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09/05/2019 3ºrelatorio fisica exp - Documentos Google
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 Relatório do Laboratório de Física Experimental I: 
 
 
 
Movimento 
de um 
Projétil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrantes: Alexandre Sued Silva Sena – 11821EBI001 
 Delcides Nunes Ferreiro Neto – 11821EBI007 
 Maria Vitória Garcia – 11821EBI013 
 Weber Andrade Pires Filho – 11821EBI023 
Curso: Engenharia Biomédica 
 
 
 
 02 de maio de 2019 
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Índice: 
 
● Resumo……………………………………………………………………..3 
● Introdução…………………………………………………………………..3 
● Objetivos…………………………………………………………………....4 
● Procedimento Experimental………………………………………………4 
● Resultados………………………………………………………………...13 
● Análise……………………………………………………………………..14 
● Discussão………………………………………………………………….14 
● Conclusão………………………………………………………………….15 
● Bibliografia…………………………………………………………………15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo 
 
É caracterizado como movimento de projéteis o lançamento de um corpo em 
um campo gravitacional constante, onde a aceleração da gravidade é uniforme 
e vertical. O experimento realizado se trata de uma simulação desse 
fenômeno, em que uma esfera metálica percorre uma trajetória bidimensional 
chegando a ser lançada de uma rampa em um movimento livre 
(desprendendo-se da superfície), onde com uma velocidade inicial e há uma 
certa altura do solo, segue uma trajetória influenciada pela a ação da 
gravidade. Assim, para interpretar o percurso realizado foi necessário utilizar 
um anteparo que pudesse demarcar a variação do deslocamento vertical, 
demarcado pelo os choques da esfera com a sua superfície, e horizontal, na 
qual era movido pelos integrantes em espaços equivalentes. Os resultados 
obtidos estão cercados de incertezas devido às falhas experimentais, como a 
precisão do posicionamento inicial da esfera metálica na rampa (que foi feita 
por aproximação por um dos integrantes), a medição da distância entre a 
rampa e o anteparo, o erro anexado à régua ao medir a distância entre as 
marcas das colisões obtidas no anteparo, entre outras. Contudo, segundo os 
dados obtidos, a esfera prosseguiu em um curso "parabólico" ao longo de sua 
trajetória, já assegurado pelas equações que demonstravam um aspecto de 
segundo grau em sua potência, evidenciando as características de um 
lançamento oblíquo. Porém devido aos erros assemelhados não encontrou-se 
um valor de n = 2, o que não foi possível mostrar o comportamento parabólico. 
 
Introdução 
 
O movimento de um projétil é descrito por um lançamento, em que com uma 
velocidade inicial, um corpo traça um trajeto parabólico unindo movimentos na 
vertical (sobe e desce) e na horizontal. O lançamento de um projétil se baseia 
em conceitos básicos de Cinemática, dentre eles ocorrem o Movimento 
Retilíneo Uniforme (MRU), descrito pela equação , no eixo das s t f = s0 + v 
abcissas e o Movimento Uniformemente Variado (MUV), descrito pela equação 
 , no eixo das coordenadas.s t f = s0 + v0 + 2
1at2 
Tais circunstâncias ocorrem devido a ação de forças externas sobre o objeto, 
como a força peso (gerada pela atração gravitacional) sob a força vertical que 
foi decomposta da força resultante inicial. A velocidade resultante, por 
decomposição de vetores, dá origem a velocidade no eixo X e no eixo Y, 
assim, a velocidade no eixo das abscissas é uniforme enquanto no eixo das 
coordenadas varia ao longo do tempo. 
Quando as velocidades dos eixos são relacionadas com as suas respectivas 
funções de deslocamento por tempo, obtém-se uma equação da trajetória do 
projétil . Onde evidencia o porquê que só é possível obter um en(2θ)D = s g
v2 
bom rendimento de um lançamento de um objeto quando é jogado o mais 
próximo do ângulo de 45º graus. Tal explicação está relacionada a função seno 
que está inclusa na conta, ela funciona como um reflexo do rendimento do 
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lançamento. O mesmo se aplica quando a Equação de Torricelli a∆ v2 = v20 + 2 s 
é relacionada com a velocidade do eixo y, resulta-se em uma equação que 
demonstra os comportamentos a respeito da altura máxima atingida pelos 
corpos durante os seus lançamentos . Contudo, neste caso, o Hmax = v20 2g
sen θ2 
ângulo desta vez necessita ser 90º graus para que haja um maior 
aproveitamento da altura, uma vez que dentro da função do seno o ângulo não 
é multiplicado por 2. 
O experimento realizado simula as condições de um lançamento oblíquo, 
onde uma esfera segue a trajetória de uma rampa chegando a se desprender 
do solo e a percorrer um movimento de projétil, em que se assemelha a uma 
parábola. Assim, para comprovar o seu comportamento "parabólico", torna-se 
necessário encontrar a equação que melhor descreve os seus aspectos de 
função de segunda potência através dos dados obtidos experimentalmente. 
 
