √4
3
, logo, irracional. 
 d) - Alternativa errada, pois raiz quadrada de 1 é igual a 1, logo, racional e não irracional como 
diz a questão. 
 e) - Alternativa certa, pois a operação diferença de racionais com irracionais, resultará sempre 
um número irracional. Vamos a um exemplo: (1) − (√3) = (1 − √3) ∉ 𝑄. 
Gabarito: E 
 (Exercício Modelo) - Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: 
a) 𝒙 ⋅ 𝒚 é irracional 
b) 𝒚 ⋅ 𝒚 é irracional 
c) 𝒙 + 𝒚 é racional 
d) 𝒙 − 𝒚 + √𝟐 é irracional 
e) 𝒙 + 𝟐𝒚 é irracional 
 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. Utilizaremos alguns contraexemplos para acharmos a resposta correta. 
 a) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo: 0. √2 = 0 ∈ 𝑄 
 b) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo √8. √8 = √64 = 8 ∈ 𝑄 
 c) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo (1) + (√2) = (1 + √2) ∉ 𝑄 
 d) - Alternativa errada, pois temos contraexemplo: (1 − √2) + √2 = 1 ∈ 𝑄. 
 e) - Alternativa certa, pois temos como contraexemplo (1) + (2√2) = (1 + 2√2) ∉ 𝑄 
Gabarito: E 
 (CMRJ – 2010) - Se x, y e z são números racionais e 𝒛 =
𝟐+𝒙√𝟑
𝒚−√𝟑
, então 
a) 𝒙 = 𝒚𝟐 
b) 𝒙 + 𝒚 = 𝟑 
c) 
𝒙
𝒚
= 𝟐 
d) 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) 𝒙𝒚 = −𝟐 
Comentário: 
 Vamos à resolução desta questão bastante interessante. 
 
𝑧 =
2 + 𝑥√3
𝑦 − √3
⇔ 𝑦𝑧 − 𝑧√3 = 2 + 𝑥√3 ⇔ (𝑦𝑧 − 2) − (𝑥 + 𝑧)√3 = 0 
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℚ ⇒ 𝑥 + 𝑧 = 0  ∧  𝑦𝑧 − 2 = 0 
{
𝑥 + 𝑧 = 0 ⇔ 𝑧 = −𝑥
𝑦𝑧 − 2 = 0 ⇒ 𝑦 ⋅ (−𝑥) − 2 = 0 ⇔ 𝑥𝑦 = −2
 
 Perceba que o “pulo do gato” é saber que a diferença de um número racional com outro 
número, só será racional se este último também for racional. Logo, o valor que está multiplicando 
a raiz quadrada de 3 deverá ser igual a zero. 
Gabarito: E 
 (EPCAr – 1999) - Seja x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. Analise as 
proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
I) (√𝟐 ⋅ 𝒙) pode ser racional. 
II) 𝒚𝟐 é sempre irracional. 
III) 𝒚𝟑 nem sempre é irracional. 
IV) √𝒙 é sempre um número real. 
 
São verdadeiras somente as proposições 
a) e IV 
b) II e III 
c) e III 
d) II e IV 
Comentário 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. Utilizaremos alguns contraexemplos para acharmos a resposta correta. 
I. Assertiva verdadeira: se 𝑥 = 0 então √2 ⋅ 𝑥 = 0 é racional. 
II. Assertiva falsa: se 𝑦 = √2 então 𝑦2 = 2 ∈ ℚ 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
III. Assertiva verdadeira: se 𝑦 = √2
3
 então 𝑦3 = 2 ∈ ℚ 
IV. Assertiva falsa: se 𝑥 < 0 então √𝑥 ∉ ℝ 
Gabarito: C 
 (AFA – 2002) - Assinale a alternativa que contém a afirmação correta. 
a) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℝ, √(𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝒙 + 𝒚 
b) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ∗, se 
𝒙
𝒚
 é inteiro, então 
𝒚
𝒙
 é inteiro 
c) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ, 
𝒙+𝒚
𝟏+𝒙
 é um número racional 
d) ∀𝒙, 𝒚, 𝒙 𝒆 𝒚 ∈ ℤ, 
𝒙+𝒚
𝟏+𝒙𝟐
 é um número racional 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos 
a sua solução. Utilizaremos alguns contraexemplos para acharmos a resposta correta. 
 a) Assertiva falsa, pois : √(𝑥 + 𝑦)2 = |𝑥 + 𝑦| . Contraexemplo: √((−1) + (−2))
2
= 3 ≠
−3 = (−1) + (−2) 
 b) Assertiva falsa. Contraexemplo: 𝑥 = 4 𝑒 𝑦 = 2 ⇒
𝑥
𝑦
∈ ℤ 𝑒 
𝑦
𝑥
∉ ℤ 
 c) Assertiva falsa. Contraexemplo: 𝑥 = −1 ⇒
𝑥+𝑦
1+𝑥
∉ ℚ 
 d) Assertiva verdadeira. 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ 𝑒 1 + 𝑥2 ∈ ℤ∗ ⇒
𝑥+𝑦
1+𝑥2
∈ ℚ 
Gabarito: D 
 (FN 2003) – Se trocarmos o dígito 3 pelo dígito 8 no número 1.345, qual será o aumento desse 
número? 
a) 5 
b) 500 
c) 545 
d) 800 
Comentário: 
 
𝑁 = 1345
𝑀 = 1845
→ 𝑀 −𝑁 = Descobrimos o aumento com a subtração do maior pelo menor. 
 Assim: 
1845 − 1345 = 500. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: B 
 (FN 2003) – Em uma escola 5/8 dos estudantes são meninas e 360 meninos. Qual é o número total 
de estudantes dessa escola? 
a) 1300 
b) 960 
c) 860 
d) 720 
Comentário: 
 Total de alunos = x. 
 Desses alunos, existem meninos e meninas, assim: Meninas = 
5𝑥
8
 ; Meninos = 360 
 Sabemos que, total de alunos = meninos + meninas, logo: 
𝑥 =
5𝑥
8
+ 360 
 Multiplicando toda a equação por 8 temos: 
8𝑥 = 5𝑥 + 8 ⋅ 360 
3𝑥 = 8 ⋅ 360 
𝑥 =
8⋅ 360
3
⇒ 8 ⋅ 120 ⇒ 𝑥 = 960. 
Gabarito: B 
 (FN 2003) – O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numerada da figura 
abaixo é: 
 
a) 2,3 
b) – 1,7 
c) – 2,03 
d) – 2,3 
Comentário: 
 Entre – 2 e – 1 temos um segmento de reta cuja medida vale 1. 
 Essa medida está dividida em 10 pedaços, logo, cada um vale 0,1. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Saindo do ponto – 1 até a seta indicada, andamos 7 pedaços, logo, 0,7 de medida. 
 Assim, – 1 adicionado a – 0,7 temos: – 1,7. 
Gabarito: B 
 (FN 2005) – 
 
Se C é um número diferente de zero, então: 
a) C = R 
b) R = 10 
c) C = 10 
d) C = 10 R 
e) R = 10 C 
Comentário: 
 Perceba que a questão diz, pegue um número C depois: 
 - multiplique por 10, do resultado 
 - multiplique por 100, do resultado 
 - divida por 1000, do resultado 
 - multiplique por 10. Este resultado final é igual a R. 
 Veja que, em expressão temos: 
𝐶 × 10 × 100
1000
× 10 = 𝑅 
𝐶 ⋅ 1 000
1 000
⋅ 10 = 𝑅 ⇒ 𝑅 = 10𝐶 
Gabarito: E 
 (FN 2005) – 
 
Observe as sentenças acima e responda quantas são verdadeiras. 
a) Somente uma. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) Somente duas. 
c) Somente três. 
d) As quatro. 
e) Nenhuma. 
Comentário: 
 −8 ∈ ℕ: falso. Nos naturais não temos números negativos. 
 √−9 ∈ ℤ: falso. Raiz de índice par de um número negativo não pertence aos reais, logo, 
também não é inteiro. 
 
16
4
∈ ℤ: verdadeiro. Na verdade, o exemplo dado é uma fração aparente que corresponde ao 
número 4. 
 0 ∈ ℚ: verdadeiro. O número 0 (zero) é natural, inteiro e racional. 
Gabarito: B 
 (FN 2008) – Sabendo que 𝒙 = 𝟏𝟎 − (−𝟖): (+𝟒) e 𝒚 = 𝟐𝟓: (−𝟐𝟓) − 𝟒: (+𝟒), qual é o valor de 𝒙 −
𝒚? 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
Comentário: 
 Lembrando que entra as operações fundamentais, a divisão e multiplicação prevalece sobre 
a adição ou subtração. Assim, devemos realizar na expressão abaixo a divisão por primeiro. Veja: 
𝑥 = 10 − (−8): (+4) 
𝑥 = 10 − [(−8): (+4)] 
𝑥 = 10 − [−2] ∴ 𝑥 = 10 + 2 = 12 
𝑦 = 25: (−25) − 4: (+4) 
𝑦 = [25: (−25)] − [4: (+4)] 
𝑦 = −1 − (1) ∴ 𝑦 = −2 
Assim 𝑥 − 𝑦 ⇒ 12 − (−2) ⇒ 14 
Gabarito: E 
 (FN 2008) – Sabe-se que a e b são dois números naturais diferentes de zero, tais que a = b. Nessas 
condições a igualdade correta é: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) 𝒂: 𝒃 = 𝟏 
b) 𝒂 × 𝒃 = 𝟎 
c) 𝒂: 𝒃 = 𝟎 
d) 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 
e) 𝒂–𝒃 = 𝟏 
Comentário: 
 Se 𝑎 = 𝑏, com a e b diferentes de zero, então, é possível dividir toda a equação por a ou b, 
assim: 
𝑎 = 𝑏 ⇒
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑏⇒
𝑎
𝑏
= 1 ⇒ 𝑎: 𝑏 = 1. 
Gabarito: A 
 (FN 2011) – Ordenando os números racionais 𝒑 =
𝟏𝟑
𝟐𝟒
, 𝒒 =
𝟐
𝟑
 e 𝒓 =
𝟓
𝟖
, conclui-se que: 
a) p < r < q 
b) q < p < r 
c) r < p < q 
d) q < r < p 
e) r < q < p 
Comentário: 
 Na comparação entre fração, devemos deixar todos os números racionais ou com o 
numerador igual ou com o denominador, para aí sim podermos comparar, lembra?! Assim, o 
ideal é deixarmos todas as frações com o denominador 24, pois é o mais conveniente. Veja: 
𝑝 =
13
24
 
 𝑞 =
2
3
 ou seja, multiplicado por 8: 
16
24
 ; esta fração é a equivalente da fração q. 
 𝑟 =
5
8
 ou seja, multiplicado por 3: 
15
24
 ; esta fração é equivalente da fração r. 
 Agora, todas com o mesmo denominador, será menor a fração que possuir o menor 
denominador. Veja: 
13
24
<
15
24
<
16
24
⇔ 𝑝 < 𝑟 < 𝑞 
Gabarito: A 
 (FN 2011) – O conjunto 𝑨 = {−𝟒, −𝟑, −𝟐,−𝟏,  𝟎,  𝟏} pode ser representado por: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 < 𝒙 < 𝟏} 
b) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 < 𝒙 ≤ 𝟏} 
c) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏} 
d) {𝒙 ∈ 𝒁| − 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟏} 
e) {𝒙 ∈ 𝒁| + 𝟒 < 𝒙 < 𝟏} 
Comentário: 
 Temos que o conjunto A é dado por: 
𝐴 = {−4, −3, −2, −1,  0,  1} 
 Perceba que o conjunto A possui números inteiros com extremidades – 4 e 1, logo: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
Gabarito: C 
 (FN 2012) – Determine quais das opções abaixo são números irracionais. 
(I) 9,3215321532... 
(II) −√𝟑 
(III) 0,1717717711... 
(IV) 𝟓𝝅 
 
a) I 
b) II e IV 
c) III e IV 
d) I, II e III 
e) II, III e IV 
Comentário: 
 São irracionais os números que são dízimas não periódicas, ou seja, não podem ser expresso 
por meio de fração de inteiros. 
 Assim: 
 I: 9, 3215⎵ 3215⎵ 
período
32…⎵ ⇒∈ ℚ 
 II: −√3 ⇒∈ 𝛪 
 III: 0,1717717711… ⇒ 𝛪 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 IV: 5𝜋 ⇒∈ 𝛪 
Gabarito: E 
 (FN 2012) – Os números 𝟑
𝟏
𝟐
 e 
𝟒
𝟗
 são representados por 𝒙 e𝒚, isto é, 𝒙 = 𝟑
𝟏
𝟐
 e 𝒚 =
𝟒
𝟗
. Determine o 
valor de 𝒙 ⋅ 𝒚: 
a) 
𝟏𝟒
𝟗
 
b) 
𝟏𝟐
𝟏𝟖
 
c) 6 
d) 
𝟕
𝟑
 
e) 
𝟕
𝟖
 
Comentário: 
 Questão que trata de transformação de número misto em fração imprópria, lembra? Vemos 
a sua resolução! 
3
1
2
⇒ 3 +
1
2
⇒
3 ⋅ 2 + 1
2
⇒
7
2
= 𝑥 
Se 𝑦 =
4
9
, então: 𝑥 ⋅ 𝑦 =
7
1 2
⋅
2 4
9
=
14
9
 
Gabarito: A 
 (FN 2012) – Determine a fração que deu origem à dízima periódica 0,232323... 
a) 
𝟐𝟑
𝟗
 
b) 
𝟐𝟑
𝟗𝟗
 
c) 
𝟐𝟑𝟎
𝟗𝟗𝟗
 
d) 
𝟐,𝟑
𝟏𝟎
 
e) 
𝟐𝟑
𝟏𝟎
 
Comentário: 
 Para encontrarmos a fração geratriz dessa dízima periódica, vamos utilizar o método prático, 
ok? Vamos nessa então! 
𝑥 = 0,232323… 
 Temos que ⇒ 𝐹 =
𝑁°−parte inteira
99…9
 
𝐹 =
23−0
99
⇒
23
99
. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: B 
 (FN 2013) – Assinale o número irracional. 
a) √𝟏𝟒𝟒 
b) √𝟑𝟕 
c) √𝟏
𝟖
 