Objetivos 
 
- Analisar e estudar o movimento do projétil e decompor nos dois movimentos, 
MRU e MUV, que compõe seu comportamento. 
- Determinar a velocidade inicial e descobrir o valor de n da equação que 
evidencia o movimento. 
 
Procedimento Experimental 
 
Denomina-se de movimento de projéteis o movimento livre de um corpo, que 
pode ser uniformemente variado, lançado num campo gravitacional normal, 
onde a aceleração da gravidade é constante (9,79 
m/s²) e vertical. No experimento realizado foi abandonado um projétil no topo 
de certa rampa e com o auxílio de um papel carbono identificou-se a distância 
alcançada pelo mesmo. 
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 Figura 1. Experimento montado; 1-rampa; 2-anteparo para a bolinha. 
 
Figura 2. Anteparo com folhas em branco com papel carbono para marcar o local onde a bolinha 
acertasse. 
Inicialmente posicionou-se o anteparo rente a rampa marcando o , y0 = 0 
valor admitido marcando a posição inicial, posteriormente o anteparo era 
afastado da rampa de 10 em 10cm e para cada distância jogava a bolinha x 
três vezes obtendo assim três valores de .y 
Como tem vários valores para uma determinada distância é necessário y x 
obter média dos mesmos para assim prosseguir com cálculos e chegar no 
objetivo desejado. 
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https://docs.google.com/document/d/1fWbzUnYKYMXd2ztrWiXcZ3wChX-nVflqw6Pcjl_IlEk/edit# 6/15A melhor forma de determinar a magnitude de uma medida é mediante o y 
maior número de medições sucessivas possíveis, assim conseguiremos um yi 
valor bem próximo de e este seria o valor médio .y y 
O valor médio ou valor verdadeiro é o valor mais próximo e provável ao que é 
procurado e é obtido pela Equação 1, que consiste no cálculo da média 
aritmética das N medições. 
 (1) 
No entanto, sabe-se que é uma aproximação, logo torna-se necessário y 
calcular outras grandezas que determinarão a incerteza da medida, como 
desvio padrão (σ ), desvio padrão da média (σ y ) e erro total (Δ y total ). O desvio 
padrão está relacionado à dispersão de todos os valores ao redor da média e 
é calculado pela Equação 2, no entanto, essa grandeza não é precisa o 
suficiente para determinar a incerteza, por isso é mais comum - e vantajoso - 
calcular o desvio padrão da média, que possui um padrão e não gera 
resultados absurdos (ao invés disso informa a indeterminação). Neste relatório 
nos concentramos mais no cálculo do desvio padrão da média, que é definido 
pela Equação 3. 
 (2) 
 (3) 
Já tendo efetuado o cálculo do desvio padrão da média, é preciso saber o 
erro instrumental, a fim de determinar o erro total. O erro instrumental (Δ y instr ) 
depende unicamente do tipo do instrumento utilizado e de sua menor divisão. 
Se for analógico, Δ y instr equivale à metade da menor divisão da escala do 
instrumento; por outro lado, se for digital, equivale à menor divisão da escala. 
Compreendido isso, tem-se que o erro total (Δ y total ) é dado pela Equação 4. 
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 (4) ∆ytotal =√(∆y )estat 2 + (∆yinstr)2 
 