d) √𝟐𝟕
𝟑
 
e) −√𝟖𝟏 
Comentário: 
 Analisando alternativa a alternativa, podemos classificar cada número, a partir da 
simplificação de radicais (tema a ser estudado mais a frente, não se preocupe). Veja: 
√144 ⇒ √122 → 12 ∈ ℚ 
 √37 ⇒∈ 𝛪, pois 37 é primo, logo não pode sair do radical. 
√1
8
⇒ 1 ∈ ℚ 
√27
3
⇒ √33
3
⇒ 3 ∈ ℚ 
−√81 ⇒ −√92 ⇒ −9 ∈ ℚ 
Gabarito: B 
 (FN 2019) – O número𝝅, representado pela dízima não periódica 3,141592…, é um número que: 
a) 𝝅 ∈ ℕ 
b) 𝝅 ∉ ℝ 
c) 𝝅 ∈ ℚ 
d) 𝝅 ∈ 𝑰 
e) 𝝅 ∈ ℤ 
Comentário: 
 Já sabemos que o 𝜋 é um número irracional, ou seja, uma dízima não periódica. 
 Assim: 𝜋 ∈ 𝛪 
Gabarito: D 
 (FN 2019) – Qual o valor da expressão 𝟐𝟓 − {𝟑 × 𝟏𝟕 − [𝟏𝟎 + 𝟔 × (𝟖 − 𝟒 × 𝟐) + 𝟐 + 𝟑] −
𝟒 × 𝟒}: 𝟓? 
a) 42 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
b) 23 
c) 21 
d) 13 
e) 10 
Comentário: 
 Fazendo as operações na ordem correta, ou seja, resolvendo o que está entre parêntes, 
depois o que está entre colchetes, depois o que está entre chaves, temos: 
𝟐𝟓 − {𝟑 × 𝟏𝟕 − [𝟏𝟎 + 𝟔𝒙(𝟖 − 𝟒 × 𝟐) + 𝟐 + 𝟑] − 𝟒 × 𝟒}: 𝟓 
𝟐𝟓 − {𝟓𝟏 − [𝟏𝟎 + 𝟔𝒙(𝟖 − 𝟖) + 𝟓] − 𝟏𝟔}: 𝟓 
𝟐𝟓 − {𝟓𝟏 − [𝟏𝟎 + 𝟔 ⋅ 𝟎 + 𝟓] − 𝟏𝟔}: 𝟓 
𝟐𝟓 − {𝟓𝟏 − 𝟏𝟓 − 𝟏𝟔}: 𝟓 
𝟐𝟓 − {𝟓𝟎}: 𝟓 ⇒ 𝟐𝟓 − 𝟒 ⇒ 𝟐𝟏 
 Perceba que é preciso obedecer a ordem dos operadores matemáticos que representam as 
operações matemática, ou seja: multiplicação e divisão tem precedência em relação à adição e à 
subtração. Você pode estar se perguntando: “mas e entre cada uma delas, qual eu resolvo 
primeiro? ”. Eu respondo que, neste caso, a ordem deve ser feita quem vier primeiro, ou seja, da 
esquerda para a direita. 
Gabarito: C 
 
 (EEAr) - Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
 
 
É falso afirmar que: 
a) 𝟏/𝐚 > 𝟏/𝐛 
b) 𝐚 . 𝐛 < 𝐚 
c) 𝐛/𝐚 < 𝟏 
d) 𝐚 – 𝐛 < 𝟎 
Comentário: 
 Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de mais uma questão sobre números reais 
compreendidos entre 0 e 1. 
 Para resolver esta questão utilizaremos a técnica do contraexemplo. Assim, imaginemos a=0,2 
e b=0,5. Agora, vamos testar cada assertiva. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
• a) - Alternativa certa, pois 1/0,2 = 10/2 = 5 e 1/0,5 = 10/5 = 2. Desta forma temos como 
verdade que 5 > 2. Por consequência, 1/a > 1/b. 
 
• b) - Alternativa certa. Já sabemos que sempre será verdade, pois: 0,2.0,5 = 0,01 , que é 
menor que 0,2. 
 
 
• c) - Alternativa errada, pois: 0,5/0,2 = 5/2 = 2,5 , que é maior que 1 e não menor como a 
questão nos apresenta. 
 
• - Alternativa certa, pois pelo simples fato do elemento a estar mais próximo do zero, já 
implica ele ser menor que b, e por consequência, a diferença (a – b) ser também menor 
que zero. 
 
Gabarito: C 
37. (EAM 2017) Sabendo-se que A e B são subconjuntos finitos de U, que A é a notação para a 
operação complementar de A em relação a U, que 𝑨 = {q,r, s, t, 𝒖}, 𝑨 ∩ 𝑩 = {o, 𝒑} e 𝑨 ∪
𝑩 = {𝒎,  𝒏, 𝒐,   𝒑,   𝒒,   𝒓}, é correto afirmar que: 
a) A tem dois elementos e B tem quatro elementos. 
b) A tem quatro elementos e B tem dois elementos. 
c) A tem três elementos e B tem três elementos. 
d) A tem quatro elementos e B tem quatro elementos. 
e) A tem um elemento e B tem cinco elementos. 
 
Comentário: 
Para achar o conjunto A, devemos analisar o conjunto AUB e retirar os elementos que pertencem 
a �̅�, pois: 
𝐴𝑈𝐵 − 𝐴 = 𝐴 
Assim: 
𝐴 = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟} − {𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, 𝑢} = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝} 
Com isso, A tem 4 elementos. Assim, os demais elementos pertencentes a AUB representam B: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
𝐵 = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟} − {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝} + {𝑜, 𝑝} = {𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟} 
Assim, B tem 4 elementos também. 
 
GABARITO: D 
38. (EAM 2019) 
Considerando os conjuntos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo, 
assinalando a seguir a opção correta. 
( ) (ℕ∗ ∩ ℚ) = ℕ∗ 
( ) (ℤ − ℤ−) = ℤ+ 
( ) (ℝ ∪ ℤ) = ℚ 
 
a) (V)(V)(V) 
b) (V)(V)(F) 
c) (V)(F)(F) 
d) (F)(V)(F) 
e) (F)(F)(V) 
 
Comentário: 
l – 
A intersecção dos naturais* com os racionais é igual aos naturais*, pois os naturais* estão 
contidos nos racionais. Verdadeiro. 
ll – 
A diferença entre os inteiros e os inteiros negativos é igual aos inteiros positivos mais o zero – 
não só os inteiros positivos. Falso. 
lll – 
A união dos reais com os inteiros é igual aos reais, pois os inteiros estão contidos nos reais, e não 
igual aos racionais. Falso. 
 
GABARITO: C 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
7.0 Questões Nível 2 
 (EPCAr 2017) 
Considere 𝒂 = 𝟏𝟏𝟓𝟎,  𝒃 = 𝟒𝟏𝟎𝟎 𝒆 𝒄= 𝟐𝟏𝟓𝟎 e assinale a alternativa correta. 
a) 𝒄 < 𝒂 < 𝒃 
b) 𝒄 < 𝒃 < 𝒂 
c) 𝒂 < 𝒃 < 𝒄 
d) 𝒂 < 𝒄 < 𝒃 
 
 
 (CN-2013) 
Sabe-se que a média aritmética dos algarismos de todos os números naturais de 10 até 99, inclusive, 
é k. Sendo assim, pode-se afirmar que o número 
𝟏
𝒌
 é: 
(a) natural. 
(b) decimal exato. 
(c) dízima periódica simples. 
(d) dízima periódica composta. 
(e) decimal infinito sem período. 
 
 (CN-2002) 
O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a. 
(a) 268 
(b) 269 
(c) 270 
(d) 271 
(e) 272 
 
 (Provão/CN) 
Se 𝒙 é um número real tal que: 𝒙 ∈ [−𝟐 ; 𝟒] . Assim, a que intervalo pertence o número real 𝑲 , 
tal que: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
𝑲 = 
𝟐𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟑
 
 
𝒂) [𝟏 ; 𝟏𝟏/𝟕] 
𝒃) [−𝟏 ; 𝟏𝟏/𝟕] 
𝒄) [−𝟏𝟏/𝟕 ; 𝟒] 
𝒅)[−𝟏𝟏/𝟕 ; 𝟏] 
𝒆) [−𝟏/𝟐 ; 𝟒] 
 
 Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
É FALSO afirmar que 
a) 
𝟏
𝒂
>
𝟏
𝒃
 
b) 𝒂. 𝒃 < 𝒂 
c) 
𝒃
𝒂
< 𝟏 
d) 𝒂 − 𝒃 < 𝟎 
 
 Considere os conjuntos: 
𝑨 = {𝒂 𝝐 𝒛 ∗ / 𝒂 < 𝟓} 
𝑩 = {𝒃 𝝐 𝒛/ 𝟏 < 𝒃 < 𝟓} 
𝑪 = {𝒄 𝝐 𝒛 ∗ /𝟐𝒄² – 𝟖𝒄 = 𝟎} 
𝑫 = {𝒙 𝝐 𝒛 / 𝒙 é 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐 𝒆 𝒙 < 𝟕} 
Se 𝑨 ∩ 𝑬 = {𝟑} e 𝑩 ∪ 𝑬 = 𝑫 ∪ 𝑪, então o conjunto 𝑬 é igual a: 
a) {3} 
b) {3, 5} 
c) {3, 5, 7} 
d) {3, 4, 5} 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 ( CN - 87 ) Sendo a e b números inteiros quaisquer, 𝑹 = {𝒙 𝒙 = 
𝒂
𝒃
, 𝒃  𝟎} e 𝑺 =
 {𝟐; 𝟏, 𝟑; 𝟎, 𝟒𝟒𝟒. . . ; √𝟐} então: 
a) S  R 
b) S  R =  
c) S  R é unitário 
d) S  R tem dois elementos 
e) S - R é unitário 
 
 ( CN – 00 ) Sejam os conjuntos 𝑨 = { 𝒙  𝒁  𝒙 = 𝟔𝒏 + 𝟑, 𝒏  𝒁 } e 𝑩 = { 𝒙  𝒁  𝒙 =
 𝟑𝒏, 𝒏  𝒁}. 𝑬𝒏𝒕ã𝒐 
A  B é igual a: 
𝐚) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐛) { 𝐱  𝐙  𝐱 é í𝐦𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐜) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐝) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟔} 
𝐞) { 𝐱  𝐙  𝐱 é í𝐦𝐩𝐚𝐫 } 
 
 ( CN - 83 ) Sendo A = { x  N  x2 - 4 = 0 } B = { x  Z  -2  x < 5 } C = { x  z  0 <  5}. O 
conjunto A  (B  C) é: 
𝐚) { 𝟎, 𝟐 } 
𝐛) { −𝟐, 𝟐, 𝟏 } 
𝐜) { −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟐 } 
𝐝) { −𝟐, 𝟎, 𝟑, 𝟓 } 
𝐞) { −𝟐, 𝟎, 𝟐, 𝟒 } 
 
 
 ( CN - 79 ) Sejam os conjuntos: 
N = conjunto dos inteiros não negativos 
Z = conjunto dos inteiros 
Q = conjunto dos racionais 
− +3 2
3
x
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
R = conjunto dos reais 
 
Assinale a afirmativa falsa: 
a) { x  N  x2 - 4 = 0 } é um conjunto com um elemento 
b) { x  Q  x2 - 3 = 0 } é um conjunto vazio 
c) { x  R  x2 + 4 = 0 } é um conjunto que tem dois elementos. 
d) { x  Z  x2 - 4 = 0 } é um conjunto que tem dois elementos 
e) { x  Z  x  N } é um conjunto não vazio 
 
 ( CN - 79 ) Sejam os conjuntos: 
X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo 
Y = conjunto dos divisores ímpares e positivos de 10 
Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3, que têm um algarismo 
 = conjunto vazio 
 
Assinale a afirmativa correta 
a) 𝑿 − 𝒀 = { 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟗 } 
b) 𝒀 − 𝑿 = { 𝟑, 𝟕, 𝟗 } 
c) ( 𝑿  𝒀 ) − ( 𝑿  𝒁 ) = { 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟎 } 
d) ( 𝒀  𝒁 )  𝑿 = { 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗 } 
e) 𝒁 − 𝒀 =  
 
 
 ( CN – 97 ) Considere o conjunto A dos números primos positivos menores do que 20 e o conjunto 
B dos divisores positivos de 36. O número de subconjuntos do conjunto diferença B – A é: 
a) 32 
b) 64 
c) 128 
d) 256 
e) 512 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 (EPCAr 2020) – Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do 
ataque de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio, utilizando, 
necessariamente, um elevador. O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um 
dos 3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de 
modo a parar em andares diferentes, conforme esquema a seguir: 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de 
1 até 20 
( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e C. 
( ) Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores. 
( ) Se em x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que 7. 
Sobre as proposições, tem-se que: 
a) apenas uma afirmação é verdadeira. 
b) apenas duas afirmações são verdadeiras. 
c) todas as afirmações são verdadeiras. 
d) nenhuma afirmação é verdadeira. 
 
 (EPCAr 2006) 
Na reta real abaixo estão representados os números reais a, b, c, d, zero e 1. 
 
Analise os itens abaixo, classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos. 
(01) 𝒂 < 𝒃𝒄 
(03) 𝟎 < 𝒂𝒃 < 𝟏 
(04) √𝒅𝟐 > √𝒄𝟐 
(06) 𝒄 + 𝒅 − 𝒃 < 𝒂 
(08) 
𝟏
𝒂
 .
𝟏
𝒃
> 𝟏 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A soma dos números associados aos itens verdadeiros é um número do intervalo: 
a) [𝟏, 𝟓] 
b) [𝟔, 𝟏𝟏] 
c) [𝟏𝟐, 𝟏𝟕] 
d) [𝟏𝟖, 𝟐𝟐] 
 
 (EPCAr 2007) 
Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso. 
( ) 𝟏, 𝟔𝟓̅̅̅̅ ∈ [(ℝ ∪ ℕ) − (ℝ ∩ ℚ)] 
( ) 𝟑𝟏, 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟗 ∈ [(ℤ ∪ ℚ) − { }] 
( ) ℕ ∈ [(ℝ ∩ ℕ) ∩ (ℚ ∩ ℤ)] 
( ) [(ℝ ∪ ℚ) − (ℝ ∩ ℚ)] ⊃ {𝝅, √𝟐,
𝟓
𝟕
} 
A sequência correta é: 
a) F, V, V, V, F 
b) V, F, V, F, V 
c) V, V, F, V, V 
d) F, F, V, F, F 
 
 (EPCAr 2008) 
Considere as alternativas abaixo e marque a correta. 
a) Se 𝜶 e 𝜷 são números irracionais, então 
𝜶
𝜷
 é, necessariamente, irracional. 
b) Se a e b são números naturais não-nulos, M(a) é o conjunto dos múltiplos naturais de a e 
M(b) é o conjunto dos múltiplos naturais de b, então 𝑴(𝒃) ⊃ 𝑴(𝒂) se, e somente se, a é 
divisor de b. 
c) Se 𝜶 =
𝟏
𝟑−√𝟑
−
𝟏
𝟑+√𝟑
, então 𝜶 ∈ ([ℝ − ℚ] ∩ [ℤ ∪ ℚ]) 
d) Se A é o conjunto dos divisores naturais de 12, B é o conjunto dos divisores naturais de 24 e 
C é o conjunto dos múltiplos positivos de 6 menores que 30, então 𝑨 − (𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑨 − 𝑪. 
 
 
 (CN) Dos números: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
I. 0, 4333 . . . 
II. 0, 101101110 . . . 
III. √𝟐 
IV. O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere os conjuntos descritos a seguir, 
sobre eles é correto afirmar que: 
A = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 5, mas não é múltiplo de 2} 
B = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 5, mas não é múltiplo de 10} 
C = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 7, mas não é múltiplo de 2} 
D = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 7, mas não é múltiplo de 10} 
a) 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑫 ⊂ 𝑪 
b) 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑫 = 𝑪 
c) 𝑨 = 𝑩 𝒆 𝑪 ⊂ 𝑫 
d) 𝑨 = 𝑩 𝒆 𝑪 = 𝑫 
e) 𝑨 = 𝑫 𝒆 𝑪 = 𝑩 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Sejam 𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕}, 𝑩 =
{−𝟐,−𝟒,−𝟔,−𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∙ 𝒚, 𝒄𝒐𝒎 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ 𝑩}, então o número de elementos do conjunto C 
que não pertencem ao conjunto B é igual a: 
a) 16 
b) 15 
c) 12 
d) 11 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) 10 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere os seguintes conjuntos 
numéricos ℕ, naturais, ℤ, inteiros, ℚ, racionais, 𝕀, irracionais e ℝ, reais, e considere também os 
conjuntos: 
𝑨 = (ℚ − ℤ) ∪ ℕ 
𝑩 = (ℝ ∩ 𝕀) ∪ (ℤ − ℕ) 
𝑪 = (ℝ − ℚ) ∩ 𝕀 
Qual das alternativas abaixo apresenta, respectivamente, um elemento possível de A, Be C? 
a) √𝟓, 5 e – 1,43. 
b) – 2, √𝟐 e √𝟐. 
c) 2, 5 e 10. 
d) ½, - 12 e √𝟏𝟎. 
e) 3,14; 0 e √𝟔𝟒
𝟑
 