Uma grandeza R é obtida a partir de medidas de n grandezas primárias, cada 
uma com sua incerteza total, ou seja, R = R ( a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ), em que que a n = a n ± 
Δ a n . Logo, nesse caso, deve ser levado em consideração a propagação da 
incerteza, e R , informado na forma R = R ± Δ R . Para isso, o cálculo de Δ R é 
realizado pela Equação 5, com o auxílio das equações das medidas de 
dispersão já definidas. 
 
 (5) 
 
Como houve diferentes resultados faz-se necessário realizar a regressão 
linear que consiste no processo de traçar uma reta através dos dados em um 
diagrama de dispersão. Esse modelo é definido por uma relação linear entre a 
variável dependente y, que é unicamente determinada pelas leis da física, e 
uma variável independente x , sobre a qual tem-se controle e é manipulável. 
Ressalta-se também que essa relação linear segue a regra y = ax + b . Definido 
o conceito, verifica-se que, durante a coleta de dados, duas situações são 
possíveis: dados ( x , y ) lineares e dados ( x , y ) não-lineares. 
Para dados ( x , y ) lineares - que dispostos em um gráfico descrevem um 
comportamento linear - o procedimento a seguir, a fim informar uma reta que 
melhor represente (melhor ajuste) os dados, é primeiramente estabelecer uma 
relação entre os parâmetros da reta a e b e grandeza física de interesse. Feito 
isso, aplicar a regressão linear usando os dados obtidos experimentalmente, 
que permite encontrar os valores de a e b , mediante a análise dos mínimos 
quadrados. Finalmente, calcula-se a incerteza de y e compara-se com os 
valores teóricos. 
Já o tratamento de dados para dados ( x , y ) não-lineares, possui somente uma 
etapa a mais, que é a linearização dos dados. Essa nova etapa consiste em 
propor duas variáveis X e Y , relacionadas à x e y respectivamente, tal que se 
tenha: Y = aX + b . Assim, a regressão linear poderá ser aplicada sobre as 
novas variáveis já linearizadas. 
Note que os dados experimentais possuem incerteza, seja ela instrumental ou 
estatística, logo é necessário calcular a incerteza sobre os coeficientes a e b 
da reta, que são respectivamente Δ a e Δ b , e sobre a grandeza física de 
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interesse, utilizando propagação de erros, uma vez que essa depende das 
variáveis a e b (que possuem incerteza). 
O método dos mínimos quadrados é importante para determinar os 
coeficientes a e b da reta y = ax + b que melhor representa os dados obtidos 
(após a devida linearização, caso necessário) e consiste em obter a reta que 
proporcione o menor erro E(a,b) . 
Observe, por exemplo, que, na Figura 3, para cada dado experimental ( x i , y i ), 
em que i = 1,2,... N e N é o total de dados obtidos, é definido um erro 
associado. 
 
 
 Figura 3. Exemplo de dados experimentais lineares com sua respectiva reta de regressão linear. 
Assim, define-se uma regra para o erro associado em função dos coeficientes 
a e b da reta y = ax + b de melhor ajuste, explicitada da Equação 6. 
 (6) 
Como a reta procurada deve possuir o menor erro E ( a , b ) possível tem-se as 
Equações 7 e 8, as quais conduzem a um sistema de equações que pode ser 
resolvido analiticamente. 
 