 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) A área da figura geométrica plana convexa 
formada pelo produto cartesiano (𝑨𝒙𝑩), tal que 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ | 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒} e 𝑩 = {𝒚 ∈ ℝ | 𝟐 ≤ 𝒚 ≤
𝟕}, é igual a: 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟏𝟐 
c) 𝟏𝟓 
d) 𝟏𝟔 
e) 21 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Dado os conjuntos 𝑨 = (−𝟒;𝟑], 𝑩 =
[−𝟓; 𝟓] e 𝑪 = (−∞;𝟏), então o conjunto 𝑫, tal que 𝑫 = 𝑪 − (𝑨 ∩ 𝑩), é igual a: 
a) (−∞; −𝟒] 
b) (−𝟒; 𝟏) 
c) [−𝟒; 𝟏) 
d) (𝟏;∞) 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
e) (−∞; −𝟒) 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere a equação abaixo: 
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟒𝟓
+⋯+
𝟏
[(𝟒𝒂 − 𝟑)(𝟒𝒂 + 𝟏)]
=
𝟓𝟎𝟓
𝟐𝟎𝟐𝟏
 
Sabendo-se que 𝒂 ∈ ℕ∗, então o resto da divisão de 𝒂𝟐𝟎𝟐𝟏 por 𝟏𝟏 é: 
a) 501 
b) 504 
c) 505 
d) 510 
e) 506 
 
 
 
7.1 Gabarito 
 
1. A 
2. C 
3. B 
4. B 
5. C 
6. B 
7. E 
8. B 
9. C 
10. C 
11. D 
12. C 
13. B 
14. D 
15. A 
16. D 
17. C 
18. C 
19. D 
20. D 
21. C 
22. A 
23. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
8.0 Questões Nível 2 - Comentada 
 (EPCAr 2017) 
Considere 𝒂 = 𝟏𝟏𝟓𝟎,  𝒃 = 𝟒𝟏𝟎𝟎 𝒆 𝒄 = 𝟐𝟏𝟓𝟎 e assinale a alternativa correta. 
a) 𝒄 < 𝒂 < 𝒃 
b) 𝒄 < 𝒃 < 𝒂 
c) 𝒂 < 𝒃 < 𝒄 
d) 𝒂 < 𝒄 < 𝒃 
Comentário: 
a = 1150 
𝑏 = 4100 = 1650 
𝑐 = 2150 = 850 
Temos que: 
1650 > 1150 > 850 
𝒃 > 𝒂 > 𝒄 
Gabarito: A 
 (CN-2013) 
Sabe-se que a média aritmética dos algarismos de todos os números naturais de 10 até 99, inclusive, 
é k. Sendo assim, pode-se afirmar que o número 
𝟏
𝒌
 é: 
(a) natural. 
(b) decimal exato. 
(c) dízima periódica simples. 
(d) dízima periódica composta. 
(e) decimal infinito sem período. 
Comentários: 
Inicialmente, observe que há 
 (99 − 10 + 1) = 90 números de 2 algarismos, logo, 180 algarismos no total. 
Devemos agora calcular quantas vezes cada algarismo aparece 
Note que o Zero aparece 9 vezes, sendo elas {10,20,30,40,50,60,70,80,90} 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Note que os demais algarismos aparecem 10 vezes na casa das dezenas 
Por exemplo, de 10 a 19, o “1” aparece 10 vezes na casa das dezenas 
Note que os demais algarismos aparecem 9 vezes na casa das unidades 
Por exemplo, de 10 a 99, o “1” aparece nas unidades como {11,21,31,41,51,61,71,81,91} 
Assim, 
 Os demais algarismos aparecem 9+10=19 vezes cada 
Assim, a média aritmética será dada por 
 [19 ∗ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 9 ∗ 0]/180 = 19 ∗ 45/180 = 19/4 
Ou seja, 
 𝐾 = 19/4 
Assim, 
 1/𝑘 = 4/19 = 0, 210526315789473684, 
que se repete conforme continuamos a divisão, ou seja é uma dízima periódica simples 
Gabarito: C 
 (CN-2002) 
O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a. 
(a) 268 
(b) 269 
(c) 270 
(d) 271 
(e) 272 
Comentários: 
Note que o primeiro múltiplo de 12 nesse intervalo é 
 360 = 12.30 
Note que o último múltiplo de 12 nesse intervalo é 
 3576 = 12.298 
Assim, o total de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a 
 (298 − 30) + 1 = 269 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: B 
 (Provão/CN) 
Se 𝒙 é um número real tal que: 𝒙 ∈ [−𝟐 ; 𝟒] . Assim, a que intervalo pertence o número real 𝑲 , 
tal que: 
𝑲 = 
𝟐𝒙 + 𝟑
𝒙 + 𝟑
 
 
𝒂) [𝟏 ; 𝟏𝟏/𝟕] 
𝒃) [−𝟏 ; 𝟏𝟏/𝟕] 
𝒄) [−𝟏𝟏/𝟕 ; 𝟒] 
𝒅)[−𝟏𝟏/𝟕 ; 𝟏] 
𝒆) [−𝟏/𝟐 ; 𝟒] 
 
Comentário: 
Da equação dada no enunciado, temos: 
𝐾 = 
2𝑥 + 3
𝑥 + 3
⟹
2𝑥 + 6 − 3
𝑥 + 3
⟹
2𝑥 + 6
𝑥 + 3
−
3
𝑥 + 3
⟹ 𝐾 = 2 −
3
𝑥 + 3
 
 
Sabemos também que 𝑥 é um número real pertencente ao intervalo [−2 ; 4] . Desta forma, é 
possível escrever a seguinte inequação: 
−2 ≤ 𝑥 ≤ 4 
Somando 3 em todos os termos, temos: 
−2 + 3 ≤ 𝑥 + 3 ≤ 4 + 3 
1 ≤ 𝑥 + 3 ≤ 7 
Invertendo todos os termos, temos: 
1
7
≤
1
𝑥 + 3
≤ 1 
Multiplicando-se por3 todos os termos, temos: 
3
7
≤
3
𝑥 + 3
≤ 3 
Multiplicando-se por −1 todos os termos, temos: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
−3 ≤ −
3
𝑥 + 3
≤ −
3
7
 
Somando 2 em todos os termos, temos: 
2 − 3 ≤ 2 −
3
𝑥 + 3
≤ 2 −
3
7
 
Assim: 
2 − 3 ≤ 2 −
3
𝑥 + 3
≤ 2 −
3
7
 
 
−1 ≤ 𝐾 ≤
11
7
⟹ [−1 ; 11/7] 
 
Gabarito: B 
 Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
É FALSO afirmar que 
a) 
𝟏
𝒂
>
𝟏
𝒃
 
b) 𝒂. 𝒃 < 𝒂 
c) 
𝒃
𝒂
< 𝟏 
d) 𝒂 − 𝒃 < 𝟎 
Comentário: 
 Da reta, do enunciado, temos que: 
𝑏 < 1 𝑒 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎. 𝑏 < 𝑎 
 Com isso, a alternativa B está correto 
 Além disso, sabemos que: 
𝑏 > 𝑎 > 0 
⇒
1
𝑎
>
1
𝑏
, 𝑎 − 𝑏 < 0,
𝑏
𝑎
> 1 
 Portanto, a alternativa C está incorreta. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: C 
 Considere os conjuntos: 
𝑨 = {𝒂 𝝐 𝒛 ∗ / 𝒂 < 𝟓} 
𝑩 = {𝒃 𝝐 𝒛/ 𝟏 < 𝒃 < 𝟓} 
𝑪 = {𝒄 𝝐 𝒛 ∗ /𝟐𝒄² – 𝟖𝒄 = 𝟎} 
𝑫 = {𝒙 𝝐 𝒛 / 𝒙 é 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐 𝒆 𝒙 < 𝟕} 
Se 𝑨 ∩ 𝑬 = {𝟑} e 𝑩 ∪ 𝑬 = 𝑫 ∪ 𝑪, então o conjunto 𝑬 é igual a: 
 