 (7) 
 
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 (8) 
 
Sendo assim, segue o procedimento a ser realizado para se obter uma reta y 
= ax + b , assim como todas as incertezas envolvidas. Deve-se considerar duas 
situações, as incertezas nos valores y podem ser iguais (Δ y i = Δ) ou diferentes 
(Δ y i ). Considere uma quantidade N de dados obtidos. 
A partir das Equações 7 e 8, é possível obter um conjunto de equações 
(Equações 9 e 10), o qual permite determinar os coeficientes a e b . 
Considerando , tem-se: 
 (7) 
 (8) 
 
No entanto, sabe-se que os coeficientes da reta possuem incerteza e, 
mediante a análise da propagação de incertezas, tem-se as Equações 11 e 
12, para o cálculo das incertezas Δ a e Δ b . 
 (11) 
 
 Δ b = √ i D (12) 
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Nesse caso, é necessário incluir uma terceira variável w i definida como w i = 
e os cálculos são análogos ao caso da tentativa de achar valores de a e 
b, uma vez que as Equações14 e 15 (para esse caso, considere D como o 
valor descrito pela Equação 13), que definem a e b , também são oriundas do 
desenvolvimento das Equações 7 e 8. 
 
 (13) 
 (14) 
 (15) 
 
Assim, sabe-se que os coeficientes da reta possuem incerteza e, mediante a 
análise da propagação de incertezas, tem-se as Equações 16 e 17, para o 
cálculo das incertezas Δ a e Δ b . 
 (16) 
 (17) 
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Resumindo, o tratamento de dados deve seguir o seguinte procedimento: 
1. Caso os dados sejam não-lineares, propor duas variáveis X e Y , 
relacionadas à x e y respectivamente, tal que se tenha: Y = aX + b . 
2. Estabelecer uma relação entre os parâmetros da equação da reta ( a e 
b ) e a grandeza de interesse, por meio do método dos mínimos 
quadrados. 
3. Aplicar a regressão linear usando os dados obtidos experimentalmente 
(para dados já lineares) ou sobre as novas variáveis linearizadas (para 
dados originalmente não-lineares), que permite encontrar os valores de 
a e b ; 
4. Determinar a equação da reta y = ax + b que melhor se ajuste; 
5. Finalmente, calcula-se as incertezas de Δ a , Δ b, assim como sua 
propagação sobre a grandeza física de interesse, e compara-se com os 
valores teóricos. 
O movimento uniformemente variado possui aceleração escalar constante e 
diferente de zero. Nesse tipo de movimento, a aceleração escalar média 
também é constante e igual à instantânea, logo a velocidade varia de uma 
maneira regular, ou seja, em intervalos de tempos iguais ocorrem variações 
de velocidades iguais. 
 
 Figura 4. Exemplo de movimento uniformemente variado, o qual foi estudado neste relatório 
Note que a velocidade do projetil na direção é constante. Logo é v0x x 
possível determinar a velocidade , conhecido o valor da aceleração da v0x 
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gravidade . Para isso, utiliza-se a lei do movimento , 9 m s g = 9 7 / 2 
uniformemente variado, descrito pela Equação 18, em que denota a ay 
aceleração do projétil. 
 
 (18)ty = y0 + v0y + 2
a ty 2 
 
No caso do exemplo descrito pela figura 4, tem , e . y0 = h v0y = 0 a =− g 
Assim, obtém-se a Equação 21, sabendo que . d = h − y 
 
 (19)y = h − 2
1gt2 
 
 (20)(h )− y = 2
1gt2 
 
 (21)d = 2
1gt2 
Assim, tem-se que o movimento no eixo é retilíneo uniforme, logo é válida a x 
relação da Equação 22, que isolando o tempo e substituindo na Equação t 
21, tem-se a Equação 23. 
 
 (22)tx = v0x 
 
 (23))xd = ( 1g2v20x
2 
 
Como foi encontrada uma relação para as equações dos diferentes 
movimentos que se tem no lançamento há necessidade da linearização de 
dados sendo essencial para que se possa fazer o ajuste de curvas pela 
regressão linear, sendo somente necessário para dados não lineares. 
A linearização por logaritmos consistirá em aplicar o logaritmo( de n ) logε = l 
ambos os lados da Equação 23. Assim, obtém-se a Equação 24, observe 
que, nesse caso para linearizar é necessária a substituição e n d →Yln l 
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, obtendo a Equação 25. Ademais, comparando a Equação 25 comn x→X ln l 
26 da reta de regressão, é possível obter a velocidade em função de .v0x a 
 
 (24)n d + lnx ln l = 2 
 
 (25)n X Y = l ( 1g2v20x ) + 2 
 
 (26)XY = b + a 
 
 
Resultados 
 
Em seguida tem-se os dados coletados até o momento em que a bolinha 
atinge o anteparo durante o experimento, os resultados dos cálculos 
provenientes das fórmulas utilizadas como o valor de kx, a média dos valores 
de y (altura) e o n calculado. 
 
Tabela 1. Medidas da distância do anteparo à mesa(x) em cm, altura em que a bola atinge o anteparo(y)em cm. 
kx x(cm) y(cm) n 
0 0 100,5 - 
11 10 97,9 1,91165419 
22 20 90,2 1,45647609 
33 30 77,7 1,24491516 
44 40 56,6 1,06654512 
55 50 37,76 0,90615134 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico 1. Representação do movimento de projétil. 
 
Análise 
Para a obtenção da equação da parábola descrita pelo projétil, igualamos as 
equações de X e Y(equação 27 = equação 28) em relação ao tempo, já que o 
tempo é equivalente nos eixos. Com isso, descobrimos que “k”(equação 29) 
vale aproximadamente 1,1 e o n 1,31. 
 
 (27)o oxT X = X + V 
 
 (28)o oyTY = Y + V + 2aT 
2
 
 
 (29) Y X = K n 
 
Discussão 
Os resultados obtidos a partir da simulação de longe não foram os esperados. 
Isso por conta da falta de credibilidade dada a eles, visto que as medições 
realizadas durante o experimento foram insuficientes para comprovar o 
comportamento parabólico do gráfico de deslocamento dos eixos. Pois, ao 
relacionar a variação dos espaços com o tempo (uma vez que ele é uniforme 
em ambos os eixos), os resultados obtidos não foram condizentes com 
aqueles que foram observados durante o experimento. 
Por sua vez, ao calcular a média do expoente "n" da variação do 
deslocamento dos eixos (em cada ponto interceptado pelo anteparo), segundo 
a equação , obteve-se o valor 1,31, ou seja, diferente de 2. Logo, o logn = ykx 
experimento não teve êxito em comprovar o comportamento do movimento do 
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Conclusão 
Neste relatório apresentamos os resultados do experimento que consistem em 
medir a altura y a cada três lançamentos da bolinha de uma determinada 
distância x do anteparo em relação a mesa. A partir dos dados coletados 
gerou-se um gráfico que consiste em uma curva de parábola que representa o 
movimento oblíquo. 
Para comprovar a curva utilizou-se e o n encontrado não foi logn = ykx 
próximo a 2 o que não comprova o caráter parabólico da curva, pressupõe -se 
que tal falha fora devido a erro na coleta dos dados e/ou em cálculos. 
 
Bibliografia 
Halliday, D., Resnick R. e Walker, J., Fundamentos de Física, Vol. 1, 7a 
edição,Ed. 
IWAMOTO, Wellington; GUARANY, Cristiano; FOSCHINI, Mauricio; 
LORENZO, 
Antonino. Guias e roteiros para Laboratório de Física Experimental I,1ª 
Edição, Uberlândia, 
< https://www.alfaconnection.pro.br/fisica/movimentos/decomposicao-e-compo
sicao/movimento-dos-projeteis/ > Acessado em 09/05 ás 10:00. 
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https://www.alfaconnection.pro.br/fisica/movimentos/decomposicao-e-composicao/movimento-dos-projeteis/
https://www.alfaconnection.pro.br/fisica/movimentos/decomposicao-e-composicao/movimento-dos-projeteis/