a) {3} 
b) {3, 5} 
c) {3, 5, 7} 
d) {3, 4, 5} 
Comentários 
 Inicialmente, analisemos o conjunto 𝐷 ∪ 𝐶. Vejamos que 𝐷 = {2,3,5} e 𝐶 = {4}. Assim, 𝐷 ∪
𝐶 = {2,3,4,5}. Sabemos também que 𝐵 = {2,3,4}. Nesse sentido, para que 𝐵 ∪ 𝐸 = 𝐷 ∪ 𝐶, 
temos que o elemento 5 pertence a 𝐸. 
 Agora basta analisar se os elementos 2,3 e 4 estão também em 𝐸. Note que por 𝐴 ∩ 𝐸, temos 
que o elemento 3 pertence a 𝐸 e como 2 e 4 não pertencem a 𝐴 ∩ 𝐸 e pertencem a 𝐴, temos 
que eles não pertencem a 𝐸. Assim, o conjunto 𝐸 será {3,5}. 
Gabarito: “B” 
 ( CN - 87 ) Sendo a e b números inteiros quaisquer, R = {x x = 
𝒂
𝒃
, b  0} e S = {2; 1,3; 0,444...; √𝟐} 
então: 
a) S  R 
b) S  R =  
c) S  R é unitário 
d) S  R tem dois elementos 
e) S - R é unitário 
 
Comentário: 
Temos que R é o conjunto dos números racionais. Em S temos 3 números racionais (2; 1,3; 
0,444...) e 1 número irracional (√2). 
Assim, S – R é unitário (o elemento √2). 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: E 
 ( CN – 00 ) Sejam os conjuntos A = { x  Z  x = 6n + 3, n  Z } e B = { x  Z  x = 3n, n  Z}. Então 
A  B é igual a: 
𝐚) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐛) { 𝐱  𝐙  𝐱 é í𝐦𝐩𝐚𝐫 𝐞 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐜) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑 } 
𝐝) { 𝐱  𝐙  𝐱 é 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟔} 
𝐞) { 𝐱  𝐙  𝐱 é í𝐦𝐩𝐚𝐫 } 
 
Comentário: 
A representa o conjunto dos números que deixam resto 3 na divisão por 6. 
B representa o conjunto dos números múltiplos de 3. 
A intersecção dos conjuntos é o conjunto dos números que deixam resto 3 na divisão por 6, pois 
esses números são múltiplos de 3, obrigatoriamente. 
Ou seja, é um número ímpar e múltiplo de 3. 
Gabarito: B 
 
 ( CN - 83 ) Sendo A = { x  N  x2 - 4 = 0 } B = { x  Z  -2  x < 5 } C = { x  z  0 <  5}. O 
conjunto A  (B  C) é: 
𝐚) { 𝟎, 𝟐 } 
𝐛) { −𝟐, 𝟐, 𝟏 } 
𝐜) { −𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟐 } 
𝐝) { −𝟐, 𝟎, 𝟑, 𝟓 } 
𝐞) { −𝟐, 𝟎, 𝟐, 𝟒 } 
 
Comentário: 
Iremos analisar a condição do conjunto C: 
0 ≤ −3𝑥 + 2 ≤ 15 
−2 ≤ −3𝑥 ≤ 13 
2 ≥ 3𝑥 ≥ −13 
− +3 2
3
x
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
2
3
≥ 𝑥 ≥
−13
3
 
Fazendo a intersecção do conjunto B com o conjunto C, temos: 
2
3
≥ 𝑥 ≥ −2, como esse intervalo deve conter apenas os inteiros, temos: {-2, -1, 0} 
Sabendo que o conjunto A é igual a {2}, pois contém apenas naturais. 
Logo, a união de A com a intersecção de B com C é: {-2, -1, 0, 2} 
Gabarito: C 
 
 ( CN - 79 ) Sejam os conjuntos: 
N = conjunto dos inteiros não negativos 
Z = conjunto dos inteiros 
Q = conjunto dos racionais 
R = conjunto dos reais 
 
Assinale a afirmativa falsa: 
a) { x  N  x2 - 4 = 0 } é um conjunto com um elemento 
b) { x  Q  x2 - 3 = 0 } é um conjunto vazio 
c) { x  R  x2 + 4 = 0 } é um conjunto que tem dois elementos. 
d) { x  Z  x2 - 4 = 0 } é um conjunto que tem dois elementos 
e) { x  Z  x  N } é um conjunto não vazio 
 
Comentário: 
Iremos analisar cada um dos itens: 
a) Se x é natural, apenas a solução x = 2 pertence ao conjunto, uma vez que x = - 2 não pertence 
aos naturais. Portanto, o conjunto possui apenas um elemento. 
b) x2 – 3 = 0 não possui raízes racionais, logo o conjunto solução nesse item é vazio. 
c) x2 = - 4 não possui solução nos reais. Logo o item está incorreto. 
d) x2 = 4 possui duas raízes nos inteiros (2 e -2). 
e) É possível termos números inteiros, mas não naturais, por exemplo -2. 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Gabarito: C 
 
 ( CN - 79 ) Sejam os conjuntos: 
X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo 
Y = conjunto dos divisores ímpares e positivos de 10 
Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3, que têm um algarismo 
 = conjunto vazio 
 
Assinale a afirmativa correta 
a) 𝑿 − 𝒀 = { 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟗 } 
b) 𝒀 − 𝑿 = { 𝟑, 𝟕, 𝟗 } 
c) ( 𝑿  𝒀 ) − ( 𝑿  𝒁 ) = { 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟎 } 
d) ( 𝒀  𝒁 )  𝑿 = { 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗 } 
e) 𝒁 − 𝒀 =  
 
Comentário: 
X = {1, 3, 5, 7, 9} 
Y = {5} 
Z = {6, 9} 
X – Y = {1, 3, 7, 9} 
Y – X =  
(X  Y) - (X  Z) = {5} – {1, 3, 5, 6, 7, 9} =  
(Y  Z)  X =   {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 3, 5, 7, 9} 
Z – Y = {6, 9} 
Gabarito: D 
 
 ( CN – 97 ) Considere o conjunto A dos números primos positivos menores do que 20 e o conjunto 
B dos divisores positivos de 36. O número de subconjuntos do conjunto diferença B – A é: 
a) 32 
b) 64 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
c) 128 
d) 256 
e) 512 
 
Comentário: 
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 
B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 
B – A = {1, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 
Há 7 elementos. O número de subconjuntos é então: 27 = 128. 
Gabarito: C 
 (EPCAr 2020) 22 – Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do 
ataque de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio, utilizando, 
necessariamente, um elevador. O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um 
dos 3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de 
modo a parar em andares diferentes, conforme esquema a seguir: 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de 
1 até 20 
( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e C. 
( ) Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores. 
( ) Se em x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que 7. 
Sobre as proposições, tem-se que: 
a) apenas uma afirmação é verdadeira. 
b) apenas duas afirmações são verdadeiras. 
c) todas as afirmações são verdadeiras. 
d) nenhuma afirmação é verdadeira. 
Comentário: 
Basta analisarmos quais andares pertencem a quais conjuntos: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
𝑃 = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} 
𝑇 = {3,6,9,12,15,18} 
𝐶 = {5,10,15,20} 
l – Não existe intersecção entre P, T e C. Logo, não há andar que receba os 3 elevadores. 
Afirmativa verdadeira. 
ll – Os andares que recebem somente P e T são 6,12 e 18. 
Os andares que recebem somente P e C são 10 e 20. 
O andar que recebe somente T e C é o 15. 
Assim, 6,12,18,10,20 e 15 recebem exatamente 2 elevadores. Um total de 6 andares. 
Afirmativa verdadeira. 
lll – Basta analisar os andares que passam apenas por 1 andar: 
Andares que passam somente por P: 2,4,8,14 e 16. 
Andares que passam somente por T: 3 e 9. 
Andares que passam somente por C: 5. 
Assim, os andares que passam por 1 só andar são 2,4,8,14,16,3,9 e 5. Um total de 8 andares. 
Afirmativa falsa. 
Gabarito: B 
 (EPCAr 2006) 
Na reta real abaixo estão representados os números reais a, b, c, d, zero e 1. 
 
Analise os itens abaixo, classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos. 
(01) 𝒂 < 𝒃𝒄 
(03) 𝟎 < 𝒂𝒃 < 𝟏 
(04) √𝒅𝟐 > √𝒄𝟐 
(06) 𝒄 + 𝒅 − 𝒃 < 𝒂 
(08) 
𝟏
𝒂
 .
𝟏
𝒃
> 𝟏 
A soma dos números associados aos itens verdadeiros é um número do intervalo: 
 
 
 
 
107 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) [1, 5] 
b) [6, 11] 
c) [12, 17] 
d) [18, 22] 
Comentário: 
Analisando as afirmativas: 
(01) (F) Veja que 
𝑐 < 0; 𝑏 > 0 ⇒ 𝑏𝑐 < 0 
Como 
𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 > 0 > 𝑏𝑐 
(03) (V) Veja que 
0 < 𝑎 < 1; 0 < 𝑏 < 1 
⇒ 0 < 𝑎𝑏 < 1 
(04) (V) Veja que 
𝑑 < 𝑐 < 0 ⇒ |𝑑| > |𝑐| 
Além disso, 
√𝑑2 = |𝑑|;√𝑐2 = |𝑐| ⇒ √𝑑2 > √𝑐2 
(06) (V) Perceba que 
𝑐 < 0; 𝑑 < 0 ⇒ 𝑐 + 𝑑 < 0; 𝑏 > 0 ⇒ −𝑏 < 0 ⇒ 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 < 0 
Como 
𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 > 0 > 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 ⇒ 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 < 𝑎 
(08) (V) Veja que 
0 < 𝑎 < 1 ⇒
1
𝑎
> 1 
0 < 𝑏 < 1 ⇒
1
𝑏
> 1 
Dessa forma, 
1
𝑎
⋅
1
𝑏
> 1 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Assim, a soma dos itens verdadeiros é 
3 + 4 + 6 + 8 = 21 
Gabarito: D 
 
 (EPCAr 2007) 
Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso. 
( ) 𝟏, 𝟔𝟓̅̅̅̅ ∈ [(ℝ ∪ ℕ) − (ℝ ∩ ℚ)] 
( ) 𝟑𝟏, 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟗 ∈ [(ℤ ∪ ℚ) − { }] 
( ) ℕ ∈ [(ℝ ∩ ℕ) ∩ (ℚ ∩ ℤ)] 
( ) [(ℝ ∪ ℚ) − (ℝ ∩ ℚ)] ⊃ {𝝅, √𝟐,
𝟓
𝟕
} 
A sequência correta é: 
a) F, V, V, V, F 
b) V, F, V, F, V 
c) V, V, F, V, V 
d) F, F, V, F, F 
Comentário: 
Analisando as afirmativas: 
I. (F) Veja que 
ℕ ⊂ ℝ ⇒ ℝ ∪ ℕ = ℝ 
ℚ ⊂ ℝ ⇒ ℝ ∩ ℚ = ℚ 
Assim, para que um número pertença a 
ℝ −ℚ 
Tal número deve ser irracional. Entretanto o número 1, 65̅̅̅̅ é uma dízima periódica, ou seja, é 
racional. 
II. (V) Veja que 
ℤ ⊂ ℚ ⇒ ℤ ∪ ℚ = ℚ 
⇒ ℚ− { } = ℚ 
Assim, veja que o número 31,23459 é racional, ou seja, 
31,23459 ∈ ℚ 
 
 
 
 
109 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
III. (V) Veja que 
ℕ ⊂ ℝ ⇒ ℝ ∩ ℕ = ℕ 
ℤ ⊂ ℤ → ℚ ∩ ℤ = ℤ 
⇒ (ℝ ∩ ℕ) ∩ (ℚ ∩ ℤ) = ℕ ∩ ℤ 
ℕ ⊂ ℤ ⇒ ℕ ∩ ℤ = ℕ 
Assim, 
ℕ ⊂ ℕ 
É uma sentença verdadeira. 
IV. (V) Veja que 
ℕ ⊂ ℤ ⇒ ℤ ∪ ℕ = ℤ 
ℤ_ ⊂ ℝ ⇒ ℝ∩ ℤ_ = ℤ_ 
Assim, 
ℤ − ℤ_ = ℕ ∗ 
Por fim, 
ℤ ⊃ ℕ ∗ 
É uma afirmação verdadeira. 
V. (F) Veja que 
ℚ ⊂ ℝ ⇒ ℝ ∪ℚ = ℝ 
ℝ ∩ℚ = ℚ 
Assim, 
ℝ −ℚ 
Equivale ao conjunto dos números irracionais. Por fim, como 
5
7
∈ ℚ ⇒ ℝ−ℚ ⊅ {𝜋, √2,
5
7
} 
Assim, a sequência correta é 𝐹 − 𝑉 − 𝑉 − 𝑉 − 𝐹 
Gabarito: A 
 (EPCAr 2008) 
Considere as alternativas abaixo e marque a correta. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
a) Se 𝜶 e 𝜷 são números irracionais, então 
𝜶
𝜷
 é, necessariamente, irracional. 
b) Se a e b são números naturais não-nulos, M(a) é o conjunto dos múltiplos naturais de a e 
M(b) é o conjunto dos múltiplos naturais de b, então 𝑴(𝒃) ⊃ 𝑴(𝒂) se, e somente se, a é 
divisor de b. 
c) Se 𝜶 =
𝟏
𝟑−√𝟑
−
𝟏
𝟑+√𝟑
, então 𝜶 ∈ ([ℝ − ℚ] ∩ [ℤ ∪ ℚ]) 
d) Se A é o conjunto dos divisores naturais de 12, B é o conjunto dos divisores naturais de 24 e 
C é o conjunto dos múltiplos positivos de 6 menores que 30, então 𝑨 − (𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑨 − 𝑪. 
Comentário: 
Analisando as alternativas: 
a) (F) Tome 
𝛼 = 𝛽 ≠0 ⇒
𝛼
𝛽
= 1 
Dessa forma, mesmo que que 𝛼 e 𝛽 sejam irracionais, 
𝛼
𝛽
 pode ser racional. 
b) (F) Veja que 
𝑀(𝑎) ⊃ 𝑀(𝑏) ⇒ 𝑏 é divisor de 𝑎 
c) (F) Veja que 
𝛼 =
1
3 − √3
−
1
3 + √3
=
3 + √3 − (3 − √3)
(3 − √3)(3 + √3)
 
⇒ 𝛼 =
2√3
9 − 3
=
2√3
6
=
√3
3
 
Veja que 
ℤ ⊂ ℚ ⇒ ℤ ∪ ℚ = ℚ 
[ℝ − ℚ] ∩ ℚ = { } 
⇒ 𝛼 ∉ ([ℝ − ℚ] ∩ [ℤ ∪ ℚ]) 
Veja que 
𝐴 = {1,2,3,4,6,12} 
𝐵 = {1,2,3,4,6,8,12,24} 
𝐶 = {6,12,18,24} 
Assim, 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 − {6,12} = {1,2,3,4,6,12} − {6,12} = {1,2,3,4} 
Por outro lado, 
𝐴 − 𝐶 = {1,2,3,4,6,12} − {6,12,18,24} = {1,2,3,4} 
Dessa forma, 
𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 − 𝐶 
Gabarito: D 
 
 Dos números: 
I. 0, 4333 . . . 
II. 0, 101101110 . . . 
III. √𝟐 
IV. O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
Comentário: 
I. Vamos chamar de x, o valor dado: 
𝑥 = 0,433… 
10 ∗ 𝑥 = 4,333… (1) 
100 ∗ 𝑥 = 43,333… (2) 
De (2) − (1): 
90𝑥 = 43 − 4 = 39 
𝑥 =
13
3
 ∈ ℚ 
II. É um decimal que não tem período, já que o número de 1’s vai mudando, portanto, não pode 
formar uma fração, como o item I. Logo, 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
0,10110111… ∉ ℚ 
III. √2 é conhecidamente irracional. 
√2 ∉ ℚ 
IV. O comprimento de uma circunferência (C) é dado por: 
𝐶 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅 
Onde R é o raio da circunferência. 
E o diâmetro (D) é dado por: 
𝐷 = 2 ∗ 𝑅 
Como queremos analisar 
𝐶
𝐷
, temos: 
𝐶
𝐷
=
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅
2 ∗ 𝑅
= 𝜋 
Mas 𝜋 é conhecidamente irracional. 
𝜋 ∉ ℚ 
Logo, é racional apenas o item I. 
Gabarito: C 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere os conjuntos descritos a seguir, 
sobre eles é correto afirmar que: 
A = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 5, mas não é múltiplo de 2} 
B = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 5, mas não é múltiplo de 10} 
C = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 7, mas não é múltiplo de 2} 
D = {x ∈ 𝑵, tal que x é um múltiplo de 7, mas não é múltiplo de 10} 
 
a) 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑫 ⊂ 𝑪 
b) 𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑫 = 𝑪 
c) 𝑨 = 𝑩 𝒆 𝑪 ⊂ 𝑫 
d) 𝑨 = 𝑩 𝒆 𝑪 = 𝑫 
e) 𝑨 = 𝑫 𝒆 𝑪 = 𝑩 
 
Comentário: 
Primeiro é importante conhecer o significado do símbolo (⊂) de contido. Isto é, A ⊂ B significa que A está 
contido em B. Como 10 = 2 ⋅ 5, então se um número é múltiplo de 5, mas não é múltiplo de 2, então ele não é 
múltiplo de 2. Assim, as condições são equivalentes. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
No entanto, no caso de 7, veja que não ser múltiplo de 10 significa que o número pode não ter fator 5, 
mas ter fator 2. Isto é, as condições não são equivalentes, porém uma engloba a outra, pois se eu afirmo que o 
número não é múltiplo de 10, logo, ele não possui fator 2, isto é, não é múltiplo de 2. 
Portanto, 𝐴 = 𝐵, mas 𝐶 ⊂ 𝐷 
Gabarito: C 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Sejam 𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕}, 𝑩 =
{−𝟐,−𝟒,−𝟔,−𝟖} e 𝑪 = {𝒙 ∙ 𝒚, 𝒄𝒐𝒎 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ 𝑩}, então o número de elementos do conjunto C 
que não pertencem ao conjunto B é igual a: 
a) 16 
b) 15 
c) 12 
d) 11 
e) 10 
 
Comentário: 
𝐶 = {−2,−4,−6,−8,−12,−18,−24,−10,−20,−30,−40,−14, −28,−42,−56} 
Os que pertencem a C, mas não pertencem a B são: 
{−12,−18,−24,−10,−20,−30,−40,−14,−28,−42,−56}. Isto é, 11 elementos. 
Gabarito: D 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere os seguintes conjuntos 
numéricos ℕ, naturais, ℤ, inteiros, ℚ, racionais, 𝕀, irracionais e ℝ, reais, e considere também os 
conjuntos: 
𝑨 = (ℚ − ℤ) ∪ ℕ 
𝑩 = (ℝ ∩ 𝕀) ∪ (ℤ − ℕ) 
𝑪 = (ℝ − ℚ) ∩ 𝕀 
Qual das alternativas abaixo apresenta, respectivamente, um elemento possível de A, B e C? 
 
a) √𝟓, 5 e – 1,43. 
b) – 2, √𝟐 e √𝟐. 
c) 2, 5 e 10. 
d) ½, - 12 e √𝟏𝟎. 
e) 3,14; 0 e √𝟔𝟒
𝟑
 
 
Comentário: 
 O representante do conjunto A pode ser um número racional não inteiro ou um número natural. Nesse 
sentido, excluímos o -2 e o √5. 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 O representante do conjunto B pode ser um irracional ou um inteiro não natural. Nesse sentido, excluímos 
o 5. 
 O representante do conjunto C é um irracional. 
Gabarito: D 
 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) A área da figura geométrica plana convexa 
formada pelo produto cartesiano (𝑨𝒙𝑩), tal que 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ | 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒} e 𝑩 = {𝒚 ∈ ℝ | 𝟐 ≤ 𝒚 ≤
𝟕}, é igual a: 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟏𝟐 
c) 𝟏𝟓 
d) 𝟏𝟔 
e) 21 
 
Comentário: 
Analisando graficamente a relação, temos: 
 
Dessa forma, observa-se que a área formada é um retângulo. 
Calculando a sua área, temos: 
𝑆 = (4 − 1)(7 − 2) 
𝑆 = 3.5 
𝑆 = 15 
Gabarito: C 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Dado os conjuntos 𝑨 = (−𝟒;𝟑], 𝑩 =
[−𝟓; 𝟓] e 𝑪 = (−∞;𝟏), então o conjunto 𝑫, tal que 𝑫 = 𝑪 − (𝑨 ∩ 𝑩), é igual a: 
 
a) (−∞; −𝟒] 
b) (−𝟒; 𝟏) 
c) [−𝟒; 𝟏) 
d) (𝟏;∞) 
e) (−∞; −𝟒) 
 
Comentário: 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Observa-se incialmente que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴, pois 𝐴 ⊂ 𝐵. 
Dessa forma, temos: 
𝐷 = 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵) 
𝐷 = 𝐶 − 𝐴 
Desse modo, temos que 𝐷 é formado por todos os elementos de 𝐶 exceto aqueles que pertencem ao conjunto 
𝐴. 
Como 𝐴 ∩ 𝐶 = (−4; 1), temos: 
𝐷 = 𝐶 − 𝐴 
𝐷 = 𝐶 − 𝐶 ∩ 𝐴 
𝐷 = (−∞;1) − (−4; 1) 
𝐷 = (−∞ ; −4] 
 
Gabarito: A 
 (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere a equação abaixo: 
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟒𝟓
+⋯+
𝟏
[(𝟒𝒂 − 𝟑)(𝟒𝒂 + 𝟏)]
=
𝟓𝟎𝟓
𝟐𝟎𝟐𝟏
 
Sabendo-se que 𝒂 ∈ ℕ∗, então o resto da divisão de 𝒂𝟐𝟎𝟐𝟏 por 𝟏𝟏 é: 
𝐚) 𝟓𝟎𝟏 
b) 𝟓𝟎𝟒 
c) 𝟓𝟎𝟓 
d) 𝟓𝟏𝟎 
e) 𝟓𝟎𝟔 
 
Comentário: 
Como o termo geral do somatório é 
1
(4𝑎−3)(4𝑎+1)
, temos: 
1
(4𝑎 − 3)(4𝑎 + 1)
=
1
4
. (
1
4𝑎 − 3
−
1
4𝑎 + 1
) 
Reescrevendo o somatório: 
1
4
(1 −
1
5
+
1
5
−
1
9
+ ⋯+
1
4𝑎 − 3
−
1
4𝑎 + 1
) =
505
2021
 
Dessa forma, obtém-se: 
1 −
1
4𝑎 + 1
=
505
2021
. 4 
1 −
2020
2021
=
1
4𝑎 + 1
→ 
1
4𝑎 + 1
=
1
2021
 
4𝑎 + 1 = 2021 → 4𝑎 = 2020 
Portanto, temos: 
𝑎 = 505. 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.0 Referências Bibliográficas 
[1] Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos e funções. 7. ed. Atual, 2013. 472p. 
[2] Loza, A.T.; Leyva, J.C.R. Problemas de Álgebra. 1 ed. Racso, 1998. 801p. 
 
 
10.0 Considerações Finais 
 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
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